高中数学必修二《立体几何》教学感想--赖泳湖

第一篇：高中数学必修二《立体几何》教学感想--赖泳湖

高中数学必修二《立体几何》教学感想

赖泳湖

摘要立体几何在历年的高考中有两到三道小题，必有一道大题。虽然分值比重不是特别大，但是起着举足轻重的作用。有的同学对这门课程的学习不适应，对于纸面或黑板面上的图形左看右看也不像是空间图形，对于平面几何中的结论在立体几何中是否成立拿不准，对于证明题的推理表达，有时也说不到点子上，甚至有的同学产生了畏惧心理。所以如何使学生更好地学习好立体几何成了每位数学教师关心的问题。

关键词高考；立体几何；“20+20”；定理；想象力；思维能力；转化思想

近几年，我校推行的“20+20”课堂教学模式取得了新的突破。在“20+20”课堂教学模式下，教师如何在有限的时间内“讲”、学生如何在有限的时间内“学”成为了我校教师探讨及研究的首要课题。

在这几年的数学教学中，我发现学生对于立体几何有一种恐惧感，追究学生害怕立体几何的原因，其实就是学生缺乏空间想象力，造成思维受阻。因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。

为了降低立体几何入门难的门槛，这次新课改在内容上做了一定的调整。与传统的立体几何的结构体系相比，新课程中的立体几何的体系结构有重大改革。传统的立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、表面积等等，基本上按照从局部到整体的原则。

新的中学数学课程中立体几何部分，分成两块，知识部分和能力部分（空间想象能力）。知识部分包括空间几何体的初步认识和点、线、面之间的关系。立体几何初步的定位是培养学生的空间想象力为主的一个课程载体。通过了解空间图形、画直观图、建立三视图这样一些内容，来支撑这样的一个载体。而空间向量是解决立体几何的一个非常有用的工具，尤其对于关平行与垂直问题。能力部分主要是几何直观的培养，就是空间想象力的培养。

为此，结合我今年担任高一数学教学的实际情况和亲身经历，以下是我对高中数学必修二立体几何教学的一些想法。

一、立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真

1学习定理，学习好定理的含义及应用。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的应用就体现出是否掌握了定理。掌握好定理有以下三点好处：（1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。（2）培养空间想象力。（3）得出一些解题方面的启示。在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

二、要建立空间观念，提高空间想象力。

从认识平面图形到认识立体图形是一次思维的飞跃，这需要有一个过程。学习立体几何首先要多观察我们身边的实物，从生活中来，到生活中去，把理论跟实际相结合。所以我给学生上课时，总是拿教室里的实物作为例子。平面：如天花板，地面，桌面，黑板面等等，直线：如灯管，笔，甚至手指，因此一讲线面关系，我就要求同学们立即拿起笔在桌面上跟着我来比划，他们很有兴趣，也很有效；其次是仿照课本上的图形多画图.所以可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起，画图时尤其要注意实线虚线之分，这样可以使你的识图能力增强, 空间想象力提高，这对学习立体几何相当有益；再次，为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

三、要培养逻辑思维能力，提高基本技能。

培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。立体几何的证明是数学学科中任一分子也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出证明过程。

（一）加强对基本概念理解

数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上

有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保证两条直线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。

（二）引导学生归纳、概括出若干定理，感受公理化思想

新课改中教科书设置了“观察”、“思考”、“探究”等栏目，让学生在学习过程中，从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程。“观察”的目的是提高学生的空间想象力，加深对所学知识的理解和记忆。“思考”则是为了调动学生思维的积极性和学习交流，激发学生的理性思维。而“探究”着眼于促进学生独立思考和自主探索的机会，让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题，激发出潜在的创造力。课本削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少了定理的数量，淡化了几何证明的技巧。这样的安排体现了新课标的理念，推理不仅仅指演绎推理，还包括合情推理，这两种推理相辅相成。当然我们还要学生加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。对于一些证明题目，要避免证明中出现逻辑推理不严密，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。

四、渗透“转化”思想的应用，强化学生思维。

波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。”数学中的“转化”思想是指把要解决的数学问题，通过某种转化，变成一类已经解决或是较容易解决的问题，从而使原问题得到解决的一种数学思想。通过转化可使问题由繁变简，由难变易，由暗变明。在学习立体几何中，体会以下转化关系：

（一）数学语言的相互转化

在立体几何中，利用三种数学语言——图形语言、文字语言、符号语言的转化，可以有效化解难点，发展数学思维。在立体几何中，立体图形是研究的对象，文字语言室对图形的描述、解释和讨论，符号语言则是催文字语言的简化再抽象，在公理、定义、定理中，三种语言都得到了充分体现。学生在学习定理的时候，通过三种语言的结合，有效的帮助他们对定理的理解和应用。

（二）点、线、面位置关系的相互转化

线线、线面、面面平行于垂直的位置关系即相互依存，又在一定条件下能纵向转化。线线平行（或垂直）、线面平行（或垂直）、面面平行（或垂直）的转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述互相转化关系去证明。面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或

面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。教学中渗透转化思想，可以加深学生对点、线、面位置关系的理解，提高教学的有效性。

（三）空间几何问题向平面几何问题转化

将空间问题转化为熟知的平面问题时研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线；斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角；二面角转化为二面角的平面角。立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。

（四）体积问题中的转化

在求三棱锥高的时候往往用到体积问题的转化，利用等体积转换底去求体积的方法就能求出三棱锥的高。又如研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般主体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推到柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后应用，如台体的体积（即补台成锥）所展示的割补转化；利用四面体、平行六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解得等积转化等，都是转化思想在体积问题中的体现。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

五、总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角要遵循“一找，二证，三求”的步骤去解答，然后在三角形中求角。正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。

还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

总之，观察是学好立体几何的基础，作图是学好立体几何的保证，想象是学好立体几何的关键。在立体几何的学习中，我们要强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识空间几何体，提高空间想象能力，进一步提高他们的学习兴趣，加深他们对数学的理解，激发出潜在的创造力，让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学的价值。

参考文献：

[1]《中学数学研究》2012年第10期.华南师范大学数学科学学院.[2]《数学教学》2008年第2期.上海《数学教学》杂志社.[3]《数学教研》2011年第10期.浙江师范大学.

第二篇：苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第9课时平行直线(二)

第9课时平行直线

（二）教学目标：

使学生了解并掌握等角定理及其推论；通过对等角定理证题思路的分析，帮助同学进一步熟悉分析法、综合法，提高同学的解题能力；会应用等角定理及其推论证明简单的几何问题；使学生认识事物之间的相似性和变异性，培养学生科学的严谨态度。教学重点、难点：

等角定理及其推论.等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下，角的大小不变.它是两条异面直线所成角的依据，也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础，而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法——平移法。

教学过程：

1．复习回顾：

［师］上节课我们讨论了空间两条直线的位置关系和平行公理，请同学们回忆一下，空间两条直线的位置关系有几种，其特征各是什么？平行公理的具体内容是怎样的？ ［生甲］空间两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、异面，它们各自的特征是：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.［生乙］平行公理是：平行于第三条直线的两条直线互相平行.［师］好！同学们的回答完全正确.我们来看这样一个问题：

（如图）在正方体AC1中，求证BC1 ∥ AD1.＝

分析：要想证明BC1 ∥ AD1，只要证明—— ＝

［生］只要证明四边形ABC1D1是平行四边形就

行了.（学生若答不出来，教师可做必要的提示、诱导）.［师］怎样证明四边形ABC1D1是平行四边形呢？

［生］只要证明C1D1 ∥ AB就行了.＝

［师］怎样证明C1D1 ∥ AB呢？ ＝

［生］因为C1D1 ∥ A1B1,AB ∥ A1B1，由平行公理C1D1 ∥ AB.＝＝＝

［师］至此，我们找到了证明的思路，请一位同学在黑板上写出证明过程，其余同学在下面自己整理，写出证明.A1B1 C1D1 ∥＝证明： C1D1 ∥ AB四边形ABC1D1是平行四边形BC1 ∥ ADAB ∥ A1B1＝＝＝

［师］通过刚才的分析与证明，我们是否可类似地说正方体中AB1 ∥ DC1呢？ ＝

［生］（观察，答）可以.［师］为什么？

［生］道理与刚才的证明相同.［师］可不可以说，正方体相对两个面上的同向或逆向的两条对角线平行且相等呢？ ［生］可以.［师］大家再观察一下，正方体上的哪些棱是平行且相等的呢？

［生］„„（让学生答一答是有好处的）.［师］到今天为止，我们学习立体几何已有好几天了，大家是否想过：直线有长短吗？平面有大小吗？

［生］直线没有长短，它是向两个方向无限伸长的，平面没有大小，它是向四面无限扩展的.［师］直线不仅没有长短，而且没有粗细；平面不仅没有大小，而且没有厚薄，同样的点没有大小.大家再考虑一下，确定一条直线的条件是什么？确定一个平面的条件是什么？

［生］两点确定一条直线；不在同一直线上的三点确定一个平面，直线与它外面的一点确定一个平面，两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面.［师］很好！平行的传递性在平面内是成立的，在空间也是成立的，这就是我们学习的平行公理，也可以说平行的传递性从平面推广到空间仍是成立的.在平面几何中，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形，昨天我们做的一个作业题，顺次连结空间四边形各边的中点，同样也可以得到一个平行四边形，这个可不可以说也是从平面到空间的一个推广呢？

［生］可以.［师］从上面的这些例子可以看出，有些平面图形的性质，可以推广到空间图形中来，这种根据事物的特性，由已知性质推导出未知性质的方法叫类比法，类比法是人类发现真理的一种重要方法.［师］大家再来看这样一个问题：在平面几何中，我们学过这样一个定理：“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”，这个定理能不能推广到空间图形呢？

（学生不知该怎样回答）

［师］今天我们就来讨论这个问题.2．新课讨论：

［师］请大家先用竹签比试比试.看这两个角是否相等.（学生动手、观察）

［师］一艘大货轮与一只小船在大海中都向东北方向航行，他们前行的方位角怎样呢？

（学生思考，通过动手演示、观察，实例思考，不难从感性上对这个命题加以肯定）.［师］我们已观察到“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相

同，那么这两个角相等”，（板书定理）现在让我们从理论上对这个命题加以证明.已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同，（AB∥

A′B′且方向相同，即AB的方向相同，AC∥A′C′且方向相同，即 与AC的方向相同）.求证：∠BAC＝∠B′A′C′.分析：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，在初中平面几何中已作过证明，下面我们证明两个

角不在同一平面内的情形.［师］在平面几何中，要证明两个角相等，我们用过哪些方法？

（学生回忆、思考、发言）

［生］对顶角相等；

同腰三角形的两底角相等；

平行线中的同位角（或内错角）相等；

全等三角形的对应角相等；

相似三角形的对应角相等，等等.［师］现在∠BAC与∠B′A′C′是不在同一平面内的两个角，如何证明它们相等呢？

（同学们议论、发言）

［生］因为它们不是对顶角，也不是同一个三角形的两个角，因而不能用“对顶角相等”或“等腰三角形的两底角相等”来证明，它们不在同一平面内，因而也不可能是同位角或内错角，因此也就不能用平行线的性质去证明.考虑能不能用全等三角形或相似三角形的性质来证.［师］××同学的分析很好！要想用全等三角形或相似三角形的性质证.首先得有三角形，而现在的图中仅是两个角，为此需要以这两个角为基础，构造出两个三角形，既然是要构造三角形，干脆从全等考虑好了.在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结DE、D′E′，得到△ADE和△A′D′E′

我们来看这两个三角形是否全等.［生］这两个三角形已经有两条边对应相等（AD＝A′D′，AE＝A′E′，所作），再有一个条件两个三角形就能全等了.［师］再找个什么条件呢？找角虽然不可能.若能，我们的问题就解决了，还麻烦什么呢？那就只有集中精力证DE＝D′E′了.大家看怎样来证明DE＝D′E′呢？DE、D′E′孤零零的两条线段，没有联系，怎样证呢？

［生］（受到孤零零，找联系的启示）添辅助线将DE、D′E′联系起来，连结 DD′、EE′，若能证明DEE′D′是平行四边形就好了

［师］怎样证明四边形DEE′D′是平行四边形呢？大家再想想办法看.［生］只要证明DD′∥ EE′就行了.＝

［师］要想证明DD′∥ EE′，还得再找一个“媒介”.能否再找到一条线段，使＝

DD′、EE′都和它平行并且相等呢？

（同学们观察图形、思考分析）

［生］连结AA′.在四边形AA′E′E中，因为AE=A′E′，AE∥A′E′,所以四边形AA′E′E是平行四边形，所以EE′∥ AA′，同样道理 ＝

可得DD′∥ AA′，由平行公理DD′∥ EE′.＝＝

［师］至此，问题得到解决，请同学们再把思路理一理，写出定理的证明过程.（学生再看题，理顺思路，整理信息，请一位同学将证明过程板书于黑板上）

证明：在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′，AE＝A′E′，连DE、D′E′，连DD′、EE′、AA′

.［师］通过理论上的证明.我们说“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，无论在平面，还是在空间都是成立的.把上面两个角的两边都反向延长，可得出下面的推论：

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行.那么这两组直线所成的锐角（或直

角）相等.［师］请同学们注意：这个定理及其推论对于平面图形是成立的，对于空间图形也是成立的.平面图形的性质可以推广到空间图形的例子，尽管我们举了数个，但并不是所有平面图形的性质都可以推广到空间图形中来.例如，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，但在空间，垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以相交，还可以是异面直线.以后当我们学习了更多的空间图形的性质就会发现，还有许多平面图形的性质不能推广到空间图形.由此可见，根据事物的相似性，我们可以用类比的方法推导出许多新的性质.但又不能滥用类比，若忽视了事物的变异性，就会产生错误的推理，这是在推理过程中需要特别注意的地方.一般地说，要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。

3．课堂练习：

课本P26练习.4．课堂小结：

本节课我们讨论了等角定理及其推论，它是我们学习后续知识的基础.对于等角定理，5．课后作业：

1、E、F、G、H2＝a，AC·BD＝b，求EG＋

2、如图，已知棱长为a点。（1）求证：四边形MNA1C1（2）求四边形MNAC1

11.预习课本P26~P28

2.预习提纲

（1）异面直线的概念.（2（3（4）异面直线所成角的范围是怎样的？

（5）怎样的两条异面直线互相垂直？

（6）互相垂直的两异面直线怎样表示？

（7）两条异面直线的公垂线的定义是什么？

（8）两条异面直线的公垂线有什么特征？

（9）两条异面直线的公垂线有几条？

（10）两条异面直线的距离的定义是什么？

思考与练习：

1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，但方向都相反，这两个角关系怎样？试画图并证明.提示：证明方法与等角定理的证法相同.2.空间的两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是_______.答案：相等或互补

3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交，则这两个角的大小关系是_______.答案：不能确定

4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同？

∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反？∠CBB1的两边和哪个角的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反？

答案：∠CBB1与∠DAA1的两边平行且方向相同； ∠CBB1与∠DD1A1、∠CC1B1的两边平行且方向相反； ∠CBB1与∠ADD1、∠AA1D1的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反.5.如图，已知线段AA′、BB′、CC′相交于O，且OA

OAOBOC

OBOC.求证：△ABC∽△A′B′C′.OAOB

证明：OAOBAOB∽△AOB

AOBAOB

AB

ABOA

OA

同理BC

BCOBOB

CAOCAB

ABBC

BCCA

CAOCCA



OAOBO

OAOBC

OC

△ABC∽△A′B′C′.

第三篇：100测评网高中数学立体几何同步练习§9.2练习二

欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.§9.2练习二

1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）平行于同一直线的两条直线平行（）

（2）垂直于同一直线的两条直线平行（）

（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（）

（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条（）

（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）

（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）

相等（）

2．填空题

（1）三条直线a，b，c中，a//b，b与c相交，那么a与c的位置关系是.（2）空间四边形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，则四边形MNPQ是四边形

3．如图AB//CD，AB∩=E，CD∩= F，画出AD与平面的交点，写出画法，并说明理由.F

D 4．将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕，再打开竖直在桌面上，如图所示连结AD、BC，求证：⊿ADE≌⊿BCF A

D

5．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1、CC1的中点，（1）判断四边形DMB1N的形状 C D（2）求四边形DMB1N的面积

A

N

M

C1 1A1

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第四篇：人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳

第一章空间几何体知识点归纳

围成的多面体叫做棱柱。

1：中心投影平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：

①建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）

②建立斜坐标系xOy，使xOy=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；

‘

''''''

S侧面rl ⑴圆柱侧面积；S侧面2rl⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：S侧面(rR)l ⑷体积公式：

V柱体Sh；V锥体

⑸球的表面积和体积：

3V台体Sh；

hS上



S下



S球4R，V球

243

R.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

3第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

Al,B

l

l 

A,B

公理1的作用：判断直线是否在平面内

若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面

若Al，则点A和l确定平面

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若mnA，则m,n确定平面

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若mn，则m,n确定平面

n

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

P,Pl且Pl

公理3作用：（2）证明点共线、线共点等。

4.ab,cbac 5

aa,bb且1与2方向相同1＝2 b

a'

22b'

'

aa,bb且1与2方向相反12＝180

方向相同则

∠1＝∠2

abA,a,b异面

方向相反则

∠1+∠2＝180°

6ab,（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

a

(2)

(1)

aa

a

A

9（即直线与平面无任何公共点）

⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

a



ba//

a//b

证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线

和它们的交线平行；





aab

b

④平行线的传递性：ab,cbac

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

a



aab

b



线和它们的交线平行；（上面的③）

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

a

ab

b

⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直

10（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。a,b



abA

a,b

（2）两平面平行的性质：

性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；



aab

b

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；







性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

A,C

ACBD

B,DABCD 

性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；





a或a

aa

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。





ln

l

mnAm,n 

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

lm

a

ab

b

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行12

l

 l

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

l

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

 l

（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

证明两直线垂直和主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）

如图：POOA是PA在平面上的射影又直线a,且aOA即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。



aPA



空间角及空间距离的计算

1.异面直线所成角：使异面直线平移

线中的一条上取一点，过该点作另一条直线线，图：直线a与b异面，b//b，直线a与直线b的夹角为两异 如



m

l

l

lm

后相交形成的夹角，通常在两异面直

平

行

直线 面a与b所成的角，异 面直线所成角取值范围是（0，90]

2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：

PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，PAO为线面角。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角

l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。

二面角的平面角分

如图：在二面角-l-中，O棱上一点，OA，OB，且OAl,OBl,则AOB为二面角

-l-的平面角。

别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①

第五篇：高中数学必修二教学目标与教学重难点

第一章：空间几何体

§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

一、教学目标

1．知识与技能

(1)通过实物操作，增强学生的直观感知。

(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法

(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观

(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点

重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

§1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）

一、教学目标

1．知识与技能

(1)掌握画三视图的基本技能(2)丰富学生的空间想象力

2．过程与方法

通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3．情感态度与价值观

(1)提高学生空间想象力

(2)体会三视图的作用

二、教学重点、难点

重点：画出简单组合体的三视图

难点：识别三视图所表示的空间几何体

§1.2.2空间几何体的直观图（1课时）

一、教学目标

1．知识与技能

(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

(2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2．过程与方法

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3．情感态度与价值观

(1)提高空间想象力与直观感受。

(2)体会对比在学习中的作用。

(3)感受几何作图在生产活动中的应用。

二、教学重点、难点

重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

一、教学目标

1．知识与技能

(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

(2)能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

(3)培养学生空间想象能力和思维能力。

2．过程与方法

(1)让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

(2)让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。

3．情感态度与价值观

通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算

难点：台体体积公式的推导

§1.3.2球的体积和表面积

一、教学目标

1．知识与技能

(1)通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

(2)能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。(3)培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2．过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝3/4πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

3．情感态度与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

第二章 直线与平面的位置关系

§2.1.1平面

一、教学目标：

1．知识与技能

(1)利用生活中的实物对平面进行描述；

(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图；

(3)掌握平面的基本性质及作用；

(4)培养学生的空间想象能力。

2．过程与方法

(1)通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；

(2)让学生归纳整理本节所学知识。

3．情感态度与价值观

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点

重点：

1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

一、教学目标

1．知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2．过程与方法

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；

（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识 3．情感态度与价值观

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点

重点：

1、异面直线的概念；

2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

一、教学目标

1．知识与技能

（1）了解空间中直线与平面的位置关系；

（2）了解空间中平面与平面的位置关系；

（3）培养学生的空间想象能力。

2．过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；

（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

二、教学重点、难点

重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

§2.2.1 直线与平面平行的判定

一、教学目标

1．知识与技能

（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；

（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2．过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。3．情感态度与价值观

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

二、教学重点、难点

重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。§2.2.2平面与平面平行的判定

一、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两平面平行的判定定理 2．过程与方法

让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。

3．情感态度与价值观

进一步培养学生空间问题平面化的思想。

二、教学重点、难点

重点：两个平面平行的判定。难点：判定定理、例题的证明。

§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

一、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；

（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

2．过程与方法

学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。3．情感态度与价值观

（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；

（2）进一步体会类比的作用；

（3）进一步渗透等价转化的思想。

二、教学重点、难点

重点：两个性质定理。

难点：（1）性质定理的证明；

（2）性质定理的正确运用。

§2.3.1直线与平面垂直的判定

一、教学目标

1．知识与技能

（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2．过程与方法

（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；

（2）探究判定直线与平面垂直的方法。3．情感态度与价值观

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

二、教学重点、难点

重点，难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

§2.3.2平面与平面垂直的判定

一、教学目标

1．知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。2．过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3．情感态度与价值观

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点

重点：平面与平面垂直的判定；

难点：如何度量二面角的大小。

§2.3.3直线与平面垂直的性质 §2.3.4平面与平面垂直的性质

一、教学目标

1．知识与技能

（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；

（2）能运用性质定理解决一些简单问题；

（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2．过程与方法

（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正 确性的认识；

（2）性质定理的推理论证。3．情感态度与价值观

通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学重点、难点

重点，难点：两个性质定理的证明。本章小结

一、教学目标

1．知识与技能

（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；

（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。2．过程与方法

利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3．情感态度与价值观

学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点

重点：各知识点间的网络关系；

难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

第三章

直线与方程

§3.1.1直线的倾斜角和斜率

一、教学目标

1．知识与技能

(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2)理解直线的倾斜角的唯一性.(3)理解直线的斜率的存在性.(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

2．情感态度与价值观

(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

二、教学重点、难点

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.§3.1.2两条直线的位置关系

一、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

3．情感态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

二、教学重点、难点

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题． 注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

§3.2.1直线的点斜式方程

一、教学目标 1．知识与技能

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。3．情感态度与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

§3.2.2直线的两点式方程

一、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2．过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。3．情感态度与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点 重点：直线方程两点式。难点：两点式推导过程的理解。

§3.2.3直线的一般式方程

一、教学目标

1．知识与技能

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2．过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3．情感态度与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

重点：直线方程的一般式。

难点：对直线方程一般式的理解与应用。

§3.3.1两直线的交点坐标

一、教学目标

1．知识与技能

(1)直线和直线的交点

(2)二元一次方程组的解

2．过程与方法

(1)学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

(2)掌握数形结合的学习法。

(3)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。

3．情感态度与价值观

(1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

(2)能够用辩证的观点看问题。

二、教学重点、难点

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

§3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离

一、教学目标

1．知识与技能

掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。2．过程与方法

通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

3．情感态度与价值观

体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题

二、教学重点、难点

重点，两点间距离公式的推导。

难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

§3.3.3两条直线的位置关系——点到直线的距离公式

一、教学目标

1．知识与技能

理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．过程与方法

会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3．情感态度与价值观

(1)认识事物之间在一定条件下的转化。(2)用联系的观点看问题王新敞

二、教学重点、难点

重点：点到直线的距离公式王新敞

难点：点到直线距离公式的理解与应用.第四章 圆与方程

§4.1.1 圆的标准方程

一、教学目标

1．知识与技能

(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

(2)会用待定系数法求圆的标准方程。

2．过程与方法

(1)进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的

(2)标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

3．情感态度与价值观

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、教学重点、难点

重点：圆的标准方程

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。§4.1.2圆的一般方程

一、教学目标

1．知识与技能

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

2．过程与方法

通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

3．情感态度与价值观

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

二、教学重点、难点

重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞

§4.2.1直线与圆的位置关系

一、教学目标

1．知识与技能

（1）理解直线与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2．过程与方法

设直线l:axbyc0，圆C：x2y2DxEyF0，圆的半径为r，圆DE心,，到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几22点：

（1）当dr时，直线l与圆C相离；

（2）当dr时，直线l与圆C相切；

（3）当dr时，直线l与圆C相交；

3．情感态度与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

二、教学重点、难点

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．

§4.2.2圆与圆的位置关系

一、教学目标

1．知识与技能

（1）理解圆与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；

（3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2．过程与方法

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离；

（2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切；

（3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当|r1r2|=l时，圆C1与圆C2内切；

（5）当|r1r2|l时，圆C1与圆C2内含； 3．情感态度与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

二、教学重点、难点

重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．

§4.2.3直线与圆的方程的应用

一、教学目标

1．知识与技能

（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；

（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．

2．过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

3．情感态度与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．

二、教学重点、难点

重点与难点：直线与圆的方程的应用．