矩阵的特征值性质学年论文

第一篇：矩阵的特征值性质学年论文

矩阵特征值的性质与计算方法

学院数学科学学院专业信息与计算科学姓名王小雪学号20081464指导老师冯立新

一、背景与意义：

由于矩阵特征值在物理学，经济学的领域的广泛应用，关于矩阵特征值尤其是矩阵最大特征值的性质及其计算方法的研究引起了人们的关注，随着计算机的发展，各种关于矩阵特征值的计算方法应运而生，而关于矩阵特征值范围的估计及其算法在数学上也取得了，一定的成果，为了方便叙述一同引进特征向量的概念一同阐述矩阵特征值范围的估计，性质及其算法。

二、内容：

在有限维线性空间V中，取定一个基12n后线性变换f与矩阵A之

间存在着一一对应关系，即可用矩阵来表示线性变换，也就是说，对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基，使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单.因此特征值，特征向量的引入对利用矩阵研究线性变换具有基本重要性.首先了解特征值和特征向量的概念.（1）定义：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P一

数0存在一个非零向量，使得A0，那么0称为A的一个特征值，而

称为A的属于特征值0的一个特征向量.（2）特征值相关的性质：1、任一n阶方阵A必有n个复的特征值.、若是A的关于特征值0的特征向量，则对任意非零常数k，k也是A的关于0的特征向量.3、A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.、设A是线性空间V上的可逆变换，则①A的特征值一定不为0； ②1为A的逆矩阵A1的特征值.5、n阶实对称矩阵A有n个实的特征值.6、属于不同的特征值的特征向量是线性无关的.7、属于同一个特征值的特征向量不一定线性相关.8、A可逆，1,2n

111为A的全部特征值，则①11,为 全部A2n

111*

特征值。②A1,A2An为A的全部特征值

9、设A为一nn降秩复矩阵，则A的伴随矩阵A*的n个特征值至少有n1个为0.若它存在非零的特征值，则必为A11A22Ann



mz）10、则k,m分别为kA,Am的特征值（k为常数，为A的一个特征值，、若ACnn,则A2的特征值是A的特征值的平方（要计重数）.12、设A，B，AB均为n级实对称阵，是AB的一个特征值，则存在A的一个特征值s，B的一个特征值t，使得st.n、n阶矩阵所有特征值之和为矩阵的迹即itrA

i1、n阶矩阵特征值之积为矩阵行列式之值即12nA（3）矩阵特征值的估计、Gerschgorin第一圆盘定理：设AaijCnn，则A的特征值落在复平面的n个圆盘



Kiv|vaij



a2、、、、n的并集上。ij i

1、j1,ji

n、Gerschgorin第二圆盘定理：设Gerschgorin第一圆盘定理中的m 个圆盘形成一联通域，它与其余的nm个圆盘都不相交，则在此连通域中恰好有A的m个特征值。

（4）特征值的计算方法：1、根据定义求一些简单矩阵的特征值2

ykAzk1

、幂法迭代格式：mkmaxyk

zkyk/m

k

k1,2、、、其中z0为任一初始向

量，maxyk为向量yk的按模最大分量，这样迭代向量zk的按模最大分量为1。、反幂法：把幂法应用于A1便得列计算A的按最小模特征值n及其特征

ykAzk1kmkmaxy zkyk/m

k

向量vn的反幂法迭代格式 初始向量

k1,2、、、 其中z0为任一

第二篇：矩阵心得体会

《矩阵论》学习心得体会

2011-2012第一学期，我在李胜坤老师的引领下，逐步学习了科学出版社出版、徐仲和张凯院等编著的《矩阵论简明教程》第二版。该书是大学本科期间所学习的《线性代数》的矩阵部分内容的深化，从数域扩展到矩阵，要想充分理解“矩阵论”的精髓，就得先好好的将《线性代数》复习——掌握其基本概念及重要定理、结论。

该书有8个章节，第一章是矩阵的相似变换，第二章讲的是范数理论，第三章介绍的是矩阵分析，第四章详细介绍的是矩阵分解，第五章罗列的是特征值的估计与表示，第六章介绍的是广义逆矩阵，第七章介绍的是矩阵的直积，最后一章介绍的是线性空间与线性变换。下面分章节谈论。

第一章中的特征值与特征向量、矩阵的相似对角化、向量内积是本科期间《线性代数》中的内容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知识，将我们引领到另一个崭新的知识领域，起到承上启下的作用，让我们对《矩阵论》感到不陌生。该章中的Jordan标准形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的标准形是本科期间不曾深入学习的知识，这些知识为后续学习《矩阵论》吹响了号角。总之，第一章就是高等数学中的知识与“矩阵论”的衔接章节，同时也是后续章节学习的非常重要基础章节。我们要学好《矩阵论》就得学好该章，理解记忆其中的概念、结论。

第二章介绍向量范数与矩阵范数及其应用。介绍了向量范数的三公理、酉不变性、1范、2范、无穷范、p范、加权范数（也叫椭圆范数）以及很重要的一个不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收敛、发散性；矩阵范数的定义、m1范、m无穷范、F范及其酉不变性，矩阵范数与向量范数的相容性等。范数与矩阵的谱半径紧紧相连，有了范数作为研究矩阵的数学工具，我们将会更易更深入的理解、研究矩阵，并用矩阵指导实际生产实践。

第三章矩阵分析和第四章矩阵分解各是矩阵论的最重要章节之一。通过对矩阵的收敛性、矩阵级数、矩阵函数、矩阵微分、矩阵积分、矩阵四种分解等系统性学习研究，让我明白了矩阵理论在实际生活中的巨大作用——矩阵论将大大减少工程运算量及提高计算速度、精度。有了矩阵理论作指导，现实生活中很多不能解决或者很难解决的数学问题等都能够得到很好的解决。比如，提高计算机的计算速度、优化数字信号处理算法等。

第五章介绍了矩阵的非常重要的参数——特征值的估计及其表示，介绍了特征值界定估计、特征值包含区域等，让我们对特征值有了更进一步的了解，用书中的方法可以很高效的确定特征值的范围、估计特征值的个数。是研究矩阵的有效方法，为计算特征值指明了方向，解决了以前计算特征值的困扰。

第六章介绍的是广义逆矩阵，是逆矩阵的推广。广义逆矩阵是将可逆的方阵推广到不可逆矩阵、长方矩阵。介绍了广义逆矩阵的概念、逆矩阵的应用、Moor-Penrose逆A+的计算、性质以及在解线性方程组中的应用。我想该章更大的应用应该在解线性方程组中，解决生活中的计算问题，提供了又一高效办法。

第七章矩阵的直积是很易懂的知识，是以前向量直积在矩阵中的推广。对矩阵直积的研究对信号处理与系统理论中的随机静态分析与随机向量过程分析等有重要的指导作用，同时也是重要的数学工具，是研究信号处理人员必备的数学工具。

第八章线性空间与线性变换，其中线性空间是几何空间与n维向量空间概念的推广与抽象，线性变换则反映了线性空间元素之间的一种最基本的联系。该章的学习需要我们充分发挥我们的空间想象能力，同时该章也将会大大的启迪我们思维的灵活性、唤醒沉睡已久的新思维。

通过《矩阵论简明教程》的学习，开阔了我的数学视野，给我思考问题、解决实际问题提供了新的思维方法。我将努力借助《矩阵论》，使自己在信号处理领域走的更远。

第三篇：矩阵分析

第一章：

了解线性空间（不考证明），维数，基

9页：线性变换，定理1.3

13页：定理1.10，线性空间的内积，正交

要求：线性子空间（3条）非零，加法，数乘

35页，2491011

本章出两道题

第二章：

约旦标准型

相似变换矩阵例2.8（51页）出3阶的例2.6（46页）出3阶的三角分解例2.9（55页）（待定系数法）（方阵）

行满秩/列满秩（最大秩分解）

奇异值分解

本章出两道题

第三章：

例3.1（75页）定理3.2要会证明例3.3必须知道（证明不需要知道）定义3.3 例3.4证明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握

习题24

本章出（一道计算，一道证明）或者（一道大题（一半计算，一半证明））

第四章：

矩阵级数的收敛性判定要会，一般会让你证明它的收敛

比较法，数字级数

对数量微分不考，考对向量微分（向量函数对向量求导）

本章最多两道，最少 一道，也能是出两道题选一道

第六章：

用广义逆矩阵法求例6.4（154页）

能求最小范数（158页）如果无解就是LNLS解

定理6.1了解定理6.2 求广义逆的方法（不证明）

定理6.3（会证明）定理6.4（会证明）（去年考了）定理6.9（会证明）推论要记

住定理6.10（会证明）

出一道证明一道计算

第四篇：党校论文的性质

论文性质：党校结业

论文名称：论当代大学生党员的心理承

受能力

论当代大学生党员的心理承受能力

摘要：分析当代大学生党员心理承受能力较弱的表现及原因，阐述提高心理承受能力的重要性，及如何提高的方法。

关键字：表现；原因；重要性；方法

当今社会是一个高速发展且处处充满压力和逆境的社会，无论是在学校或是今后步入社会，都有许多压力要大学生党员去面对，有许多困难需要克服，有许多逆境需要去冲破。所以拥有一个良好的心理承受能力是非常重要，也是必需的。青年学生思想活跃，视野开阔，勇于开拓进取，具有较好的专业基础知识，是祖国未来的建设者，各条战线的生力军。因此，心理承受能力做为基础就更为重要。

所谓“心理承受能力”，从字面上理解就是一个人心理承受事情的一种能力。心理学上的解释是个体对逆境引起的心理压力和负性情绪的承受与调节能力，主要是对逆境的适应力、容忍力、耐力、战胜利的强弱。虽说当今大学生党员的生活中并未有大的逆境与压力存在，但仍有24.2%的大学生党员存在患有不同程度的心理障碍，严重影响他们的学习和生活；有17.5%还有中等的以上心理问题，且女生多于男生，来自农村的党员多于生活在城市中的。由此可以得出，当代大学生党员心理承受能力较弱。

对于大学生党员的心理承受能力较弱具体表现在以下四种症状：

1、恐学、厌学症。因为许多大学生党员在中学时都是成绩拔尖、能力不错，在学校及受老师重视的学生，拥有极其强烈的自尊心和自信心。但一进入大学。五湖四海的学生涌到了一起，以至于出现了更多极为优秀的同学，他们成绩更好，工作能力交际能力更强，于是部分同学无法面对着差距和落差感，而出现了失败感和愧疚感，便无法潜下心来学习，导致恶性循环，最终出现恐学厌学症状。

2、爱情综合症。在十八九岁这个花一样的季节，在离开教师父母的严格管教，在面对爱情最原始的憧憬中，面对大学生中各行各色的同伴们，不免会出被异性吸引，但随着时间的推移，失恋、单相思接踵而至，使其产生失落感，若未及时得到缓解大学生党员便会因为这种失落感慢慢对自己产生怀疑，对自己不自信，甚至严重的还会因此出现不敢与异性接触，大大破坏心理健康。

3、心里自闭症。此症状多出现在来自农村或某方面有薄弱的党员。他们在进入大学后见到自己与他人存在的点点差距，便会不由得萌发出自卑感。此类人也往往较为敏感，爱胡思乱想。所以在自卑感的驱使下变得与人交际有困难，自闭，与他人产生隔阂，导致身心疾病的爆发，变得易痛苦、脆弱、注意力无法集中，最终导致无法专心学习，甚至威胁生命。

4、情感逆反症。此类大学生党员往往因为无法经受住挫折的磨练，而产生叛逆情绪。对老师同学不信任，以自我为中心，总爱与他人作对，总是发表对立态度。逐渐轻蔑他人，对他人充满反感，甚至是对他人进行报复。

这些症状不仅严重影响他们现在的生活，对他人的学习生活心里产生不利影响，给他们带来各种心理障碍和心理疾病，造成适应社会的困难，而且可能会给他们成年后人格的健全发展及适应趋于激烈的竞争与挑战的社会生活留下隐患。这样无法表现共产党员先进性，无法履行义务和实行权力，无法真正成为一名中国共产党员。

中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人名和中华民族的先锋队。拥有坚持全心全意为人民服务的根本宗旨和坚持立党为公，执政为民的党的性质和宗旨的根本要求。因此中国共产党员作为中国共产党行动的载体，思想方针的执行者，必须坚持共产党的先进性，这也是保持党的先进性的基础，是改革创新精神全面推进党的建设新的伟大工程的需要。

党员的先进性是通过思想和行动来体现的，表现在品质、能力和行动的先进性的统一，坚定的理想信念、崇高的思想境界、优秀的道德品质、深厚的理论修养、敏捷的思维能力、积极的开拓意识、不懈的创新精神、高强的工作能力和清廉的作风是构成党员先进性的基础载体，先锋的模范行为和方法的带动影响力则是共产党员先进性的外在展示和行为特征。因此拥有一定的心理承受能力就显得极其重要。一定的心理承受能力是个体良好的心理素质的重要组成部分。毕竟只有拥有一定的心理承受能力才能拥有一个良好的心理，拥有一个良好的心理才能拥有优秀的品质，拥有优秀的品质才能拥有强大的能力，拥有强大的能力才能拥有更好地在行为上与品质能力上相统一，永葆共产党员的先进性。

当代大学生迫在眉睫的任务之一就是提高自身的心理承受能力。造成当代大学生党员的心理承受能力较弱的原因除了其均为独生子女，集万千宠爱以一身，抗打击能力下降，以自我为中心意识强烈外，还有中学时只注重成绩而忽视完善人格的原因。因此为提高当代大学生党员的心理承受能力，其所需做的有以下几点：

1、普及提高心理承受能力的知识和树立提高心理承受呢管理的意识。积极关注高校有关的知识及有关心理学的讲座；主动查阅书籍，上网搜索有关知识；关注平台课中的《大学生心理调试与发展》及《思想道德修养与法律基础》，促进心理素质、思想道德素质、文化素质、专业素质和身体素质的协调发展。

2、关注和了解自己的内心动态。学会科学心理调试方法，学会自我心理调试，提高承受和应对挫折的能力。培养乐观、进取、自信、豁达、为他人着想、敢于将面对现实、不怕艰难险阻、勇于直面艰苦的精神心态和抗打压能力。这些也正是一名优秀党员所必需的品质。在遇到心事无法自我调节时，多与老师同学沟通，可以有空就找心理咨询师聊天，提高心理素质。多与朋友交流想法和感情，便于舒缓痛苦，加倍快乐。

3、关注其他党员的精神状态。所有共产党员就是一家人，要互相关心与爱护，及时开导与建议。这也是提高自身心理承受能力的好方法之一。

马克思说过：“如果我们选择了最能为人类福利而劳动的职业。那么做工单就不能把我们压倒，因为这是为大家而献身。那是我们所感到的就不是可怜的、有限的、自私的乐趣。我们的幸福将属于千百万人，我们的事也将是默默地，但是永恒发挥作用的存在下去。而面对我们的骨灰，崇高的人将洒下热泪。”作为一名大学生党员，我们自是不能辜负这份光荣的称谓。为使更热衷并踏实的做好一名党员的责任和义务，我们首先就该提升自我心理承受能力，打好基础，为积极建设中国特色社会事业而贡献更大的力量。

参考文献：

【1】.《马克思恩格斯语录》 南京大学红四联

【2】.《新编青年学生入党教材》 《新编青年学生入党教材》编写组 浙江大学出版社 【3】.《让学子告别心理困惑》 中国教育报

第五篇：java求矩阵的特征值和特征向量(AHP层次分析法计算权重)(附源代码)

java求矩阵的特征值和特征向量(AHP层次分析法计算权重)(附源代码)这几天做一个项目，需要用到 求矩阵的特征值特征向量。我c++学的不好，所以就去网站找了很多java的源代码，来实现这个功能。很多都不完善，甚至是不准确。所以自己参考写了一个。这个用于我一个朋友的毕业设计。结果肯定正确。话不多说，贴源代码！

import java.math.BigDecimal;import java.util.Arrays;/** * AHP层次分析法计算权重

*

* @since jdk1.6 * @author 刘兴

* @version 1.0 * @date 2012.05.25 *

*/ public class AHPComputeWeight {

/**

* @param args

*/ public static void main(String[] args){

/** a为N*N矩阵 */

//double[][] a= {{1,1,1},{1,1,1},{1,1,1}};

double[][] a ={{1,3,5},{2,3,1,},{4,7,3}};

//double[][] a = {{1 ,1/5, 1/3},{5, 1, 1},{3,1,1}};

//double[][] a ={{1, 1/2, 2, 1},{2, 1, 3, 4},{1/2 ,1/3, 1, 1},{1 ,1/4, 1, 1}};

//double[][] a = {{1 ,0.5, 0.5},{2 ,1, 1},{2 ,1, 1}};

//double[][] a = {{1, 1/4, 1/3, 1},{4, 1 ,3 ,5},{3, 1/3, 1, 4},{1, 1/5, 1/4, 1}};// double[][] a= {{1,2,3,5},{0.5,1,2,3},{0.33,0.5,1,2},{0.2,0.33,0.5,1}};

int N = a[0].length;

double[] weight = new double[N];

AHPComputeWeight instance = AHPComputeWeight.getInstance();

instance.weight(a, weight, N);

System.out.println(Arrays.toString(weight));}

// 单例

private static final AHPComputeWeight acw = new AHPComputeWeight();

//平均随机一致性指针

private double[] RI = { 0.00, 0.00, 0.58, 0.90, 1.12, 1.21, 1.32, 1.41，1.45, 1.49 };// 随机一致性比率 private double CR = 0.0;// 最大特征值

private double lamta = 0.0;/** * 私有构造

*/ private AHPComputeWeight(){ } /** * 返回单例

*

* @return */ public static AHPComputeWeight getInstance(){ return acw;} /** * 计算权重

*

* @param a * @param weight * @param N */ public void weight(double[][] a, double[] weight, int N){ // 初始向量Wk double[] w0 = new double[N];for(int i = 0;i < N;i++){

w0[i] = 1.0 / N;}

// 一般向量W（k+1）

double[] w1 = new double[N];// W（k+1）的归一化向量 double[] w2 = new double[N];

double sum = 1.0;double d = 1.0;// 误差

double delt = 0.00001;while(d > delt){ d = 0.0;sum = 0;

} // 获取向量 int index = 0;for(int j = 0;j < N;j++){ double t = 0.0;for(int l = 0;l < N;l++)

t += a[j][l] * w0[l];// w1[j] = a[j][0] * w0[0] + a[j][1] * w0[1] + a[j][2] * w0[2];w1[j] = t;sum += w1[j];} // 向量归一化

for(int k = 0;k < N;k++){ w2[k] = w1[k] / sum;

} // 最大差值

d = Math.max(Math.abs(w2[k]N)/(N1]!= 0){

} } CR = CI / RI[N-1];// 四舍五入处理

lamta = round(lamta, 3);CI = Math.abs(round(CI, 3));CR = Math.abs(round(CR, 3));for(int i = 0;i < N;i++){ w0[i] = round(w0[i], 4);w1[i] = round(w1[i], 4);w2[i] = round(w2[i], 4);} // 控制台打印输出

System.out.println(“lamta=” + lamta);System.out.println(“CI=” + CI);System.out.println(“CR=” + CR);// 控制台打印权重

System.out.println(“w0[]=”);for(int i = 0;i < N;i++){ System.out.print(w0[i] + “ ”);} System.out.println(“");System.out.println(”w1[]=“);for(int i = 0;i < N;i++){ System.out.print(w1[i] + ” “);} System.out.println(”“);System.out.println(”w2[]=“);for(int i = 0;i < N;i++){ weight[i] = w2[i];System.out.print(w2[i] + ” “);} System.out.println(”“);/** * 四舍五入

*

* @param v

} * @param scale * @return */ public double round(double v, int scale){ if(scale < 0){

throw new IllegalArgumentException（”The scale must be a positive integer or zero“);} BigDecimal b = new BigDecimal(Double.toString(v));BigDecimal one = new BigDecimal(”1");return b.divide(one, scale, BigDecimal.ROUND_HALF_UP).doubleValue();} /** * 返回随机一致性比率

*

* @return */ public double getCR(){ return CR;}