文峰中学高三数学专题-直线与圆锥曲线的位置关系[合集]

第一篇：文峰中学高三数学专题-直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

一．知识网络结构：

几何角度(主要适用于直线与圆的位置关系)直线与圆锥曲线的位置关系代数角度（适用于所有直线与圆锥曲线位置关系）1.直线与圆锥曲线利用一般弦长公式（容易）直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用两点间距离公式（繁琐）

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到axbxc0。

①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若a0，设b4ac。a.0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。22

二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：

x2y2

例1.椭圆1上的点到直线x2y20的最大距离是（）164

A.3B.C.22D.x2y2

例2.如果椭圆1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）369

A.x2y0B.x2y40C.2x3y120D.x2y80

题型二：直线与双曲线的位置关系：

例3.已知直线L:ykx1与双曲线C:xy=4。

⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；

⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k的范围；

⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；

⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；

⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。22

题型三：直线与抛物线的位置关系：

例4.在抛物线y2x上求一点P，使P到焦点F与P到点A(3,2)的距离之和最小。

题型四：弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线斜率为k与圆锥曲线交于点Ax1,y1，Bx2,y2时，则



AB=k2x1x2=k2

=

x1x224x1x2 y1y224y1y

211yy=12k2k2

可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。

x2y2

例5.过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为300的直线交双曲线于A、B两点，求AB。

题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：

⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；

⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；

⑶.设弦的两个端点分别为x1,y1,x2,y2，则这两点坐标分别满足曲线方程，又

x1x2y1y2,22

为

弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

例6.已知双曲线方程2xy=2。

⑴求以A2,1为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

⑵过点1,1能否作直线L，使L与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为1,1？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，说明理由。

题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：

例7.在抛物线y64x上求一点，使它到直线L：4x3y460的距离最短，并求这个最短距离。

高考题强化训练

1.过点A(1,0)作倾斜角为

2的直线，与抛物线y2x交于M、N两点，则MN。4

写出所涉及到的公式：

2.已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P2,2为AB的中点，则抛物线C的方程为。

x2y2

3.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标

原点，则△OAB的面积为

4.已知直线L过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，L与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（）A．18

B．2

4C．36D．48

5.设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()

A.y4xB.y8xC.y4xD.y8x

2222

x2y2

6.设双曲线221的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为()

ab

.A.B.5C.D.24

y2

7.设F1,F2分别是椭圆E：x+2=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1的直线L与E相交于A、B两点，b

且AF2，AB，BF2成等差数列。⑴求AB

⑵若直线L的斜率为1，求b的值。

8.已知过抛物线y2pxp0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于Ax1,y2,Bx2,y2（x1x2）

两点，且AB9． ⑴求该抛物线的方程；

⑵O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．

第二篇：教案7：直线与圆锥曲线的位置关系(2课时)

直线与圆锥曲线的位置关系

（一）教学目标

1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 重点难点：

重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用)。2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)教学过程：(一)问题提出

1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？

引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一． 2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？

引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课

1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系 的焦点为F1、F2，y=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)

2上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 3．应用

求m的取值范围．

解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．

又

∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．

解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．

另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点． ∴ 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．

故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．

称，求m的取值范围．

解法一：利用判别式法．

并整理得：

∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．

设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)

小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．

练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？

由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．

练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．

由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．

又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结：本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．(四)布置作业 的值．

2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？

3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围． 作业答案：1．由弦长公式易求得：k=-4

当4-k2=0，k=±2，y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)；(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点；(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点；(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切。故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交。当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离。

直线与圆锥曲线的位置关系

（二）教学目标

1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 重点难点：

重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)教学过程

（一）基本方法：

1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未必只有二个交点)。

2.直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合、以形助数的方法来解并决。

3.如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：

（二）基本方法举例

例1.当k为何值时，直线y=kx+k-2 与抛物线 y =4x有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。解：由⊿=-16(k-2k-1)1).当⊿>0时，即12k12且k≠0时有两个公共点。2).当⊿=0时，即k13).当 k12或k1得k x +2(k-2k-2)x+(k-2)=0

2或k=0 时，直线与抛物线有一个公共点。2时，直线与抛物线无公共点。

点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.y2例2.已知：A(-3,4),B(4,4)若线段AB与椭圆xa2没有公共点。求正数a的取值范围。

22解：线段AB的方程为 y=4(-3≤x≤4)

得：x2a28

ⅰ.当a80时，方程组无解，即0a22 ⅱ.当a80时，方程组无解，即或a26 220a22或a26

点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。

x2y21及点B(0,-2)过左焦点F 与B的直线交椭圆于 C、D 两点，椭圆的右焦例3.已知：椭圆2点为F2，求⊿CDF2的面积。

解：∵ F1(-1,0)∴ 直线BF1的方程为 y=-2x-2 代入椭圆方程得：9x

又∵ 点F2(1,0)到直线BF1的距离d∴SCDF2216x60

514CDd10 29点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题，这是一种基本的解题方法。

（三）利用数形结合的思想解题

例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x仅有一个公共点，则满足条件的直线l有(C)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

y2x21总有公共点，求b的取值范围。例5.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆94解：观察演示可得： b3,3

2y21的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两点，|AB|=4 ,则这样的直线存在(C)例6.过双曲线x2A.一条 B.二条 C.三条 D.四条

（四）总结：1.利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。2.数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。

（五）作业：

1、直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB的中点横坐标等于2，求AB。

2、已知双曲线C：2x2y22与点P(1,2)，（1）求过P(1,2)点的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点、两个交点、没有交点。（2）是否存在过点P 点的弦AB，使A、B中点为P ？（3）若Q(1,1)，试判断以Q点为中点的弦是否存在。

3、如图所示，已知抛物线y24x的顶点为O，点A的坐标为(5,0)，倾斜角为

的直线l与线段OA相交，4（不过点O或点A），且交抛物线于M、N两点，求AMN面积的最大值时l的方程，并求AMN的最大面积。

4、已知圆锥曲线C经过定点P(3,23)，它的一个焦点为F(1,0)，对应于该焦点的准线为x1，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆3x22y22相交与不同的两点，求（1）AB的倾斜角的取值范围。（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程。

第三篇：数学直线与圆锥曲线教学反思

数学直线与圆锥曲线教学反思

本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，这为本节复习课起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》复习的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。

数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征，制定如下教学目标：

1、知识目标：巩固直线与圆锥曲线的基本知识和性质；掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，并会求参数的值或范围。

2、能力目标：树立通过坐标法用方程思想解决问题的观念，培养学生直观、严谨的思维品质；灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法，优化解题思维，提高解题能力。

3、情感目标：让学生感悟数学的统一美、和谐美，端正学生的科学态度，进一步激发学生自主探究的精神。

本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥曲线中常见的弦长问题、中点问题、对称问题等。

我设计了：（1）提出问题——引入课题（2）例题精析——感悟解题规律（3）课堂练习——巩固方法（4）小结归纳——提高认识，四个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

接下来，我再具体谈谈这堂课的教学过程：

（一）提出问题

课前我预先让学生先动手解决两个学生熟知的问题：直线与圆、直线与椭圆有两个公共点的问题。让学生自己归纳解决的方法。对直线与圆既可以用几何法也可以用代数法，而直线与椭圆只能用代数法。通过问题的设置一方面巩固旧知，又总结归纳新知：直线与圆与椭圆公共点的个数等于方程组的解的个数。

(二)例题精析

接着引导学生自然过渡到直线与抛物线、直线与双曲线的位置关系的判断。对于例1，师生共同完成，特别关注两次分类讨论，一次设直线方程时对斜率存在与否进行讨论，另一次消去一个变量y后得到一个方程，是否为二次方程进行再次分类讨论，求出三条直线方程后，引导学生在图形中画出。引导学生从数和形两方面加以类比分析。再对题目进行变式，使学生感悟直线与抛物线的公共点个数问题常可通过图形进行定性分析，但易出错，可通过定量分析进行论证。对于例2，由学生板演，学生自主探究，师生共同归纳。

（三）课堂练习——巩固方法

（四）类比归纳——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容，以及收获，通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地了解数学思想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。

第四篇：直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系 教学目地

培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点

运用解析几何的基本方法建立数形联系。媒体运用

电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影 教学课型 新授课 教学过程

（一）复习引入

通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L与抛物线C的位置关系？

为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L：y1(x1)，抛物线C：2y24x，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？

1y(x1)估计学生都能回答：由方程组的解判断L与C的关系，紧接着提出问题： 2y24x1y(x1)

2、问为什么说方程组有解，L与C就有公共点，为什么该方程组的解对2y24x应的点就是L与C的交点？

通过这一问题，复习一下的对应关系： 直线L上的点方程y1(x1)的解；抛物线C上的点方程y24x的解；L与21y(x1)C的公共点方程组的解。2y24x既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题

讨论直线L：ym(x1)与抛物线C：y24x公共点的个数。

ym(x1)请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2的解，然后让

y4x学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：

1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？

如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L有什么特点？m表示什么？抛物线C有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m为何值时，L与C相切？

3、当m很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L与C是否仅有一个公共点？

后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。

（三）小结：

1、几何关系与代数结论的对照

AxByC0直线L ：Ax+By+C＝0与抛物线C：y＝2px的位置关系讨论方程组2y2px2的解，消元转化为关于x或y方程axbxc0(或aybyc0)。

L与C的对称轴平行或重合a=0； L与C有两个不同的公共点22a0a0；L与C相切于一点  00L与C相离 a0

02、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误？从而总结经验教训。

（四）课堂训练（学生解答）

1、直线yx1与抛物线yx2的交点有几个？

2、讨论直线x=a与抛物线y22x的交点的个数？

3、若直线L：y1ax2与抛物线y22x有两个交点，求a在什么范围内取值？

4、直线ya1x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求a的值。

前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论（即当L与x轴平行时与C交与一点，否则都交于两点），然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论（消元后得到一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，必须在计算之前，先考虑二次项系数a与零的关系）最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论（a0,1,

（五）总结

1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。

2、对比几何、代数两种方法的优劣。

在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

（六）布置作业

1、直线y2x1与抛物线y2x的公共点的有几个？求出公共点坐标。

2、由实数p的取值，讨论直线yx1与曲线y2px的公共点个数

3、若不论a取何实数，直线yma(x1)与抛物线y4x总有公共点，求实数m的取值范围。

2224）后，再利用图形逐一验证。

54、已知抛物线C:y24x，直线L:y1k(x2),.当k为何值时，直线L与抛物线C只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l的方程为y1k(x2)，y1k(x2)由方程组2，（*）

y4x消去x，可得ky24y4(2k1)0.①（1）当k0时，由方程①得 y＝1.把y＝1代入y4x，得x21.414这时，直线l与抛物线只有一个公共点(,1).(2)当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1).21°由0，即2kk10，解得

于是，当k1,或k1时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，21.2直线l与抛物线只有一个公共点.22°由0，即2kk10，解得1k于是，当1k1，且k0时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，21。2直线l与抛物线有两个公共点.23°由0，即2kk10，解得k1,或k于是，当k1,或k与抛物线没有公共点.综上，我们可得 当k1,或k当1k1时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l21，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点.21，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点.21当k1,或k时，直线l与抛物线没有公共点.2 备注：

这堂课的教案是基于在国培期间学习时，受到以下诸位专家教授观点的启发并结合自己的一点思考写下的，敬请各位同行和各位专家予以批评指正。

1、“搬”——30岁的时候我将知识从书上搬到授课笔记上，再从授课笔记搬到黑板上（并且书写工整，保存完整，尽量不檫黑板）

“卷”——现在我将学生卷入课堂，数学教学从数学问题开始。

数学是玩概念的，许多老师却不重视概念，不重视概念应用的教学。做题目为什么——巩固概念，理解概念。概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．

一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．

————陶维林

2、缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；

重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整

讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。

数学概括能力是数学学科能力的基础，数学概括能力的训练是数学思维能力训练的基础。概括是思维的速度，灵活迁移的程度，广度和深度、创造程度等思维品质的基础。概括是概念教学的核心，概括是人们掌握概念的直接前提，把概括的机会让给学生。

————章建跃

3、石家庄二中试验学校的老师讲的课《导数的应用》时，所采用的例题是从课本上的一道例题衍生而来的，只是几个字母的变化，却能体现小台阶大容量的思维过程，水到渠成般的实现了能力的提升。受其启发，本节课所选案例题也尽量体现由一道例题衍生而来的过程，力求抓住其中的内在联系和思维的逐步延伸性。

第五篇：直线与抛物线的位置关系 教案

2.4.2直线与抛物线的位置关系

教学目标

1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法

3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神

教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法

教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用

教学方法：多媒体教学、学案式教学

教学过程

一、课题引入

师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系.提问的目的：

1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；

2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）

师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）

二、新课讲授

例1：已知抛物线的方程为y4x动直线l过定点P(-2,1),斜率为k.。当k为何值时，直线l与抛物线y4x。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点

例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想.那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程ky4y4(2k1)0①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想.根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的 222位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤.课堂练习1 变式训练

已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(0,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评.要点一：求直线的方程

要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论

要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”

2、（1）过点（3,1）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线有 ____条

（2）过点（1,2）与抛物线y4x只有一个公共点的直线有 ____条

（3）过点（0,2）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线 有____条

（4）已知直线ykxk及抛物线y2px(p0)，则（）A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

3、思维拓展

在抛物线y4x上是否存在一点，使它到直线l:yx3的距离最短，并求此距离.课堂总结

本节课我们学习了

1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性.2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想.作业： 222222