证明公理三的推论三

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第一篇:证明公理三的推论三

证明公理三的推论三

1.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p来表示,也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示,如平面AC.在立体几何中,大写字母A,B,C,…表示点,小写字母,a,b,c,…l,m,n,…表示直线,且把直线和平面看成点的集合,因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系,例如:a)A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b)lα—直线l在平面α内;c)aα—直线a不在平面α内;d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面.根据上面的公理,可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行,又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点

存在性:

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性:

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述,两条相交的直线确定一个平面。

1)三点确定一个平面

2)在一条直线A上取一个点E,与另一条直线B可确定一个平面C。

3)在A上任取一点D(不与E重合),证明D与B确定的平面与C重合。

否则可导致A,B不平行。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点,这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

第二篇:证明公理3的推论3

证明公理3的推论3

公理3的内容是:经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面。

公理3的推论3是:两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明:

设两直线l和m互相平行,取l上两个点A和B,取m上两个点C和D,显然任意三点都不共线,否则l和m将会相交,与两直线平行矛盾,根据公理3,知道

过A、C、D有且只有一个平面,设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面,设为平面β;

假设两平面α和β不重合,则B在α外,在同一平面内,永不相交的两条直线叫平行线,所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条,不妨设为AE,此时,AB和AE都与CD平行,与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条“矛盾,所以D也在α内,此时α和β重合,即α和β是同一个平面,即两条平行的直线确定一个平面。

2公理3的内容是:经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面。

公理3的推论3是:两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明:

设两直线l和m互相平行,取l上两个点A和B,取m上两个点C和D,显然任意三点都不共线,否则l和m将会相交,与两直线平行矛盾,根据公理3,知道

过A、C、D有且只有一个平面,设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面,设为平面β;

假设两平面α和β不重合,则B在α外,在同一平面内,永不相交的两条直线叫平行线,所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条,不妨设为AE,此时,AB和AE都与CD平行,与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条”矛盾,所以D也在α内,此时α和β重合,即α和β是同一个平面,即两条平行的直线确定一个平面。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点,这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

存在性:

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性:

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述,两条相交的直线确定一个平面。

第三篇:公理3的推论3的证明

公理3的内容是:经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面。

公理3的推论3是:两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明:

设两直线l和m互相平行,取l上两个点A和B,取m上两个点C和D,显然任意三点都不共线,否则l和m将会相交,与两直线平行矛盾,根据公理3,知道

过A、C、D有且只有一个平面,设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面,设为平面β;

假设两平面α和β不重合,则B在α外,在同一平面内,永不相交的两条直线叫平行线,所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条,不妨设为AE,此时,AB和AE都与CD平行,与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,所以B也在α内,此时α和β重合,即α和β是同一个平面,即两条平行的直线确定一个平面。

第四篇:初三数学证明及相关公理、定理、推论

第一次课:证明及相关公理、定理、推论

一、考点、热点回顾

1、《证明

(一)》知识点回顾:全等三角形的四个公理和一个推论

公理三遍对应相等的两个三角形全等。(SSS)

公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

公理全等三角形的对应边、对应角相等。

推论两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等。(AAS)

2、课堂新知

等腰三角形性质定理:

定理等腰三角形的两个底角相等。(简单叙述:等边对等角)

等腰三角形性质定理推论:

推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形的判定定理:

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。(简单叙述:等角对等边)

等边三角形判定定理1:

定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形判定定理2:

定理三个角都相等的三角形是等边三角形。

含有30角的直角三角形的性质定理:

定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形性质定理:

等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60。

3、反证法

在ABC中,BC,求证:ABAC

反证法一般用于不方便直接证明的命题,从其反面予以证明不成立,从而肯定本命题整理,基本步骤为:假设命题结论不成立;从这个假设出发应用正确的推理方法;得出与定义、公理、已证定理或已知的矛盾;从而否定假设,得出肯定的结论。

4能力拓展:

(1)、利用辅助线构造等腰三角形或全等三角形解决问题

(2)、等腰三角形的性质在实际生活中的应用 

二、典型例题

ABDC

F

1F

1、(2010·昆明中考题)如图,点B、D、C、F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF。

(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使ABCEFD,你添加的条件是;(2)添加了条件后,证明ABCEFD。

2、(2011·济南模拟题)在ABC中,ABAC,点D在AC边上,且BDBCAD,则A的度数为()。

A.30B.36C.45D.70

3、(2010·成都调研题)点D、E在ABC的边BC上,ABAC,ADAE,求证:BDCE。

4、(2011·宁波模拟题)在ABC中,ABC、ACB的角平分线相交于点O,过点O的直线

1MN//BC,分别交于点M、N,求证:MNBMCN。

5、(2011·乐山模拟题)在等边ABC中,点D、E分别在BC、AB上,且BDAE,AD与CE交于点F。

(1)求证:ADCE;(2)求DFC的度数。

6、(2010·北京四中测试题)D、E在线段BC上,A

BDCE,ACB120o,求证:ADE为等边三角形。

B

DE

C

例6

7、(2011·长春模拟题)已知如图,ABC是等边三角形,且1=2=3,求证:DEF是等边三角形。

D

A

C

E

B

8、(2010·华师一附中测试题)在ABC中,例7

F

ABA,CBAC12o,0是BCD的中点,DEAB于点E,求证:EB3EA

9、(2010·哈尔滨联考题)用反证法证明等腰三角形的底角都是锐角。

10、(2010·天津调研题)如图,D为等边ABC内一点,且

C

DBDA,BPAB,DBPDBC.求BPD的度数。

PD

B

例7

A

三、课后练习

1、D在AB上,点E在AC上,ABCACB,那么补充下列一个条件后,仍无法判定

ABEACD的是()

A.ADAEB.AEBADCC.BECDD.ABAC

2、如图,ABAE,ABCAED,BCED,点F是CD的中点。(1)、求证:AFCD;

(2)、在连接BE后,还能得出什么结论?(至少写出三个)

3、如图,已知点C是线段AB上一点,分别以AC、CB为一边在AB的同侧作等边ACD和等边CBE,AE交CD于M,BD交CE于

B

E

C

FD

DA

C

EN

B

N。求证:MCN为等边三角形。

4、一艘船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东,又航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东,若小岛周围3.8海里内有暗礁,该穿一直向东航行有无触礁的危险?

5、在等腰ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合75o

60o

P

AB

C

FP

E

AHB的任意一点,连接AP并延长交BC于点E,连接BP并延长交AC于点F。(1)求证:CAECBF(2)求证:AEBF

(3)以线段AE、BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E和点F重合于点G),记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG,如果存在点P,能使得SABC=SABG,求A CB的取值范围。

6、用反证法证明:一个三角形中不能有两个直角。

第五篇:证明Mahalanobis距离符合距离三公理,即

1. 证明Mahalanobis距离符合距离三公理,即

(1)ra,brb,a;

(2)当且仅当ab时,ra,b0;

(3)ra,cra,brb,c。

2. 设P1P2,12,1k2,试问按最小错误率的贝叶斯决策,其分界面是

否为线性。

1TT3. 二维正态分布11,0,21,0,112112,211212,试求其决1

策域划分。

4.证明正态等协方差条件下,Fisher线性判据等价于贝叶斯决策。

5.有七个二维向量分属两类,其中属1的是(1,0),(0,1)及(0,-1);属2的有(0,0),(0,2),(0,-2),(-2,0),试由上述样本集画出最近邻法决策面。

kk26.试以k=3证明PNe|XPNe|X。

7.回答有关剪辑近邻法的下列问题

(1)试画出剪辑近邻法的算法流程图;

(2)设剪辑前的样本概率密度函数为Pi|x,i1,2,试问经剪辑近邻法处理后,各点的概率密度数Qi|x,i1,2与原概率密度的关系;

(3)试分析剪辑近邻法在样本数据很大时,错分率可进一步减小的原因;

(4)计算使用剪辑后样本的渐近错误率。

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