不等关系及不等式学案

第一篇：不等关系及不等式学案

3.1.1 不等关系与不等式

姓名：班级：

一、学习目标：

1、了解不等关系和不等式；

2、掌握不等式的性质； 教学重点 不等式的基本性质

教学难点 不等式的基本性质的应用 教学过程：

二、预习检测：

1、实数大小比较的方法：



abab

ab作差比较法的一般步骤：

④

2、不等式的基本性质 性质1：（对称性）证明：

性质2：（传递性）证明：

性质3：（加法单调性）证明：

性质4：（乘法单调性）证明：

性质5：（相加法则）证明：

性质6：（相乘法则）证明：

性质7：证明：

性质8：证明：

三、例题精讲:

1比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.2．已知a＞b，ac＜bc，则有()

A．c＞0B．c＜0

C．c＝0

D．以上均有可能 3．下列命题正确的是()A．若a2

＞b2，则a＞b

B1a1

b，则a＜b

C．若ac＞bc，则a＞bDab，则a＜b

四、课堂练习：

1．已知a>b，c>d，且c、d不为0，那么下列不等式成立的是()

A．ad>bcB．ac>bd C．a－c>b－dD．a＋c>b＋d 2．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是()A．4a＜4bB．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4D．a－4＜b－4

3.设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.五、课后练习：

1．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()

A．b－a＞0B．a3＋b3

＜0

C．b＋a＜0D．a2－b2

＞0 2．若b＜0，a＋b＞0，则a－b的值()A．大于零B．大于或等于零 C．小于零D．小于或等于零 3．若x＞y，m＞n，则下列不等式正确的是()A．x－m＞y－nB．xm＞ym

C.xy

ym

D．m－y＞n－x

4．若x、y、z互不相等且x＋y＋z＝0，则下列说法不正确的为()

A．必有两数之和为正数 B．必有两数之和为负数 C．必有两数之积为正数 D．必有两数之积为负数

5．已知M＝x2＋y2

－4x＋2y，N＝－5，若x≠2或y≠－1，则()A．M>NB．M

6．若a＞b＞0，则11

ab

(n∈N，n≥2)．(填“＞”或“＜”)

7．11．已知－π2α＜β≤πα＋β

22的取值范围为__________．

8．已知c＞a＞b＞0，求证：

a

c－a＞

b

c－a

.9．若2＜x＜6,1＜y＜3，则x＋y的取值范围是________.10．若实数a＞b，则a2－ab________ba－b2

.(填“＞”或“＜”)11．已知2＜m＜4,3＜n＜5，求下列各式的取值范围：

(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；m

n

.六、课后小结与反思：

七、预习提纲：基本不等式

第二篇：不等关系与不等式教案

2009年潍坊市

高中数学教学能手评选教案

不 等 关

教学目标：

1、知识与技能目标：

与

不 等式

系

(1)、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。

（2）、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小。

2、过程与方法目标：

（1）教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。

（2）设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性。

3、态度情感与价值观目标：

（1）通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。

（2）培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。教学重点：实数（代数式）大小比较的基本方法：作差法。教学难点：判断差的符号

难点突破方法：

1、结合实例强化

2、小组合作探究

教法：“自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练”四环节教学法 学法：尝试、探究、讨论、总结、运用

教 具 ：多媒体、实物投影仪

板书设计：黑板中央板书课题，左侧依次书写定义、实数（代数式）大小的比较法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小结和作业。教学过程：

一、课前预习：（预习课本P38---P41页，约20分钟，思考以下问题）

1、如何表示不等关系？

2、如何用数轴表示两个数的大小？

3、怎样比较两个代数式的大小？

4、比较x2+2x与-x-3的大小

二、课内探究：

1、新课引入：

现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？

如：今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃，7℃≤t≤13℃

三角形ABC的两边之和大于第三边，AB+AC>BC a是一个非负实数，a≥0

又如：P61 速度与话费问题。这些问题的表示即是我们今天要研究的问题（板书课题）

2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）

问题一：不等式的定义

用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．

问题二：2≥2，这样写正确吗？“≥“的含义是什么？ 这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b，同样a≤b即为a＜b或a=b。

练习：P63 2 问题三：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？

A B a b 与数轴上的点是一一对应的,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大

问题四：数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？ 点的关系： 点A在点B右侧

点A在点B左侧

点A和点B重合

数的关系：a＞b、a=b、a＜b 问题五：如何比较两数大小？（小组讨论）

强调：“如果P，则q”为正确命题，记作同时qpq，如果pq，p，则记为pq。

3、典例剖析： 例1． 比较x2-x和 x-2的大小 解：（x2-x）-（x-2）

= x2-2x+2 =(x-1)2+1 因为(x-1)2≥0，所以（x2-x）-（x-2）＞0所以x2-x＞x-2。

变式训练：

比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。（答案：＜）

解：

∴

例2．当p,q都为正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与(px2+qy2)的大小

222解：（px+qy）-（px+qy）

=p(p-1)x+q(q-1)y+2pqxy 又p+q=1，所以p-1=-q,q-1=-p 222（px+qy）-（px+qy）

2=-pq(x-y)

因为p,q为正数，所以

2-pq(x-y)≤0

222pxqy(pxqy)≤所以当且仅当x=y时，等号成立

22训练： P63 3（答案 ＞）

做差比较法法的一般步骤：（教师引导，学生回答）（1）作差；

（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；

（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4）得出结论。

4、随堂测试(1)下列命题正确的是

A、若x≥10,则x＞10 B、若x2＞25,则x＞5 C、若x＞y，则x2＞y2 D、若x2＞y2，则∣x∣＞∣y∣(2)设m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则m,n的大小关系是

A、m＞n B、m＜n C、m=n D、与x、y取值有关(3)下列不等式中，恒成立的是 A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C.（4）设a＞0,b＞0,且a≠b,x=a3+b3,y=a2b+ab2试比较x,y的大小

aa

0 D.2>0 |a|

5、小结：(1)不等式的定义

(2)不等关系在数轴上的几何表示(3)做差法确定两数或代数式的大小

三、课后练习

分层作业

1、必做：（1）书面作业：课本P63习题B 1、2、4（2）预习作业：预习课本P64-P65，搞清以下问题：

a.不等式有哪些性质？ b.如何证明？

2、选做：（1）、已知x>y，且y≠0，比较与1的大小

（2）设a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且3

课后反思：

xy

第三篇：不等关系与不等式

课题：不等关系与不等式

学习目标：

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．

3．了解证明不等式的基本方法——比较法.重点、难点：

1、三角公式，三角函数的图象与性质，正余弦定理，并能灵活运用；

2、平面向量的有关知识并能灵活运用。

知识梳理：

1．两个实数比较大小的方法

a

a－b>0⇔ab

⇔ab(1)作差法

a－b＝0⇔aba，b∈R；

(2)作商法a－b<0⇔ab

a

b1⇔a＝ba∈R，b>0.ab

<1⇔a

2．不等式的性质 单向性：

(1)传递性：a>b，b>c⇒.(2)同向相加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(3)乘法单调性：

a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒； a>b>0，c>d>0⇒；a>b>0(n∈N*)⇒an>bn； a>b>0(n∈N*，n≥2)⇒a>b.双向性：a>b⇔bb1a1

b

(2)a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？

典型例题：

例1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．

(1)若a>b，则ac>bc；(2)若a>b，则ac2>bc2；(3)若aab>b2；(4)若a

ab

例2(1)设x

y2)(xy)与(x2

y2)(xy)的大小；

(2)已知a，b，c∈{正实数}，且a2b2c2，当n∈N，n>2时，比较cn

与an

bn的大小．

例3 设f(x)＝ax2bx ,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值

范围

例4 若a0,b0,ab2，则下列不等式对一切满足条件的a,b

恒成立的是（写出所有正确命题的编号）

(1)ab1;(2)ab2;(3)a2b22;(4)a3b33

(5)11

ab

2达标训练：

1．已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的()

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()

A．－m

a>b⇒ac>bc

⇒ac>bda>b

c>d⇒bc>bd

dc()

A．0B．1C．2D．3

反思小结

：

第四篇：不等关系与不等式的教学案例反思

《不等关系与不等式》的教学案例反思

新课程标准教学要求“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的现实背景”。比旧的教学大纲更侧重于通过具体的情境让学生感受新知，增加了对分析处理具体问题的要求。

教学过程安排：课题导入——探究发现——方法提炼——应用举例——探究练习——课堂小结——布置作业共7个环节。

教学重点是用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。教学难点是用不等式（组）正确表示出不等关系。

教学中我用城市主干道的限度标志和酸奶中脂肪和蛋白质的含量标准来让学生了解如何用不等式表示不等关系，知道要先找表示不等关系的标志性词语。然后用由糖水加糖变甜的生活经验引入，学生容易从中探究出原理，这样不仅让学生感受到生活中不等关系的存在，也知道生活中数学无处不在，激发学生学习兴趣。

下一步了解不等关系在工业生产中的应用，让学生上黑板写不等关系，然后写出相应的不等式组。另外，让学生讲解写的不等式组的含义，和题目中的条件的对应。这个环节，学生完成得很好，讲解完后，同学们主动鼓掌表示赞赏。

最后在不等关系应用上作进一步延伸，探究图像中的不等关系。引导学生反思学习方式，提高思维的严谨性，培养归纳总结的习惯，感受成功的喜悦。

这节课，我基本上完成了教学任务，感觉重难点得到很好的体现和突破。教学过程中学生能够积极参与，课堂气氛比较活跃。在学生回答问题后，我都会用激励的语言来肯定学生，以激发学生参与课堂的兴趣，保持较好的学习状态。今后教学中还需要加强理念的学习和对学生的研究，更好的把握教学的每个过程。

第五篇：不等式与不等关系二教学教案

不等关系与不等式

（二）教学重、难点

重点：理解不等式的性质及其证明.难点：利用不等式的基本性质证明不等式。

教学过程

（一）复习提问

1、比较两实数大小的理论依据是什么？

2、“作差法”比较两实数的大小的一般步骤.3、初中我们学过的不等式的基本性质是什么?

基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.基本性质3不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.其数学含义：

(1)若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；

ab＞； cc

ab(3)若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜..cc(2)若a＞b，c＞0，则ac＞bc，（二）新授

常用的不等式的基本性质

（1）ab,ba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）

（3）ab,acbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab0,cd0acbd（同向不等式的可乘性）

n（6）ab0,nN,n1a

例1：已知ab0,c0,求证：bn,（可乘方性、可开方性）cc ab

例2：如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求x＋y，x－2y及x的取值范围.y

∵30＜x＜42，1６＜y＜24∴－4８＜－2y＜－32，∴30＋1６＜x＋y＜42＋24即4６＜x＋y＜６６；

∴30－4８＜x－2y＜42－32即－1８＜x－2y＜10；

30x42,24y16

5x21即.4y8

例3．已知

2

2，求

2,

2的取值范围。

（三）小结：不等式的性质及其证明，利用不等式的基本性质证明不等式。