1.示范教案(3.1.1 不等关系与不等式(一))（共五篇）

第一篇：1.示范教案(3.1.1 不等关系与不等式(一))

3.1 不等关系与不等式

3.1.1 不等关系与不等式

（一）

从容说课

通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.

根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值. 教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系； 2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题. 教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系； 2.了解不等式或不等式组的实际背景； 3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程

导入新课

师 日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？ 生 实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.

生 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xa＜xb.(老师协助画出数轴草图)

生 实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零. 实例4:两点之间线段最短.

实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬) 推进新课

师 同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.

(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］

师 能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?

生 可以用不等式或不等式组来表示.

师 什么是不等式呢?

生 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.

（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）

师 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.

（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）

［合作探究］

生 我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来. 师 说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?

（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）

生 上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃. 生 可以表示为x≥0.

（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画） 生 |AC|+|BC|＞|AB|

(只需结合上述三角形草图). 生 |AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.

生 |AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以. 生 如果用v表示速度，则v≤40 km/h. 生 f≥2.5%或p≥2.3%.

(此时,一片安静,同学们在积极思考)

生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际

f2.5%,问题中的不等量关系，即可以表示为

p2.3%.生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%. 师 同学们看这两位同学的观点是否正确? 生(齐答)大家齐声说，都可以.

师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达. 课堂练习

教科书第83页练习1、2.

(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）

【问题1】 设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点. ［活动与探究］

师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］

师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?

(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A作AC⊥平面α于点C，则d=|AC|≤|AB|. 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形. 师 请同学们继续来处理问题2.

［合作探究］ 【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?

生 可设杂志的定价为x元，则销售量就减少师 那么销售量变为多少呢？如何表示？ 生 可以表示为(8x2.50.10.2)万本，则总收入为(8x2.50.10.2)x万元.

x2.50.10.2)x≥20〕

x2.50.10.2万本.

〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8师 是否有同学还有其他的解题思路？ 生 可设杂志的单价提高了0.1n元，(n∈N)，

（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师 为什么可以这样设？ 生 我只考虑单价的增量. 师 很好，请继续讲.

生 那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.

师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间） 师 请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］

【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?

师 假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.

生 截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍. 生 截得两种钢管的数量都不能为负.

师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？ 生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.

生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 500x600y40000,3xy, x0,y0,x,yN.*师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.

课堂练习

练习：若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?

分析：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学化地表示出来就是： 698x518y4000,x0, y0,x,yN.（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N） 课堂小结

师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？ 生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.

生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.

生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.

师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.

（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业

第84页习题3.1A组4、5.

板书设计

不等关系与不等式

（一）实例

方法引导

方法归纳 如何用不等式或不等式组表示

实例剖析（知识方法应用）

小结 实际问题中不等量关系？

示范解题

备课资料

一、备用习题

1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.

4xy10,18x15y66,分析：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则

x0,y0.2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.

12xy84,10x＜y,分析：设该班共有x人，这笔开学费用共y元，则.

11xy40,xN*.3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.

分析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目， xy10,0.3x0.1y1.8,由题意，知

x0,y0.4.某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件B产品在两个车间都需经过1.6 h，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.

0.8x1.6y240,2.4x1.6y288,分析：设该企业分别生产A产品x件、B产品y件，则

x,y0x,yZ.

二、课外探究 开放性问题

xy50,xy100,已知：不等式组x1,你能举出符合此不等式组的实际问题吗？

y1,x,yN,3.1.2 不等关系与不等式

（二）

从容说课

本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.

根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；

2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质； 3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.

教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形； 2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式. 教具准备

投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;

2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;

3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用; 3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程

导入新课

师 上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解. 推进新课

师 我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？

生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.

师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？

（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）

师 一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答） 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）

［过程引导］

师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a＜ba+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞ba+c＞b+c（或a-c＞b-c）. 性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或＜caacbcbc)；a＞b且c＞0ac＞bc(或＞cabc).). 性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或＞)；a＞b且c＜0ac＜bc(或＜cabc（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）

师 性质

2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？ 生 对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数. 师 很好，c可以为零吗？

生 c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.

师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.

师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）

生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.

（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位） 师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）

［教师精讲］

师 若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？

生 显然正确.

师 类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,

a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.

师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.

师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？ 生 只要考察它们的差就可以了.

师 很好.请同学们思考下面这个问题.

(此时，老师用投影仪给出问题) ［合作探究］

【问题1】 已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，

22242由x≠0，得x＞0，从而(x+1)＞x+x+1.

（学生对x≠0，得x2＞0在说理过程中往往会忽略）

师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 【例1】 比较下列各组数的大小（a≠b）.(1)ab24与21a1b3(a＞0,b＞0);

（2）a－b与4a（a－b）.

师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 解：（1）ab221a1bab22abab(ab)4ab2(ab)2

4(ab)22(ab)，

∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0. ∴(ab)22(ab)＞0,即ab2＞21a1b.

（2）a4-b4-4a3(a-b)

=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)

=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］ =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)

222=-(a-b)［2a+(a+b)］,

∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号), 又a≠b,∴(a-b)＞0,2a+(a+b)＞0. ∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.

∴a4-b4＜4a3(a-b).

师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)

［合作探究］ 【问题2】 求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；（2）a＞ba+c＞b+c.

师 请同学们思考第一小问该如何证明？

生 可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.

师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？ 2

22生 ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.

师 这位同学证明得是否正确？ 生 正确.

师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.

生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件. 师

回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.

（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路） 师 请同学继续思考第二小问该如何证明？

生 可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，∵a＞b，∴a-b＞0，∴a+c＞b+c.

师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？ 生（齐声）没问题.

师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.

师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）

(此时，老师用投影仪给出本课时的例2) ［例题剖析］

已知a＞b＞0,c＜0，求证：＞accb.

师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？

生 可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数∴＞accb1ab，得

1b＞

1a，即

1a＜

1bb.又∵c＜0，.

师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求. 课堂小结

常用的不等式的基本性质及证明：（1）a＞b,b＞c a＞c;

a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0(a-b)+(b-c)＞0a-c＞0a＞c.（2）a＞ba+c＞b+c;

a＞ba-b＞0(a-b)+(c-c)＞0(a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0ac＞bc;

a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0(a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.（4）a＞b,c＜0ac＜bc.

a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0(a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc.布置作业

课本第84页习题3.1A组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.

板书设计

不等关系与不等式

（二）引入

方法引导

方法归纳 不等式和实数的基本性质

实例剖析（知识方法应用）

小结

示范解题

第二篇：不等关系与不等式教案

2009年潍坊市

高中数学教学能手评选教案

不 等 关

教学目标：

1、知识与技能目标：

与

不 等式

系

(1)、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。

（2）、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小。

2、过程与方法目标：

（1）教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。

（2）设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性。

3、态度情感与价值观目标：

（1）通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。

（2）培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。教学重点：实数（代数式）大小比较的基本方法：作差法。教学难点：判断差的符号

难点突破方法：

1、结合实例强化

2、小组合作探究

教法：“自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练”四环节教学法 学法：尝试、探究、讨论、总结、运用

教 具 ：多媒体、实物投影仪

板书设计：黑板中央板书课题，左侧依次书写定义、实数（代数式）大小的比较法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小结和作业。教学过程：

一、课前预习：（预习课本P38---P41页，约20分钟，思考以下问题）

1、如何表示不等关系？

2、如何用数轴表示两个数的大小？

3、怎样比较两个代数式的大小？

4、比较x2+2x与-x-3的大小

二、课内探究：

1、新课引入：

现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？

如：今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃，7℃≤t≤13℃

三角形ABC的两边之和大于第三边，AB+AC>BC a是一个非负实数，a≥0

又如：P61 速度与话费问题。这些问题的表示即是我们今天要研究的问题（板书课题）

2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）

问题一：不等式的定义

用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．

问题二：2≥2，这样写正确吗？“≥“的含义是什么？ 这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b，同样a≤b即为a＜b或a=b。

练习：P63 2 问题三：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？

A B a b 与数轴上的点是一一对应的,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大

问题四：数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？ 点的关系： 点A在点B右侧

点A在点B左侧

点A和点B重合

数的关系：a＞b、a=b、a＜b 问题五：如何比较两数大小？（小组讨论）

强调：“如果P，则q”为正确命题，记作同时qpq，如果pq，p，则记为pq。

3、典例剖析： 例1． 比较x2-x和 x-2的大小 解：（x2-x）-（x-2）

= x2-2x+2 =(x-1)2+1 因为(x-1)2≥0，所以（x2-x）-（x-2）＞0所以x2-x＞x-2。

变式训练：

比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。（答案：＜）

解：

∴

例2．当p,q都为正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与(px2+qy2)的大小

222解：（px+qy）-（px+qy）

=p(p-1)x+q(q-1)y+2pqxy 又p+q=1，所以p-1=-q,q-1=-p 222（px+qy）-（px+qy）

2=-pq(x-y)

因为p,q为正数，所以

2-pq(x-y)≤0

222pxqy(pxqy)≤所以当且仅当x=y时，等号成立

22训练： P63 3（答案 ＞）

做差比较法法的一般步骤：（教师引导，学生回答）（1）作差；

（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；

（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4）得出结论。

4、随堂测试(1)下列命题正确的是

A、若x≥10,则x＞10 B、若x2＞25,则x＞5 C、若x＞y，则x2＞y2 D、若x2＞y2，则∣x∣＞∣y∣(2)设m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则m,n的大小关系是

A、m＞n B、m＜n C、m=n D、与x、y取值有关(3)下列不等式中，恒成立的是 A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C.（4）设a＞0,b＞0,且a≠b,x=a3+b3,y=a2b+ab2试比较x,y的大小

aa

0 D.2>0 |a|

5、小结：(1)不等式的定义

(2)不等关系在数轴上的几何表示(3)做差法确定两数或代数式的大小

三、课后练习

分层作业

1、必做：（1）书面作业：课本P63习题B 1、2、4（2）预习作业：预习课本P64-P65，搞清以下问题：

a.不等式有哪些性质？ b.如何证明？

2、选做：（1）、已知x>y，且y≠0，比较与1的大小

（2）设a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且3

课后反思：

xy

第三篇：备课资料(3.1.1 不等关系与不等式(一))

备课资料

备用习题

1.已知x＞y＞z＞0，求证：y

xy＞z

xz.

分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.

证明：∵x＞y,∴x-y＞0.∴1

xy＞0.

又y＞z,∴y

xy＞z

xy.①

∵y＞z,∴-y＜-z.∴x-y＜x-z.

∴0＜x-y＜x-z.∴1

xy

z

xz

z

xz＞1xz. 又z＞0,∴zxyz＞.② 由①②得xy＞.

小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下.

2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和－2m+5；(2)a2-4a+3和－4a+1.

点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法： 若A－B＞0，则A＞B；若A－B=0，则A=B；若A－B＜0，则A＜B.

这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法.解：(1)∵（m-2m+5）-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2，

∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

∴m2-2m+5≥-2m+5.

(2)∵(a2-4a+3)-(-4a+1)

=a2-4a+3+4a-1

=a+2,

∵a2≥0，∴a2+2≥2＞0.

∴a-4a+3＞-4a+1.

222

第四篇：高中数学必修五 不等关系与不等式 教案

第三章 不等式

必修5 3.1 不等关系与不等式

一、教学目标

1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；

2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；

3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.二、教学重点：

用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、教学难点：

使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程：

（一）导入课题

现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系 我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.提问：

1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于).2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点：

1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式ab的含义.不等式ab应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b，或者a=b”，等价于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一个正确，则ab正确.3.实数比较大小的依据与方法.（1）如果ab是正数，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是负数，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab<0a

1.用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数；

（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”； 解：（1）ab0；（2）h4.2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用

不等式表示上述关系（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解：由题意知5010ab60,5010ab60,5011a260

ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7<0, ∴（a+3）（a-5）<（a+2）（a-4）.（三）提升训练

1.比较x23与3x的大小，其中xR.222233333解：x33xx3x3x3x3x

24422220，x233x.方法总结：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：

第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x，y，则x，2x5y20,y应满足关系式xN，yN.3.一个盒中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的，白球与黑球的个数之和至少

为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（x,y,zN*）.yxz,解：32

yz55.（四）课后巩固

p74练习题：1,2.p75习题3.1 A组：1,2.4

第五篇：不等关系及不等式学案

3.1.1 不等关系与不等式

姓名：班级：

一、学习目标：

1、了解不等关系和不等式；

2、掌握不等式的性质； 教学重点 不等式的基本性质

教学难点 不等式的基本性质的应用 教学过程：

二、预习检测：

1、实数大小比较的方法：



abab

ab作差比较法的一般步骤：

④

2、不等式的基本性质 性质1：（对称性）证明：

性质2：（传递性）证明：

性质3：（加法单调性）证明：

性质4：（乘法单调性）证明：

性质5：（相加法则）证明：

性质6：（相乘法则）证明：

性质7：证明：

性质8：证明：

三、例题精讲:

1比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.2．已知a＞b，ac＜bc，则有()

A．c＞0B．c＜0

C．c＝0

D．以上均有可能 3．下列命题正确的是()A．若a2

＞b2，则a＞b

B1a1

b，则a＜b

C．若ac＞bc，则a＞bDab，则a＜b

四、课堂练习：

1．已知a>b，c>d，且c、d不为0，那么下列不等式成立的是()

A．ad>bcB．ac>bd C．a－c>b－dD．a＋c>b＋d 2．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是()A．4a＜4bB．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4D．a－4＜b－4

3.设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.五、课后练习：

1．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()

A．b－a＞0B．a3＋b3

＜0

C．b＋a＜0D．a2－b2

＞0 2．若b＜0，a＋b＞0，则a－b的值()A．大于零B．大于或等于零 C．小于零D．小于或等于零 3．若x＞y，m＞n，则下列不等式正确的是()A．x－m＞y－nB．xm＞ym

C.xy

ym

D．m－y＞n－x

4．若x、y、z互不相等且x＋y＋z＝0，则下列说法不正确的为()

A．必有两数之和为正数 B．必有两数之和为负数 C．必有两数之积为正数 D．必有两数之积为负数

5．已知M＝x2＋y2

－4x＋2y，N＝－5，若x≠2或y≠－1，则()A．M>NB．M

6．若a＞b＞0，则11

ab

(n∈N，n≥2)．(填“＞”或“＜”)

7．11．已知－π2α＜β≤πα＋β

22的取值范围为__________．

8．已知c＞a＞b＞0，求证：

a

c－a＞

b

c－a

.9．若2＜x＜6,1＜y＜3，则x＋y的取值范围是________.10．若实数a＞b，则a2－ab________ba－b2

.(填“＞”或“＜”)11．已知2＜m＜4,3＜n＜5，求下列各式的取值范围：

(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；m

n

.六、课后小结与反思：

七、预习提纲：基本不等式