线 性 代 数 试 卷(A)（合集五篇）

第一篇：线 性 代 数 试 卷(A)

线 性 代 数 试 卷(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1若矩阵A011.(A)(C)0-1*a101a122的秩r(A)2,则a的值为_____________2(B)(D)0或-1-1或者1

2.设A为正交矩阵，且|A|1,则A__________(A)A T

(C)A

T___

(B)A

3.设,是n维列向量,

0,n阶方阵AE,n3，则

T在A的

n个特征值中,必然______________

(A)有n个特征值等于1(B)有n1个特征值等于1(C)有1个特征值等于1(D)没有1个特征值等于1

4.设A,B为n阶方阵，且秩相等，既r(A)r(B),则______________

(A)(C)r(A－B)0r(A,B)2r(A)mn(B)(D)r(AB)2r(A)r(A,B)r(A)r(B)

5.设矩阵A的秩r(A)n,则非齐次线性方程组Axb_____________(A)一定无解(B)可能有解

(C)一定有唯一解(D)一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

1.设A是n阶方阵A的伴随矩阵，行列式|A|2，则 |2A|=_____________ **42.D中第二行元素的代数余子式的和

j1A2j=__________ ,其中

111111121111111112D =

正定,3.已知实二次型则实常数

a的取值范围为________________

ABAf(x1,x2,x3)x14x22x32ax1x12x2x34.2n阶行列式

a0A0 0a0B________________ ,其中n阶矩阵

0b0b00



000a

00Bb 5.设为正整数，则

三、计算题(每题9分,共54分)1.计算n阶行列式

x1mDn•x1x1x2x2mx2x3x3x3101A=02010，1而n

2A2Ann1______

xnxnxnm•

2.求AXBA1

X矩

010阵

060,B001012021使

21ABX0，其中,A00

2x1x2a3x3a4x4d1x12x2b3x3b4x4d2cxcx2x3xd3433.设非齐次线性方程组1122有三个解向量

12112111 1＝，2＝324，3＝2

i

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中a为已知常数)

4.已知实二次型 过正交 变换交矩阵Q XQYf(x1,x2,x3),bj,ck,dt=

2x13x23x32x2x3(0)222经,化为标准形

y12y25y3222,求实参数及正5.设线性方程组为，问a,b各取何值时，线性

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

6.在四元实向量构成的线性空间R中,求a使,,,为R的基,并求由基,,,到,,,的过渡矩阵P,其中

41234x1x2x33x402x1x23x35x413x12x2ax37x41x1x23x3x4b412341234

四、证明题(每题8分,共16分)1.设 ,, 是欧氏空间V的标准正交基,证明: 12311110111123400110001   

111111101234a2a001100    113(21223)213(21223)313(12223)也是V的标准正交基

2.设fXT1

TAX是n元实二次型,有n维实列向量XT21,X20,使

0X1AXT0，X0AX0, 证明:存在n维列实向量X,使X0AX=0

线性代数考试A 参考答案

一、选择题

1.(A)2.(B)3.(B)4.(D)5.(B)

二、填空题

1.n|2A|2n1*2n1； 2.0； 3.|a|72； 4.(ab)22n；

5.A2A0

三、计算题

1.解 各列加到第一列，提出公因式

1nx2x2m2xnxnxnmn1x2m0xn0Dn(xim)•i11•0(xim)•i10•1x

8分

n =

m

= 分

2.3分(1)n1mn1(xim)i 9

(ABA)XBA11

100002032X0000120219分

3.由题设条件知,,是AX123

3X00011/201/21

b的三个解，因此

2113633－1＝1，3－2＝1

是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A的秩r(A)2

21又A中有二阶子式12，r(A)2，因此r(A)＝2 3分

因此－，－为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解： 350132

9分

216 k11k21332341＋2，k1,k2为任意常数

4.f的矩阵有特征值 1,2,5

由|A|2(9),0,得

22分

A对应的线性无关的特征向量

12321232A000303，5分

A对应的单位正交特征向量

011121011121003，011，8分

于是正交变换X = QY中的正交矩阵

1200013121

Q(9分

12A315.1121,2,3)=

01121200011

13a3357110110100b110011a40311210b20 3分

当a4时，方程组有唯一解

当a4，b2时，方程组无解

5分

当a4，b2时，r(A)r(A)＝3 < 4，方程组有无穷多组解,其通解为

21k101100＋，k为任意常数

9分

6.2分

设A(,1解

2：

1a1 ,3,4),B(,2,3,4),则

1111001000

设(10A0 01110011101111，,2,3,4)(1,2,3,4 4分)P,则

221001000

11Ba12a1

四、证明题 1.证：因为

21a1PABa11a11a1

9分(1,2)19(4(1,1)2(2,2)2(3,3))0,(1,3)(2,3)0

分 12(1,1)119所以,2,3

是V的标准正交基。

(4(1,1)4(2,2)(3,3))1，223218分

2.证:f是不定二次型,设f的正惯性指数为P,f的秩为r，则0Pr, 2 分

f可经非退化线性变换XQY化为规范形

yyyy f=4分

22221PP1r取 Y018分

001T0000T ,则有 X0PY00 使

X0AX=1001000

第二篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

第三篇：线性代数试卷

线性代数试题

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第四篇：线性代数 试卷

浙江大学2008-2009学年秋冬学期 《线性代数I》课程期末考试试卷及参考答案

2x11．解线性方程组x1x15x22x24x24x3x36x3x4x42x4x5x5x535。10解：略。

2．线性变换T:22的定义是

T(x,y)(3xy,x3y).设B{(1,1),(1,1)},B{(2,4),(3,1)}。（a）证明B,B是2的两组基。

（b）给出T关于基B的矩阵表示A和T关于基B的矩阵表示A。（c）求矩阵Q使AQ1AQ。

（a）证明：先证明B线性无关（略）。因为B所含的向量个数2dim2，所以B是2的一组基。B类似可证。

（b）解：由定义即可（略）。

（c）解：矩阵Q是基B到基B的过渡矩阵，由定义求之即可。

00103．设矩阵A0100n2。解：

0a100a200a3。求行列式AtI，其中I是n阶单位阵，01an0t1AtI00000t000000000ta1a2a31tan101tan0000tnantn1a2ta1tn1antn2a3ta2tn2antn3a4ta3t2antan1tanRn1tRn100Rn2tRn1010R1tR20000

0001tnantn1a2ta14．令V为由全部在闭区间[0,1]上连续的实函数构成的集合，即

V{f:[0,1]|f连续}（a）给出V的向量加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

01（a）解：对f,gV,，定义

fg:[0,1]f(x)g(x)，f:x[0,1]x(f(x))验证上面定义的加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明：对f,g,hV,，有

(f,g)f(x)g(x)dxg(x)f(x)dx(g,f);0011(f,g)f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx(f,g);0011(fg,h)(f(x)g(x))h(x)dxf(x)h(x)dxg(x)h(x)dx(f,h)(g,h);000111(f,f)f2(x)dx001所以(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

015．设映射D:[x]5[x]5用D(f)f来定义，其中f是f的导数。（a）证明D是线性变换。

（b）给出D的核，他的一组基和维数。（c）给出D的像，他的一组基和维数。（a）证明：对

fa0a1xa2x2a3x3a4x4,gb0b1xb2x2b3x3b4x4[x]5,，有

D(fg)D((a0b0)(a1b1)x(a2b2)x2(a3b3)x3(a4b4)x4)(a1b1)2(a2b2)x3(a3b3)x24(a4b4)x3D(f)D(g),D(f)D(a0a1xa2xa3xa4x)a12a2x3a3x24a4x3D(f)所以D是线性变换。

234

（b）D的核kerD，f1是他的一组基，他的维数dimkerD1。（c）D的像ImD[x]4，1,x,x2,x3是他的一组基，他的维数dimImD4。

1126．判断实矩阵A121是否可对角化。若A可对角化，求矩阵Q使Q1AQ013是对角矩阵D，并给出矩阵Q1和D。解：略。

27．实二次型f:2的定义是f(x1,x2)2x125x24x1x2。

（a）给出对应于f的实对称矩阵A。

（b）给出A在相合（即合同）意义下的标准形（或规范形）。

（c）给出f的正惯性指数和负惯性指数，并判断f是否正定或者负定。解：略。

8．设,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量。如果avbw是T的特征向量，证明a0或者b0。证明：因为avbw是T的特征向量，所以存在T的特征值使得T(avbw)(avbw)。因为v和w分别是属于和的特征向量，所以avbwT(avbw)aT(v)bT(w)avbw，即a()vb()w0。因为,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量，所以v,w线性无关。所以a()0,b()0。

如果a0，则有。因为,互异，所以0，进而b0。所以有a0或者b0。

9．证明或举反例否定下面命题。

V)dim(W，)则任何线性映射（a）若有限维线性空间V,W满足dim(T:VW都不是同构。

答：正确。因为T:VW是同构dim(V)dim(W)。

（b）若方阵A,B有相同的特征多项式，则A和B是相似的。

10答：错误。例如A,BE2，则他们的特征多项式相同，均为

11f()(1)2，但A和B不相似，因为A不可对角化。

（c）若可逆方阵A相合于方阵B，则他们的逆矩阵A1,B1也是相合的。

答：正确。这是因为：若可逆方阵A相合于方阵B，则存在可逆矩阵CT1使得BCTAC，进而B1(CTAC)1C1A1(C)C1A1(C1)T，即A1,B1相合。

（d）实正交矩阵一定可对角化。

cos答：错误。比如Asinsin的特征多项式为cosf()22cos1，所以没有实特征根，当然也不能对角化。

第五篇：线性代数2011年试卷

线性代数2011年试卷

一、填空题

1、n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是_____________________________________。

2、设A是3阶可逆矩阵，若A的特征值是1,2,3，则|A|=______________________.3、含有n个未知量的线性方程组德 系数矩阵与增广矩阵的秩都是r，则r ______________

时，方程组有唯一解；则r_____________________ 时，方程组有无穷多解；

3521110

54、设D，其aij元素的代数余子式记做Aij，则13132413-2A11+6A12+2A13+6A14=__________________________

5、二次型

二、选择题

1设A,B为n阶方阵，满足等式AB=0，则必有（）

A、A=0，或B=0;

B、A+B=0;

C、|A|=0或|B|=0;

D、|A|+|B|=0

2、设A,B为n阶方阵，A与B等价，则下列命题中错误的是（）A、若|A|>0,则|B|>0;B、若|A|≠0,则B也可逆;C、若A与E等价，则B与E也等价；D、存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ=B.11203

3、齐次线性方程组系数矩阵的行阶梯型矩阵是00132，则自由未知量不能

00006取为（）

A、x4,x5;

B、x2,x3;

C、x2,x4;

D、x1,x3.4若R(1,2,,s)=r，则（）

A、向量 组中任意r-1个向量均线性无关；B、向量组中任意r个向量均线性无关； C、向量组中向量个数必大于r；D、向量组中任意r+1个向量均线性相关。

5、设A为3阶方阵，1，-1，2是它的三个特征值，对应的特征向量依次为

012TTT 1(1,1,0),2(2,0,2),3(0,3,3),令P310，则P-1AP等于（）

302111;

B、;

2A、21122;

D、1;C、11

三、计算题

a101b11、计算行列式01c00100 1d0231

2、求矩阵1121的秩

1344101

3、求A=052的逆

00111131111

4、求向量组1，234的一个极大无关组，并用此极大21353157无关组线性表示其余向量。

5、求非齐次线性方程组2x1x22x33的通解

3x12x24x31123

6、求213的特征值和特征向量

336

四、设 A为n阶矩阵，1和2是A 的2个不同的特征值，1,2是分别属于1和2的特征向量，证明：12不是A的特征向量。