放缩法证明数列不等式的基本策略(高考精品,吐血推荐,不看后悔一辈子,)

第一篇：放缩法证明数列不等式的基本策略(高考精品,吐血推荐,不看后悔一辈子,)

放缩法证明数列不等式的基本策略

不得不说的放缩法

放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。

一、常见的放缩方法

证题中经常用到的放缩方法法有：

1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；

2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果；

3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。

4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。

二、常见的放缩控制

当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？

例1．求证：11117 22224123n

分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。1111 (n2)”的方法向右端放大，2nn(n1)(n1)n

111111171111()()()22 则左边11223n1nn41223(n1)n若采取“

很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。那怎么办呢？

【1】 调整放缩的“量”的大小

分析2：分析1中“放”的有点过大，因为11，放大了1111，所以可以22212432318通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在减少1，即11分母减少了n，我们可以把分母只2nn(n1)11111()n2），这样放的量就少了。n2n212n1n

11***1111)=1+(1)<1+(1)= 证明1：左边<1()()()+(2242132435n1n122nn1

【2】 调整放缩的“项”的起点

分析3：分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。证明2：左边1111117171111()() 423n1n4n4423(n1)n

由此可见，调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些。以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标。

除此之外，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。

三、常见的问题类型

数列型不等式的一边常与求和有关，所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标。下面我们通过几道典型例题来体会常见问题的处理手法。一.放缩与“公式法求和”

选择恰当的放缩方法，通过“通项”的适度放缩使之转化为等差或等比数列，从而求和达到简化证题．．．．的目的。

例

2．设Sn证明：因为kk

n

n(n1)(n1)2

sn

22k(k1)

1，kk(k1)k 22

k(k1)

n

n(n1)(n1)21

snkSn(k)，即 222k1k1

说明：分别利用“添舍项”和“均值不等式”把通项放缩为等差数列，然后求和得证。例3．求证：

1111

2 1!2!3!n!

k1,k1,2,,n.k!2

证明：因为k!k(k1)2122212k1,

11()n

1111111122(1)n12012k1

11!2!3!n!22222

12

说明：把分母适当变小，实现分式的放大，把通项放缩为等比数列，然后方便求和。例4．已知an2n1，证明：

an1a1a2n

n 23a2a3an12

n

aakn2k12k11

证明：通项k1k1，k，不等式右边得证。

ak121222k1ak12

akak1

n

11

2111111111 k1kkkk

112232(22)232023221

2(2k)4(2k)

k

2k

n

ak11n1111n11n1

()()(1)，不等式左边得证。k12nn

a2232323322222k1k1k1

说明：不等式两端的结构特点是本题证明的突破口，利用“添舍项”把通项放缩为与

有关的形式，2

然后求和证明。其中不等式左边的放缩方法有数种，值得体会研究。

二.放缩与“裂项法求和”

在例1中，不等式的左边无法求和，但通过放缩产生裂项相消的求和效果后，使问题解决。例2的右边也是利用放缩产生了裂项的效果，然后求和。下面我们再通过几道例题的证明体会裂项求和效果的运用。例5.求证：2(n11)

1

122



3

1n

2n

证明：

n

1k



2kk



kk1

2(kk1),(k2)



k1

1k

12[(2)(32)(nn1)]12(1n)2n12n 2kk



2kk1

2(k1k)



1k

n



k1

1k

2[()(2)(n1)]2(1n1)2(n11)

说明：例1分式、例5根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型，值得体会。

n

1n11

1例6.已知an(),bn,证明：bk2n

31an1an13k1

证明：bn

111n

1

3n3n13n113n111nn1nn1 131313131

3n1

1111b2，（※）（※※）n

3n13n113n3n1

n

111111111

bk2n[(12)(23)(nn1)]2n(n1)2n

333333333k1

2

说明：对通项利用“分离变量”化简至（※）处是本题的关键，根据式子中各项的符号以及分母的幂指数

决定放缩为（※※）的形式，以实现“相消”求和的效果。例7.已知f(1)2,f(n1)f(n)f(n),求证：



k1

n



f(k)1

2证明：f(n1)f(n)[f(n)1],

1111

,f(n1)f(n)[f(n)1]f(n)f(n)1



111，

f(n)1f(n)f(n1)

n



k1

111111111

[][][]

f(k)1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n1)f(1)f(n1)

由已知可得f(n)0, 

f(k)1

k1

n

 f(1)2

说明：对通项结构特点的分析，决定对已知等式的右边进行因式分解取倒数。然后再裂项、移项变形就是

很自然的想法了。

三.放缩与“并项法求和” 例8.已知an

2n21117[2(1)n1],n1,证明：对任意整数m4,有 3a4a5am8

n

1分析：通项中含有(1)，把

11，捆绑并为一项，然后结合n的奇偶性进行适度的放缩。

anan1

1131132n12n232n12n

2证明：当n为奇数时，[]

anan122n212n11222n32n12n21222n

3即当n为奇数时，当m为偶数且m>4时：

11311(n2n1)，且a42, anan1222

11111111131111

()()(34m3m2)a4a5ama4a5a6am1am222222

=

13111317

(1m4) 22422482

当m为奇数且m>4时：m1为偶数，11111117

 a4a5ama4a5amam18

综上可知，对于任意整数m>4，都有

1117

 a4a5am8

例9.求证1

11111n

nn1(n2,nN)2342212

分析：观察分母的变化规律，把若干项“捆绑”并为一项后进行放缩，然后求和就很容易实现欲证的目标。证明：左边=1

11111111111111

()()()(n1nn)***1212

1

=1

11111111111111

()()()(nnn)***222

11111n(共n个)1 222222

四．利用递推关系式放缩

利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系，在很多题目中可以起到很好的放缩效果。例10.已知a13,ak2ak11(k2),求证：

1111

 1a11a21an2

分析：根据欲证不等式的结构特点，通过递推关系式构造关于1ak的不等式，然后实现对通项的放缩。证明：ak2ak11,ak12(ak11)且a11

4ak1

ak1ak-11a111k1

（）2（a11）22242k1

ak12ak-11ak-21a11

12131n1111

左边（）（）（）1-n)

222222

例11.已知an2n1，证明：

1112

 a2a3an13的放缩，转化为熟悉的问题。ak

分析：通过对an的适度放缩产生关于an的不等递推关系式，然后谋求对

证明：an2n12n22(2n11)2an1，

an

2(n2)且a11,a23, an1

n3时，an

左边

anan1a113a22n23，3()n2

an2an1an2a2

1111212

[1()2()n1](1n) 3222332

五．构造和数列后进行放缩

如果数列不等式没有直接的求和的形式，很多时候可以间接的构造和数列，然后进行放缩处理。例12.已知

nan11111

[log2n]，正数列an满足a1b0,an(n2)23n2nan1

2b

(n2)

2b[log2n]的递推关系式，然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式。an

证明：an

分析：根据已知构造关于

证明：0an

nan1111111，，(n2)

anan1nanan1nnan1

111111111111

n2()()()

ananan1an1an2a2a1a1nn12b



2b1112b[log2n]

[log2n]0，an

2b[lo2gn]an2b2b

1*，定义数列{xn}:x10,xn1f(xn),nN，2

x2

例13.已知函数f(x)

若0xk

11(k2,3,4,)，证明:对任意mN*都有:xmkxk.234k1

分析：利用递推式构造关于xk1xk的不等式，利用“绝对值不等式”把xmkxk放缩为和数列的形式

证明： 由x10得x2

114, x3，当k2时,0xk,229

xkxk1xkxk1xkxk1xk2xk2111

22∴xk1xk2 2

44xk2xk12(xk2)(xk12)

∴xk1xk

*

xk1xk

xkxk1xk1xk2



xkxk1



x3x2()k2x3x2()k2

x3x24418

x4x3

对mN,xmkxk(xmkxmk1)(xmk1xmk2)(xk1xk)

1

 4k2

xmkxmk1xmk1xmk2xk1xk 

111



184mk34mk4

11()k2(1m)18(1)k1118(1)k11(1)k11mk1

***3414

上面介绍的数列不等式主要与“求和”的形式有关。如果不等式的一边与求和没有直接的关系，也可以辨析题目的结构特征选择合适的方法进行处理，譬如“构造单调数列”放缩；构造“二项式”展开后放缩；对不等式的局部换元，然后再谋求放缩等。限于篇幅，本文就不做阐述了。

总之，运用放缩法进行数列不等式的证明，要认真分析条件和结论的结构特征，明确方向，防止盲目放缩。同时还要多总结、多思考，多掌握一些常用的放缩技巧，以提高分析问题和解决问题的能力。

第二篇：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）．

例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足，．数列

满足（1）求数列（2）若和，且． 的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列

分别满足，其中（1）若数列（2）若数列①若数列②若数列，设数列的前项和分别为的通项公式；，使得，称数列

.都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式；

②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

（4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误！未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为常数，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．

（1）求错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）设错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，求错误！未找到引用源。的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（2）由（1）知，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，若数列错误！未找到引用源。为等比数列，则有错误！未找到引用源。，而错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，再将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，例2.记错误！未找到引用源。.对数列错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的子集错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。；若错误！未找到引用源。，定义错误！未找到引用源。.例如：错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.现设错误！未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。

（1）求数列的通项公式；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（2）对任意正整数，若，求证：；错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。（3）设，求证：.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）详见解析（3）详见解析 【解析】

试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。因此由错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。中最大项必在A中，由（2）得错误！未找到引用源。.试题解析：（1）由已知得错误！未找到引用源。.于是当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.又错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.所以数列错误！未找到引用源。的通项公式为错误！未找到引用源。.（2）因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.因此，错误！未找到引用源。.综合①②③得，错误！未找到引用源。.类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足：错误！未找到引用源。．（1）求证:错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；（2）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）；（3）求证:错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

故错误！未找到引用源。，则有：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。例4.已知错误！未找到引用源。是数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和，且对任意错误！未找到引用源。，有错误！未找到引用源。.其中错误！未找到引用源。为实数，且错误！未找到引用源。.（1）当错误！未找到引用源。时，①求数列错误！未找到引用源。的通项；

②是否存在这样的正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成等比数列？若存在，给出错误！未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由.（2）当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。，① 判定错误！未找到引用源。是否为等比数列；

②设错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围.【答案】（1）①错误！未找到引用源。；②不存在；（2）①当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。时，数列错误！未找到引用源。是以错误！未找到引用源。为首项，错误！未找到引用源。为公比的等比数列，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，不是等比数列；②错误！未找到引用源。．

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

（1）错误！未找到引用源。，（2）错误！未找到引用源。

注：对于错误！未找到引用源。还可放缩为：错误！未找到引用源。（3）分子分母同加常数：错误！未找到引用源。（4）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。可推广为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。实战演练: 1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。记数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。

（1）求证：数列错误！未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误！未找到引用源。；

（2）求错误！未找到引用源。；

（3）问是否存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立？说明理由.【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。都成立，（3）详见解析

（3）假设存在正整数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立，因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，所以只要错误！未找到引用源。

即只要满足 ①：错误！未找到引用源。，和②：错误！未找到引用源。，对于①只要错误！未找到引用源。就可以； 对于②，当错误！未找到引用源。为奇数时，满足错误！未找到引用源。，不成立，当错误！未找到引用源。为偶数时，满足错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。令错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。，且当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。为偶数时，②式成立，即当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。成立.2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。．

⑴ 求证：数列错误！未找到引用源。为等差数列；

⑵ 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，若当错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

⑶ 设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项的和为错误！未找到引用源。，试求数列错误！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴见解析⑵错误！未找到引用源。⑶错误！未找到引用源。

要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，只要使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。为偶数恒成立，即使错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。为正偶数恒成立，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，故实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。； ⑶由⑴得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，因此数列错误！未找到引用源。的最大值为错误！未找到引用源。．

【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的关系式．

3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，且

． 的前项和为，满足，．数列（1）求数列（2）若和的通项公式；，数列的前项和为，对任意的，（，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使，请说明理由．

【答案】（1）（2））成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，两式相减得所以由（1）得因为对 即所以恒成立，都有，，恒成立，记所以因为从而数列于是，为递增数列，所以当．

（），使

成等差数列，则，时取最小值，（3）假设存在正整数即，若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立.，则，与

矛盾；，即，此时

4．已知数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，其中，错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。．

（1）求数列错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的通项公式；

（2）是否存在自然数错误！未找到引用源。，使得对于任意错误！未找到引用源。有错误！未找到引用源。恒成立？若存在,求出错误！未找到引用源。的最小值；

（3）若数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【答案】（1）错误！未找到引用源。；（2）存在，错误！未找到引用源。；（3）错误！未找到引用源。． 【解析】试题分析：

（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m，满足条件，先求出错误！未找到引用源。，将问题转化成错误！未找到引用源。可求得错误！未找到引用源。的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析：（1）由错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。． 又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，上式成立，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列，故错误！未找到引用源。.（3）当错误！未找到引用源。为奇数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。； 当错误！未找到引用源。为偶数时，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.因此错误！未找到引用源。．

点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。

5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为常数．

（1）是否存在数列错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．

（2）当错误！未找到引用源。时，求证： 错误！未找到引用源。．

（3）当错误！未找到引用源。时，求证：当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，两式相减得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。．

6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为（1）若数列.分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列，使得，称数列为“坠点数列”.为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。成立.（1）分别判断数集错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。是否具有性质错误！未找到引用源。，并说明理由；

（2）求证： 错误！未找到引用源。；

（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）见解析（3）错误！未找到引用源。.（2）因为集合错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，所以对错误！未找到引用源。而言，存在错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，又因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.（3）由（2）可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误！未找到引用源。即可获证错误！未找到引用源。；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。可得错误！未找到引用源。，因此构成数集错误！未找到引用源。，经检验错误！未找到引用源。具有性质错误！未找到引用源。，进而求出错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。.8．记等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。.（1）求证：数列错误！未找到引用源。是等差数列；

（2）若 错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。，均有错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，求使错误！未找到引用源。为整数的正整数错误！未找到引用源。的取值集合；

（3）记错误！未找到引用源。，求证： 错误！未找到引用源。.【答案】（1）见解析（2）错误！未找到引用源。（3）见解析

解：（1）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，从而错误！未找到引用源。，所以当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是等差数列.（2）因为的任意的错误！未找到引用源。都是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，所以错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。，的等差数列，又错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，显然，错误！未找到引用源。满足条件，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误！未找到引用源。的取值集合为错误！未找到引用源。.（3）设等差数列错误！未找到引用源。的公差为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，即数列错误！未找到引用源。是公比大于错误！未找到引用源。，首项大于错误！未找到引用源。的等比数列，记公比为错误！未找到引用源。.以下证明： 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。为正整数，且错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，当错误！未找到引用源。时，因为错误！未找到引用源。为减函数，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，综上，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1错误！未找到引用源。，(n＋2)cn＝错误！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.10．已知各项不为零的数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（1）若错误！未找到引用源。成等比数列，求实数错误！未找到引用源。的值；（2）若错误！未找到引用源。成等差数列，①求数列错误！未找到引用源。的通项公式； ②在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，若不等式错误！未找到引用源。对任意的错误！未找到引用源。恒成立，求实数错误！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。间插入错误！未找到引用源。个正数，组成公比为错误！未找到引用源。的等比数列，故有错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，

第三篇：放缩法证明数列不等式

放缩法证明不等式

1、设数列an的前n项的和Sn

43an

13

2n

n

1

3(n1,2,3,)

n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn

an42

n

n

2Sn

(n1,2,3,)，证明：Ti

i1

解：易求

SnTn

（其中n为正整数）

n

n

432

n

an

n

13

2

n1





4n

23

n



2

n1





2

n1

121

n

Sn

2

n1

121



11

nn1



22121

所以：



i1

Ti

3131

1n12212122、求证：（1）

11法1：数归（两边都可以）

法2：放缩裂项 法3：定积分放缩（2）

22

nN)





1n1n



31n

11n

法1：放缩一：



n(n1)



(n2)

Sn





1n

1n

(1336









52)（15



1653







1n1



1n)

＝1

1336

121400

11

121400

1

23893600(1

1

24003600

.放缩二：

1n

1n1



(n1)(n1)



2n1



n1),(n2)

Sn54







1n

（11



2)

111111111()22435n2nn1n1



1111151115

()().223nn142233

放缩三：

1n



1n

(n

112)(n

12)

（1n



1n

12)2（12n1



12n1),(n1)

Sn







1n

12（13









12n1



12n1)12（13



12n1)

法2：数归——加强命题：常用的放缩公式：

1n(n1)

2n

n1

1n



1n





1n



1n(n1)1n

；n

n12nn

n1；

n

n

2n1；

ab



ambm

(ba0,m0)

1k



k(k1)(k1)

1n11k(k1)



111*

(k2,kN)

2k(k1)k(k1)

1nk

nkn1k!



1n2

...



kn11

(k3)

(k2)

；212

n1n

k!k(k1)(k2)

n

an

例3：已知：

1

(nN

)，求证：ai

i1

n2



法1：均值不等式：即证





715n2

...

212

n1

n

1





n2

也即：





715

...

212

n

n1

n

1



而

:





715

...

212

n1

1

n



法2：放缩后裂项求和

an

21212

n1n

1（

212(21



n

n)1







n1

=

1





21(2

n1

n

1)(21)

n

=



21

n

n1

1)

法3：数归，但是直接去证是不行的，要转化为一个加强命题

4．定义数列如下：a12,an1anan1,nN



证明：（1）对于nN恒有an1an成立。

2



（2）当n2且nN，有an1anan1a2a11成立。

（3）1

2006



1a1



1a2



1a2006

1。

解：（1）用数学归纳法易证。

（2）由an1anan1得：an11an(an1)an1an1(an11)……

a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得：

an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11（3）要证不等式1

2006



1a1



1a2



1a2006

1，可先设法求和：

1a1



1a2



a2006，再进行适当的放缩。

an11an(an1)



1an111an1a1



1an1



1an



1an11a2



1an111a2006



（1a111



1a211)（1a21



1a31)（1a20061



1a20071)



a11



a200711

1

a1a2a2006

1

又a1a2a2006a1

2006

2

2006

1

1a1a2a2006

1

2006

原不等式得证。

5．已知数列an中an

i

i

n

nn

21，求证：ai(ai1)3.i1

方法一：ai(ai1)

n

i

2121



i

i

i

(21)(22)



i

i1

i1

(21)(21)



i1

1



121

i

.



i1

ai(ai1)

(21)

（121



121)（121



121)（12

n1

1



121

n)3

121

n

3.方法二：

ai(ai1)

i

i

(21)



i

122

i



122

i



122

i



22

i

i1

.(i2)

n





i1

ai(ai1)2





n1

2(1

12)3n1

n1

3.n

法3：数归证



i1

ai(ai1)3

121

n

3.（即转化为证明加强命题）

6、已知函数fxln1xx，数列an满足：

a1

2,ln2lnan1an1anf

an1an．

（1）求证：ln1xx；（2）求数列an的通项公式；

（3）求证不等式：a1a2annln2lnn2． 解：（1）fxln1xx，f'x

11x

1

x1x，当1x0时，f'x0，即yf(x)是单调递增函数；当x0时，f'x0，即yf(x)是单

调递减函数．

所以f'00，即x0是极大值点，也是最大值点

fxln1xxf00ln1xx，当x0时取到等号．（2）法1：数学归纳法（先猜想，再证明）

法2：由ln2lnan1an1anfan1an得2an1an1an1，an1

12an，an11

12an

1

an12an，1an1

1

1an1

1，即数列



1

2，公差为1，是等差数列，首项为

a11an1

nn1

∴

an1

n1an

．

（3）法1：

a1a2an1

111

1

121

1

111

n

23n1n1

又∵x0时，有xln1x，令x

1n112

0，则

1n2

ln1ln n1n1n11

∴n



3

345n1n2

nlnlnlnlnln n1234nn1n

2n2

nln

n12

nln



343

ln2

n nl

∴a1a2annln2lnn2 ． 法2：积分法要证原命题，即证：

12



ln(n2)ln2 n11



1113n12

12

n2



1x

dxlnx

n22

法3：数归证明：7.1、（1）求证：2

n







ln(n2)ln2 n1



2n1(n2,nN)

nn1n01

法1：2CnCn...CnCn；

法2：数学归纳法 法3：函数法（求导）

8.若nN，证明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n1n)+（n

nn)

n

ee1

提示:借助e1x证明

x

第四篇：论文-放缩法证明数列不等式的基本策略

放缩法证明数列不等式的基本策略

广外外校姜海涛

放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。

一、常见的放缩方法

常见的放缩方法法有：

1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；

2.分式放缩：分别放缩分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果；

3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质等。

4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。

二、常见的放缩控制

当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？

例1．求证：11117 122232n2

4分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。1111 (n2)”的方法向右端放大，n2n(n1)(n1)n

111111171111()()()22 则左边11223n1nn41223(n1)n若采取“

很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。那怎么办呢？

1．调整放缩的“量”的大小

分析2：分析1中“放”的有点过大，因为11，放大了1111，所以可以22212432318

通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在减少1，即11分母减少了n，我们可以把分母只n2n(n1)11111()n2），这样放的量就少了。22nn12n1n

***17)=1+(1)<1+(1)= 证明：左边<1()()()+(2132435n1n122nn1224

2．调整放缩的“项”的起点

分析3：分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。证明：左边1111117171111()() 423n1n4n4423(n1)n

由此可见，调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些。以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标。

除此之外，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。

三、常见的问题类型

数列型不等式的一边常与求和有关，所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标。一.放缩与“公式法求和”

选择恰当的放缩方法，通过“通项”的适度放缩使之转化为等差或等比数列，从而利用求和达到简化．．．．证题的目的。

n(n1)(n1)

2sn例2

．设Sn 22

分析：此数列通项为ak因为kk

n

k(k1),k1,2,n.k(k1)

1，kk(k1)k 22

k(k1)

n

n(n1)(n1)21

snkSn(k)，即 222k1k1

例3．求证：

1111

2 1!2!3!n!

k1,k1,2,,n.k!2

分析：通项k!k(k1)2122212k1,

11()n

111111112(1)n12012k1

11!2!3!n!22222

12

例4．已知an2n1，证明：

an1a1a2n

n 23a2a3an12

n

aakn2k12k11

分析：通项k1k1，k，不等式右边得证。

ak121222k1ak12

akak1

n

11

2111111111 k1kkkk

112232(22)232023221

2(2k)4(2k)

k

2k

n

ak11n1111n11n1

()()(1)，不等式左边得证。k12nn

a2232323322222k1k1k1

二.放缩与“裂项法求和”

在例1中，不等式的左边无法求和，但通过放缩产生裂项相消的求和效果后，使问题解决。例2的右

边也是利用放缩产生了裂项的效果，然后求和。下面我们再通过几道例题的证明体会裂项求和效果的运用。例5.求证：2(n11)

1



3

1n

2n

分析：

n

1k



2kk



2kk1

2(kk1),(k2)



k1

1k

12[(2)(32)(nn1)]12(1n)2n12n 2kk



2kk1

2(k1k)



1k

n



k1

1k

2[(2)(2)(n1n)]2(1n1)2(n11)

n

1n111

例6.已知an(),bn,证明：bk2n

31an1an13k1

分析：bn

111n

1

3n3n13n113n11111nn1nn12nn1 1313131313131

3n1

113n3n1

n

111111111

bk2n[(12)(23)(nn1)]2n(n1)2n

333333333k1bn2

例7.已知f(1)2,f(n1)f(n)f(n),求证：



k1

n



f(k)12

分析：f(n1)f(n)[f(n)1],

1111

,f(n1)f(n)[f(n)1]f(n)f(n)1



111，

f(n)1f(n)f(n1)

n



k1

111111111

[][][]

f(k)1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n1)f(1)f(n1)

由已知可得f(n)0, 

三.放缩与“并项法求和” 例8.已知an



k1

n



f(k)1f(1)2

2n21117[2(1)n1],n1,证明：对任意整数m4,有 3a4a5am8

n1

分析：通项中含有(1)，把

整体捆绑同时结合奇偶性进行适度放缩。anan1

1131132n12n232n12n2

证明：当n为奇数时，[]

anan122n212n11222n32n12n21222n3

即当n为奇数时，当m为偶数且m>4时：

11311(n2n1)，且a42, anan1222

11111111131111()()(34m3m2)a4a5ama4a5a6am1am222222

=

13111317

(1m4) 22422482

当m为奇数且m>4时：m1为偶数，11111117

 a4a5ama4a5amam18

综上可知，对于任意整数m>4，都有

1117

 a4a5am8

例9.求证1

11111n

nn1(n2,nN)2342212

分析：寻求合适的处理手法，可以通过分组“捆绑”进行放缩。左边=1

11111111111111()()()(n1nn)***1212

1

=1

11111111111111()()()(nnn)***222

11111n(共n个)1 222222

四．利用递推关系式放缩

利用递推关系式产生的不等关系，在很多题目中可以起到很好的放缩效果。例10.已知a13,ak2ak11(k2),求证：

1111

 1a11a21an2

分析：根据欲证不等式的结构特点，通过递推关系式构造关于1ak的不等式

ak2ak11,ak12(ak11)且a114ak1

ak1ak-11a111k1

（）2（a11）22242k1

ak12ak-11ak-21a11

12131n1111

左边（）（）（）1-n)

222222

例11.已知an2n1，证明：

1112

 a2a3an13

分析：an2n12n22(2n11)2an1，

an

2(n2)且a11,a23, an1

n3时，an

左边

anan1a113a22n23，3()n2

an2an1an2a2

1111212

[1()2()n1](1n) 3222332

五．构造和数列后进行放缩

如果数列不等式没有直接的求和的形式，很多时候可以间接的构造和数列，然后进行放缩处理。例12.已知

nan11111

[log2n]，正数列an满足a1b0,an(n2)23n2nan1

2b

(n2)

2b[log2n]的递推关系式，然后利用“累加法”把欲证的不等式转化为和数列的形式 an

证明：an

分析：根据已知构造关于

0an

nan1111111，，(n2)

anan1nanan1nnan1

111111111111

n2()()()

ananan1an1an2a2a1a1nn12b



2b1112b[log2n]

[log2n]0，an

2b[lo2gn]an2b2b

1*

nN，定义数列:，，{x}x0xf(x)n1n1n2

x2

例13.已知函数f(x)

若0xk

11(k2,3,4,)，证明:对任意mN*都有:xmkxk.k123

4分析：利用递推式构造关于xk1xk的不等式，利用“绝对值不等式”把xmkxk放缩为和数列的形式

由x10得x2

114, x3，当k2时,0xk,229

xkxk1xkxk1xkxk1xk2xk2111

22∴xk1xk2 2

44xk2xk12(xk2)(xk12)

∴xk1xk

*

xk1xk

xkxk1xk1xk2



xkxk1



x3x2()k2x3x2()k2

x3x24418

x4x3

对mN,xmkxk(xmkxmk1)(xmk1xmk2)(xk1xk)

xmkxmk1xmk1xmk2xk1xk 

1111

mk3mk4k218444

()k2(1m)18(1)k1118(1)k11(1)k11mk1

***3414

上面介绍的数列不等式主要与“求和”的形式有关。如果不等式的一边与求和没有直接的关系，也可以辨析题目的结构特征选择合适的方法进行处理，譬如“构造单调数列”放缩；构造“二项展开式”放缩；

对不等式的局部换元，然后再谋求放缩等。限于篇幅所限，本文就不做阐述了。

总之，运用放缩法进行数列不等式的证明，要认真分析条件和结论的结构特征，明确方向，防止盲目放缩。同时还要多总结、多思考，多掌握一些常用的放缩技巧，以提高分析问题和解决问题的能力。

第五篇：放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式

主要放缩技能： 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

1144112()

22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24

2. 2)

 







 4.2n2n2n1115.n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1

x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，且abnnn2x1

（1）求cn；（2）证明：

例2.证明：161

例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an

2（1）求证：数列sn是等差数列； 11117 444c14c2c3cn417 12sn，nN*； an

（2）解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8

（3）记bn2sn,Tn331111Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

例4.已知数列an满足：n2anan1； 是公差为1的等差数列，且an1nn

（1）求an；（2

2 例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1；

（1）求an；（2）证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3

2n1an例6.数列an满足：a12,an1； n(n)an22

5112n

（1）设bn，求bn；（2）记cn，求证：c1c2c3cn 162n(n1)an1an

例7.已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2)；

（1）求an；

（2）设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn，b

求证：3Tn1log2n

(a3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）

例8.已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1，anan1

记b1a1,bnn[a1

（1）求an；

（2）证明：(1

2111](n2)。222a2a3an11111)(1)(1)(1)4 b1b2b3bn4