最优方案问题

第一篇：最优方案问题

一元一次方程应用

学习目标：

1.学会审题，会找相等关系。

2.学会列方程解应用题的方法。

3.培养学生分析问题、解决问题的能力

重点：学会审题，会找相等关系，会列方程 难点：培养学生分析问题、解决问题的能力

学习过程：

1．某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：

方案一：全部进行粗加工；

方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；

方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？

2．某校师生春游，如果单独租用50座客车有20人没有座位；如果租用80座客车，可少租1辆，且余20个座位。（1）求该校参加春游的人数？

（2）出租公司租车费用是：租用50座客

车一辆250元，租用

80座客车一辆420元，如果学校只租一种车型，选择哪种车合算。

3.某商店咖啡每盒25元，咖啡杯每个8元，该店制定了两种优惠方案：①买两盒咖啡赠送咖啡杯一个；②按购买总额的90%付款

（1）某公司需要24盒咖啡，咖啡杯（多于12个），当购买多少个咖啡杯时两种优惠方式付款相同？

（2）若该公司需要咖啡10盒，想花306元购买所需物品，采用哪种优惠方式比较划算？

4．某家电商场计划用9万元从生产厂家购5．小刚为书房买灯。现有两种灯可供选进50台电视机．已知该厂家生产3种不同购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49型号的电视机，出厂价分别为A种每台元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为1500元，B种每台2100元，C种每台250018元/盏。假设两种灯的照明效果一样，元．

使用寿命都可以达到2800小时。已知小刚（1）若家电商场同时购进两种不同型号家所在地的电价是每千瓦时0.5元。的电视机共50台，用去9万元，请你研究(1).设照明时间是x小时，请用含x的代一下商场的进货方案．

数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白（2）若商场销售一台A种电视机可获利炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）150元，销售一台B种电视机可获利200(2).小刚想在这种灯中选购两盏。假定照元，销售一台C种电视机可获利250元，明时间是3000小时，使用寿命都是2800在同时购进两种不同型号的电视机方案小时。请你设计一种费用最低的选灯照明中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案，并说明理由。

方案？

不为失败找借口要为成功找方法

第二篇：最优方案习题

1、我们一共有32人租船游玩，小船24元，大船30元，小船限乘4人，大船限乘6人，怎样租船最省钱？

2、有3名教师带领60名学生去公园划船，大船限乘6人，租金30元，小船限乘5人，租金26元，请设计最便宜的租船方案。

3、有100人的旅游团准备租车外出旅游，有三种车辆可以选择，大客车每辆160元，限乘18人，面包车每辆120元，限乘12人，小轿车每辆50元，限乘4人，如果你是领队，请设计一种最省钱的方案。/ 2

4、育才小学38名同学租车游戏，大船每条15元，限乘7人，小船每条10元，限乘4人。怎样租船最省钱？

5、有52名同学要坐车外出，中巴车每辆租金200元，限乘客20人。面包车每辆租金90元，限乘客6人，怎样租船最省钱？

6、三年级共有师生150人要坐车外出，大客车租金每辆500元，限乘55人，中巴车租金每辆450元，限乘45人，保证没人一个座位，怎样租车最省钱？ / 2

第三篇：秘书问题最优解（最终版）

[摘要]经典秘书问题是最优停止理论中的一个著名例子, 属于一类序贯观察选择问题。其报酬函数仅与观察项的秩相关, 而与观察项的实际值无关。现在一定假设条件下, 将经典秘书问题推广, 建立一个更有实际意义的模型。采用动态规划的方法得到该类模型的选择策略, 为实际决策问题提供一种可供参考的方法。秘书问题是一类序贯观察与选择问题, 描述了一种动态的信息搜索与决策过程。

[关键词]秘书问题；简易公式；最小概率

[前言]已有解决秘书问题的方法,主要特征是以取样选项中的最大值作为标杆, 其优点是能保证赢的概率最大, 其不足是很少考虑决策者的有限理性与启发式偏见。提出了基于次大值标杆策略的设想, 通过理论求解以及仿真实验的方法研究了该策略的特征与规律。结果发现: 赢的概率随着标杆由最大值向次大值、第三大值等的变化而逐渐降低, 且最优截止阀值也不断后移。

一、假设与最优停止规则[1]：

假设下列条件成立（只要左方构成条件的事件的概率大于零）

条件B)的直观意义是：如果已知第n个到达的姑娘的相对名次, 则在此时刻以前的信息下引理：若若（1）式成立则最优停止规则是：其中Sn可以归纳地计算出来： , 对于预测她的绝对名次及拒聘与否, 不起任何作用。根据如

（1）则

这里约定，对空的指标集求和为零。所以最优停止规则是：

二、秘书问题的两个简单公式[2]：

我们知道秘书问题中有两个简易的计算公式：它是对N 为有限情形的秘书问题给出两个简易计算公式。

情形1：设经理放过前K 个申请者不予考虑, 从第K + 1 个开始选择比前面都好的那位(如果有的话), 记A k= { 放过前K 位结果选到1 号}

因此, 对于N 个申请者的情形,，使选到最差的那位概率最小。

情形2：对于N 个申请者由于经理每次招见一批人, 他可以在同一批中选择最好的, 如果最后一批的人数大于1, 经理不可能招聘到1 号申请者(最差的那位), 因此我们只考虑最后一批人数为1 的情形。

设这N 个人随机地按d 批进见经理, 各批的人数分别为n1, n2, ⋯, nd , nd =，最小.即经理应放掉第1 位, 才能1,，记。假设经理放过前K 批不予考虑, 从第K + 1 批开始选择比前面各批都好的那位(如果有的话), A k= { 放过前K 批最后结果选到1 号} , 则有

公式2 在上述条件下由此可计算的最优值。

[3]。

三、次大值标杆策略的仿真实验

解决秘书问题的关键, 并非决定去选择哪一个选项, 而是决定何时停止取样观察选项, 即何时停止搜索决策信息。但近些年研究发现, 相比较最优解策略, 人们往往停止搜索得太早或者搜索量太少[ 4]。这意味着决策者往往并没有遵循最优解策略去决策。下面我们做一个仿真实验来解决秘书问题的满意解。

实验内容是截止阀值与标杆交叉组合的截止阀法则。根据最优解策略的阀值37% 以及现实生活中的经验值, 我们测试了7个截止阀值r与2个标杆m 的策略组合。它们分别是: 截止阀值为选项集的10%、1 /

3、37%、50%、0618、2 /

3、90%;标杆为取样选项集中的最大值(m = 1)与次大值(m = 2)。这样, 本研究一共实验了14(7 x 2)个组合策略。

首先, 与已有研究[4]类似，我们用数字的大小表示选项的优劣程度, 数字越大意味着选项越优, 否则越差。其次, 采用序数集的随机排列来模拟选项被随机会见的情境。设选项集n= 100, 将1、2、……、100共一百个序数随机置乱作为测试集。在不同的截止阀值下, 分别采用最大值与次大值标杆进行选择;而截止阀值与标杆的每种组合策略重复测试100次。然后计算即赢的次数(选中最大值100的次数), 实验结果如表1所示。

从表中可以看出：(1)当采用最大值标杆(m = 1)时, 截止阀值r为37%的组合策略赢的概率最大, 即组合点(r= 37%, m = 1)赢的概率为35%。(2)当采用次大值标杆(m = 2)时, 截止阀值r为50%的组合策略赢的概率最大。即组合点(r= 50%, m = 2)赢的概率为23%。(3)在最大化赢的概率的条件下, 随着标杆由最大值(m = 1)向次大值(m = 2)的变化, 截止阀值也由r= 37%向r= 50%变动。这说明标杆不同, 截止阀值也不同;而且还有标杆降低、截止阀值后移的趋势。

另外, 从表中还可以看出：在阀值37%、最大值标杆处, 赢的概率达到最大(为35%)。该值与理论计算的赢的概率1/ e= 37% [5]只差2个百分点, 与Seale和Rapoport[4] 的仿真结果36%仅差1个百分点。

仿真实验结果中赢的概率35%与23%, 都比理论计算的37% [5] 与25% 少了2 个百分点, 与Seale 和Rapoport[4] 的仿真结果36%仅差1个百分点。Seale和Rapoport在解释其36% 与最优解策略的差距时, 认为是由于仿真实验的随机本性所致。而我们认为, 除此之外还有一种可能性, 即最优解策略的37%是在n趋于无穷时得到的;而当n= 100远小于无穷时, 赢的概率为35%是很有可能的。因此, 我们认为本研究的实验数据具有相当高的信度与效度。

三、结论及进一步的研究

已有的最优解策略, 其主要特征是以取样选项中的最大值作为标杆。而本文基于适应性决策与满意决策的理论提出了结合公式及仿真实际情况下的实验模型。研究结果发现:截止阀值一定的条件下, 随着标杆的降低, 赢的概率呈线性下降的趋势。进一步的研究可以考虑: 增加情境变量(如观察成本或时间压力)对次大值标杆策略的影响研究。

[1]金治明.可拒绝的秘书问题(国防科学技术大学)应用概率统计.第二卷.第四期 1986年11月

[2]邹植民.秘书问题中的两个简易计算公式[ 中图分类号] O211.1 [3]陈家鼎, 李向科.一类最优停止问题的解[ J].应用概率统计, 1986, 2(1): 13-20 [4]Seale, Rapoport.Optimal Stopping Behavior with R elative Ranks:The Secretary Problem with Unknown Population Size[ J].Journal of Behavioral Decision Making, 2000, 13(4): 391.[5]Gilbert, Mosteller.Recognizing the Maximum of a Sequence[ J].Journal of the American Statistical Association, 1966, 61: 35-73.

第四篇：个人简介(最优)

尊敬的各位领导、各位评委：

大家好！

首先，感谢你们给了我这次展现自已，锻炼自已、发展自已的平台，对我而言，也是一次锻炼、提高的好机会。我叫***，现年33岁，父亲是一名教师，母亲是名普通的农民，虽然父亲当过10余年校长，但给我印象就是一个憨厚朴实的农民，也正是父亲的一言一行长期影响着我，使我明白：阳光、大器，做有社会责任感的人，是做人的根本准则。

回首十多年的学习工作经历，简单而朴实。***年*月考入***，担任班团支部书记，校团委会宣传部部长；***年**月分配到***，下过6年村小，当过幼儿园老师，担任过团支部书记、代理办公室主任；***年***月上挂教育局办公室煅炼；****年*月调任****。

近年来，我无论作为一名**，还是一名**管理人员，始终坚持爱岗敬业、吃苦耐劳的工作作风，坚守踏踏实实做事，老老实实做人的原则，对照自己的工作，不断反思、探索、总结、提高工作能力，改进工作方法、创新工作思路，以积极主动的态度学习，勤奋务实的作风工作，努力完成好各级安排工作任务。在写作方面，所报信息被县级网站采用40余条，被省级网站采用10余条；撰写的多篇论文获省、市、县奖；在个人比赛方面，书法作品在全国比赛中多次获金、银、铜奖；主研的县级课题结题并获县一等奖。在上级主管部门的表彰方面，2010年被团县委评为优秀团（队）干部；2009年、2010年、2011年分别被县教育局评为教育宣传“先进个人”、****；2011年被安岳县评为“十二五期间”首批县级骨干教师。

当然，成绩只代表过去，未来还要不断加强学习，不断努力完善自己，厚道做人，沉下心做事。通过从事学校行政工作，使我具有了较强的适应能力，决定了自己比较容易进入工作角色，特别是在县教育局办公室的工作经历，使自己具备了在领导身边工作、为领导服务、为群众服务的经验。为更好的完成好工作，我还将努力提高以下几方面能力：

一是提高办事能力。提高理解领会能力，迅速正确领会领导意图，保证又好又快地完成领导交办的工作。同时还要提高分析判断能力，分清主次和轻重缓急，做到急事争办，快事快办、特事特办，无论是办文，还是办事，做到明辨是非，处置恰当。

二是提高表达能力，包括口头表达能力和书面表达能力。在说话上，要保证言词清楚、条理清晰、注意分寸。在写作能力方面，努力加强学习，积累深厚的理论功底和扎实的专业功底，扩大知识面，完善知识结构，提高公文写作能力。多向领导、同事请教学习，以适应各方面的要求。

三是提高交际能力。自觉自主搞好与领导、同事及其他部门人员关系，做到谦虚谨慎、热情周到。不断加强个人修养，做到身强心宽，不骄不躁，在对待批评和指责，误解和委屈时，拿得起，放得下，丢下烦恼，大胆工作，让事实说话。

第五篇：电子商务中最优网络拍卖方案

内容摘要：研究了电子商务环境中，当拍卖参与者不确定时拍卖人的最优拍卖方案的设计和特征。我们用泊松过程来描述拍卖参与者得到达，比较了两种拍卖的停止规则下的最优拍卖，并用例子进行了说明和比较。

关键词：拍卖泊松过程停止规则

拍卖这种交易方式有着悠久的历史，拍卖这种交易方式起源很早，根据记载公元前500年的中亚巴比伦地区，男人们通过拍卖的方式来得到妻子。拍卖在古罗马也很盛行，人们用拍卖的方式出售战利品，货物，地产甚至王位。关于拍卖的形式和历史，在Cassady(1967)的书中有很详细的记载，可惜这本书国内不易见到。古往今来，被拍卖的物品也形形色色，从古玩字画到日常用品，从农产品到海鲜，政府债券，营业执照，电波频率的各种有形无形的物品无所不报。最近几年，拍卖被用来出售政府资产，电信执照以及电力市场的产品引起了人们的关注。另一方面，因特网和电子商务的发展，网络拍卖也日渐兴盛。不但出现了专业的拍卖网站，许多交易也采用拍卖的方式。

用事业的私有化，现实的经济现象对拍卖理论提出了新的问题；另一方面，随着理论的进展，拍卖理论的研究突破了单一物品拍卖的研究，讨论同时多单位产品同时拍卖的问题。早期的研究中关注的是各种拍卖形式的收益问题，逐渐转移到讨论最有效率的拍卖的问题：即拍卖的结果是对物品评价最高的竟价者获得拍卖品。这反映了在政府主持的拍卖中效率问题是考虑的关键，是理论和实践结合的显著例子。不但政府方面重视拍卖，随着电子商务和网络交易的发展，网上拍卖的日渐发展对理论也提出了要求。在最优拍卖理论的研究中，拍卖的参与者的数目是固定的。从机制设计的角度来看，拍卖就是一组规则，决定拍卖的嬴家和所有参与者的支付，Myerson(1981)证明的一般最优拍卖机制中参与者的数目就是固定的。在重要物品的拍卖时，通常要有一段筹备时间，为传播拍卖的消息以便吸引足够的竟价者，使拍卖顺利进行。但是在网络的环境中，参与拍卖的参加者是可以变化的，拍卖的参与者受浏览拍卖网页的人数的影响，可以认为这是一个随机变量，因而在拍卖的设计时要考虑这个因素。对于这种情况，我们可以用下面的一个例子来说明。假设你有一台随身听，现在的潮流是听各种款式的Mp3播放机，你也想加入潮流之中，但是你的现款不够。这时，你想到把随身听卖掉。你经常上网，知道网上拍卖很流行，你就想把它拍卖掉。你需要钱，希望随身听越快卖掉越好，但是你也希望能卖一个好价钱。你开始拍卖时不知道会有多少人参加拍卖，但你知道上网的人中参与你的拍卖的人有一定的分布。你可以确定拍卖持续的时间来进行拍卖，你也可能等不急，只要有一定的参与者可以结束拍卖。这样，就有两种不同的规则可以结束拍卖，在这不同的规则下，最优的拍卖应当是什么样的形式？由于参与者到达是随机的，你要在人数和时间之间进行权衡。研究这样一类模型，参与网上拍卖的竟价者服从泊松过程，拍卖者具有时间偏好的情况下，两种拍卖结束规则下的最优拍卖设计。第一种规则是“定时规则”：规定拍卖开始和结束的时间，拍卖持续的时间是事前规定的，在拍卖进行的时间内，参与者服从泊松分布。第二种规则是“定员规则”：规定拍卖开始的时间和参与者数目，当拍卖持续到参与者达到规定的数目时拍卖结束。在文章接下来的部分中，第二节模型的基本定义和假设。为了便于比较和分析，第三节是参与者数目固定时最优拍卖机制的设计，第四节和第五节分别讨论“定员规则”和“定时规则”下的最优拍卖机制设计问题，第六节是一个例子，最后一节是对文章的总结和评注。

二、模型这里我们使用私人价值的框架，参与者都是风险中型的，只拍卖一单位的物品。对于此物品，拍卖者的估价为，拍卖者的贝努利函数，这里是拍卖者的时间偏好率，是拍卖结束的时间，我们假设拍卖结束时，得到收入。这样，拍卖者的效用函数=，这里，其中表示“定时规则”，表示“定员规则”，不同的规则下有不同的参与者数目和拍卖结束时刻。

我们假设当拍卖开始后，到达的买者的数目服从参数为的泊松过程

，即有：（1）；

（2）；

（3）有独立增量的性质。

这里，我们记拍卖开始的时刻为0，表示到时刻时买者的数目。是泊松过程的参数，表示单位时间到达的人数。下面我们定义拍卖的停止规则：

“定时规则”是一个实数，表示拍卖持续到时刻停止，拍卖者决定拍卖停止。（2.1）

“定员规则”是一个整数,表示当参与者的数目达到时，拍卖者决定拍卖结束。（2.2）

我们可以看到，在“定时规则”下，拍卖持续的时间是固定的，但是参与者的数目是不确定的，根据泊松过程的性质我们知道在有限的时间内参与人数也是有限的；在“定员规则”下，参与者的数目是确定的但是拍卖持续的时间是不确定的。我们令表示在“定员规则”下拍卖结束的时刻，则根据泊松过程的性质我们知道服从参数为和的伽马分布，分布密度函数为，平均等待时间为有限值。

令表示拍卖结束时竟价者的集合。表示拍卖参与者的数目，在不同的规则下，有不同的含义。在“定时规则”下，是个随机变量。在“定员规则”下=，是一个固定的数。

对于每一个，参与者的私人评价为，贝努利函数。这里有连续分布表示评价小于的概率，具有连续密度函数，分布的支撑为=，在上严格正。同时，我们假设是的单调增函数。我们用表示拍卖结束时所有可能的参与者类型组合的笛卡儿集。对于每个，我们用表示其他参与者所有可能的类型组合。我们假设参与者之间的评价是独立的，并且都独立于到达的泊松过程。

三、固定数目参与者的最优机制根据显示原理（revelationprinciple）(Myerson,1981)我们可以考虑直接显示机制。拍卖者设计每个参与者得到物品得到概率和支付满足：

，和（3.1）

在拍卖结束时拍卖者根据每个参与者报告他的私人评价，计算和，我们用表示概率组合，表示参与者的支付组合。这样，一个机制就是组合。

在这样一个机制下，参与者报告时的预期赢得物品的条件概率为，条件预期支付为。参与者的效用函数为=-，由于参与是自愿的，任何可行的机制都要满足参与者的参与约束：对，有（3.2）

在这个机制下我们这里考虑的拍卖人面对固定个数的买者，这里拍卖人面对的不确定性只是卖者评价的不确定性，拍卖人的收入为

（3.3）

由于参与人对拍卖品的评价为私人信息，任何机制都必须使得参与者真实报告是一个Nash均衡,满足激励相容机制:

-对任意的，（3.4）使用通常的技巧，充分的利用激励相容约束我们可以得到下面的引理：

引理1是可行机制当且仅当下面的条件满足：

如果，那么有，、，（3.5）

，（3.6）

（3.7）

以及，和

（3.1）

这个引理充分刻画了可行机制的特征，这样拍卖者的问题就是选择满足引理1的机制，来最大化他的预期收益（3.3）。利用条件（3.6）和，的定义我们得到拍卖者的收入为

=（3.8）引理2是最优机制当且仅当满足约束（3.5）（3.1）最大化

并且，（3.9）

（3.7）

以及，和（3.1）这样，由引理2和我们关于参与者评价分布的假设就得到固定数目参与者时的最优拍卖机制。我们可以知道，由于是线性函数，因而>时，拍卖人保留物品不予售出，仅当>时，>0。可以解释为边际收益，只把物品分配给具有最高边际收益的买者。由于我们假设是单调递增的，对任给，最优机制就是最大化同时满足约束。由的单调性，我们可以知道也是单调的，因而满足约束（3.5）。

为了得到参与者的支付函数，对任何关于其他人的估价的向量，我们定义

，是参与者相对于的最小成功出价。这样我们就可以根据（3.9）和上边的分析得到下面的推论。推论1当参与者数目固定时，最优拍卖机制的结构如下：

参与者获得成功的概率满足：参与者的支付

最优机制满足具有最高边际评价的买者的到物品，他的支付是最小获胜评价。由于分布是连续的，出现相同边际评价的概率为0。

四、“定员规则”下的最优机制这里和整篇文章一致，我们假设拍卖者有完全的承诺能力（fullcommitment）,拍卖者对物品的评价是公共知识。在“定员规则”下，拍卖人在事前就确定了拍卖的参与人，拍卖人对参与者的人数没有不确定；拍卖人在这时不确定拍卖停止的时刻。由于买者到达的时刻和他的信息的分布是独立的，因而拍卖人在拍卖停止时的参与人数事固定的，因而在给定人数时，第三节的推论1的机制是最优的。

由于在“定员规则”和第三节分析的不同之处在于前边的参与者人数是固定的，在这时我们要选择拍卖的结束人数。这时，一个可行的拍卖机制就是一个三元组（，），其中满足约束（2.2），给定，（，）满足引理1。此时的可行机制由停止规则，物品分配概率向量和支付向量组成。

从第二节我们知道=，由于评价和到达时间是独立的对任意可行的机制，我们知道和是独立的，因而对任一可行机制有：

==（4.1）

这样，拍卖者就可以在可行机制中进行选择最大化他的效用（4.1）。这一目的可以通过两步来的到，首先给定，计算最优机制得到和（，）,这里（，）满足推论1。第二步我们计算最优的最大化导出的效用=，就可以得到最优的停止人数。

这样我们就得

：

引理3“定员规则”下的最优机制是如下的三元组（，），满足条件：

（1）；

（2）给定，（，）满足推论1。

由于，不一定具有可微性，同时没有明确参加者评价的分布函数时，不易得到一般的结论。后面在第六节我们用例子来说明机制的结构。简单分析可以知道，时间偏好对机制的选择有影响。前边我们也看到，时间偏好对分配机制的影响只是通过停止规则来发生作用。

六、“定时规则”下的最优机制和“定员规则”不同，在“定时规则”下拍卖结束时拍卖参与人的数目时不确定的。拍卖人在事前确定了拍卖的停止时刻，拍卖人对参与者的人数是不确定的；拍卖人对拍卖停止的时刻的选择就是对参与人数概率分布的选择。由于买者到达的时刻和他的信息的分布时独立的，同样拍卖人在给定拍卖停止时的参与人数固定时，第三节的推论1的机制是最优的。

由于在“定员规则”和第三节分析的不同之处在于后者的参与者人数是固定的，在这里我们要选择拍卖的结束时间。不同的结束时间对应着结束时参与人数不同的概率分布。

“定时规则”下一个可行的拍卖机制就是一个三元组（，），其中满足约束（2.2）。这里，与前边的不同之处在于，拍卖者事前无法确定结束时刻买者的数目，于是它的可行的配置必须对每一个可能的参与者数目都给出规定。（，）=就是结束时刻人数的函数，对于每一个给定，满足引理1。此时的可行机制由停止规则，物品分配概率向量和支付向量组成。

从第二节我们知道=，由于评价和到达时间是独立的对任意可行的机制，我们知道是事前选择的，因而对任一可行机制有：

=（5.1）

这里我们看到，拍卖者获得收入的时刻时确定的这样，拍卖者就可以在可行机制中进行选择最大化他的效用（5.1）。这一目的可以通过两步来的到，首先给定，计算最优机制得到最优机制下的条件效用和条件最优机制（，）,这里（，）满足推论1。第二步我们选择最优的来选择参与人数的分布莱最大化的效用=，就可以得到最优的停止时间。

这样我们就得到：

引理4“定时规则”下的最优机制是如下的三元组（，），满足条件：

（1）；

（2）给定，对结束时刻的任意人数,满足推论1。

由于，不一定具有可微性，同时没有明确参加者评价的分布函数时，我们选择停止时刻是在不同概率分布之间选择，我们可以预料这使得最大化问题更复杂。我们甚至不能一般性的证明解的存在性。在第六节我们用例子来说明机制的复杂性。

七、一个简单的例子这里，我们假设买者是对称的，他们的私人评价服从相同的分布，都是服从区间上的均匀分布。拍卖者对拍卖品的估价为=0。

（i）在给定参与者人数为的时候，我们可以计算出拍卖者最优的预期收益=，同时，我们可得到最优的概率分配机制，

，(7.1)

我们可以看到评价最高的参与者获得了拍卖的胜利。此时最优的支付为

，(7.2)示买者的集合,胜者的支付为最高的失败价格。这和通常的第二价格拍卖是一致的，可以通过第二价格拍卖来执行最优机制。

(ii)在“定员规则”下，我们计算最优的机制。首先，给定任一可行的停止规则，我们可以计算得到停止时的期望收益为=，这样，在这种规则下。拍卖者的效用函数

==

接下来选取停止人数最大化，我们得到。从这里我们可以看出，最优停止人数的选择受拍卖人的时间偏好和买者到达特征决定的。当，有，当拍卖人没有耐心时，他会和遇到的第一个人交易，他的期望收益为0。当，有，拍卖人不存在时间偏好的时候，他会充分利用买者的特征，等待足够多的买者，得到更大的效用。在本例中，当，时，拍卖者可以得到最高的收益1。但是为了得到这一收益，拍卖者的平均等待时间要接近取穷大。

（iii）在“定时规则”下，首先，给定任一可行的停止规则，我们可以计算得到停止时参与人数为=时的，期望收益为=，这样，在这种规则下。拍卖者的效用函数

===

我们可以看到，简化的效用函数是关于停止时刻的一个复杂的超越函数，我们没有办法得到关于最优停止时间的解析解，但是如果知道具体参数的值，我们可以用数值解法来得到最优的时刻。为了说明最优时刻的存在性，我们去参数，作图如下，说明确实存在最优的时刻。这一性质是普遍成立的。当然，我们可以假设其他的分布函数计算最优拍卖机制的特征，不同的停止规则造成拍卖结束时不同的参与人数分布，这是考察的两类停止规则的最大的不同。

八、结语

拍卖理论仍然是一个具有广泛发展前景的研究领域，仍然有许多为解决的问题需要讨论同时随着拍卖实践的发展，也不断的出现新的问题。假设参与拍卖的买者服从泊松分布，比较了两种不同停止规则下的最优设计问题。没有涉及的一个问题是这两种规则是否等价：即给定一种规则下达到的效用，存在另一种规则下的一个选择达到同样的效用；或者这两种规则中的一种带来更大的收益。更进一步的，是否存在一个一般的最优的停止规则，而不仅仅局限在这两种规则中进行选择？这需要进一步]研究的方向。

另一方面，没有涉及的内容是买者的策略问题，即没有考虑最有机制如何实施的问题。中，买者只是被动的报告评价。如果买者到达是外生随机的，在许多常用的拍卖形式中就会有一个买者选择出价时间的问题。这在“定时规则”下就是买者出价时间的选择，这超出了的框架。对于这一现象的研究可以参看Roth(1999)文章对于Ebay和Amzon两大拍卖网站的拍卖中买这出价时间现象的有趣分析。参考文献：

Cassady,Ralph,“AuctionsandAuctioneering.”Berkeley:UniversityofCaliforniapress,1967.Myerson,R.:“OptimalAuctionDesign,”MathematicsofOperationResearch,

,1981,6,58-73.Vickrey,W.:“Counterspeculation,Auctions,andCompetitiveSealedTenders,”JournalofFinance,1961,16,8-37:Roth,AlvinE.andAxelOckenfels“Last-MinuteBiddingandtheRulesforEndingSecond-priceAuctions:EvidencefromeBayandAmazonAuctionsontheInter,”AmericanEconomicReview,92(4),September2002,1093-1103.

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