线代知识点总结

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第一篇:线代知识点总结

《线性代数》复习知识点和考题分析

一. 行列式的计算

1.方阵的行列式;2.如何判断行列式是否等于0

二. 矩阵及其运算

1.判断方阵是否可逆,并会求逆矩阵;2.解矩阵方程或求矩阵中的参数;3.求矩阵的 n次幂;4.初等矩阵与初等变换的关系的判定;5.矩阵关系的判定 三. 向量组

1.向量组线性相关性的判定或证明;2.根据向量的线性相关性判断空间位置关

系或逆问题;3向量由向量组线性表示;4.向量组的秩和极大无关组 四. 方程组的解

1.一般方程组求解问题;2.向量组的线性表示、线性相关、线性无关问题;3.与方程组有关的问题

五. 特征值及对角化

1.求矩阵的特征值或特征向量;2.已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征

方程的情况,求参数;3.已知矩阵的特征值或特征向量,求矩阵、其他矩阵的特征值等问题;4.将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化;5.矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵

六. 二次型

1.化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换;2.已知一含参数的二次型化

为标准形的正交变换,反求参数或正交矩阵;3.已知二次型的秩,求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式;4.矩阵关系合同的判定或证明;5.矩阵正定的证明

第二篇:线代试题库知识点

题型
A 行列式



知识点
a 行列式的性质(K)b 余子式、代数余子式与展开法则(K)c 低阶数字行列式的计算(K)d Cramer 法则(K)e 高阶行列式的计算(J)a 矩阵的基本运算(包括向量的线性运算)(K)b 矩阵运算的性质(包括杂题)(X)c 抽象矩阵的行列式(K)d 数字矩阵的逆(K)e 可逆性、正交性等问题的判断与证明(K, X, Z)f 矩阵的秩与矩阵的等价(X, K, Z)g 解矩阵方程(包括行最简形)(J)h 初等方阵与初等变换的关系(X)a 向量组的线性相关性(K, X, Z)b 向量组的秩与最大无关组(X, J)c 线性表示与向量组的等价(X, Z, J)d 过渡矩阵与向量的坐标(K)a 线性方程组解的性质与通解结构(X, K)b 线性方程组解的判别定理(X)c 齐次线性方程组的基础解系(X, K)d 不带参数的线性方程组的解(J)e 带参数的线性方程组的解(J)f 两个线性方程组的公共解(J)g 线性方程组的几何意义(X)a 特征值、特征向量的定义与基本性质(包括对称阵)(X)b 特征值与矩阵的关系、各种运算下特征值间的关系(K)c 抽象矩阵的特征值与特征向量(K)d 矩阵的相似与合同(X)e 矩阵的相似对角化(J)f 对称矩阵的正交相似对角化(正交变换法化二次型为标准形)(J)g 由矩阵的特征值及特征向量反求矩阵(J)a 二次型及其矩阵(K)b 二次型的秩(K)c 二次型的标准形与规范形(K)d 二次型的正定性(K, Z)

K 填空题

B 矩阵的运算 与矩阵的秩

X 选择题

C 向量组

D 线性方程组

J 计算题

E 特征值与特征向量 矩阵的相似对角化

Z 证明题

F 二次型

注:绿色部分表示暂未激活


第三篇:考研线代公式总结

1、行列式

1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式; 2.代数余子式的性质:

①、Aij和aij的大小无关;

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A; 3.代数余子式和余子式的关系:Mij(1)ijAijAij(1)ijMij

4.设n行列式D:

n(n1)将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1(1)

D; n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2(1)2

D;

将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3D;

将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4D; 5.行列式的重要公式:

①、主对角行列式:主对角元素的乘积;

n(n1)②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)

2;

③、上、下三角行列式(◥◣):主对角元素的乘积; n(n1)④、◤和◢:副对角元素的乘积(1)2;

⑤、拉普拉斯展开式:

AOACAB、CAOA

(1)mnCBOBBOBC

AB ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;

n

6.对于n阶行列式A,恒有:EAn(1)kSnkk,其中Sk为k阶主子式;k

12、矩阵

1.A是n阶可逆矩阵:

A0(是非奇异矩阵); r(A)n(是满秩矩阵)

A的行(列)向量组线性无关; 齐次方程组Ax0有非零解; bRn,Axb总有唯一解; A与E等价;

A可表示成若干个初等矩阵的乘积; A的特征值全不为0; ATA是正定矩阵;

A的行(列)向量组是Rn的一组基; A是Rn中某两组基的过渡矩阵;

2.对于n阶矩阵A:AA*A*AAE 无条件恒成立; 3.(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT

(AB)*B*A*

(AB)1B1A1

4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;

5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:

A1若A



A2



,则: 

As

Ⅰ、AA1A2As; A11

Ⅱ、A1



1

1A2

; 

As1

O

;(主对角分块)B1

A1AO

②、

OBO

OOA③、1

BOA

A1AC④、

OBO

11

1

B1

;(副对角分块)O

A1CB1

;(拉普拉斯)B1

O

;(拉普拉斯)B1

A1AO

⑤、11

CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:Fr

O

对于同型矩阵A、B,若r(A)r(B)AB; 2.行最简形矩阵:

①、只能通过初等行变换获得;

②、每行首个非0元素必须为1;

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)

①、若(A,E)(E,X),则A可逆,且XA1;

②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A1B,即:(A,B)(E,A1B);

③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Axb,如果(A,b)(E,x),则A可逆,且xA1b; 4.初等矩阵和对角矩阵的概念:

①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

1

②、



r

r

E

O

; Omn

等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;

c

2

,左乘矩阵A,乘A的各行元素;右乘,乘A的各列元素;

ii



n

1

111

1③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)E(i,j),例如:1;

11

11

1

11

④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))E(i()),例如:k

k1

1

1k



(k0); 1

kk11



⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k)),如:11(k0);

11

5.矩阵秩的基本性质:

①、0r(Amn)min(m,n);

②、r(AT)r(A);

③、若AB,则r(A)r(B);

④、若P、Q可逆,则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B);(※)⑥、r(AB)r(A)r(B);(※)⑦、r(AB)min(r(A),r(B));(※)

⑧、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且AB0,则:(※)Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解(转置运算后的结论);

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)r(A)r(B)n;

6.三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如1ac01b

的矩阵:利用二项展开式;

001

二项展开式:(ab)n

C0an

C1an1b1

Cmanm

m

nn

n

n

bC

n11n1n

ab

Cbn

n

mmnm

n

Cnab;m0

注:Ⅰ、(ab)n展开后有n1项;

Ⅱ、Cmn(n1)(nm1)n!

n123m

m!(nm)!

C0nnCn1

Ⅲ、组合的性质:Cm

Cnmn

n

C

m

m1n

rn1

CC

mnn

C

n

2n

rCrnCr1

nn1

; r0

③、利用特征值和相似对角化: 7.伴随矩阵:

r(A)n①、伴随矩阵的秩:r(A*)

n

1

r(A)n1; 

0r(A)n1

②、伴随矩阵的特征值:A

1

(AXX,A*AAA*X

A

X);

③、A*AA

1、A*A

n

18.关于A矩阵秩的描述:

①、r(A)n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;(两句话)

②、r(A)n,A中有n阶子式全部为0; ③、r(A)n,A中有n阶子式不为0;

9.线性方程组:Axb,其中A为mn矩阵,则:

①、m与方程的个数相同,即方程组Axb有m个方程;

②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为n元方程; 10.线性方程组Axb的求解:

①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;

4、向量组的线性相关性

1.m个n维列向量所组成的向量组A:1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m); 1TTTT

构成mn矩阵B2; ,,mm个n维行向量所组成的向量组B:1T,2

Tm

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

2.①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解;(齐次线性方程组)

②、向量的线性表出(线性方程组)Axb是否有解;③、向量组的相互线性表示(矩阵方程)AXB是否有解;

3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax0和Bx0同解;(P101例14)4.5.r(ATA)r(A);(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义: ①、线性相关0;

②、,线性相关 ,坐标成比例或共线(平行);

③、,,线性相关 ,,共面;

6.线性相关与无关的两套定理:

若1,2,,s线性相关,则1,2,,s,s1必线性相关;

若1,2,,s线性无关,则1,2,,s1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量,构成n维向量组B:

若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;

7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs(二版P74定理7);

向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)r(B);(P86定理3)向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解;

r(A)r(A,B)(P85定理2)

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)(P85定理2推论)①、矩阵行等价:A~BPAB(左乘,P可逆)Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价:A~BAQB(右乘,Q可逆); ③、矩阵等价:A~BPAQB(P、Q可逆); 9.对于矩阵Amn与Bln:

①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;

②、若A与B行等价,则Ax0与Bx0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A的行秩等于列秩; 10.若AmsBsnCmn,则:

cr

8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl,使AP1P2Pl;

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵; ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)

11.齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解;

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解;

12.①、对矩阵Amn,存在Qnm,AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关;(P87)

②、对矩阵Amn,存在Pnm,PAEn

r(A)n、P的行向量线性无关;

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵ATAE或A1AT(定义),性质:

①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aTiaij

j

1

0

ij

(i,j1,2,n); ②、若A为正交矩阵,则A1AT也为正交阵,且A1; ③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2.施密特正交化:(a1,a2,,ar)

b1a1;

b2a2

[b1,a2]

[bb1 1,b1]



b[b1,ar]rar

[bb[b2,ar]b[b1,ar]

12rbr1;1,b1][b2,b2][br1,br1]

3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;

对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4.①、A与B等价 A经过初等变换得到B;

PAQB,P、Q可逆; r(A)r(B),A、B同型;

②、A与B合同 CTACB,其中可逆;

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数; ③、A与B相似 P1APB; 5.相似一定合同、合同未必相似;

若C为正交矩阵,则CTACBAB,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6.A为对称阵,则A为二次型矩阵;

第四篇:相交线、平行线知识点总结

相交线、平行线知识点总结

1、三个距离:

(1)两点之间的距离:__________________

(2)点到直线的距离:__________________

(3)平行线间的距离:__________________

2、几种角:

(1)余角:∠1+∠2=_______°补角:∠1+∠2=_______°

(2)邻补角:∠1+∠2=_____°(有一条公共边和公共顶点)

(3)对顶角

(4)锐角、直角、钝角、平角

(5)同位角、内错角、同旁内角

3、可以用来推理的依据:

(1)同角的余角_______,同角的补角_________。

(2)对顶角________;邻补角的意义.(3)角平分线的意义

(4)垂直的定义;垂直的意义

(5)互补的意义;互余的意义

(6)判定平行线的三个方法:_________________________________________________________________________________

(7)平行线的三个性质:___________________________________________________________________________

(8)垂直于同一条直线的两条直线___________

(9)平行于同一条直线的两条直线__________

(10)同底等高的三角形面积________

(11)平行线间的距离处处相等

(12)等量代换;等式的性质

(13)垂直平分线(中垂线)的意义

4、几个基本性质

(1)两点之间,__________最短

(2)垂线段最短

(3)两条直线相交,有________个交点

(4)经过一点有________条直线垂直于已知直线

(5)经过直线外的一点有_______条直线平行于已知直线.

第五篇:线代复习要点

线性代数期末复习要点

1.行列式及矩阵运算(乘法、转置、伴随)的基本性质;

2.可逆矩阵(含初等矩阵)的性质及其逆矩阵的求法;

3.矩阵的秩及其分块的性质与计算;

4.向量组的线性关系和向量组的秩;

5.一般线性方程组的求解(含判定定理及结构定理);

6.向量空间的内积的性质及其标准正交基的求法(施密特正交化方法);

7.正交矩阵的性质;

8.方阵的特征值与特征向量的性质及其求法;

9.矩阵的相似与对角化问题;

10.矩阵的合同与对角形问题;

11.实对称矩阵(实二次型)的标准形的求法(配方法、合同变换法、正交变换法);

12.正定矩阵(正定二次型)的性质及判定.-----戴跃进

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