高三数学教案：圆锥曲线的综合问题（最终版）

第一篇：高三数学教案：圆锥曲线的综合问题（最终版）

第八节

圆锥曲线的综合应用

一、基本知识概要：

1知识精讲：

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。

二、例题：

例1.A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB（O为坐标原点）求证：

（1）A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；（2）直线AB经过一个定点

证明：（1）设OAOB,x1x2y1y20A(x1,y1),B(x2,y2),则y12px1,y22px2,22

两式相乘得y1y24p2,x1x24p2

(2)y1y2222p(x1x2),当x1x2,kAB2py1y22py1y2,2py1y2(x2p),所以直线AB的方程yy1(xx1).化简得y2p,0)

过定点（2p,0),当x1x2时，显然也过点（所以直线AB过定点(2p,0)例

2、（2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0,b0)，且交抛物线y2px(p0)于M（x1,y1），N（x2,y2）两点。

（1）写出直线l的截距式方程（2）证明：1y11y21b2

（3）当a2p时，求MON的大小。（图见教材P135页例1）解：（1）直线l的截距式方程为

xayb1。

（1）

（2）、由（1）及y22px消去x可得by22pay2pab0

（2）

点M，N的坐标y1,y2为（2）的两个根。故y1y22pa2pab,y1y22pa.所以1y11y2y1y2y1y21b.2pab（3）、设直线OM、ON的斜率分别为k1,k2,则k1y1x1,k2y2x2.当a2p时，由（2）知，y1y22pa4p2，由y212px1,y222px2,相乘得(y1y2)4px1x2,x1x222(y1y2)4p22(4p)4p2224p,2因此k1k2y1y2x1x24p4p221.所以OMON，即MON＝90。

说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

例

3、（2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为

xa22yb221(ab0)，双曲线xa22yb221的两条渐近线为l1,l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B。（图见教材P135页例2）

（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程 （2）当FAAP时，求的最大值。

解：（1）双曲线的渐近线为ybax，两渐近线的夹角为60，又

ba1，POx30,即batan3033ax23b.又ab2224,a2

y1.23,b21.故椭圆C的方程为3（3）由已知l:yab(xc),与ybax解得P（ac,ab）, c 由FAAP得A(ca2c,abc)，将A点坐标代入椭圆方程得

141(ca)a2222222222222(1)ac,(e)e(1)

ee22(2e)3322.22 e22e2－1。42的最大值为说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。例

4、A，F分别是椭圆

(y1)162(x1)1221的一个上顶点与上焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t,0）与F的连线交射线OA于Q，求：

（1）点A，F的坐标及直线TQ的方程;（2）三角形OTQ的面积S与t的函数关系式及该函数的最小值（3）写出该函数的单调递增区间,并证明.解:(1)由题意得A(1,3),F(1,1)直线TQ得方程为x+(t-1)y-t=0(2)射线OA的方程y=3x(x0),代入TQ的方程，得xQ由xQ0,得t12(2)t3t1223,则yQ34()t4443t3t2

3t3t29,S(t)2312yQOT3943t4322(3t2)(当t43时取等号）13,t,S(t)

2所以S(t)的最小值为4(3)S(t)在,3

上是增函数 224(t2t1)(t1)(t2)41339设t1t2,那么S(t1)S(t2)

2232(t1)(t2)33t2.t143,(t123)23,t22323,,S(t2)S(t1)

所以该函数在43,上是增函数

三、课堂小结：

1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解 四.作业: 教材P136闯关训练。

第二篇：高二数学教案：圆锥曲线方程：02

椭圆及其标准方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．

(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程(一)椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等„„

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．

(二)椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到． 教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题

平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[

]

由学生口答，答案为D．(四)小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-

15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长． 作业答案：

4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．

六、板书设计

第三篇：圆锥曲线教案 对称问题教案

圆锥曲线教案 对称问题教案

教学目标

1．引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法． 2．通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

3．通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理问题．

教学重点与难点

两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点．把数学问题转化为对称问题，即用对称观点解决实际问题是难点．

教学过程

师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质．今天这节课继续讨论有关对称的问题．大家想一想：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？

师：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？ 生：P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′． 师：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？ 生：x=x′且y=-y′．

师：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？ 生：y=y′且x=-x′．

师：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？ 生：y=x′且x=y′．

生：它们关于直线y=x对称．

师：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？ 生：P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧． 师：还有补充吗？

生：PP′的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直．

师：P与P′在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？ 生：还需要保证P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等． 师：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？

生：就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．

师：下面谁来总结一下，两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？

生：应满足两个条件． 生：方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′，y′)的坐标．

师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．

例1 已知直线l1和l关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(选题目的：熟悉对称直线方程)师：哪位同学有思路请谈谈．

生：先求出已知两直线的交点，设l2的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再用点斜式求得l2的方程．

(让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正．)

由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0． 师：还有别的解法吗？

生：在直线l1上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出l的直线方程。(让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正．)解 由方程组：

师：还有别的解法吗？

生：在l2上任取一点P(x，y)，则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程组，解出x′，y′，代入l1问题就解决了．

师：请你到黑板上把解题过程写出来． 解 设P(x，y)为l上的任意一点，2则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P′(x′，y′)在l1上(如图2-75)，

又因为P′(x′，y′)在直线l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程为：4x-6y+3=0．

师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法．那么，如果把l1改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？

引申：已知：曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程．(选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法．)师：例1中的几种解法还都适用吗？ 生：

(让学生把他的解法写出来．)解 设P0(x0，y0)是曲线C：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P′(x1，y1)，因此，连结P0(x0，y0)和P′(x1，y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0)．

师：还有不同的方法吗？

生：用两点关于直线对称的方法也能解决． 师：把你的解法写在黑板上．

生：解：设M(x，y)为所求的曲线上任一点，M0(x0，y0)是M关于直线x-y-2=0对称的点，所以M0定在曲线C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 师：大家再看一个例子．

点出发射到x轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．(如图2-77)

师：解这题的关键是什么？ 生：关键是找到x轴的交点． 师：有办法找到交点吗？ 生：没人回答．

师：交点不好找，那么我们先假设M就是交点，利用交点M对解决这个问题有什么帮助吗？

生：既然AM是入射光线，MD为反射光线，D为切点，这样入射角就等于反射角，从而能推出∠AMO=∠DMx．

师：我们要求|AM|+|MD|能解决吗？

生：可以先找A关于x轴的对称点A′(0，-2)，由对称的特征知：|AM|=|A′M|，这样把求|AM|+|MD|就可以转化为|A′M|+|MD|即|A′D|．

师：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|实际上是过A′点到圆切线的长，要求切线长，只需先连结半径CD，再连结A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如图2-77)(让这位学生把解答写在黑板上．)解 已知点A关于x轴的对称点为A′(0，-2)，所求的路程即为

师：巧用对称性，化简了计算，很好．哪位同学能把这个题适当改一下，变成另一个题目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)两定点，在x轴上，求一点P，使得|AP|+|PD|为最短．

师：谁能解答这个问题？

生：先过A(0，2)关于x轴的对称点A′(0，-2)，连结A′D与x轴相交于点P，P为所求(如图2-78)．

师：你能保证|AP|+|PD|最短吗？

生：因为A，A′关于x轴对称，所以|AP|=|A′P|，这时|AP|+|PD|=|A′D|为线段，当P点在x轴其他位置上时，如在P′处，那么，连结AP′、A′P′和P′D．这时|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形两边之和大于 生：先作A点关于x轴的对称点A′(0，-2)，连结A′和圆心C，A′C交x轴于M点，交圆于P点，这时|AM|+|MP|最小(如图2-79)．

师：你怎样想到先找A点关于x轴的对称点A′的呢？

生：由前题的结论可知，把AM线段搬到x轴下方，尽可能使它们成为直线，这样|A′M|+|MP|最小．

师：很好，大家一起动笔算一算(同时让这位学生上前面书写)． 生：解A点关于x轴的对称点为A′(0，-2)，连A′C交x轴于M，交圆C于P点，因为A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

师：我们一起看下面的问题．

例3 若抛物线y=a·x2-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．

师：这题的思路是什么？

生：如图2-80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-

师：很好，谁还有不同的解法吗？

生：曲线y=ax2-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方

师：今天我们讨论了有关点，直线，曲线关于定点，定直线，对称的问题．解决这些问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法，结合图象利用数形结合思想解决问题．

作业：

1．一个以原点为圆心的圆与圆：x2+y2+8x-4y=0关于直线l对称，求直线l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四边形，已知点A(-1，3)和C(-3，2)，点D在直线x-3y-1=0上移动，则点B的轨迹方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光线从点A(-3，5)射到直线3x-4y+4=0之后，反射到点B(3，9)，则此光线所经过的路程的长是______．

(12)4．已知曲线C：y=-x2+x+2关于点(a，2a)对称的曲线是C′，若C与C′有两个不同的公共点，求a的取值范围．(-2＜a＜1)

设计说明

1．这节课是一节专题习题课，也可以认为是复习题，通过讨论对称问题把有关的知识进行复习，最重要的是充分突出以学生为主体．让学生讨论和发言，就是让学生参加到数学教学中来，使学生兴趣盎然，思维活跃，同时对自己也充满了信心．这样，才有利于发挥学生的主动性，有利于培养学生的独立思考的习惯，发展学生的创造性和思维能力．因此，在数学教学中要有一定的时间让学生充分地发表自己的见解，从而来提高他们的兴趣，发展他们的能力．

2．这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想，让学生在脑海里留下一个深刻的印象，就是对称问题，归根结底都可以化成点关于直线的对称问题，即可用方程组去解决．反过来，一直线与一曲线的方程组消元后得到一元二次方程，若这二次方程的判别式大于零，也可得直线与曲线有两个交点，这种从形到数，再由数到形的转化为我们处理解析几何问题带来了便利．在解题时，只有站在一定的高度上去处理问题，思路才能开阔，方法才能灵活，学生的能力才能真正的得到培养，同时水平才能提高得较快．

3．习题课的一个中心就是解题，怎样才能让学生做尽可能少的题，从而让学生掌握通理通法，这是一个值得研究和探讨的问题．本节课采取了让学生把题目进行一题多变，一题多解，从中使学生悟出一些解题办法和规律，从而达到尽可能做少量的题，而达到获取尽可能多的知识、方法和规律的目的，真正提高学生的分析问题、提出问题、解决问题的能力．解决当前学生课业负担过重的问题，根除题海战术给学生带来的危害．

4．本课的例题选择可根据自己所教学生的实际情况，下面几个备用题可供参考．

题目1过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求点M在直线l上移动时，△MAQ垂心的轨迹方程．

(选题目的：熟练用代入法求动点的轨迹方程，活用平几简化计算．)

解 如图2-81所示．P为△AMQ的垂心，连OQ，则四边形AOQP为菱形，所以|PQ|=|OA|=2，设P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

题目2若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取值范围．

解(如图2-82)设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线

(选题目的：结合对称问题，训练反证法的应用．)此题证法很多．下面给一种证法供参考．

证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(a，b)、5．本教案作业4，5题的参考解答：

4题．解设P(x，y)是曲线y=-x2+x+2上任一点，它关于点(a，2a)的对称点是P′(x0，y0)，则x=2a-x0，y=4a-y0，代入抛物线C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．联立曲线C与C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5题略解：如图2-84，F1(-5，2)，F2(-1，2)，F1关于直线x-y=1的对称点为F1(3，-6)，直线F1F2的方程为2x+y=0，代入x-y=1解得，

第四篇：高三数学教案

高三数学教案---点面距离

课型：复习课；课时：1时间：45分钟 教学目标：

1、知识与技能：在充分了解空间各种距离的概念的基础

上，探究求空间距离的 一般方法；

2、过程与方法：通过师生互动，发现、总结规律；

3、情感态度价值观：从发现数学规律中体验学数学的兴趣。重点难点：

1、点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由两

种方法求得：

﹙1﹚用定义，直接作出这段距离，经论证在计算；

﹙2﹚转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离

2、求解距离问题要注意运用化归与转化思路：面面距离

→线面距离→点面距离→点点距离。

教学方法：讲练结合教具：多媒体

第五篇：2013白蒲中学高二数学教案：圆锥曲线方程：13(苏教版)

求曲线的轨迹方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．

(三)学科渗透点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．

二、教材分析

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．

(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)

三、活动设计

提问、讲解方法、演板、小测验．

四、教学过程(一)复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．

1(二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：

设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程． 分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)

由弦长公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)巩固练习

用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出． 1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的

2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． 答案：

义法)

由中点坐标公式得：

(四)小结

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．

五、布置作业

1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．

2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹． 3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：

1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线

六、板书设计