第一篇：高中数学竞赛辅导(证明线段或角相等)
高中数学竞赛辅导（证明线段和角相等）基础知识
（1）证明两线段相等的常用方法：①利用全等三角形；②利用角平分线和线段中垂线性质；③利用等腰三角形、平行四边形（如矩形、正方形）、等腰梯形等特殊图形的性质；④利用圆的基本性质；⑤利用反证法；⑥利用面积法；⑦利用线段线段的积性等式；⑧利用同一法；⑨利用三角度量公式进行代数（三角法）。范例解读
1．P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，由P作BC、AC的垂线，垂足为L、M，设D为AB的中点，求证：DM=DL。
2． O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心，点D在AB上，AD=AH，点E在AC上，AE=AO，求证：DE=AE。
A
C
B
3．ABCD为内接四边形，E、F分别在AB、CD上变动，满足AE：EB=CF：FD，P在线段EF上，使得PE：PF=AB：CD，求证：P到AD、BC的距离相等。
D
F
4．圆PN，设l是圆P1和圆P2相交于点M、1和圆P2的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆P1相切于点A，与圆P2相切于点B，设经过点M且与l平行的直线与圆P1还相交于C，与圆P2相切于点D，直线CA和DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P，直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ。
D
5．平面上任给圆O和直线l，过O作直线l的垂线交圆O于PQ，任P、Q中的一点，不妨取点P，过P作直线AB分别交圆O和直线l于A、B，过P作直线CD交圆O和直线l于C、D，连接AD圆O于E，连接BC交圆O于F，证明：PE=PF。
P
i
CM
6．梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，设点K位于两个圆之外，证明；由K向这两圆所作的切线相等。
AD
7．在直角三角形ABC的直角边上向外做正方形ACDE、BCFG，AG、BE分别交BC、AC于P、Q，证明：CP=CQ。
G
AB
8．在凸四边形ABCD的边AB、BC上取点E、F，使得线段DE、DF分对角线AC为三等份，1已知△ADE和△CDF的面积分别是四边形ABCD的面积的，证明：AB=CD。
C
F
A
9．设四边形ABCD内接于⊙O，其对边AB、CD的延长线交⊙O外一点E，自点E引一直线平行于AC，交BD的延长线于点M，自点M引MT切⊙O于点T，求证：MT=ME。
10．O、I分别为△ABC的外心和内心，AD上BC边上的高，I在线段OD上，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。
11．设CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，O、O1,O2分别为△ABC、△ACD、△BCD的内
12的外接圆半径与△ABC的内切圆半径相等。心，求证：△OOO
12．在△ABC中，BC边最短，∠A的内角平分线交BC于点D，∠B和∠C的内角平分线交射线AC、AB于点
E、F，过点D做BC的垂线，过点F做AB的垂线，过点E做AC的垂线，这三条垂线交于点Q，求证：AB=AC。
第二篇：证明线段相等的技巧
证明线段相等的技巧
要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：
（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。
一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中
一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。
例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。
二、如果要证明的两条线段在同一三角形中
一般的思路是利用等角对等边。
例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。
三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况
一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。
例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。
例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。
分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。
证明线段和角相等的技巧
⒈ 怎样证明两线段相等
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：
⑴ 三角形
①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；
⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；
⑵ 证特殊四边形
①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；
②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；
③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；
⑶ 圆
①同圆或等圆的半径相等；
②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；
③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量
都相等；
④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；
⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；
等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若a
cb
c，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等
证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：
⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等；
⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；
⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；
⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；
⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；
第三篇：证明线段相等的方法
证明线段相等的方法
三角形中：
①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。
过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
（三）四边形中：
①平行四边形对边相等，对角线相互平分。
②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。
③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
证明角相等的方法
（一）相交直线及平行线：
①二直线 相交，对顶角相等。
②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。
③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角
都相等。
④角的平分线分得的两个角相等。
⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行
（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另
一角的右边，则此二角相等
（二）三角形中：
①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）
②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。
③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三
内角都相等）
④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角
形
证明直线垂直的方法
（一）相交线与平行线：
①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
（二）三角形：
①直角三角形的两直角边互相垂直。
②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
证明直线平行的方法
（一）平行线与相交线：
①在同一平面内两条不相交的直线平行。
②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。
③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。
证明直角三角形的方法
①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形
②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形
③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形
第四篇：证明角相等的方法
证明角相等的方法
1.通过平行线的性质来证明角相等
2.通过全等三角形对应角相等来证明角相等
3.通过相似三角形对应角相等来证明角相等
4.通过同角或等角的余角或补角相等来证明角相等
5.通过等边对等角来证明角相等
第五篇：怎样证明两线段相等与两角相等
怎样证明两线段相等与两角相等
【重点解读】
证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程.解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.⒈ 怎样证明两线段相等
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等； ⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；
⑵ 证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；
②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等； ③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；
⑶ 圆①同圆或等圆的半径相等；
②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；
③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；
④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； ⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；
等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比 例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等
证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有： ⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等； ⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；
⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； ⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；
⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；
⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等； ⑻ 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；
⑼ 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； ⑽ 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角； ⑾ 通过计算证明两角相等； ⑿ 等量代换，等式性质.【典题精析】
例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．求证：EC＝FC．
总结：通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.2求证：⑴∠ACD=∠F；⑵AC=AG·AF.总结：证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联 系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC.⑴求证：△ABC为等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.例4已知：如图，正△ABC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD，连结DE，交BC于点P.⑴ 求证：DP=PE；⑵ 若D为AC的中点，求BP的长.总结：添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.思考：若将条件正△ABC改为等腰△ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？
若将条件正△ABC改为等腰△ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？ 例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.总结：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线.特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例6如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，给出下列4个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线； ④=；其中一定成立的是（）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
总结；一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.巩固练习：
⒈ ⑴如图，△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠D与∠A的比是________ ⑵如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP＇重合.如果AP=3，那么PP＇的长为_______.⒉ ⑴如图，∠B、∠C的平分线交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，则()A.EF=EB+FC B.EF>EB+FC C.EF ⑵在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（） A.B.C.D.⑶在△ABC中，∠B=2∠C，则（） A.2AB=AC B.2AB>AC C.2AB ⒋ 如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF，求证：AG⊥AF ⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上任意一点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并说明之.⒍ 如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足为D，CE⊥AB，垂足E 求证：CD=CE.⒎ 已知：如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D.延长DA交△ABC的外接圆于点F.⑴求证：FB=FC； ⑵若，求FB的长.⒏ 梯形ABCD中AB//CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所 在直线交BC于N.在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题.①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM 怎样证明关于线段的几何等式 【重点解读】 线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法.证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF，求证：AB=2OF.总结：线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：⑴若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE； ⑵若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何，证明你的猜想.例3如图，△ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，求证： 例4已知：如图，等腰△ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，DF⊥AC，垂足为F 求证： 总结；解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.例5已知：BC为圆O的直径，AD⊥BC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点.求证：⑴AE=BE。⑵AH·BC=2AB·BE.例6如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是 上一点（点P不与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，下列四个结论： ⑴ ⑵∠EPC=∠APD ⑶ ⑷ 正确的有_____.巩固练习； ⒈ ⑴在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_________.⑵已知：O为△ABC内的一点，过点O作EF、GH、QP分别平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于点P、E、H、Q、F、G，则 _______.⒉ 选择： ⑴如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（） A.AE⊥AF B.EF∶AF= ∶1 C.D.FB∶FC=HB∶EC 第⑴题 第⑵题 第⑶题 ⑵如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于E，有如下结论: ①PA=PB+PC ②PA·PE=PB·PC ③ 其中正确结论的个数有()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 ⑶如图，已知⊙BC交⊙与⊙ 外切于点C，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，分别延长AC、于点D，下列结论，正确的有（）个 于点E，交⊙①AD为⊙的直径 ②AD∥BE ③AC·BC=DC·CE ④AC·AE=BC·BD A.1 B.2 C.3 D.4 ⒊ 已知：如图，设D、E分别是△ABC外接圆的弧AB、AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G, 求证：AF·AG=DF·EG..第3题 第4题 ⒋ ⊙O的两条割线AB、AC分别交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圆于G.求证：⑴AC·FG=BC·CG;⑵若CF=AE，求证：△ABC是等腰三角形.⒌ ⑴如图，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重 合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD． 求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF． ⑵在问题⑴中，直线l向下平行移动，与⊙O相切，其他条件不变． ①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母； ②问题⑴中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 6．已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，点E是 上一动点.⑴ 如图1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，连结AD、CE，求证：①∠CED=∠ADE ② =NF·NE =NF·NE的结论是否成立？若成⑵ 如图2，若DE与AC的延长线交于F，且DE=AC，那么立请证明，若不成立请说明理由.图1 图2 .7．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。 8．如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。 9。如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。求证：EF=FD。 10．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。 11．已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 具体应用方法分类 一、利用全等三角形的对应边相等证明 例 1、如图1，已知C在BD上，△ABC与△CDE都是等边三角形，BE、AD分别与AC、CE交于P、Q。求证：CP=CQ。 二、利用等腰三角形定理及逆定理证明 例 2、如图2，已知：在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上的线段AD=AE。求证：FB=FC，FE=FD。 三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明 例 3、如图3，已知△ABC为Rt△，D为斜边AB的中点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。 求证：AE=CE，BF=CF。 四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明 例 4、如图4，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∠B、∠C的平分线交于I，求证：I到AB、BC、CA的距离相等。 五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明 例 5、如图5，已知：△ABC中，∠A=90°，D为△ABC内一点，且AB=AC=BD，∠ABD=30° 求证：AD=DC 六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明 例 6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。 七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段 例 7、如图7，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，延长AB到E，BE=BD，连结ED并延长交AC于F。求证：AF=FC。 八、利用中心对称证明 例 8、如图8，已知AT为△ABC的内角平分线，M为BC中点，ME∥AT，交AB、AC或其延长线于D、E，求证：BD=CE。 九、利用勾股定理证明 例 9、如图9，已知：M为△ABC内一点，MD、ME、MF分别和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求证：AE=AF。 十、利用比例证明 例 10、如图10，已知△ABC中，中线BE与角平分线AD交于点K，BL∥KC，交AC的延长线于点L，求证：LC=AB。 十一、利用圆幂定理证明 例 11、如图11，已知：PA是圆O的切线，A为切点，PBD是圆O的割线，弦DE∥AP，PE的延长线交圆O于C，CB的延长线交PA于F。求证：PF=FA。 十二、利用平行四边形性质证明 例 12、如图12，已知Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交高线AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF。 十三、利用三角知识证明 例 13、如图13，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F分别是AB、CD的中点。求证：OF=GE。
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