专题：等式约束条件下不等式的范围问题

第一篇：专题：等式约束条件下不等式的范围问题

专题：等式约束条件下不等式的范围问题

1.求解等式约束条件下不等式的范围问

题，关键在于对等式条件的应用。主要分为三类方法：

 代入消元法：转化为二次函数或

对勾函数等的值域问题。 三角换元法：引入三角函数新

元，将问题转化为三角函数的值5.域问题。

 均值不等式：综合应用等式和待

求式，转化为均值不等式的问题。

6.典型题例——等式条件下不等式的范围问题：

1.设a，bRb2

7.，且a2

2

1，求yab2的最大值。

8.2.设x0，y0，且(x1)(y1)4，求xy的最小值。

9.3.（06重庆理科）若设a，b，cR且

a(abc)bc42，则

2abc的最小值为？

A.31B.

1C.22D.22 4.（07重庆）若a是12b与12b的等

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比中项，则

2ab

a2b的最大值为？

A.22

15B.4 C.55D.22

已知a0，b0，且

1a3

b

1，则a2b的最小值为？

A.726B.23 C.72D.14

设a，bR，且a22b2

6则ab的最小值为？

已知设x0，y0，且

2x3

y

2，则xy的最小值是？ 已知设x0，y0，且

xy4xy12，则xy的最小值是？

已

知

3a22b25，试求

y(2a21)(b22)的最大值。

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第二篇：从等式约束的最小化问题说起

从等式约束的最小化问题说起：

上面问题的拉格朗日表达式为：

也就是前面的最小化问题可以写为：

minxmaxyL(x,y)。它对应的对偶问题为：

maxy minxL(x,y)。下面是用来求解此对偶问题的对偶上升迭代方法：

这个方法在满足一些比较强的假设下可以证明收敛。

为了弱化对偶上升方法的强假设性，一些研究者在上世纪60年代提出使用扩展拉格朗日表达式（augmented Lagrangian）代替原来的拉格朗日表达式：

其中ρ>0。对应上面的对偶上升方法，得到下面的乘子法（method of multipliers）：

注意，乘子法里把第二个式子里的αk改成了扩展拉格朗日表达式中引入的ρ。这不是一个随意行为，而是有理论依据的。利用L(x,y)可以导出上面最小化问题对应的原始和对偶可行性条件分别为（∂L∂y=0，∂L∂x=0）：

既然xk+1 最小化 Lρ(x,yk)，有：

上面最后一个等式就是利用了yk+1=yk+ρ(Axk+1−b)。从上面可知，这种yk+1的取法使得(xk+1,yk+1)满足对偶可行条件∂L∂x=0。而原始可行条件在迭代过程中逐渐成立。

乘子法弱化了对偶上升法的收敛条件，但由于在x-minimization步引入了二次项而导致无法把x分开进行求解（详见[1])。而接下来要讲的Alternating Direction Method of Multipliers(ADMM)就是期望结合乘子法的弱条件的收敛性以及对偶上升法的可分解求解性。ADMM求解以下形式的最小化问题：

其对应的扩展拉格朗日表达式为：

ADMM包括以下迭代步骤：

ADMM其实和乘子法很像，只是乘子法里把x和z放一块求解，而ADMM是分开求解，类似迭代一步的Gauss-Seidel方法。其中(3.4)中的推导类似于乘子法，只是使用了zk+1最小化Lρ(xk+1,z,yk)：

其中用到了z对应的对偶可行性式子：

∂L∂z=∇g(z)+BTy=0

定义新变量u=1ρy，那么(3.2-3.4)中的迭代可以变为以下形式：

在真正求解时通常会使用所谓的over-relaxation方法，也即在z和u中使用下面的表达式代替其中的Axk+1：

αkAxk+1−(1−αk)(Bzk−c)，其中αk为relaxation因子。有实验表明αk∈[1.5,1.8]可以改进收敛性([2])。

下面让我们看看ADMM怎么被用来求解大型的机器学习模型。所谓的大型，要不就是样本数太多，或者样本的维数太高。下面我们只考虑第一种情况，关于第二种情况感兴趣的读者可以参见最后的参考文献[1, 2]。样本数太多无法一次全部导入内存，常见的处理方式是使用分布式系统，把样本分块，使得每块样本能导入到一台机器的内存中。当然，我们要的是一个最终模型，它的训练过程利用了所有的样本数据。常见的机器学习模型如下： minimize x∑Jj=1fj(x)+g(x)，其中x为模型参数，fj(x)对应第j个样本的损失函数，而g(x)为惩罚系数，如g(x)=||x||1。

假设把J个样本分成N份，每份可以导入内存。此时我们把上面的问题重写为下面的形式：

除了把目标函数分成N块，还额外加了N个等式约束，使得利用每块样本计算出来的模型参数xi都相等。那么，ADMM中的求解步骤(3.2)-(3.4)变为：

例如求解L1惩罚的LR模型，其迭代步骤如下（u=1ρy，g(z)=λ||z||1）：

其中x¯≐1N∑Nixi，y¯的定义类似。在分布式情况下，为了计算方便通常会把u的更新步骤挪在最前面，这样u和x的更新可以放在一块：

ADMM的框架确实很牛逼，把一个大问题分成可分布式同时求解的多个小问题。理论上，ADMM的框架可以解决大部分实际中的大尺度问题。我自己全部实现了一遍这个框架，主要用于求解LR问题，下面说说我碰到的一些问题： 1.收敛不够快，往往需要迭代几十步。整体速度主要依赖于xi更新时所使用的优化方法，个人建议使用liblinear里算法，但是不能直接拿来就用，需要做一些调整。2.停止准则和ρ的选取：停止准则主要考量的是xi和z之间的差异和它们本身的变动情况，但这些值又受ρ的取值的影响。它们之间如何权衡并无定法。个人建议使用模型在测试集上的效果来确定是否停止迭代。

3.不适合MapReduce框架实现：需要保证对数据的分割自始至终都一致；用MPI实现的话相对于其他算法又未必有什么优势（如L-BFGS、OwLQN等）。

4.relaxation步骤要谨慎：α的取值依赖于具体的问题，很多时候的确可以加快收敛速度，但对有些问题甚至可能带来不收敛的后果。用的时候不论是用x-> z-> u的更新步骤，还是用u-> x-> z的更新步骤，在u步使用的x_hat要和在z步使用的相同（使用旧的z），而不是使用z步刚更新的z重算。

5.warm start 和子问题求解逐渐精确的策略可以降低xi更新时的耗时，但也使得算法更加复杂，需要设定的参数也增加了。

我们使用ADMM算法对CSR优化问题进行求解，我们考虑CSR的优化问题PCSR的等价形式：

min(1/2)Axy2x1lRnx2

(3-1-1)其中lS是集合S的指示函数，即，如果xS，ls(x)0；如果xS，ls(x)。现在，我们将ADMM用到下面的等式中，12Axy2

(3-1-2)2f2(x)x1lRnx

(3-1-3)f1(x)GI

(3-1-4)由ADMM算法第3步，我们可以得到：

xk1B1w

(3-1-5)在公式中有：

ADMM的第4步可以简单写成：

uk1argmin(1/2)uvku22BATAI

(3-1-6)

wATy(ukdk)

(/u)u1lRnu(3-1-7)

(3-1-8)其中，vkxk1dk。去除ln项，（3-1-8）的解将是著名的软阈值：



uk1soft(vk,/)

(3-1-9)

一个简单的推理的结论，ANC项ln映射到第一象限，所以

uk1max{0,soft(vk,/)}

(3-1-10)在这里最大值是分支意义上的最大值。SUnSAL算法如下：

算法1：SUnSAL算法：

1.设k0,选择0,u0,d02.重复3.wATy(ukdk)4.xk1B1w5.vkxk1dk 6.uk1max{0,soft(vk,/)}

7.dk1dkxk1uk18.kk19.直到满足停止准则目标函数（3-1-1）是正定的，凸的，下半连续，强制性。所以，它具有一个极小非空集。（3-1-2）和（3-1-3）中的函数f1和f2是封闭的，并且GI很明显是列满秩，所以，定理1可以保证SUnSAL收敛。

对于计算复杂性，我们应指出的是，在高光谱应用中矩阵的秩不再是频带的数量，通常是几百次。所以B1很容易预计算。每次算法的复杂度都是(n2)，这对应着矩阵向量的乘积。

第三篇：幸福等式

幸福等式

幸福=n+1=生活。

幸福无处不在——有一个老太太，她的大儿子做了洗染店老板，小儿子做了雨伞店老板。老太太却天天为他们忧虑：雨天，担心洗染店衣服晾不干；晴天，生怕雨伞店雨伞卖不出„„

摘不到的星星，总是最闪亮的；得不到的东西，总是最宝贵的。其实，老太太是幸福的，雨天，小儿子生意兴隆；晴天，大儿子顾客盈门。这不就是一种令人满足、向往的生活吗？

我们总是羡慕别人的幸福生活，便忽视了自己身边的幸福——

学习=幸福

学习是幸福的，因为我们在汲取只是养分。或许有人觉得学习苦闷不堪，但人生就是一个不断学习的过程。我们就像是一个方程式，而学习就是未知数“x”。“学到老，活到老”，我们不知道“x”是多少，也不知道要多久才能解开它。可能是我们不懂解开它，可能是我们不想解开它。我们永远也离不开它，因为，学习给予我们养分，让我们浸泡在无限幸福之中。

助人=幸福

助人是幸福的，因为我们在奉献爱心。助人有时候会“吃亏”，甚至惹来不必要的麻烦。但是，“吃小亏，赚大便宜”。助人不仅仅是付出，更是一种收获。“赠人玫瑰，手有余香”。当我们付出的越多，内心就越幸福。

知足=幸福

知足是幸福的，因为你拥有的一切都是弥足珍贵的。永远不要羡慕别人的生活，即使那个人看起来快乐富足。幸福，如人饮水，冷暖自知。所谓“知足者常乐”，懂得满足自己的生活，也是一种幸福。

生活=学习+助人+„„=幸福

生活与幸福本就是一个等式，生活源于点点幸福，幸福源于种种生活。只要用心呼吸，身旁的空气也充满幸福的味道。

旗峰中学初二:梦之彗星

第四篇：等式教案

等式及其性质

【教学内容】

教科书第77页例

1、例2。【教学目标】

1认识等式，说出等式的意义。

2知道等量并会从实际情境中找出等量。3理解和掌握等式的基本性质。4 能对等式的性质进行简单应用。【教学重、难点】 1理解等式的意义。

2能从实际情境中找出等量并写出等式。3 理解等式的基本性质及简单应用。【教具准备】 课件。

【教学过程】

一、复习导入 课件出示：

1、用含字母的式子表示数量关系。

2、用含字母的式子表示数量关系书写要求填空。学生独立完成后汇报结果。

师：通过刚才的练习，同学们都能含字母的式子表示数量关系，提问：生活中有没有相等的数量关系呢？

二、引入新课：

（一）等式的意义 师：让我们来看看云岭小学组织五年级同学们清明节扫墓活动。课件出示主题图。师：你都知道了哪些数学信息？

生：五年级共有55名学生，中巴车上有17人，大巴车上有38人。分析数量关系，建立模型

师：要表示中巴车上的人数，可以怎样表示？ 生：可以用17表示。（师板书17人）

师：还能用其他的方式表示中巴车上的人数吗？ 同桌议一议。

生：我们还可以用（55-38）人表示中巴车上的人数。师板书：（55-38）人。

师：同学们真会动脑筋，用总人数-大巴车上的人数=中巴车上的人数。

师：请观察，（指板书）现在我们用了哪些方法可以表示“中巴车上的人数”？ 同桌交流。抽生汇报。

生：中巴车上的人数可以用17人表示，还可以用（55-38）人表示。师：那它们的大小怎样？ 生：大小相等。师小结：一个量可以直接表示出来，也可以通过另外的量间接表示出来，这里的17人和（55-38）人都表示的是中巴车上的人数。

师：数学上把表示等量的数或式子可以用等号连接起来。在17和（55-38）之间加上等号。（板书：添等号）提问：还能找出哪些等量关系？

学生交流，抽学生说。（55=17+38，38=55-17等）

师：用字母a表示中巴车上的人数，用b表示大巴车上的人数，又可写出哪些等量关系呢？

生：抽学生说，师：写出等量关系。板书：表示相等关系的式子是等式。

试一试，在实际生活情景中，找出等式。出示课件 生：交流找出等式 并板书出来。提问：你知道什么是等式了吗？ 生：知道

哪我们来看看是否掌握了呢？

出示题，判断下列哪些是等式？（题中表示不等关系的式子叫什么呢？不等式）

（二）等式有什么性质呢？

同学们知道天平称吗？ 课件出示：天平，认识天平及天平原理。师：天平平衡，说明什么？ 生：说明左右两边的质量相同。

师：所以，可以用等式表示它们的关系。（板书：a=b）探索性质1：

师：根据这幅图，你能写一个怎样的等式？ 生：2a=b。

课件出示：天平的左边增加1个100g的物体，天平失去平衡。师：天平现在还是平衡的吗？ 生：不是。

师：现在你能找到等量关系吗？ 生：不能找到。

师：怎样才能让天平重新平衡呢？你能想出哪些方法？ 小组讨论，请学生说一说想法。

生1：可以在天平的右边也放100g的东西，天平可能重新平衡。观察天平你能写出一个等式吗？（能，2a+100=b+100）师：你发现了等式两边有什么变化？ 生：都加100，仍是等式。

师：现在两边同时减100，天平平衡吗？ 生：发现天平仍然平衡。

师：你又能写出一个等式吗？（生：能，2a+100-100=b+100-100）师：观察三个等式你发现等式有什么性质？ 课件：出示等式性质1 探索性质2：

师：右边增加b后，天平平衡吗？ 生：不平衡（右边质量是原来的2倍。）师：怎样才能使天平平衡呢？

生：左边也放原来的2倍，天平就平衡。生：右边增加后的质量是原来的2倍。

师：变化前和变化后，天平都处于平衡状态，所以可以把这两组算式用等号连接起来。

教师板书：教师板书：2a×2=b×2 师：你能得到什么结论呢？

生：如果天平两边的质量同时扩大2倍，天平依然平衡。

师：如果同时扩大5倍、10倍、15倍呢？天平也平衡吗？猜一猜。生：肯定也平衡。

师：你们的猜测是正确的，只要两边同时扩大相同的倍数，天平仍然平衡。（课件出示）

师：刚才的实验是“两边同时扩大相同的倍数”，这让我想到了，假如两边同时缩小相同的倍数，天平也会平衡吗？

课件出示：两边同时缩小相同的倍数，天平也平衡。师：你发现等式又有什么性质呢？

生1：在等式的两边同时乘或同时除以一个相同的数，等式依然成立。师：在同时乘或除以一个数时，有没有需要注意的地方？ 生2：除以的这个数不能为0。

师：你提醒得很好。今天，我们通过大量的实验，得到了这个非常重要的结论，它将为我们后面“方程”的学习打好基础。指导学生勾出书上第78页的结论，齐读。师：这个结论就是“等式的性质”。（板书）

三、巩固应用

课件出示：等式性质简单应用

学生完成，抽学生说一说。课堂活动，根据时间情况安排。

四、课堂小结：你有什么收获或质疑？

1、等式意义

2、等式基本性质。

第五篇：等式的性质

等式的性质

教学

内 容 课本P3～4页例

3、例4及相应的试一试、练一练，练习一第4～6题。

三维目标 1.让学生在具体的情境中初步理解“等式的两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”的性质解简单的方程。

2.让学生在观察、分析、概括、归纳和交流的过程中，进一步积累数学活动经验，感受方程的思想方法，发展初步的抽象思维能力。培养学生的能力。

3.让学生在学习和探索的过程中，进一步培养主动与他人合作交流、自觉检验等习惯，获得一些成功的体验。教学重点 理解并掌握等式的性质，解简单的方程。教学难点 用方程表示数量关系。教学资源 天平、挂图、小黑板 学 程 设 计 导 航

一、揭示课题，认定目标。（2分钟）

1.判断下列各题，哪些是等式？哪些是方程？ 9-X=4 20+30=50 3+X>8 y-17=43 在教师组织下，学生讨论交流回答问题 学生明确本课学习的内容及目标。

二、自主学习，建构模型。（15分钟）

1.学习例3 出示图，学生根据图独立填空。

2.提问：比较两边的算式，你有什么发现，在小组里说说，全班交流。

3.教学例4

学生自学，不懂的问题和同组同学交流，能解决的就小组内交流。

全班交流：例4中还有什么不懂的地方提出来，能由学生解决的就由学生解决，学生解决不了的教师解决。

学生独立完成后集体订正，重点帮助有困难的学生，针对学生出错的地方及时分析错误原因，帮助他们弄懂。

三、组织练习，完善认知.（12分钟）

1.完成“试一试” 学生独立解答（一人板演）2.独立完成“练一练”第1题 学生独立完成填空

3.“练一练”的第2题

学生独立解答，并选择两题（加法方程与减法方程各一个）和同桌相互说说检验过程，反馈计算情况。

四、当堂检测，评价反思（10分钟）1.完成练习一第4题。

学生完成填空后同桌交流。

2.做练习一第5题。要求选择加法方程与减法方程各一个，自己说说检验过程。3.完成练习一第6题。

先独立思考，学生回答，并说说自己的想法。【板块一】

1.提问：什么是方程？ 2.谈话：上节课我们已经认识了什么是方程，这节课我们继续学习与等适合方程有关的知识。3.揭示课题：等式的性质。【板块二】

1.根据学生的回答，板书：

20=20

20＋10=20＋10 X=50

X＋20=50＋20

50＋a=50＋a 50＋a－a=50＋a－a X＋20=70

X＋20－20=70－20

2.引导学生说出：等式两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍然是等式。这是等式的性质。3.提问：你能根据图中的意思列出方程吗？怎样求出方程中X的值呢？（教师引导学生正确解答）教师小结

一是方法：根据等式的性质把含有未知数的这边化简成就含有一个未知数。

二是检验：把计算的结果代到原式，看左右两边是否相等。三强调书写的格式。（要写解）

小结：求方程中未知数值的过程，叫做解方程。

【板块三】

1.教师巡视，关注书写过程。

2.请学生说说填写的依据后提问：为什么“+25”与“-18”？加减号允许写错吗？可以填其他数吗？ 【板块四】

1.教师多关注学困生的作业情况。

2.总结全课。

通过本节课的学习，你又什么收获吗？谁来说一说？

等式的性质教学反思

今天教学《方程》中的“等式的性质

（二）”。昨天已经利用休息时间研读了教师参考书，对教案进行了二次备课，也理清了教学程序。由于在讲解“等式的性质

（一）”时，给学生观察讨论汇报的时间不够，造成在解方程时出现一些意想不到的错误，所以决定：今天在教学例5时，给学生多一点时间去交流。

1、复习部分：

提问：“前面我们认识了等式与方程的意义，知道了等式的性质，学会了利用等式的性质解方程。谁还记得等式的性质是什么？” 可能是因为后面坐着听课的老师，学生有点紧张，只敢在下面小声地说。便找了平时比较好的学生说，不完整的地方由其他学生补充，同时出示性质。

反思：一直以来，任教我班的是工作十多年的教师，平时教学成效也比较好，被听课的机会比较少，平时我和班主任对学生要求比较严格，学生较一些班级学生，语数课堂上比较规矩，胆小。这样，学生对有教师听课表现出紧张的情绪是可想而知的。同时，教师的情绪也比较平淡，没有给学生创设轻松愉快自然的氛围，使得前半部分的课堂有点沉闷，敢于大胆发言的学生也比较少。由此可知：教师进入课堂就要立刻调动自己的情绪，使学生有轻松活泼的感觉，学生才会调动自己的情绪，将注意力集中到教师所传授的知识上，忘记身后听课的教师，大胆地发表自己的想法。课堂也才会有活力。

2、导入部分：

提问：“如果等式的两边同时乘或除以同一个数，除以时这个数不为0，所得的结果还是等式吗？”

学生有说能，有说不能，要求学生猜测。效果不理想，有学生受预习的影响，写出一个方程，然后在解方程；有一个学生写了：“3×9＝27，3×9÷9＝27÷9”通过比较发现，等式仍然成立。

反思：从学生的反应来看，这种提出问题让学生先猜测的教学方法，因为平时训练的少，教师突然放手，学生不知所措，不知道如何去思考。由此可以看出，教师在教学中还存在包办现象，学生还习惯于在老师的引导下去掌握新知，巩固新知，然后学会解题。即学生的创新能力的培养还不够，需要加强。

3、新授部分：

分别出示例5的天平图，让学生看着图去列等式，四幅图出示完毕后，让学生观察等式，讨论交流“有什么发现？”学生有点摸不着头脑。感觉学生打愣，立刻引导：“仔细观察第一幅图和第二幅图，是怎样变化的？”由天平图的变化引导到等式的变化，再用文字叙述：“等式两边同时乘2，所得的结果仍然是等式。”继续引导：“如果等式两边同时乘

5、乘

7、乘10等等，所得结果还是等式吗？”学生认同，提问：“该怎样说就可以包括所有乘数？”学生总结出：“等式两边同时乘同一个数，所得的结果仍然是等式。”结合三、四幅图，让学生自己观察，说一说，总结出“等式两边同时除以同一个数，所得结果仍然是等式。”要求将两句话合成一句话，教师在黑板上写出。提问：“有需要补充的吗？”学生提出：“加上‘这也是等式的性质’”。教师加上。继续问：“还有需要补充的吗？”片刻有学生说：“这个数应该不能为0。”“为什么？”“比如x×0＝0，就不可以。”有学生抗议：“x可以和0相乘。”教师说明：“x可以和0相乘，等于0。”写出x×0＝0，提问：“根据等式的性质，怎样使左边只剩下x？”学生回答：“等式两边同时除以0。”根据学生的回答写出：“x×0÷0＝0÷0”，提问：“看着这个等式有想法吗？”终于有学生提出：“不可以这样写，因为0不能做除数。”完整等式的性质

（二），板书课题。

反思：在例5教学时，应该在出现前两幅图和等式后，让学生结合图观察，由天平的变化再引导到等式的变化。教师在教学时，分别出示图，让学生列出所有等式后再观察发现，对学生来说，有点难度。学生不知道从哪儿下手，哪两个等式是相关联的。从这里可以反映出，我们班学生的观察分析能力有待培养，加强。同时也提醒教师在设计问题时要从本班学生的实际情况出发，要有层次，有坡度，使学生的思考有方向，有目标，一步一个台阶，最终达到预期的效果。课堂上教师在发现学生出现愣神时，及时将问题简单清晰化是明智的。

例5的教学中，没有挂图和多媒体，只靠教师在小黑板上画出的简单的天平图来引导观察，显得不合适。首先耽误了时间，其次，由于四幅图没法按照书上那样的顺序排列，造成学生观察时的无目的性。由此可以看出，挂图或多媒体在教学中起着一定的作用，可以使学生的观察清晰，有条理，有层次。自然也能节约时间，提高课堂效率。

4、巩固部分：

练习二第1题：“先说说下列方程怎样解，再解方程。”要求学生只说不解。在指名说：“2.1x=8.4”时，被指的是一位平时接受比较慢、成绩偏下的学生。学生吞吞吐吐半天说出：“2.1x÷x＝8.4÷2.1”。学生嘘声一片，教师将算式抄在黑板上，让学生观察评议。学生异口同声地说：“错的。”请学生找出错在什么地方。学生指出，等式两边同时除以的不是同一个数。教师指出，解方程时，方程两边同时除以的数应该是同一个数，一个具体的数，而不是未知数。

反思：这个现象在含加法的方程中也出现过，如：75＋x=150,有学生写：75＋x-x=150—75，x=75。分析原因在于：教学中的例题，多数是X在运算符号的前面，然后根据等式的性质使左边只剩下X时，都是左边加几，等式两边就同时减几，学生形成思维定势，只看左边运算符号后面的数，说明学生对等式的性质的理解不透彻，解方程时是“照葫芦画瓢”，并没有真正掌握解方程的方法，学生灵活运用的能力薄弱。

解决方法：当学生看到75＋X不知所措时，请学生结合加法交换律，将75＋X想成X＋75＝150，再按照解方程的步骤进行计算。同样，2.1X可以根据乘法交换律看作X×2.1＝8.4后再解方程，对这个别学生来说，是一个比较好的办法。

5、作业反馈：

今天的课堂作业是完成练一练的第2题，练习二的第1、3题。由于时间有限，要求学生课后完成。从作业完成情况来看，除个别计算错误外，没有出现过程中的问题。但是，由于学生练习时，教师不在身边，不能保证所有学生是独立完成的。所以，不能说，今天的效果是很好的。只有通过下次课堂上完成补充习题才能看出学生是否都掌握了解方程的方法