勾股定理回顾与思考教案

第一篇：勾股定理回顾与思考教案

勾股定理回顾与思考（教案）（北师大版八年级第一章）渭南市临渭区三马路中学孙莉玲 教学目标 教学知识点

对直角三角形的特殊性质全面进行总结。让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。了解勾股定理的历史。能力训练要求

体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法。

在回顾与思考的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生要善于思考、善于创新。

情感与价值观要求

在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。

通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量。教学重点

回顾并思考勾股定理及其逆定理的获得和验证过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。

在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。教学难点

在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。建立本章的知识框架图。教学方法

交流与反思-----合作与探究 教具准备 无

教学过程

创设情境，导入新课 活动一：展示两幅图片，第一幅图片为2002年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。

第二幅图片为我国著名数学家华罗庚教授提议的向宇宙发射的勾股定理的图形，用来与外星人联系。我国著名数学家华罗庚曾经说过：“把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流”。

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学的发展中起着重要作用，在现实世界中有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴含了丰富的文化价值。这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史和它的广泛应用。

设计意图：这样的导入富有科学特色和浓郁的数学气息，激起学生强烈的兴趣和求知欲。

二、反思交流，探求新知，：

一、议一议：

1、直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？ ⑴在△ABC中，∠C＝90º，a，b，c为三角形的三边，则 角与角之间的关系：∠A＋∠B＝90º 边与边之间的关系：a2 + b2 = c2 ⑵在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，如果∠A＋∠B＝90º，则三角形为直角三角形。a2 + b2 = c2则三角形为直角三角形。

活动三：回顾勾股定理及直角三角形的判别条件

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形的判别条件：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数

游戏：叫一列学生玩常见勾股数的接龙游戏。3、4、5；6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等。

二、方格纸中勾股定理的验证

方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形。

方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。

方法三：将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形。方法四：利用皮克公式

正方形周边上的格点数a=12，正方形内部的格点数b=13，所以，正方形C的面积为：S=1/2a+b-1.三、史话勾股定理的证明

1、三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.它用几何图形来证明代数式之间的恒等关系,体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合.2、传说古希腊的毕达哥拉斯用下面的两个图形证明了勾股定理,你能直接观察验证勾股定理吗？

活动：通过本章的学习，你还知道勾股定理的哪些证明方法？请同学们介绍。

1、美国总统伽菲尔德的证明.他的方法直观、简捷、易懂、明了。

2、刘徽的“青朱出入图”，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”.3、著名画家达芬奇的证明 同学们，通过了解勾股定理的历史，我们感受到古代数学家的伟大成就和勾股定理丰富的文化价值，希望同学们在今后的学习中善于探索，善于创新，并且把这些成就发扬光大。

四、欣赏美丽的勾股树，感受数学图形之美，创造之美。

五、拓展与应用勾股定理中的思想方法 数学思想方法是解决数学问题的灵魂．正解的运用数学思想方法也是成功解题的关键．尤其是在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，那么你知道运用勾股定理解题应注重哪些思想方法呢？为了帮助同学们能清楚地知道这一问题，现就常用的思想方法举例说明，供同学们学习时参考． 类型之

一、分类讨论思想

已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长． 分析 已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论． 解 当和是两条直角边时，则利用勾股定理求得第三条边即斜边是＝5；当是直角边，是斜边时，仍由勾股定理求得另一条直角边是㎝．

说明 求解本题许多同学往往受勾3股4弦5的思维定势，而误认为和就是直角三角形的两条直角边，斜边当然是了，从而漏掉一解导致错误． 构造直角三角形解题

类型之二转化思想台阶中的最值问题

空间图形的距离最短问题是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地求距离最短问题要把“立体图形”转化为“平面图形”，再利用“两点之间线段最短”，以及“勾股定理”等知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱等。

1、台阶中的最值问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 解：台阶展开成平面如图所示，连接AB 因为BＣ＝３×３＋１×３＝１２，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，ＡＢ＝１３㎝，所以蚂蚁爬行的最短路线为１３㎝。B 类型之三方程思想

3、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺。突然，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？ 分析：由题意，我们知在图1-1中为AB湖水的深度，AC为荷花的长，△ABC为直角三角形． 解：设水深为x尺，则荷花的长为（x+3）尺，由勾股定理得： 62+ x2=（x+3）2

解得：x=4.5,所以这个湖的水深为4.5尺． 类型之四数形结合思想

应用勾股定理及其逆用解决有关航海问题的应用题，首先要能从实际问题中抽象出数学模型，画出图形，结合其他知识求出直角三角形的未知边或相关的量。

例如：甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/小时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/小时的速度另一个方向航行,2小时后，甲船达到C岛，乙船到达B岛。若两岛相距100海里，问：乙船航行的方向是南偏东多少度？ 解：如图所示，在△ABC中，因为AC=2 × 30=60，AB=2 × 40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.由于180°－35°－ 90°= 55°，所以乙船航行的方向是南偏东55 °。

六、跟踪练习

1、已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

2、有一个圆柱，它的高等于13厘米，底面半径等于3厘米.一只蚂蚁从距底面1米的A点爬行到对角B点处去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3).解：将圆柱的侧面展开成平面图形，连接AB 因为ＡＣ＝１３－１＝１２㎝，BC=３×３＝９㎝，所以AB2=AC2+BC2=２２５，ＡＢ＝１５㎝，所以蚂蚁爬行的最短路线为１５㎝。

七、感悟与收获

1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？

2、通过本节课的学习，你获得了那些数学思想和方法？

3、学习过程中你还有什么困惑？

八、分层作业 必做题：

1、课本第16页复习题

3，4，5

B组1

2、独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容。选做题：

勾股定理不仅在数学的发展中起着重要作用，而且在现实世界中有着广泛应用，请同学们试举几例，感受数学与生活紧密相连。

第二篇：八年级上册勾股定理回顾与思考教学设计

第一章

勾股定理

回顾与思考

成都市石室联合中学

林武

一、学生起点分析

通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．

二、教学任务分析

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．

本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．

为此，本节课的教学目标是：

①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．

②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．

三、教学过程设计

本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．

第一环节

情境引入

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．

目的：

通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情．

效果：

从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．

第二环节：知识结构梳理

本章知识要点及结构：

（第1—6题由学生独立思考完成，小组代表展示）

1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用和分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________．

2．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为，则=_________，=_________，=_________．

3．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若三边满足___________，则△ABC为___________．

4．勾股数：

满足___________的三个___________，称为勾股数．

5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．

6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？

（教师引导，小组讨论、总结）

从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．

直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是，那么的角所对的直角边时斜边的一半．

7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．

判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．

（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．

例如：①在△ABC中，根据三角形的内角和定理，可得，根据定义可判断△ABC是直角三角形．

②在△ABC中，由三角形的内角和定理可知，，△ABC是直角三角形．

（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．

例如：①△ABC的三条边分别为，而，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，但这里要注意的是b所对的角．

②在△ABC三条边的比为，△ABC是直角三角形．

8．通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图．

（小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）

三边的关系--勾股定理→历史、应用

直角三角形

直角三角形的判别→应用

目的：

复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系．通过学生相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化到自身的知识体系中．

效果：

学生有独立思考的空间，与有合作交流的舞台，动静结合，相得益彰．

第三环节：合作探究

内容：

探究一：利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．

解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；

（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．

注意事项：

因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5．但这一理解的前提是3、4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．

探究二：利用勾股定理求图形面积：

1．求出下列各图中阴影部分的面积．

_

（3)

图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1）

图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81）

图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）

2．已知Rt△ABC中，若，求Rt△ABC的面积．

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度

1.在△ABC中，的对边分别为，且，则（）.（A）为直角

（B）为直角

（C）为直角

（D）不是直角三角形

解：，∴．故选（A）.注意事项：

因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为，即，因根据这一公式进行判断．

2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各组条件，判定△ABC的形状．

（1）；

（2）．

解：（1）（2）均为直角三角形．

探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：

B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8

n

mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15

n

mile的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34

n

mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

解：甲船航行的距离为BM=（n

mile），乙船航行的距离为BP=（n

mile）．

∵，∴，∴△MBP为直角三角形，∴，∴乙船是沿着南偏东方向航行的．

注意事项：

勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理，其形式为“若，则．学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算．

目的：

通过对四大问题的探究，培养同学们归纳知识的能力，并将各种数学基本思想方法渗透其中，如对数形结合思想的渗透，鼓励学生由代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系．如对分类讨论的渗透，培养学生严谨的数学态度．

效果：

探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，这种贴近生活的实例，训练学生解决实际问题的能力，通过学生的解答和讨论，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦．

第四环节：拓展提升

内容：

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是

．

（答案为）

目的：

学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了，掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽．

效果：

运用勾股定理和方程思想解决实际问题，让学生体会生活中处处皆数学，并且使新知得到了巩固，能力得到了训练，认识得到了升华．

第五环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结：

1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？

2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？

目的：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．

效果：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法，并赞叹我国古代数学的成就．

第六环节：布置作业

1．课本《复习题》．

2．思考题：一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2

m，坡角m．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝

m时，有．

（答案为：．）

四、教学设计反思

本节课是复习课，利用勾股定理和勾股逆定理来解决实际问题．勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，而勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形．针对我班学生的知识结构和心理特征，本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”，先由浅入深，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.本节课围绕激趣引入，归纳知识--综合练习，应用知识—课堂小结三部分，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心．让学生自己绘制知识网络图，进一步体会本章所学知识之间的前后联系，并培养了学生这方面的能力．设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用．设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求．

附：板书设计

回顾与思考

一

情境引入

二

本章知识结构

三边的关系--勾股定理→历史、应用

直角三角形

直角三角形的判别→应用

三

合作探究

探究一：利用勾股定理求边长

探究二：利用勾股定理求图形面积

探究三：利用勾股定理及逆定理判定△ABC的形状或求角度

探究四：勾股定理及逆定理的综合应用

四

拓展与提升

五

交流小结

六

布置作业

第三篇：示范教案一回顾与思考

第八课时

●课 题 回顾与思考 ●教学目标

（一）教学知识点

1.进一步认识轴对称及其基本性质.2.进一步了解基本图形的轴对称性.3.按要求能够作出简单平面图形经过轴对称后的图形.4.能利用轴对称进行一些图案设计.（二）能力训练要求

1.通过回顾进一步认识轴对称及它的基本性质.掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质.2.通过回顾进一步了解基本图形（线段、角、等腰三角形）的轴对称性及其相关性质.3.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴.4.能欣赏现实生活中的轴对称图形，利用轴对称能进行一些图案设计.（三）情感与价值观要求

1.通过回顾与思考的活动，让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，并且增进学生学习数学的兴趣.2.通过回顾与思考的活动，进一步发展空间观念和审美意识.●教学重点

轴对称的基本性质，欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用.●教学难点

欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用.●教学方法 小组讨论法.●教具准备 投影片两张

第一张：问题串（记作投影片“回顾与思考”A）第二张：知识框架图（记作投影片“回顾与思考”B）学生用具：

剪刀、正方形纸片.●教学过程

Ⅰ.巧设现实情景，引入新课

［师］到今天为止，我们学习完了第七章：生活中的轴对称，由这一章的学习，知道了我们生活在图形的世界中，由于有轴对称图形，而使得生活丰富多彩.在本章丰富的活动中认识理解了轴对称的基本性质.这节课我们就来共同回顾这一章的内容.Ⅱ.讲授新课

［师］大家先来回顾本章的内容，然后小组讨论，总结本章知识，再回答以下问题（出示投影片“回顾与思考”A）

1.举出生活中轴对称的例子.2.举例说明轴对称有哪些性质？

3.指出角、线段、等腰三角形的对称轴，每个图形的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？

4.分别找出具有一条、两条、三条、四条对称轴的图形.［生甲］家中的床、书柜、衣柜等家具都是轴对称图形.［生乙］一些建筑物、汽车、飞机等都是具有对称轴的图形.［生丙］还有我们书中提到的：如：枫叶、双喜字、脚印、树与其在水中的倒影等.„„

［师］同学们认识了生活中这么多的轴对称图形，真棒，那它们有哪些性质呢？ ［生丁］轴对称图形中的对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角也相等.［生戊］也可以说：沿一条直线对折后，直线两旁的部分或图形能完全重合.［师］很好，在轴对称图形中，我们还研究了一些基本图形的轴对称性及相关性质，那大家想一想第3个问题.［生甲］角的对称轴是它的角平分线所在的直线.［生乙］线段的对称轴有两条：一条是它本身所在的直线，另一条是线段的垂直平分线.［生丙］等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.［生丁］等腰三角形的对称轴也可以说是底边上的中线所在的直线或底边上的高所在的直线.因为等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合.［生戊］每个图形的对称轴与这个图形的位置关系如图7－39所示：

图7－39

（1）图的对称轴平分这个角.（2）图的对称轴平分垂直线段AB；还可以说它的对称轴与本身重合.（3）图的对称轴平分顶角∠BAC，或垂直底边BC，或平分底边BC.对称轴两旁的部分能够互相重合.［师］同学们讨论、归纳得很好.下面看第4个问题，你能举出例子吗？ ［生甲］等腰三角形的对称轴只有一条.矩形的对称轴有两条.等边三角形的对称轴有三条.正方形的对称轴有四条.［生乙］等腰梯形的对称轴也有一条.线段的对称轴有两条.［生丙］角的对称轴只有一条.［师］同学们能运用例子说明自己对有关知识的理解，很好.下面我们分组交流，梳理本章的内容，来建立知识框架.（学生分组交流、讨论，教师适当作指导）

［师］好，下面我们共同来建立本章的知识框架图.（教师可光引导，板书，然后出示投影片“回顾与思考”B）

［师］接下来我们通过做练习以巩固本章的知识.Ⅲ.课堂练习

（一）课本P210复习题A组 1、2、3、4、5.1.找出下列图形中的轴对称图形，并指出它们的对称轴.答案：（2）（3）（5）是轴对称图形.（2）中有六条对称轴，（3）中有4条对称轴，（5）中有4条对称轴.2.将一张纸对折后，用笔尖扎出一个你喜欢的图案，将纸打开，观察得到的图案，你发现了什么？

答案：通过操作、观察发现：得到的图案是以折痕为对称轴的轴对称图形（或两个图形成轴对称，以折痕为对称轴）.3.将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折.用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，与同伴交流你的作品，你的作品中有几条对称轴？

答案：至少有两条对称轴.4.在26个英文大写字母中，有些字母可以看成是轴对称的，请你找出来，你能找到轴对称的汉字吗？

答案：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y等都可以看成是轴对称的.“

一、中、画、日、田、木、出”等都可以看成是轴对称图形.5.以虚线为对称轴画出图7－40的另一半.图7－40

答案：

图7－41

（二）回顾本章内容，然后小结.Ⅳ.课时小结

这节课主要回顾、思考了第七章的主要内容，并建立了知识框架图.从中我们还体会了数学的广泛应用和文化价值.Ⅴ.课后作业

（一）课本P211复习题B组 1、2、3、4 C组 1、2、3

（二）自己独立完成一份小结，用自己的语言来梳理本章内容，并回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方.Ⅵ.活动与探究

1.A、B、C三个村庄在一条东西向的公路沿线上.如7－42图，AB=2 km、BC=3 km,在B村的正北方有一个D村，测得∠ADC=45°，今将△ACD区域规划为开发区，除其中4 2km的水

塘外，均作为建筑或绿化用地.图7－42 ［试求］这个开发区的建筑或绿化用地的面积是多少平方千米？

［过程］通过学生解决这个实际问题，让他们进一步体会理论联系实际.［结果］解：作Rt△ADB关于DA所在直线的轴对称图形Rt△ADB.易知：Rt△ADB1≌Rt△ADB.作Rt△BCD关于DC所在直线的轴对称图形Rt△B2CD,易知Rt△B2CD≌Rt△BCD.延长B1A、B2C相交于点E，则四边形DB1EB2是正方形.设BD=x，则B1D=DB2=B2E=B1E=x AB1=AB=2，CB2=BC=3，AC=5 ∴AE=x－2，CE=x－3 在Rt△AEC中AE2+CE2=AC2（x－2）2+（x－3）2=（2+3）2 x2－5x－6=0，（x－6）（x+1）=0 ∵x＞0则x+1＞0，∴x－6=0,x=6 ∴DB=6，S△ADC=12×6×5=15 由于有4平方千米的水塘，所以作为建筑或绿化用地的面积为： 15－4=11，即：11平方千米.●板书设计 回顾与思考

一、问题串

二、知识结构图

三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业

第四篇：示范教案一1.10.1 回顾与思考(一)

第十七课时

●课 题

§1.10.1 回顾与思考(一)●教学目标(一)教学知识点

1.整式的概念及其加减混合运算.2.幂的运算性质(即同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂).3.整式的乘法运算(即包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式).4.整式的除法运算(即单项式除以单项式，多项式除以单项式).(二)能力训练要求

1.以“问题情景——数学模型——求解模型”为主要线索，经历从问题情景中寻求数量关系，发展符号感，并用符号运算解决一些问题.2.回顾整式的运算法则的探究过程，发展推理能力和表达能力，培养学生“观察——归纳——概括”的思维方法和策略.3.回顾从面积的角度解释多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等内容，并直观上认识和解释它们.4.回顾整式运算的每一步算理，重视幂的意义的作用和乘方分配律的作用，渗透转化、类比的思想.(三)情感与价值观要求

1.在回顾与思考的过程中，培养学生应“用数学”的意识和信心.2.在用符号表示现实情景中问题时，体会数学的简捷美，培养对学习数学的兴趣.●教学重点

在回顾与思考本章重要内容的同时，建立本章的知识结构网络图.●教学难点

灵活运用所学知识解决问题.●教学方法 启发引导法

以问题的形式帮助学生总结本章的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生梳理本章的结构框架.●教具准备 投影片三张

第一张：问题串(一)，记作(§1.10.1 A)第二张：问题串(二)，记作(§1.10.1 B)第三张：问题串(三)，记作(§1.10.1 C)●教学过程

Ⅰ.创设情景，引入新课

［师］这一章，我们学习了整式的概念及整式的运算.这一节课，我们一起回顾与反思这一章的重要内容.Ⅱ.讲述新课，建立本章知识结构框架图 出示投影片§1.10.1 A 1.举例说明什么是整式.2.说说如何进行整式的加减运算.［师］请同学们针对上面的两个问题，然后再作回答.［生］例如：一件夹克标价为a元，现按标价的7折出售，则售价用代数式表示为0.7a元.再例如：3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍还多b棵，两个班一共种了(3a+b)棵树.我们把像0.7a这样表示数字与字母的乘积的代数式叫做单项式；像(3a+b)表示的是几个单项式的和的代数式叫做多项式，单项式和多项式统称为整式.［师］0是整式吗？

［生］是.因为单独的一个数或一个字母也是单项式，所以所有的有理数都是单项式.［师］关于单项式和多项式还有什么规定？

［生］单项式的次数是这个单项式中所有字母的指数和.单独的一个非零数的次数是0.一个多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.例如7n的次数是1，x－by3的次数是4.［师］我们来回顾一下第2个问题的内容？你能举例说明吗？

［生］进行整式的加减时，如果遇到有括号先去括号，然后再合并同类项.例如(5mn－2m+3n)－(7m+7mn)=5mn－2m+3n－7m－7mn(去括号)=－2mn－9m+3n(合并同类项)［师］接下来，我们再来一块回顾幂的运算性质，并回答下面两个问题(出示投影片§1.10.1 B)3.说一说如何进行幂的运算，每一步的依据是什么？ 4.用2、3、4组成一个算式，使得运算结果最大.［生］幂的运算性质，包括有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底幂的除法，我们会结合下列表格说明如何进行幂的运算，及其每一步的依据(学生自我展示，用实物投影仪).同时我们还由同底数幂的除法得出了零指数幂和负整数指数幂的定义： 当m=n时，am÷an=am－n=a0=1(m、n是正整数，a≠0);当m

m个aaaa=(aaa)(aaam个a(nm)个a=－1=amn.aaa(nm)个a即1anm=amn(a≠0,m、n是正整数)－令n－m=p, 则m－n=－p.所以ap=－1ap(a≠0,p是正整数)［师生共析］我们知道乘方运算可以使数增长的速度飞快.用2、3、4组成的算式，为使运算结果尽量大，于是我们想到了用2、3、4组成幂的形式，而且幂的指数也是幂的形式，可以使数尽量大.由这三个数可组成6个尽量大的算式.即23,24,32,32,34,42,43.比较它们的大小，有计算器的同学借助于计算器，没有可计算、估测一下.例如23和24，由于3=81，4=64，所以23=2，24=2，所以23>24.„„ 344344232

4348

1364

43把它们从大到小的顺序排列为

23>24=32=34>43>42.434223所以，运算结果最大的一个算式应该是23.［师］接下来，我们来看第5、6个问题(出示投影片§1.10.1 C)5.说一说如何做整式的乘法.有关整式的乘法公式有哪些？

6.举例说明如何进行单项式除以单项式，多项式除以单项式运算.［生］整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式(包含乘法公式).例如(a2b3)·(－15a2b2c3)=［×(－15)］·(a2·a2)·(b3·b2)·c3－5a4b5c3

由此看出单项式与单项式相乘，是利用乘法的交换律、结合律把它们的系数、相同字母的幂相乘,其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.1223112=(xy2)·(x2y)+ xy2·(－6xy)22341313［生］例如xy2(x2y－6xy)单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.［生］也就是说，单项式与多项式相乘可根据乘法分配律转化成单项式与单项式的乘法.［师］多项式与多项式该如何乘？

［生］多项式与多项式的乘法也可以利用乘法分配律，把其中的一个多项式看成一个整体，转化成单项式与多项式相乘的方法运算.例如：(m+b)(m+a)=m(m+a)+b(m+a)=m2+ma+bm+ab

［生］在多项式与多项式相乘中，还有特殊的多项式乘法即乘法公式，利用乘法公式进行计算，必须抓住其公式的特点.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2,其中a、b可以是数，也可以是整式.它表示两个数和与差的积等于它们的平方差.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,其中a、b可以是数，也可以是整式，它表示两数和(差)的平方等于它们的平方和加上(减去)它们积的2倍.同时我们还可以利用拼图做出上述两个公式的几何解释.［生］6.单项式除以单项式，例如：a4b2c2d÷(ab2c)=(1÷)·(a4÷a)·(b2÷b2)·(c2÷c)·d=2a3cd.即单项式除以单项式，把系数、同底的幂分别相除后作为商的一个因式；只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.多项式除以单项式.例如：(4a3b－6a2b2+12ab3)÷(2ab)=(4a3b)÷(2ab)－(6a2b2)÷(2ab)+(12ab3)÷(2ab)=2a2－3ab+6b2

即多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.其实，多项式除以单项式，是利用乘法分配律转化成为单项式除以单项式来运算的.Ⅲ.建立本章的知识框架图

［师］同学们通过反思本章的内容，可以交流一下，本章的框架图应如何建立.［师生共析］本章的框架图如下：

1212Ⅳ.课时小结

本节课我们结合具体实例，回顾与反思了知识间的内在联系，师生共建了本章的知识结构框架图.Ⅴ.课后作业

课本P44，复习题A组

Ⅵ.活动与探究

求图1－27中阴影部分的面积.图1－27 ［过程］求图中阴影部分的面积遵循一个原则即把一个几何图形分成若干个基本图形，再计算它的面积.［结果］解法①：长是a、宽是b的长方形(外长方形)的面积是ab.长是(a－2x),宽是(b

－2x)的长方形(内长方形)的面积是(a－2x)·(b－2x).所以阴影部分的面积是ab－(a－2x)(b－2x)=ab－［ab－2ax－2bx+4x2］=2ax+2bx－4x2

解法②：把阴影部分的面积看成长为(2a+2b－4x)、宽是x的长方形的面积，则阴影部分的面积是x(2a+2b－4x)=2ax+2bx－4x2.解法③:把阴影部分分割成：两个长为a,宽为x的长方形和两个长为b,宽为x的长方形，再去掉多考虑的四个边长为x的小正方形.于是阴影部分的面积是2ax+2bx－4x2.解法④：把阴影部分分割成两个长为(a－2x),宽为x的长方形和两个长为(b－2x),宽为x的长方形及四个边长为x的正方形，则阴影部分面积为2x(a－2x)+2x·(b－2x)+4x2=2ax+2bx－4x2.●板书设计

§1.10.1 回顾与思考(一)●备课资料

一、正确认识(a+b)2与a2+b2

正确认识(a+b)2与a2+b2的不同：

1.读法不同：(a+b)2读作“a与b两数的和的平方”；a2+b2读作“a与b两数的平方和”.图1－28 2.运算顺序不同：(a+b)是先求和然后平方；而a2+b2是先平方再求和.3.几何意义不同：如图1－28中大正方形的面积是(a+b)2,而图1－28中阴影部分的面积是a2+b2.4.项数不同：(a+b)2是二项式的平方和，它的展开式a2+2ab+b2是一个二次三项式；a2+b2是二次二项式，有a2+b2=(a+b)2－2ab.当a=0或b=0时，有a2+b2=(a+b)2.正确应用(a+b)2与a2+b2的关系：

等式a2+b2=(a+b)2－2ab是一个公式的重要变形，在解题中应用很广.例如：已知(a+b)6=125,ab=2,求a2+b2的值.解：∵(a+b)6=125，2

∴(a+b)2=5, ∴a2+b2=(a+b)2－2ab =5－4=1.

第五篇：勾股定理教案

勾股定理

作者：范丹初中 耿占华

一、素质教育目标

（一）知识教育点

1、用验证法发现直角三角形中存在的边的关系。

2、掌握定理证明的基本方法。

（二）能力训练点

观察和分析直角三角形中，两边的变化对第三边的影响，总结出直角三角形各边的基本关系。

（三）德育渗透点

培养学生掌握由特殊到一般的化归思想，从具体到抽象的思维方法，以及化归的思想，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。

二、教学重点、难点及解决办法

1、重点：发现并证明勾股定理。

2、难点：图形面积的转化。

3、突出重点，突破难点的办法：《几何画板》辅助教学。

三、教学手段 ：

利用计算机辅助面积转化的探求。

四、课时安排：

本课题安排1课时

五、教学设想：

想培养学生的思维能力，为学生提供一个丰富的思维空间，使学生能够根据“式，数、形”等不同的结构从不同的角度去分析问解决问题

六、教学过程（略）