例析直线与圆锥曲线的综合应用

第一篇：例析直线与圆锥曲线的综合应用

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例析直线与圆锥曲线的综合应用

作者：管永建

来源：《高考进行时·高三数学》2013年第02期

直线与圆锥曲线的知识在直线与圆关系的基础上展开，是高考中的重点，也是学习中的难点。这部分内容既有几何关系的表述，又有代数关系的转化，推理运算的要求较高，需从解析几何基本思想的高度去透彻理解概念以灵活运用其中蕴藏的各类知识，提高综合解决问题的能力。

例题 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心是坐标原点O，以直线l：x=-4为准线，离心率为22.（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M是直线l上任意一点，以OM为直径的圆D与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，求证：直线AB必过定点E，并求出点E的坐标；

（3）若点M的纵坐标大于0，直线AB与椭圆C交于P、Q两点，点P在x轴上方，且EP=3QE，求此时弦AB的长.分析 直线和曲线相交将几何关系转化为二次方程来讨论，这是解析几何的基本思想。由于定点是椭圆的焦点，故可联系椭圆的定义及三角形相似等知识，数形结合是灵活解决问题的关键。

第二篇：直线与圆锥曲线练习2

直线与圆锥曲线练习

一、选择题

1．过点P(0,2)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有()．

A．0条B．1条C．2条D．3条

xy2．已知点F1，F2－1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的ab直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为正三角形，则该双曲线的离心率是()．

A．2B.C．3D.3

3．(2010·辽宁)设抛物线y＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()．

A．4 B．8C．8 D．16

14．已知抛物线C的方程为x2，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，2

则实数t的取值范围是()．

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－2222 ∪，＋∞22C．(－∞，－2∪(2，＋∞)D．(2)∪(，＋∞)

5．(2011·杭州模拟)过点M(－2,0)的直线l与椭圆x＋2y＝2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于()．

11A．－ B．－2C.D．2 22

二、填空题

6．已知以原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B的两点．若P(2,2)为AB 中点，则抛物线C的方程为________．

x227．(2011·中山模拟)设F1，F2为椭圆y＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆4

→→

交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，PF1·PF2的值等于________．

8．(2011·浙江金华十校模拟)斜率为的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B的两点，则|AB|＝________.三、解答题

9．在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)，A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

第三篇：数学直线与圆锥曲线教学反思

数学直线与圆锥曲线教学反思

本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，这为本节复习课起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》复习的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。

数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征，制定如下教学目标：

1、知识目标：巩固直线与圆锥曲线的基本知识和性质；掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，并会求参数的值或范围。

2、能力目标：树立通过坐标法用方程思想解决问题的观念，培养学生直观、严谨的思维品质；灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法，优化解题思维，提高解题能力。

3、情感目标：让学生感悟数学的统一美、和谐美，端正学生的科学态度，进一步激发学生自主探究的精神。

本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥曲线中常见的弦长问题、中点问题、对称问题等。

我设计了：（1）提出问题——引入课题（2）例题精析——感悟解题规律（3）课堂练习——巩固方法（4）小结归纳——提高认识，四个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

接下来，我再具体谈谈这堂课的教学过程：

（一）提出问题

课前我预先让学生先动手解决两个学生熟知的问题：直线与圆、直线与椭圆有两个公共点的问题。让学生自己归纳解决的方法。对直线与圆既可以用几何法也可以用代数法，而直线与椭圆只能用代数法。通过问题的设置一方面巩固旧知，又总结归纳新知：直线与圆与椭圆公共点的个数等于方程组的解的个数。

(二)例题精析

接着引导学生自然过渡到直线与抛物线、直线与双曲线的位置关系的判断。对于例1，师生共同完成，特别关注两次分类讨论，一次设直线方程时对斜率存在与否进行讨论，另一次消去一个变量y后得到一个方程，是否为二次方程进行再次分类讨论，求出三条直线方程后，引导学生在图形中画出。引导学生从数和形两方面加以类比分析。再对题目进行变式，使学生感悟直线与抛物线的公共点个数问题常可通过图形进行定性分析，但易出错，可通过定量分析进行论证。对于例2，由学生板演，学生自主探究，师生共同归纳。

（三）课堂练习——巩固方法

（四）类比归纳——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容，以及收获，通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地了解数学思想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。

第四篇：圆锥曲线与直线相切的条件教案

圆锥曲线与直线相切的条件教案

教学目的(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；

(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；

(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．

教学过程

一、问题提出

1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？

(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛物线．)

(由教师启发下，让学生共同讨论．)

(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；

(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；

(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．

因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．

3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？

设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程

f(x，y)＝0

与直线方程

y＝kx＋m

组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．

(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)

今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．

二、讲述新课

根据上面分析，得

由②代入①，化简、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

当αk＋β≠0时(二次项系数)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(启发学生讨论．)

由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y＝kx＋m相切的充要条件为

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．

(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．)

(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．

(2)对于椭圆(焦点在x轴上)

即有α＝a，β＝b，于是相切条件为m＝ak＋b．

(3)对于椭圆(焦点在y轴上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．

(4)对于双曲线(焦点在x轴上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．

(5)对于双曲线(焦点在y轴上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．

[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]

2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件

根据上面的分析，得

由②代入①，化简整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

当二次项系数k2≠0时，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为

(让学生独立完成．)

三、巩固新课

(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭

解 设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有

由②代入①，化简整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切线方程为

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程．

(帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．)

y=kx＋m，则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．

(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，即

因此，点P的轨迹方程为

x＋y=a－b．

这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；

a=b，点P的轨迹是一个点圆；

a＜b，点P无轨迹(虚圆)．

解略．

法，不难得出轨迹方程为圆方程

x＋y=a＋b；

这题若改为求抛物线y=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为

即点P一定在准线上．

[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]

四、练习

1．已知l为椭圆x＋4y=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．

2解 如图2，设切线方程为

y=kx＋m，根据相切条件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为

求四边形ABCD的最大面积．

则由相切条件，知

m2=a2k2＋b2，故两切线方程为

即

两切线间的距离

∴四边形ABCD的最大面积为

五、补充作业

轨迹方程．

2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．

教案说明

这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．

这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达到举一反

三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．

在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．

第五篇：直线与圆的方程的综合应用教案参考

直线与圆的方程的应用

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．

二、教学重点、难点：

重点与难点：直线与圆的方程的应用．

三、教学过程

例

4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）

思考:(用坐标法)

1.圆心和半径能直接求出吗？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱A2P2的长度？

解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）, 圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2

解得，b=-10.5

r2=14.52 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52

把点P2的横坐标x=-2 代入圆的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52

22因为y>0,所以y=14.5-(-2)-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m.例

5、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.解：以四边形ABCD互相垂直的对角线作为x轴y轴，建立直角坐标系，设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)过四边形的外接圆圆心O’作AC、BD、AD边的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD边的中点。由线段的中点坐标公式有：

xxac,yybd,xa,ydOMONEE 2222aca2bdd2122所以，|O'E|()()bc 2222222 又|BC|b2c2

所以：|O'E|1|BC|22

用坐标法解决平面几何问题的步骤：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.练习：求直线l: 2x-y-2=0被圆C:(x-3)+y=9所截得的弦长.22解：联立两个方程得x12xy20(x3)2y29

四、课堂小结

• • • • 729729x255解得：,42294229y1y255229d(x1x2)2(y1y2)25理解直线与圆的位置关系的几何性质； 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 熟悉直线与方程的关系，并应用其解决相关问题 会用“数形结合”的数学思想解决问题．