追及问题和避碰问题临界条件的证明

第一篇：追及问题和避碰问题临界条件的证明

追及问题和避碰问题临界条件的证明

向进

（宜都二中 湖北 宜都 443300）

匀变速直线运动中的追及问题和避碰问题是涉及两个物体运动关系的典型问题。关于这两个问题，学生从小学就开始接触，初中接着学习。高中继续讲这个问题，只是在问题之中加入了加速度a，成为匀变速直线运动的追及问题和避碰问题。

对于这类问题，大多数辅导书上给出了以下结论：

①减速物体追赶同向的匀速或匀加速运动物体，恰能追上的临界条件是：追上时两者速度相同；如追不上，则两者速度相同时距离最近。

②加速物体追赶同向匀速或匀加速及匀减速物体，追上前具有最大距离的临界条件是两者速度相同。

但是对于以上结论，辅导书上并没有给出严格的证明。下面笔者给出以上结论的严格证明。

由于两个物体均做匀变速直线运动，所以可以假设前面物体A的初速度为V01，加速度为a1，后面物体B的初速度为V02，加速度为a2，开始两物体相距S0，则 当A，B两物体运动时间t(t0)后，A物体位移SAV01t1

2a1t，2

at B物体位移SBV02t1

两物体相距 2

SSASBS0

1V01t1

a1tV02ta2tS0 22

1(a1a2)t(V01V02)tS0

2VV(VV)201020102)S02(a1a2)(ta1a22(a1a2)2

此即当t

V01V02时，S取极值，a1a2

(V01V02)2

此时SS0； 2(a1a2)

而此时A物体的速度V1V01a1tV01a2V02a1，a2a1

V01a2V02a1，a2a1B物体的速度V2V02a2t

即V1V2。

所以当前后两物体速度相同时，两物体相距为极值。

ⅰ 当a1a20时，S取极大值，满足①结论。

ⅱ当a1a20时，S取极小值，满足②结论。(V01V02)2

如果开始两物体相距S0则S0，即当两物体速度相同时，两物体刚2(a1a2)

好相遇。

对于以上结论，参考有关资料，我认为可以换一中说法：追及物体与被追及物体的速度相等，是追及问题中的临界条件。根据不同的条件，速度相等是两物体距离最大，最小或恰好追上的临界点。

第二篇：难点1 追碰问题与时空观

难点1 追碰问题与时空观

“追碰”类问题以其复杂的物理情景，综合的知识内涵及广阔的思维空间，充分体现着考生的理解能力、分析综合能力、推理能力、空间想象能力及理论联系实际的创新能力，是考生应考的难点，也是历届高考常考常新的命题热点.●难点展台 1.（★★★★）（1999年全国）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50 s,刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的0.40倍，该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？（取重力加速度g=10 m/s2）

2.（★★★★★）（2000年全国）一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动.有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10 m，如图1-1所示.转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T＝60ｓ.光束转动方向如图中箭头所示.当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上.如果再经过Δt＝2.5 ｓ，光束又射到小车上，则小车的速度为多少?（结果保留两位数字）

3.（★★★★★）一段凹槽A倒扣在水平长木板C上，槽内有一小物块B，它到槽内两侧的距离均为

12图1-1，如图1-2所示.木板位于光滑水平的桌面上，槽与木板间的摩擦不计，小物块与木板间的动摩擦因数为μ.A、B、C三者质量相等，原来都静止.现使槽A以大小为

v0的初速向右运动，已知v0＜2gl.当A和B发生碰撞时，两者的速度互换.求：

图1-2（1）从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C运动的路程.（2）在A、B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小.●案例探究

［例1］（★★★★★）从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）.若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v0应满足什么条件？

命题意图：以自由下落与竖直上抛的两物体在空间相碰创设物理情景，考查理解能力、分析综合能力及空间想象能力.B级要求.错解分析：考生思维缺乏灵活性，无法巧选参照物，不能达到快捷高效的求解效果.解题方法与技巧：（巧选参照物法）

选择乙物体为参照物，则甲物体相对乙物体的初速度: v甲乙=0-v0=-v0

甲物体相对乙物体的加速度 a甲乙=-g-（-g）=0 由此可知甲物体相对乙物体做竖直向下，速度大小为v0的匀速直线运动.所以，相遇时间为：t=hv0

对第一种情况，乙物体做竖直上抛运动，在空中的时间为：0≤t≤

2v0g

即:0≤hv0≤2v0g

所以当v0≥gh2,两物体在空中相碰.对第二种情况，乙物体做竖直上抛运动，下落过程的时间为： v0g≤t≤2v0gh

即v0g≤v0≤2v0g.所以当 gh2≤v0≤gh时,乙物体在下落过程中与甲物体相碰.［例2］（★★★★★）如图1-3所示,质量为m的木块可视为质点，置于质量也为m的木盒内，木盒底面水平，长l=0.8 m,木块与木盒间的动摩擦因数μ=0.5,木盒放在光滑的地面上，木块A以v0=5 m/s的初速度从木盒左边开始沿木盒底面向右运动，木盒原静止.当木块与木盒发生碰撞时无机械能损失，且不计碰撞时间，取g=10 m/s2.问：

（1）木块与木盒无相对运动时，木块停在木盒右边多远

图1-3 的地方？

（2）在上述过程中，木盒与木块的运动位移大小分别为多少？

命题意图：以木块与木盒的循环碰撞为背景，考查考生分析综合及严密的逻辑推理能力.B级要求.错解分析：对隔离法不能熟练运用，不能将复杂的物理过程隔离化解为相关联的多个简单过程逐阶段分析，是该题出错的主要原因.解题方法与技巧：

（1）木块相对木盒运动及与木盒碰撞的过程中，木块与木盒组成的系统动量守恒，最终两者获得相同的速度，设共同的速度为v,木块通过的相对路程为s,则有：

mv0=2mv μmgs=12 mv0-2①

122mv② 2由①②解得s=1.25 m 设最终木块距木盒右边为d,由几何关系可得： d=s-l=0.45 m

（2）从木块开始运动到相对木盒静止的过程中，木盒的运动分三个阶段：第一阶段，木盒向右做初速度为零的匀加速运动；第二阶段，木块与木盒发生弹性碰撞，因两者质量相等，所以交换速度；第三阶段，木盒做匀减速运动，木盒的总位移等于一、三阶段的位移之和.为了求出木盒运动的位移，我们画出状态示意图，如图1-4所示.设第一阶段结束时，木块与木盒的速度分别为v1、v2,则：

mv0=mv1+mv

2③

μmgL=12图1-4 mv02-12m（v12+v22）

④

因在第二阶段中，木块与木盒转换速度，故第三阶段开始时木盒的速度应为v1,选木盒为研究对象

对第一阶段：μmgs1=对第三阶段：μmgs2=12122

mv2

⑤

mv1-

212mv

⑥ ⑦

⑧ 从示意图得 s盒=s1+s2 s块=s盒+L-d

高手点拨

一、高考走势

解得 s盒=1.075 m s块=1.425 m “追碰”问题，包括单纯的“追及”类、“碰撞”类和“追及碰撞”类，处理该类问题，首先要求学生有正确的时间和空间观念（物体的运动过程总与时间的延续和空间位置的变化相对应）.同时，要求考生必须理解掌握物体的运动性质及规律，具有较强的综合素质和能力.该类问题综合性强，思维容量大，且与生活实际联系密切，是高考选拔性考试不 可或缺的命题素材，应引起广泛的关注.二、“追及”“碰撞”问题指要

1.“追及”问题

讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题.一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系.一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点.2.“碰撞”问题 碰撞过程作用时间短，相互作用力大的特点，决定了所有碰撞问题均遵守动量守恒定律.对正碰，根据碰撞前后系统的动能是否变化，又分为弹性碰撞和非弹性碰撞.弹性碰撞：系统的动量和动能均守恒，因而有： m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

① ② m1v1+212m2v2=212m1v1′+

212m2v2′

上式中v1、v1′分别是m1碰前和碰后的速度，v2、v2′分别是m2碰前和碰后的速度.解①②式得 v1′=(m1m2)v12m2v2m1m2(m2m1)v22m1v1m1m2

③

v2′=

④

vv2v即：两物体交换速注意：如果两物体质量相等，代入③④得：v1度，不仅大小交换而且速度的方向也交换。

完全非弹性碰撞：m1与m2碰后速度相同，设为v,则 m1v1+m2v2=（m1+m2）v,v=m1v1m2vm1m212.1212系统损失的最大动能ΔEkm=m1v1+

2m2v2-

（m1+m2）v.非弹性碰撞损失的动能

2介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间.在处理碰撞问题时，通常要抓住三项基本原则：（1）碰撞过程中动量守恒原则.（2）碰撞后系统动能不增原则.（3）碰撞后运动状态的合理性原则.碰撞过程的发生应遵循客观实际.如甲物追乙物并发生碰撞，碰前甲的速度必须大于乙的速度，碰后甲的速度必须小于、等于乙的速度或甲反向运动.三、处理“追碰”类问题思路方法 由受力分析，判断 两物体运动规律 由示意图找两物体位移关系根据物体运动规律列方程列方程求解由若发生碰撞，根据动量关系或

（判断是否能碰撞）能的转化守恒定律等列方程求解

解决“追碰”问题大致分两类方法，即数学法（如函数极值法、图象法等）和物理方法（参照物变换法、守恒法等）.●歼灭难点训练

1.（★★★★）两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s,若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持距离至少应为多少？

2.（★★★★）如图1-5所示，水平轨道上停放着一辆质量为5.0×102 kg的小车A，在A的右方L=8.0 m处，另一辆小车B正以速度vB=4.0 m/s的速度向右做匀速直线运动远离A车，为使A车能经过t=10.0 s时间追上B车，立即给A车适当施加向右的水平推力使小车做匀变速直线运动，设小车A受到水平轨道的阻力是车重的0.1倍，试问：在此追及过程中，推力至少需要做多少功？ 取g=10 m/s2）

3.（★★★★）如图1-6所示，在光滑的水平面上放置一质量为m的小车，小车上有一半径为R的14光滑的弧形轨道，设有一质量为m的小球，以v0的速度，方向水平向左沿圆弧轨道向上滑动，达到某一高度h后，又沿轨道下滑，试求h的大小及小球刚离开轨道时的速度.4.（★★★★★）如图1-7所示，长为2L的板面光滑且不导电的平板小车C放在光滑水平面上，车的右端有块挡板，车的质量mC=4 m,绝缘小物块B的质量mB=2 m.若B以一定速度沿平板向右与C车的挡板相碰，碰后小车的速度总等于碰前物块B速度的一半.今在静止的平板车的左端放一个带电量为+q、质量为mA=m的小物块A，将物块B放在平板车的中央，在整个空间加上一个水平方向的匀强电场时，金属块A由静止开始向右运动，当A以速度v0与B发生碰撞，碰后A以14图1-6

图1-7 v0的速率反弹回来，B向右运动.（1）求匀强电场的场强大小和方向.（2）若A第二次和B相碰，判断是在B与C相碰之前还是相碰之后？

（3）A从第一次与B相碰到第二次与B相碰这个过程中，电场力对A做了多少功？ 5.（★★★★★）如图1-8所示，水平放置的导轨，其电阻、摩擦均不计，固定在竖直向下的匀强展台中，磁感应强度为B，左端间距为2L，右端间距为L，今在导轨上放ab、cd两杆，其质量分为2M、M，电阻分为2R、R，图1-8 现让ab杆以初速度v0向右运动.求cd棒的最终速度（两棒均在不同的导轨上）.参考答案： ［难点展台］

1.1.6×102 m

2.提示：该题为一“追及”的问题，有两种可能解，第一次为物追光点，在相同时间 6 内，汽车与光点扫描的位移相等，L1=d（tan45°-tan30°）,则v1=

L1v=1.7 m/s,第二次为（光）点追物，时间相同，空间位移相同，L2=d（tan60°-tan45°）,可得v2=2L2t=2.9 m/s.3.（1）s=l-v04g

（2）vA=

14v0;vB=vC=

38v0

［歼灭难点训练］

1.ABC 2.2 s

3.Wmin=2.8×104 J 4.小球从进入轨道，到上升到h高度时为过程第一阶段，这一阶段类似完全非弹性的碰撞，动能损失转化为重力势能（而不是热能）.据此可列方程：mv0=（m+m）v, ①

2mv0=12（m+m）v+mgh 2

②

解得h=v02/4g.小球从进入到离开，整个过程属弹性碰撞模型，又由于小球和车的等质量，由弹性碰撞规律可知，两物体速度交换，故小球离开轨道时速度为零.说明：广义上的碰撞，相互作用力可以是弹力、分子力、电磁力、核力等，因此，碰撞可以是宏观物体间的碰撞，也可以是微观粒子间的碰撞.拓宽后的碰撞，除例题代表的较长时间的碰撞题型外，还有非接触型碰撞和非弹力作用的碰撞.5.（1）对金属块A用动能定理qEL=mv0212mv02

所以电场强度大小E=2qL 方向水平向右

（2）A、B碰撞，由系统动量守恒定律得 mAv0=mA（-14v0）+mBvB

58用mB=2m代入解得vB=v0

LvB8L5v0B碰后做匀速运动，碰到挡板的时间tB=v02

A的加速度aA= 2L A在tB段时间的位移为 sA=vatB+12atB=-214v0·8L5v012·

v022L·（8L5v0）2=

625L

因sA＜L,故A第二次与B相碰必在B与C相碰之后（3）B与C相碰，由动量守恒定律可得 mBvB=mBvB′+mCvC′

vC′=

12vB

vB′=0 A从第一次相碰到第二次与B相碰的位移为L，因此电场力做的功 W电=qEL=2v0312mv0.26.

第三篇：追及问题

追及问题：

（相向而行）：追及路程/追及速度和=追及时间

（同向而行）：追及路程/追及速度差=追及时间 追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

奥数第七讲 行程问题

（一）——追及问题

四年级奥数教案

第七讲 行程问题

（一）——追及问题

本讲学习的追及问题与相遇问题同属于行程问题中的一类，它是同向运动问题。追及问题的基本特点是：两个物体同向运动，慢走在前，快走在后面，它们之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。追及问题属于较复杂的行程问题。追及问题中的各数量关系是：路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差；解答追及问题可适当的选择画图法、假设法、比较法等思考方法解题。

在解决同向问题时，要注意以下几点：

1（1）要弄清题意，紧扣速度差、追及时间和路程差这三个量之间的基本关系；

（2）对复杂的同向运动问题，可以借助直观图来帮助理解题意，分析数量关系；

（3）要注意运动物体的出发点、出发时间、行走方向、善于扑捉速度、时间、路程对应关系。

（4）要善于联想、转化、使隐藏的数量关系明朗化，找准理解题目的突破口。

第一课时

教学内容：掌握简单的追及问题 教学目标：理解和掌握简单的追及问题 教学重点：掌握追及问题的基本公式 教学难点：利用公式求简单的追及问题 教学过程：

一、谈话导入。

今天我们来学习行程问题当中的追及问题，它属于同向运动中的一种，下面我们就通过一个例子来给大家讲叙怎样解决追及问题。

例子：兔子在狗前面150米，一步跳2米，狗更快，一步跳3米，狗追上兔子需要跳多少步？ 我们知道，狗跳一步要比兔子跳一步远3—2=1（米），也就是狗跳一步可以追上兔子1米，现在狗与兔子相距150米，2 因此，只要算出150米中有几个1米，那么就知道狗跳了多少步追上兔子的。不难看出150÷1=15（步），这是狗跳的步数。

这里狗在前面跳，狗在后面追，它们一开始相差150米，这150米叫做“追及距离”；兔子每步跳2米，狗每步跳3米，它们每步相差1米，这个叫“速度差”；狗追上兔子所需的步数叫做“追及步数”有时是以秒、分钟、小时计算，则叫“追及时间”，像这种包含追及距离、速度差和追及时间（追及步数）三个量的应用题，叫做追及问题。

解决追及问题的基本关系式是： 路程差=速度差×追及时间； 速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差

在解决追及问题中，我们要抓住一个不变量，即追赶者所用时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。大家还要注意区别“追及距离”与“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。就像刚才的例子，“追及距离”为150米，而狗追上兔一共走了3×150=450（米）

二、新授课：

1．明确公式中三个量的含义：

速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。

追及时间：快车追上慢车相差的距离。

路程差：快车开始和慢车相差的路程。2．熟悉追及问题的三个基本公式： 路程差=速度差×追及时间； 速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差

3．解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。【例1】甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？

【思路分析】这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式：

追及时间=路程差÷速度差

150÷（75-60）=10（分钟）

答：10分钟后乙追上甲。

【小结】提醒学生熟练掌握追及问题的三个公式。

【例2】 骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？

【思路分析】这道题目，是同时出发的同向而行的追及问题，要求其中某个速度，就必须先求出速度差，根据公式：速度差=路程差÷追及时间： 速度差：450÷3=150（千米）自行车的速度： 150-60=90（千米）

答：骑自行车的人每分钟行90千米。

【小结】这道题目在于灵活运用追及问题的三个基本公式求其中任意三个量。【例3】两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63 千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？

【思路分析】根据题意可知，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，A B 第一辆先走2小时 第二辆 第一辆

画线段图分析：从图中可以看出第一辆行2小时的路程为两车的路程差，即54×2=108（千米），两车相差108米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千米），即为速度差，用

追及时间=路程差÷速度差。

解：（1）两车路程差为：54×2=108（千米）

（2）第二辆车追上所用时间：108 ÷（63-54）=12（小时）答：第二辆车追上第一辆车所用的时间为12小时。【小结】这道追及问题是不同时的，要先算出追及路程。【及时练习】

1、哥哥和弟弟两人同时在一个学校上学，弟弟以每分钟80米的速度先去学校，3分钟后，哥哥骑车以每分钟200米的速度也向学校骑去，那么哥哥几分钟追上弟弟？

2、姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？

三、课堂小结：

追及问题的基本公式：路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差

四、作业：思维训练

五、课后反思：

第二课时

教学时间：

教学内容：环形跑道的追及问题

教学目标：掌握不同形式的追及问题的解题思路和基本规律 教学重点：通过图形分析追及问题

教学难点：找准解决环形路程的追及问题的突破口

教学过程：

一、复习：追及问题的三个基本公式。

二、新授课：

【例4】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?

【分析与解】 当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。

解：①甲乙的速度差：300-250=50（米）②甲追上乙所用的时间：300÷50=8（分钟）答：经过8分钟两人相遇。

【及时练习】

两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

【例5】在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？

【分析与解】此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在 7 总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。解：2小时=120分 甲第一次追上乙所用的时间：

400÷2÷（60-50）=20（分）

A B 甲 乙

甲第二次开始每追乙一次所用的时间： 400÷（60-50）=40（分）甲从第二次开始追上乙多少次：（120-20）÷40=2次„„20秒 甲共追上乙多少次：2+1=3（次）答：甲共追上乙3次。

【小结】这类环形跑道的追及问题一定要明确路程差和速度差。

【及时练习】在周长为300米得圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒7米，每秒5米的骑车速度同时顺时针方向行驶，20分钟内甲追上乙几次？

【例6】在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？

【分析与解】画出两种行驶方法的示意图： 同向行驶 乙 400米 背向行驶 甲 乙 甲 400米 400米

同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。

背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。

这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少？

解：3分20秒=200秒

甲、乙的速度和：400÷40=10（米）甲、乙的速度差：400÷200=2（米）

甲的速度为每秒多少米？（10+2）÷2=6（米）乙的速度为每秒多少米？（10-2）÷2=4（米）答：甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。

【小结】这类题目是相遇问题和追及问题的结合，以及和差问题的综合运用。【及时练习】甲、乙两地相距450米，A、B两人从两地同时相向而行，经过5分钟相遇，已知A每分钟比B 每分钟慢6米，求A、B两车的速度各是多少米？

三、课后练习：

反向而行 同向而行

1、一圆形跑道周长300米，甲、乙两人分别从A、B两端同时出发，若反向而行1分钟相遇，若同向而行5分钟，甲可追上乙，求甲、乙两人的速度。

2、甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑4米，经过20分钟两人共同相遇6次，问这个跑道多长？

3、甲、乙两人环绕周长400米的跑道跑，如果他们从同一地点背向而行，经过2分钟相遇，如果从同一地点同向而行，经过20分钟甲追上乙，求甲、乙两人每分钟的速度各是多少？

四、课后反思：

第三课时

教学时间：

教学内容：追及问题

教学目标：掌握复杂的追及问题 教学重点： 教学难点： 教学过程：

一、新授课：

【例7】 一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？ 分析 要求一共要多少分钟，必须先求出从队尾赶到队头要多少分钟，再求出从队头到队尾要用多少分钟，把这两个时间相加即可。

【分析与解】

解：①赶上队头所需要时间：350÷（3-2）=350（秒）②返回队尾所需时间：350÷（3+2）=70（秒）③一共用多少分钟？350+70=420（秒）=7（分）

答：一共要用7分钟。

【及时练习】一支队伍长450米，以每秒3米的速度前进，一个通讯员骑车以匀速从队尾赶到队头用了50秒。如果他再返回队尾，还需要多少秒？ 【例8】 某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？

【分析与解】 要求一共要用多少分钟，首先必须求出队伍的长度。解：①这支路队伍长度：（202÷2-1）×0.5=50(米)②赶上队头所需要时间：50÷（5-3）=25（秒）③返回队尾所需时间：50÷（5+3）=6.25（秒）④一共用的时间：25+6.25=31.25（秒）答：一共要用31.25秒。【及时练习】

有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。队伍行进速度是每秒3米，前后两排的间隔距离是1.2米。现有一通讯员从队头赶往队尾用了16秒钟。如果他再从队尾赶到队头送信还需要多少时间？

【例9】 甲、乙、丙三人从A地出发到B地。乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？

设丙的速度为1米/分钟.(1)当乙追上丙时，丙共行了1×（40+10）=50米，由此可知乙行50米用了40分钟，乙的速度为50÷40=1.25（米/分钟）；(2)当甲追乙时，乙已先出发走了20分钟，这时甲乙的距离差为1.25×20=25（米），甲乙的速度差为25÷100=0.25（米）;甲的速度为1.25+0.25=1.5（米）;(3)当甲追丙时，丙已经先出发走了10+20=30分钟，这时甲丙的距离1×(10+20)=30米，速度差为1.5-1=0.5（米/分钟），追及时间为30÷0.5=60(分钟)。

【及时练习】

小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6时小明、小峰两人一起从甲地出发，小明每小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同时到达乙地。小光什么时候追上小峰？

三、课后练习

1、甲乙两人在周长400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100米，问多少分钟后，甲可以追上乙？

2、一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:甲乙两地相距多少千米?

3、自行车队出发12分钟后，通讯员骑摩托车去追他们，在距离出发点9千米处追上了自行车队。然后，通讯员立刻返回出发点，随后又返回去追上了自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，试求自行车队和摩托车的速度。

四、课后反思：

第四课时

教学内容：追击问题的练习题

教学目标：掌握各种类型的追击问题相遇问题 教学重点：会熟练解决基本的追击问题 教学难点：会解决复杂的追击问题

【例10】两艘渡船从南岸开往北岸，第一艘以每小时30千米的速度先开，第二艘渡船晚12分钟，速度为每小时40千米，结果两船同时到达，求南北两岸相距多少千米？

第一艘

【分析与解】根据题意画图：

第二艘 南岸 北岸 12分钟

要求南北岸的距离可用第一艘的速度乘以第一艘船所用的时间，或是用第二艘船的速度乘以第二艘船所用的时间。这两种时间等于追及时间，所以归为追及问题。

第五课时

教学内容：追击问题的练习题

教学目标：掌握各种类型的追击问题相遇问题 教学重点：会熟练解决基本的追击问题 教学难点：会解决复杂的追击问题 教学过程：

1、甲、乙两地相距54千米，A、B两人同时从两地相向而行，A每小时行4千米，B每小时行5千米，两人经过几小时相遇？

2、甲、乙两人同时从学校向相反方向行驶，甲每分钟行52千米，乙每分钟行50千米，经过7分钟后他们相距多少米？他们各自离学校有多少米？

3、甲、乙两地相距480米，客车和货车同时从两地相向而行，经过5小时相遇，客车的速度是每小时50千米，求货车的速度是每小时多少千米？

4、小明和小红两人从相距2280米的两地相向而行，小明每分钟行60米，小红每分钟行80米，小明出发3分钟后小红才出发，小红出发几小时后与小明相遇？相遇时两人各行了多少米？

5、一列火车于下午4时30分从甲站开出，每小时行120千米，经过1小时后，另一辆火车以同样的速度从乙站开出，晚上9时30分两车相遇，问甲、乙两站铁路长多少千米？

6、A、B两地相距360千米，客车和货车从A、B两地相向而行，客车先行1小时，货车才开出，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车开出后几小时与货车相遇？相遇地点离B地多远？

7、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，两车在距中点15千米处相遇，求AB两地相距是多少？

8、甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行18千米，乙每小时行15千米，两人相遇距离中点3千米，起两地距离多少千米？

9、AB两地相900千米，甲、乙两人同时从A到B，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米，当甲到达B后立即返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇共经过多少分钟？

10、学生甲和乙同时住一楼，有一次他们同时从家到相距540米的学校上学，甲每分钟行60米，乙每分钟行48米，甲到达学校后发现忘带文具盒，立即返回家去取，在途中遇到乙，那么从开始上学到两人相遇共用几分钟？

11、甲、乙两人从相距1800米的两地同时相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，乙带了一只小狗与他们同时行驶，狗以每分钟220米的速度向甲跑去，狗遇到甲时已行了多少米？狗遇到甲后立刻回头向乙跑去，这样狗在甲、乙两人之间来回奔跑，直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？

12、一辆客车与一辆货车同时从A、B两地相对开出，经过6小时相遇，相遇后两车都以原速继续前进，又经过4小时客车到达B地，这时货车离A地还有188千米，A、B两地相距多少千米？

13、小玲和小明家相距600米，这天两人同时从家出发向对方家走去，小玲走完全程需要12分钟，小明走完全程需要20分钟，相遇时两人各走了多少米？

14、A、B两地相距460千米，甲列车同时从A地开出2小时后，乙列车从B地开出，经过4小时与甲列车相遇，已知甲列车比乙列车每小时多行10千米，问甲列车平均每小时行多少千米？

15、甲、乙两人在相距90米的路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒种2米，如果他们同时分别从支炉两端出发，跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇几次？

第四篇：追及问题

追及问题

1、姐妹两人分别从相距200米的甲乙两地同时同向出发，妹妹每分钟走45米，姐姐每分钟走65米，妹妹在前，姐姐在后，多少分钟后姐姐追上妹妹？

2、姐妹两人分别从相距200米的甲乙两地同时同向出发，妹妹在前，姐姐在后，10分钟后姐姐追上妹妹；如果姐妹俩从甲乙两地同时相向而行，2分钟就能相遇，求姐妹俩的速度。

3、丽丽和东东去相距18千米的游乐场，丽丽的速度是每小时4千米，出发2小时后，东东才出发，以每小时12千米的速度去追丽丽，当东东追上丽丽时，他们离游乐场还有多远？

4、早上小明去上学，他出门5分钟后，爸爸发现小明忘记带语文书，于是骑自行车去追，小明每分钟行60米，爸爸骑自行车每分钟行120米，爸爸几分钟后能追上小明？这时他们离家有多远？

5、兄弟俩绕周长400米的环形跑道跑步，他们同

时一处同向出发，已知弟弟每分钟跑100米，哥哥的速度是弟弟的2倍，他们再次相遇需要多少时间？

6、一辆汽车从甲城开往乙城，2小时后因事故停

了1小时，以后司机将速度加快10千米，又经过了4小时准时到达乙城，甲乙两城相距多少千米？

7、上午7时，有一列货车以每小时55千米的速度

从甲城开往乙城，上午9时又有一列客车以每小时80千米的速度从甲城开往乙城，为了行驶安全，列车间的距离不应该小于10千米，问货车最晚应该在什么时刻停车让客车通过？

8、姐妹俩同时从家去学校，姐姐每分钟行150米，妹妹每分钟行100米，姐姐行至3千米处又回家取东西，又立即返回学校，因此比妹妹迟了10分钟到达学校，家到学校有多远？

第五篇：行程问题之追及问题

第八讲：行程问题之追及问题

教学目标：

1、理解追及问题中速度、时间、路程这三个数量间的相依关系。

2、能根据问题的画出符合题意的线段图来分析数量关系。

3、在培养学生逻辑思维能力的同时注重培养学生的自我探究和创造精神。

教学重点：追及问题中数量关系的理解和解题思路的分析。

教学难点：理解追及问题中速度差、追及时间和追及路程之间的关系。需要课时：2课时 教学内容：

解题关键：追及问题是两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”。

基本关系式：

追及路程÷速度差=追及时间(同向追及)速度差×追及时间=追及路程

例1：A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？

分析：根据题意可知要追及的路程是28千米，每行1小时，甲车可追上 32－25＝7 千米，即速度差。看28千里面有几个7千米，就要几小时追上。也就是 ： 追及的路程÷速度差＝追及时间

解： 28÷(32－25)＝28÷7 ＝4(小时)

例2 ：两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时30千米的速度从甲地开出，第二辆车晚开12分钟，以每小时40千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。求甲乙两地的路程？

分析：从题意可知两车从同一地出发，第二辆车晚开12分钟，也就是第一

辆车出发12分钟（0.2小时）后，第二辆车才出发，那么，追及的路程是第一辆12分钟所行的路程，即30×0.2 ＝6(千米)。两车同时到达乙地，也就是第二辆车刚好追上第一辆车，追及的时间就是第二辆车从甲地到乙地行驶的时间。即6÷(40－30)＝0.6(小时)，已知速度和时间，甲乙两地的距离可求。

解：30×0.2＝ 6(千米)6 ÷(40 －30)＝0.6(小时)40×0.6＝24(千米)练习：

1、甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙多少小时可追上甲？

2、甲、乙两人从A地去B地，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时4千米。乙先走了8千米。甲出发后多少小时可以追上乙？

3、猎犬发现野兔在前方2千米处。已知野兔的速度是每小时18千米，猎犬同时以每小时22千米的速度追野兔。问：猎犬多少分钟后可以捉到野兔？

4、学校到家，步行要1小时，骑自行车要30分钟。已知骑自行车比步行每分钟快18米，学校到家的距离是多少米？

作业

1、两地相距900千米。甲走需要15天，乙走需要12天。甲先出发2天，乙去追甲，要走多少千米才能追上？

2、A、B两地相距40千米。甲、乙两人，同时分别由两地出发，相向而行，8小时后相遇。如果两人同时由A相B，5小时后甲在乙前5千米。甲、乙两人每小时各行多少千米？

3、甲每小时行4千米，乙每小时行3千米。甲出发时，乙已先走9千米。甲追乙3个小时后，改以每小时5千米的速度追乙，再经几个小时甲追上乙？

4、一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:甲乙两地相距多少千米?