高三数学教案：不等式的应用

第一篇：高三数学教案：不等式的应用

不等式的应用

一、内容归纳

1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决.3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立.二、例题选讲

题型

1、不等式在方程、函数中的应用。例

1、P96 函数y2axb的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。

x21小结：本题用的是判别式法的思想 练习：P96深化拓展

练习：若关于x的方程4a2a10有实根,求实数a的取值范围。

xx4x1(2x1)22(2x1)22x解：ax212222 x212x121题型2：不等式在几何中的应用 例

2、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大？这个最大值是多少？ 解：如图：A—CC1---B是二墙面所成直二面角, CC1面ABC VABCA1B1C1AB2CC11AC2CB2ACCBCC1CC1（AC=CB时取”=”）244a2b当AB=a,AA1=b时，V1

4b2a当AB=b,AA1=a时，V2

4a2b因此，所围成直三棱柱的底面是等腰Rt，高等于b时，这柱体的体积有最大值.4题型

3、建立函数关系式，利用均值不等式求最值。例3，已知a>0,求函数yx2a1xa2的最小值。

cm，画面的宽与高的比为(1)，画练习：.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果[,]，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

2解：设画面的高为xcm，宽为xcm，则x4840，设纸张面积为S，则有

2334S(x16)(x10)

x2(1610)x16050004410(85时，S取最小值，此时，高x8

5)6760，当且仅当85时，即

484088cm，宽x58855cm.823342312, 34如果[,]，则上述等号不能成立.现证函数S()在[,]上单调递增.设

2334则 S(1)S(2)4410(81518252)4410(12)(8512)，因为12255又120，所以S(1)S(2)0，故S()80，3812在[,]上单调递增，因此对[,]，当233423342时，S()取得最小值.3[思维点拔] 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.题型

四、综合问题 P96 例3 已知函数f(x)ax2bxc(a0且bc0)（1）若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式；

（2）今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X轴上截得的弦的长度为L且0l2，试求f(x)的解折式。

解：P96

三、小结

1、要善于用不等式的知识解决一些表面上非不等式的问题；

2、使用不等式的有关性质、定理、结论时一定要准确到位，尤其是使用基本不等式求最值时，一定要检验等号能否成立。

四、作业：

第二篇：初中不等式数学教案

兴义民族师范学院

2012届毕业生

摸拟实习教案

姓 名：马 泽

院 系：数 学 系

专 业：数 学 教 育

学 号：200930412031 指导教师：黄 激 珊

时间：2011年12月18日

第九章

不等式与不等式组

9.1

不等式

第一课时

9.1.1

不等式及其解集

教学目标：让同学们理解不等式及其解集的概念和表示方

法，同时对一元一次不等式的理解。

教学重点：不等式的表示方法和不等式解集的表示形式。教学难点：在实际应用中不等式所满足的条件及其解集的表

示。

教学用具：直尺。

复习导入：复习一元一次方程。教学过程：

一、提出问题：

一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，要在12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？

二、分析问题：

解：设车速是x千米/时。

从时间上看，汽车要在12:00之前驶过地，则以2502这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，即 ①3x3 从路程上看，汽车要在12:00之前驶过地，则以22x这个速度行驶小时的路程要超过50千米，即50 ②33

式子和从不同的角度表示了车速应满足的条件。

三、归纳定义：

1、不等式：像和这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式。

但是，像a+2a-2这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。这是同学们应该注意的。注意：（1）不含未知数的不等式 例如：34，-1-2（2）含有未知数的不等式5022x 例如：,50x33（3）怎样才能明确未知数满足的条件呢？2x 例如：5032x 当x78时，50;32x 当x75时，50;32x 当x72时，50.3

2x对上面的问题而言，当x取某些值（如78）时，不等式50成立；32x当x取某些值（如75,72）时，不等式50不成立。3

2、不等式的解：与方程类似，我们把不等式成立的未知数的值叫 做不等式的解。2x2x 例如：78是不等式50的解，而75和72不是不等式50的解.33

2x思考：判断下列数中哪些是不等式50的解？376，79,73，80,74.2,75,90,63

你还能最找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？2x从以上的思考可以发现，当x=75时，不等式50成立，而当x7532x或x=75时，不等式50不成立。3

这就是说：任何一个大于75的数都是不等式2x50的解，这样的解有无数个。

33、解的集合：能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集。

2x例如：50的解集表示为：x75.这个解集还可以用数轴来表示：3

图9.1-1 原点①数轴正方向 ② 实数与点一一对应单位长度

用数轴来表示解集应注意得到问题：

（1）在表示75的点上画空心圆圈，表示不包含这一点。

（2）若画的是实点，则包含这个点。如x≥3 4

图9.1-2

(3)一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

（4）求不等式的解集的过程叫做解不等式。

4、一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知

数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

2x例如：50是一个一元一次不等式。3 同学们还能举出一些一元一次不等式的例子吗？250,7x14,2x423x250注意：中的x在分母位置，这个不等式不是一元一次不等式。3x

四、练习训练：

1、下列数值哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？-4，-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,9,12,16.2、用不等式表示：

（1）a是正数；

（2）a是负数；

（3）a与5的和小于7；

（4）a与2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；

（6）a的一半小于3；

3、直接求出不等式的解集：

（1）x+3>6；(2)2x<8；(3)x-2>0.五、回顾总结：

1、不等式  不等式的解  解的集合  表示方法（数轴）

2、一元一次不等式；理解概念。

六、作业布置：

1、下列数值中哪些是不等式2x+3>9的解？哪些不是？-4，-2，0,1,3,3.02,4,6,50,58,100.2、用不等式表示：（1）a与5的和是正数；（2）a与2的差是负数；（3）b与15的和小于27；（4）b与12的差大于-5；（5）c的4倍大于或等于8；（6）c的一半小于或等于3；（7）d与e的和不小于0；（8）d与e的差不大于-2.3、写出不等式的解集：（1）x+2>6；（2）2x<10；（3）x-2>0.1；（4）-3x<10.7

第三篇：高三数学教案

高三数学教案---点面距离

课型：复习课；课时：1时间：45分钟 教学目标：

1、知识与技能：在充分了解空间各种距离的概念的基础

上，探究求空间距离的 一般方法；

2、过程与方法：通过师生互动，发现、总结规律；

3、情感态度价值观：从发现数学规律中体验学数学的兴趣。重点难点：

1、点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由两

种方法求得：

﹙1﹚用定义，直接作出这段距离，经论证在计算；

﹙2﹚转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离

2、求解距离问题要注意运用化归与转化思路：面面距离

→线面距离→点面距离→点点距离。

教学方法：讲练结合教具：多媒体

第四篇：均值不等式应用

均值不等式应用

一．均值不等式

22ab1.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则abab时取“=”）22

22.(1)若a,bR*，则ab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）2

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR*，则ab）22

3.若x0，则x

取“=”）1）;若x0，则x12(当且仅当x1时2(当且仅当x1时取“=”xx

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）

xxx

ab4.若ab0，则2(当且仅当ab时取“=”）ba

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

注：（1）3.已知x,yR,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p为定值，那么当且仅当时，s=x+y有；

②若s为定值，那么当且仅当时，p=xy有。

（备注）：求最值的条件“一正，二定，三取等”

应用一：求最值

解题技巧：技巧一：凑项

例1：已知x5，求函数y4x21的最大值。44x

51不是常数，所以对4x2要进行拆、4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)

凑项，∵x511,54x0，y4x254x3231 44x554x

当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当

时，求yx(82x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两

个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

32x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222

3当且仅当2x32x,即x30,时等号成立。

42

技巧三： 分离

x27x10

(x1)的值域。例3.求y

x1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t

5ttt

当,即t=

时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x调性。

例：求函数y

A

B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不g(x)

a的单x

2的值域。

2t(t

2)，则y

1

t(t2)

t因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.t1t

1t5。

252

11x23x1

y2sinx,x(0,)y2x,x3,(x0)(3)（1）y（2）

sinxx3x

2．已知0x

1，求函数y3．0x

.；，求函数y

3.条件求最值

ab

1.若实数满足ab2，则33的最小值是.解： 3和3都是正数，33≥23a3b3ab6

a

b

a

b

ababab

当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，33的最小值

是6．

变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y0，且

1，求xy的最小值。xy

19191，xy

xy12xyxy

错解： ∵x0,y0，且．．

故 xymin12。

错因：解法中两次连用均值不等式，在xyx

y，在19x

y

成立条件是

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题xy

时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x19

正解：∵x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

19y9x时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，xymin16。

xyxy

x

y

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值



(2)若a,b,x,yR且ab1，求xy最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系数为，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面将x，1y ＋分别看成两个因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

变式: 求函数y

1x5)的最大值。

解析：注意到2x

1与52x的和为定值。

y2

244(2x1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2

x1=52x，即x

时取等号。故ymax 2

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1． 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca

2正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

111

3、已知a、b、cR，且abc1。求证：1118

abc



解：a、b、cR，abc1。

111abc

11

11

aaabc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1时取等号。111。当且仅当abc11183abc

应用三：均值不等式与恒成立问题

例：已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

x

y

条件：m≤(x+y)的最小值，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若ab1,P

lgalgb,Q

1ab(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是22

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)algbp 2

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

22Q

第五篇：高三数学教案：导数的概念及应用

课时考点2 导数的概念及应用

高考考纲透析：（理科）

(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。（文科）

(1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几何意义。(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

高考风向标：

导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

高考试题选：

1.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能 的是（）

x2.设曲线ye(x≥0）在点M（t,e--t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.23.已知a为实数，f(x)(x4)(xa)，（Ⅰ）求导数f(x)；（Ⅱ）若f(1)0，求f(x)在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若f(x)在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.热点题型1: 函数的最值

已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：（I）f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

变式新题型1：

已知f(x)ax36axb,x[1,2]的最大值为3，最小值为29，求a,b的值。

解题分析：对a的符号进行分类讨论，比较区间端点函数值及极值点的大小。

热点题型2: 函数的极值

已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.（1）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程.（1）解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即

3a2b30，3a2b30.解得a1,b0.∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1).令f(x)0，得x1,x1.若x(,1)(1,)，则f(x)0，故

f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数.若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数.所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.（2）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上.3设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0x03x0.2因f(x0)3(x01)，故切线的方程为yy03(x01)(xx0)

2注意到点A（0，16）在切线上，有

32316(x03x0)3(x01)(0x0)

化简得x08，解得x02.所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.变式新题型2：

322已知f(x)xaxbxc和g(x)x3x2若yf(x)在点x1处有极值，且

曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线。（1）求a,b,c的值，（2）求yf(x)在R上的极大值和极小值。

解题分析：关健点是：曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线构造两个方程。

热点题型3: 函数的单调性

(理科)已知函数f(x)

简明答案：（Ⅰ）f(x)ax6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.x2b（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.2x6；

（Ⅱ）f(x)在(,323)和(323,)上是减函数，2x3在(323,323)上是增函数。

（文科）已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70（.Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调区间.简解：（Ⅰ）f(x)x33x23x2，（Ⅱ）f(x)x3x3x2在(,12)和(12,)上是增函数，在32(12,12)上是减函数。

变式新题型3：

42已知函数f(x)axbxc的图象经过点（0,1），且在x1处的切线方程是yx2，（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的单调递增区间。

解题分析：关健点是：在x1处的切线方程是yx2构造两个方程。

热点题型4: 分类讨论在导数中应用

已知aR，函数f(x)x2|xa|。

（1）当a2时，求使f(x)x成立的x的集合；（2）求函数yf(x)在区间[1,2]上的最小值。解：（1）由题意，f(x)x|x2|

2当x2时，f(x)x(2x)x，解得x0或x1； 2当x2时，f(x)x(x2)x，解得x122

综上，所求解集为{0,1,12}；（2）设此最小值为m

32①当a1时，在区间[1,2]上，f(x)xax

2a0,x(1,2)3则f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以mf(1)1a； 因为f(x)3x2ax3xx2 ②当1a2时，在区间[1,2]上，f(x)x2|xa|0，则f(a)0知

mf(a)0；

③当a2时，在区间[1,2]上，f(x)ax2x3，f(x)2ax3x23x2ax 3若a3，在区间(1,2)内f(x)0，从而f(x)为区间[1,2]上的增函数，由此得：

mf(1)a1；

若2a3，则1当1x2a2 322a时，f(x)0，从而f(x)为区间1,a上的增函数； 3322当ax2时，f(x)0，从而f(x)为区间a,2上的减函数 33因此，当2a3时，mf(1)a1或mf(2)4(a2)；

7当2a时，4(a2)a1，故m4(a2)

37a3时，a14(a2)，故ma1 31a,当a1时0,当1a2时综上所述，所求函数的最小值m4(a2),当2a7时

3a1,当a7时3当变式新题型4：

已知aR，求函数f(x)x2eax的单调区间。

备选题：

已知a > 0，函数f(x)= x3 – a，x∈[0，+)．设x1 > 0，记曲线y = f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）．证明：

（ⅰ）x2≥1a3；（ⅱ）若x1>

1a3，则

1a3< x2 < x1．

（Ⅰ）解：求f(x)的导数：f(x)= 3x2，由此得切线l的方程：

3a)= 3x12(xx1)． y –(x1

（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y = 0，33x1a2x1ax2 = x1 –，3x123x12113

（ⅰ）x2a2(2x1a3x12a3)=2(x1a3)2(2x1a3)≥0，3x13x113111 所以

x2≥a，当且仅当x1 =a时等号成立．

13113133x1a

（ⅱ）若x1 >a，则xa0,x2x10，且由（ⅰ）x2 >a3，23x13113 所以a< x2 < x1．