勾股定理
【知识体系】
1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
。即直角三角形两直角边的等于。
2、勾股逆定理：如果直角三角形三边长a、b、c满足，那么这个三角形是
三角形。（且∠
=90°）
注意：
（1）勾股定理与其逆定理的区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。
（2）事实上，当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，①若a2+b2=c2，则∠C为直角；
②若c2>a2+b2，则∠C为钝角；
③若c2 （3）满足条件a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数。 常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；20、21、29；9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。 注意：（1）勾股数是一组数据，必须满足两个条件：①满足；②三个数都为正整数。 （2）11～20十个数的平方值： 【考点应用】【题型一 勾股定理定理的应用】 1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm,求第三边的长。 2、（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米 第1题图 第2题图 第3题图 （2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“>”，“=”，或“<”） （3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（） A.x=y B.x>y C.x y D.不能确定 （4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米 【题型二 勾股定理逆定理的应用】 1、如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c）； ② 验证与是否具有相等关系 ③ 若=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形； 若≠，则△ABC不是直角三角形。 例1、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD． 2、如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF=CD． 求证：△AEF是直角三角形． 3、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（） A、5，6，7 B、40，41，9 C、，1 D、，4、有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根将它们首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（） A、2，4，8 B、4，8，10 C、6，8，10 D、8，10，12 5.三角形的三边长为,则这个三角形是（） A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形.6、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。 7、如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将纸片折叠，使点A与点C重合，求折痕EF长。 A B8、一只蚂蚁从长为5cm、宽为4 cm，高是6 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm9、某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ A B C D 第9题图 10、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长.11、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C’处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。 12、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长． 【课堂测试】 1、在长方形ABCD中，,E为BC的中点,F在A B上,且.则四边形AFEC的面积为 2、如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（） A． B．2 C．3 D．43、如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ． 4、如图5，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 （） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）75、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子 外面的长度为hcm，则h的取值范围是（） A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 7、如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
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