第一篇:基本不等式复习学案
高三数学复习学案第六章 不等式、推理与证明姓名:班级:主备人:赵锁恩
第四节
A.1B.3C.5D.7
基本不等式
三.基本不等式的应用
10.(2011.日照质检)已知正数a,b,c满足a2bc1,则
一.基本不等式成立的条件
1.(2011.茂名期末)下列结论中,正确的序号有:(1)x
的最小值为_____ abc
11111.(2012.白山一摸)函数yloga(x3)1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若定点A2 ;(2)当x0x(3)当x0且x1时,lgx2;2xx
lgx(4)当x(0,)时,sinx4sinx4;(5)x25x242 ;(6)2x
12x2 二.利用基本不等式求最值
2.(2009.湖南)若x0,则x2
x的最小值为________
3.(2011.重庆)函数f(x)x
x2
(x2)在xa处取最小值,则a_______ 4.(2012.九江模拟)函数f(x)x2
2x1x2
2x1,x(0,3),则()A.f(x)有最大值7
4B.f(x)有最小值1
C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1
5.(2009.重庆)已知a0,b0,则
1a1
b
2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5
6.(2013.福建)若2x
2y
1,则xy的取值范围是()
A.[0,2]B.[2,0]C.[2,)D.(,2]
7.(2011.天津)已知log2aloga
b
2b1,则39的最小值是______
8.(2011.浙江)若正实数x,y满足x,y满足x2y2
xy1,则xy的最大值是______
9.(2012.韶关一摸)当点(x,y)在直线x3y20上移动时,表达式3x
27y
1的最小值为()
十年磨剑为一搏,六月试锋现真我。在直线mxny10,其中mn0,则1m2
n的最小值为______
12.(2010山东)若对任意x0,xx23x1
a恒成立,则a的取值范围是__________________ 13.(2012.大连二模)已知x0,y0,且
2x1
y
1,若x2ym22m恒成立,则实数m的取值范围是()A.m4或m2B.m2或m4C.2m4D.4m2
14.(2012长春模拟)已知M是ABC内的一点,且2,BAC30,若MBC,MCA,MAB的面积分别为
114
2,x,y,则xy的最小值为______
15.(2012.烟台二模)设a,bR,则“ab1”是“4ab1”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
16.(2008.浙江)已知a0,b0,且ab2,则()
A.ab
1B.ab12222
C.ab3
D.a
b22
17.(2010.安徽)若a0,b0,且ab2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是__________________(写出所有正确命题的序号)(1)ab1(2)ab(3)a
b22(4)a3b33(5)1a
1b
2
把奋斗留在今天,把结果留给命运。
第二篇:1.1.2不等式的基本性质导学案
兰州新区永登县第五中学高二数学(文)导学案
班级:小组名称:姓名:得分:
导学案 §1.1.2不等式的基本性质
设计人:薛东梅审核人:梁国栋、赵珍
学习目标:
1.了解两个正数的算术平均与几何平均;2.理解定理1和定理2;3.掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题。学习重点:对两个定理的理解
学习难点:应用基本不等式求最值问题
学习方法:六动感悟法(读,想,记,思,练,悟)
一、自学评价 1.定理1:
2.定理2:(基本不等式)
3.如果a,b都是正数,我们就称为a,b的为a,b的,于是,基本不等式可以表述为:思考:利用基本不等式
ab
ab求最值的条件?
注意:利用基本不等式求最值的方法与步骤:(1)变正:通过提取“负号”变为正数;
(2)凑定:利用拆项、添项的方法,凑出“和”或“乘积”为定值;(3)求最值:利用基本不等式求出最值;(4)验相等:验证等号能否成立;(5)结论:得出最大值或最小值。
4.已知x,yyx
xy
2二、检测交流
1.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?
2.一段长为36m的篱笆围城一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积时多少?
三、拓展探究
1.设a,bR2ab
,且ab,求证ab
ab
2.当x>0时,x1x存在最值,最值为x<0时,x1
x
存在最
3.设x,y为正数,求(xy)(14
xy)的最小值
4.已知x54,求函数y4x214x5的最值
5.猜想对于3个正数a,b,c,abc3
abc成立吗?
第三篇:基本不等式练习题
基本不等式练习题
一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若aR,下列不等式恒成立的是()
A.a21aB121C.a296aD.lg(a1)lg|2a| 2a
12.若0ab且ab1,则下列四个数中最大的是()
A.1B.
2xa2b2C.2abD.a3.设x>0,则y33x的最大值为()
A.3B
.3 C.
3D.-1
4.设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是()
A.10
B.C.D.5.若x, y是正数,且141,则xyxy有()
A.最大值16 B.最小值11 C.最小值16 D.最大值 1616
6.若a, b, c∈R,且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是()
A.a2b2c22B.(abc)23
C
.1
a1
b1
cD
.abc7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是()
A.11111B.1C
2D.1 xy4xyxy
8.a,b是正数,则
A
.
ab,22ab三个数的大小顺序是()ab ab2abab2abB
.2ab2ab
2ababD
.ab22ababab2C
.9.某产品的产量第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,设这两年平均增长率为x,则有()
A.xpqpqpqpqB.xC.xD.x 2222
10.下列函数中,最小值为4的是()
A.yxB.ysinx
x
C.yex4eD.
x
4(0x)sinx
ylog3x4loxg 3
二、填空题, 本大题共4小题,每小题3分,满分12分,把正确的答案写在题中横线上.11.函
数y的最大值为12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池,如果池底和
池壁每m2 的造价为200元和150元,那么池的最低造价为_________元.13.若直角三角形斜边长是1,则其内切圆半径的最大值是.14.判断下列不等式的证明过程中的正误,并指出错因。(1)若a、b∈R,则
baba
+≥2=2()abab
(2)若x,yR,则lgx+lgy≥2lgxlgy()
(3)若x0,则x+
4≥-2x=-4()xx
(4)若x∈R,则2x+2x≥22x2x=2()
三、解答题, 本大题共4小题,每小题12分,共48分,解答应写出
必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15..16.设a, b, c(0,),且a+b+c=1,求证:(1)(1)(1)8.a
1b
1c
17.已知正数a, b满足a+b=1(1)求ab的取值范围;的最小值.18.2)求ab
ab
(基本不等式
1.若a,bR,则aba
b2
2(当且仅当ab时取“=”)
2.若a,bR*,则ab2ab(当且仅当ab时取“=”)
3.若
x0,则
x
2(当且仅当x
x1时取“=”);若x0,则x12(当且仅当
x
x1时取“=”)
注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植
时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”。
应用一:求最值
例1:求下列函数的值域
(1)y=3x+
12x
(2)y=x+
x
解:(1)y=3x+
2≥22x
3x·
2=2x
6∴值域为[6,+∞)
(2)当x>0时,y=x+ ≥2
x
1x· =2;
x
x· =-2
x
当x<0时,y=x+ = -(- x-)≤-2
xx
∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)
1.已知2.当3.若
4已知
时,求
x,求函数y4x2
1的最大值 4x
5yx(82x)的最大值。
x,yR且2xy1,求
11的最小值 xy
a,b,x,yR且
ab
1,求xy
xy的最小值
应用二:利用均值不等式证明不等式
5.已知
6.正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
7.已知a、b、cR,且
a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2b2c2abbcca
111
abc1。求证:1118
abc
应用三:均值不等式与恒成立问题
8.已知
x0,y0且
1,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy
应用四:实际应用题及比较大小
1ab),则P,Q,R的大小关系是例:若ab1,Palgb,Q(lgalgb),Rlg(22
分析:∵ab1 ∴lga0,lgb0Q(lgalgb)algbp
ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。
9.建造一个容积为18m, 深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m 的造价为200元和150元,那么池的最低造价为多少元.
第四篇:基本不等式说课稿
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。以下是小编整理的基本不等式说课稿,希望对大家有帮助!
基本不等式说课稿1尊敬的各位考官大家好,我是今天的X号考生,今天我说课的题目是《基本不等式》。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学重难点、教学方法、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材
我认为要真正的教好一节课,首先就是要对教材熟悉,那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。《基本不等式》在人教A版高中数学必修五第三章第四节,本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题,对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
二、说学情
教材是我们教学的工具,是载体。但我们的教学是要面向学生的,高中学生本身身心已经趋于成熟,管理与教学难度较大,那么为了能够成为一个合格的高中教师,深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生思维能力已经非常成熟,能够有自己独立的思考,所以应该积极发挥这种优势,让学生独立思考探索。
三、说教学目标
根据以上对教材的分析以及对学情的把握,结合本节课的知识内容以及课标要求,我制定了如下的三维教学目标:
(一)知识与技能
掌握基本不等式的形式以及推导过程,会用基本不等式解决简单问题。
(二)过程与方法
经历基本不等式的推导与证明过程,提升逻辑推理能力。
(三)情感态度价值观
在猜想论证的过程中,体会数学的严谨性。
四、说教学重难点
并且我认为一节好的数学课,从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是:基本不等式的形式以及推导过程。而作为高中内容,命题的严谨性是必要的,所以本节课的教学难点是:基本不等式的推导以及证明过程。
五、说教法和学法
那么想要很好的呈现以上的想法,就需要教师合理设计教法和学法。根据本节课的内容特点,我认为应该选择讲授法,练习法,学生自主思考探索等教学方法。
六、说教学过程
而教学方法的具象化就是教学过程,基于新课标提出的教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。我试图通过我的教学过程,打造一个充满生命力的课堂。
(一)新课导入
教学过程的第一步是新课导入环节。
我先PPT出示的是北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的。
提问:你能在这个图中找到不等关系么?
引出课题。
通过展示会标并提问的形式,一方面可以引发学生的好奇心和求知欲,激发学生的学习兴趣;另一方面直入课题,可以很好的过渡到今天的主题内容:推导基本不等式。
(二)新知探索
接下来是教学中最重要的新知探索环节。
1.通过导入的问题,学生思考:通过赵爽弦图推可以发现哪些不等关系呢?
学生小组探究:利用赵爽弦图推导出基本不等式。
之后请学生把证明过程进行板书:
(2)“探究”,几何证明。
分析法是从结果入手,由果索因;几何法是由几何中的不等关系,进行证明。此类不等式的证明分析法理解简单,几何法稍难。学生通过两种证明过程,加深基本不等式的理解,还练习了证明方法。
至此本节课的主要教学内容已经完成,学生在我层次性问题的引导下,一步步通过自己的思考和探索,发现基本不等式,通过不同的方法证明了基本不等式。重点得以突出,难点得以突破。
(三)课堂练习
当然一节课只得出结论还是不够的,作为一节数学课要及时对知识进行应用。所以我设计了如下两道课堂练习:
(2)一段长为36m的篱笆围成矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大?最大面积是多少?
这样的问题能够兼顾到本节课的所有主要内容,并且问题具有层次性,能让学生初步感知基本不等式应用中“积定和最小,和定积最大”的规律,为后续基本不等式的应用做好了铺垫,利于学生的思维发展。
(四)小结作业
在课程的最后我会提问:今天有什么收获?
引导学生回顾:基本不等式以及推导证明过程。
本节课的课后作业我设计为开放性问题:思考还有什么方法能够证明基本不等式?可以利用书本资料,也可以上网查阅资料。
这样的作业设置能够有效激发学生思考,不限制学生的思维,真正做到以学生为主体,让学生学会自主学习。
基本不等式说课稿2各位评委老师,上午好!我是来应聘高中数学的一号考生,我今天说课的题目是《基本不等式》,下面我将从说教材,说学情,说教法,说学法,说教学过程,说板书设计六个方面展开我的说课,下面开始我的说课!
一、说教材。
1教材的地位和作用:
《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。它是在学完不等式性质,不等式的解法及线性规划等知识的基础上,对不等式的进一步研究,在不等式的证明和求最值的过程中有着广泛的应用。
2教学目标:
(1)知识与技能:学生能写出基本不等式,会应用基本不等式解决相关问题。
(2)过程与方法:学生通过观察图形,推导、证明等过程,培养观察、分析、归纳、总结的能力。
(3)情感态度与价值观:学生领略数学的实际应用价值,感受数学学习的乐趣。
3教学重难点:
重点:理解基本不等式的本质并会解决实际问题。
难点:基本不等式几何意义的理解。
二、说学情。
为了更好地实现教学目标,我将对学生情况进行一下简要分析。对于高一年级的学生来说,他们对不等式的知识有了一定的了解,但对基本不等式的理解运用能力不足。这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期,对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。这都将成为我组织教学的考虑因素。
三、说教法。
科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍,达到教育学的和谐完美与统一。根据本节课的特点并结合新课改的要求,在本节课中,我将采用讲授法、演示法、引导启发法等教学方法。
四、说学法。
教师的教是为了学生更好地学,结合本节内容,我将学法确定为自主探究法、分析归纳
法。充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参与学习,既培养了他们的学习兴趣,又使他们感受到了学习的乐趣。
五、说教学过程。
首先,我将利用多媒体战士2002年国际数学家大会的会标,让同学们边观察边思考:图上有哪些相等或不等关系?通过展示来激发学生的学习兴趣。接下来是新授环节。
我将会标抽象成几何图形,正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形,让学生自主探究,比较三角形面积之和与正方形面积的大小,从而让学生自主推导出不等式a 2+b 2>2ab,再通过引导启发,让学生自己将结论补充完整。接下来,我会提问:你们能给出它的证明吗?给两分钟的时间让学生自主探究。然后用讲授法给出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0),并给出具体的证明过程,强调等号成立的条件。基本不2
等式的证明是本节课的重点,先通过学生的自主探究,再通过我的讲授,学生可以更快地理解这一知识点。接下来是探究基本不等式的几何意义。先由学生自主思考两分钟的时间,然后通过我的讲授,让学生理解基本不等式的几何意义,最后通过几何画板动态演示,让学生更直观地感受基本不等式的几何意义。这样就突破了基本不等式的几何意义这一难点。接下来是巩固练习环节。
这个环节,我将利用两个例题对刚才所讲的知识进行巩固练习。
例1:证明(1)x +1≥2(x >0)x
(2)a +1≥2a(a ≥0)
例2:(1)用篱笆围一个面积为100m的矩形菜园。问矩形长宽各为多少时,所用篱笆最短?
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问长宽各为多少时面积最大?第一个例题不是课本例题,它比课本例题简单,这样循序渐进,有利于学生理解不等式的内涵,此处a、b不仅仅是一个字母,而是一个符号,可以是具体数字,也可以是一个多项式。对于这个例题,多数学生会仿照课本上的思路用分析法进行证明。
第二个例题是利用基本不等式求最值进而解决实际问题,体现了基本不等式的应用价值,而且例题包含了公式的正向应用和逆向应用,锻炼了学生的灵活使用能力。
下面是小结环节。我将让学生用两分钟的时间回顾本节课所学习的内容,并自己总结出本节的知识点。这样不但能巩固本节所学知识,而且能培养学生分析、归纳、总结的能力。22
然后是布置作业。为了在课后对所学的知识进行巩固,我将布置课后习题第2题,第4题作为练习题。
第五篇:基本不等式教案
基本不等式
【教学目标】
1、掌握基本不等式,能正确应用基本不等式的方法解决最值问题
2、用易错问题引入要研究的课题,通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解
3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】
教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点:基本不等式等号成立的条件 【教学过程】
一、设置情景,引发探究 问题一:x1有最小值吗? x2问题二:x31x322正确吗?
二、合作交流,研究课题
R中,a+b≥2ab,a+b≥2ab,当且仅当a=b时取到等号。22
22a2b2ab2 R中,当且仅当a=b时取到等号。ab,1122ab注意:
1、公式应用的条件
2、等号成立的条件
三、实例分析,深化理解 例
1、求所给下列各式的最小值(1)ya 1(a3)a31(a3)3235,a3
1当且仅当a3a31a4时,ymin5。a3x22x2(1x1)(2)y2x2ya3(x1)21x11 y2(x1)22(x1)在(-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,当且仅当x11(1x1)x0时,y有最小值1。22(x1)11+的最小值.xy总结:想求和的最小值,乘积为定值
例
2、已知正数x、y满足x+2y=1,(1)求xy的最大值(2)求解:(1)1=x+2y22xy,∴xy
1; 8(2)∵x、y为正数,且x+2y=1,1111∴+=(x+2y)(+)xyxy2yx=3++≥3+22,xy当且仅当
22yx=,即当x=2-1,y=1-时等号成立.2xy∴11+的最小值为3+22.(目的:发现同学中的等号不成立的错解)xy总结:想求乘积的最大值,和为定值
四、总结提高,明确要点
五、布置作业,复习巩固
教学反思:加强利用均值不等式及其他方法求最值的练习,在求最大(小)值时,有三个问题必须注意:第一,注意不等式成立的充分条件,即x>0,y>0(x+y≥2xy);第二,注意一定要出现积为定值或和为定值;第三,要注意等号成立的条件,若等号不成立,利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大(小)值.