初中相似三角形模型汇总

第一章：相似三角形模型汇总

模型一、A字型

1.A型（平行）

条件：DE∥BC 求证：△ADE∽△ABC

2.斜A型（不平行）

条件：∠ADE=∠B

求证：△ADE∽△ABC

模型二、X型（8字型）

1.8字型（平行）

条件：AB∥CD 求证：△AOB∽△DOC

2.斜X型（蝴蝶型）

条件：∠A=∠C

求证：△AOB∽△COD

模型三、子母型（共边共角型）

1.非直角三角形条件：∠ACD=∠B

求证: △ACD∽△ABC

2、双垂型

条件：①AC⊥BC,CD⊥AB

求证： △ACD∽△ABC∽△CDB；

；

（射影定理）

模型四、旋转型

条件：①△OCD∽△OAB ②将△OCD旋转得图2

求证：①△OAC∽△OBD

②延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠AOB

模型五、共享型

1.共角条件:∠B=∠C

求证：△ACD∽△ABF △ECF∽△EBD

2.等角条件:AB=AC,∠BAC=60°，∠DAE=120°

求证：△ABD∽△ECA

模型六、一线三等角（K型）

1.三垂直型

条件:∠B=∠ACE=∠D=90°

求证：△ABC∽△CDE

2.一线三等角

条件:∠B=∠ACE=∠D

求证：△ABC∽△CDE

3.一线三等角+角平分线

条件：①∠B=∠ACE=∠D；②∠CAB=∠CAE

求证：①△ABC∽△CDE∽△ACE

②∠CEA=∠CED

③BC=CD

模型一.A字型

1．如图，已知DE//BC，AD=5，DB=3，BC=12，∠B＝50º，则∠ADE＝ °，DE=，_________.

第1题图第2题图第3题图

2．如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m则梯子的长为()

A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m

3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？

练习

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则()

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

第1题第2题第3题

2.如图，在△ABC中，点D，F，E分别在边AB，AC，BC上，且DF∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则的值为________．

3.如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE.E

F与CD交于点G.（1）求证：BD∥EF.（2）若,BE=4,求EC的长.

斜A字型

1.如图，已知点E在AB上，若点D在AC上，DE不与BC平行，则满足条件，就可以使△ADE与原△ABC相似.

第1题第2题第3题

2.如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE＝37°，则∠B＝________°.3.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是()

A.16 B.14 C.16或14 D.16或9

3.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求D点运动的时间．

4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交DE，BC于点F，G，且

．

（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若

，求

的值．

模型二．8字型

1．如图，已知

与

相交于点，AB=4,CD=8,AD=12，则PD的长等于______.

第1题第2题第3题

2.如图，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝8，EF＝12，则BF的长为_______.3.如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，AF=

DF, FE与AC相交于G，则AG:AC=_____

练习

1．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么线段OA的长为________．

第1题第2题

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝________．

3．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．

4.如图，已知，若，，求证：

.斜8字型

1.如图，四边形的对角线相交于点，∠DAO=∠CBO,求证：

(1)△AOD∽△BOC；(2)△AOB∽△DOC.

2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3： 5，AE=8，BD=4，求DC的长．

3.如图，已知等边，点

在边

上，点

是射线

上一动点，以线段

为边向右侧作等边，直线

交直线

于点，（1）写出图中与

相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

4.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为边在△ABC外作等边△ACD，点E在BC边上（不与点B、C重合），点F在BC延长线上，∠AED=∠F=60º，DE交AC于G，（1）求证：△DEF是等边三角形；（2）若BE=8，CE：CF=3:5，求DG的长度.模型三:母子型

例1.如图，点D在AB上，当∠B＝∠ 时，△ACD∽△ABC.

例2.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,求证:①ΔABC∽△ADB；②AB2=AC·AD；③AB·BC=AC·CD.例3.如图，已知ΔABC中，D是BC上一点，BD=10，DC=8，∠B＝∠DAC，E为AB上一点，DE//AC，求AC和DE的长．

例4：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．

例5：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, $∠ DEB =∠ ABC$

．

求证：（1） ${DB}^{2} = DE \cdot DA$

；（2）

$∠ DCE =∠ DAC$

．

例6：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．

求证： ${BE}^{2} = EF EG$

．

双垂型：

1.如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是BC上的高，由三角形相似容易得到如下结论：1.CD2=_________，2.AC2=________，3.BC2=______.

2.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于D，若AD=4，BD=1，则CD=（）

A.2 B.4 C.

D.3

3.如图, 在

中,

，

于

，若BD=4,BC=6，则AB=_____.

4.如图, 在

中,

，

于

，若BD=2,BA=8，则BC=_____.

5.如图,已知△ABC中,∠B=90°,BC=3，AB=4,D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，求AD长.

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为( )

A．3； B．4； C．5； D．6

7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝

模型四．旋转型：

1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

2.如图，设

，则

吗？说明理由.

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD.

（1）过点A作AE∥DC交BD于点E,求证：AE=BE；

（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′.

①求证：BD′∥CD；

②若AD′∥BC，求证：CD2=2OD·BD.

模型五．共享型

1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE= $120 °$

，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

求证：（1）△ABE∽△ACD；（2） ${BC}^{2} = 2 BE \cdot CD$

．

3.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.

(1)求证：△ADE∽△ABC；

(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．

4．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF＝135°，求证：△EAC∽△CBF．

双高型:

1、如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高

求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6 $\sqrt{2}$

，求：点B到直线AC的距离。

三垂直型

1．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．

2．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

3．如图，已知l1∥l2∥l3，且相邻两平行线间的距离相等，矩形ABCD的四个顶点在l1、l2、l3上，过B作EF⊥l2，分别交l1、l3于E、F，若AE=2，FC=8，则l1与l2之间的距离是______.

4.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l4，四边形ABCD面积是______.

5.在直角 $Δ ABC$

中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点， $DF ⊥ DE$

交射线AC于点F

（1）求AC和BC的长

（2）当 $EF // BC$

时，求BE的长。

（3）连结EF,当 $Δ DEF$

和

$Δ ABC$

相似时，求BE的长。

6.在直角三角形ABC中， $∠ C = 90^{\circ}, AB = BC, D$

是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合）， $DF ⊥ DE, DF$

与射线BC相交于点F.(1)当点D是边AB的中点时，求证： $DE = DF$

(2)当 $\frac{AD}{DB} = m$ ，求

$\frac{DE}{DF}$ 的值.

（3）当 $AC = BC = 6, \frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$

，AE=1,求BF的长.

7已知：如图，

是直角三角形斜边

上的高，在EC的延长线上任取一点P，连结AP，BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：（1）△AGB∽△AEP（2）

${CE}^{2} = PE \cdot DE$

8如图，

、

分别是矩形

四条边上的点，

,若

，

，则

等于（）

D.无法确定

9.如图，已知：正方形

中，点

、

分别在

、

上，且

，

于点

求证：

10.已知：如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP．求证：CE2＝ED•EP．

一线三等角型

1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°,（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）当BD=1，FC=3时，求BE.

2.见名校P11，12题

3.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

4.如图，在四边形

中，

∥

，

．点

为边

的中点，以

为顶点作

，射线

交腰

于点

，射线

交腰

于点

，连接

．

（1）求证：△

∽△

；

（2）若△

是以

为腰的等腰三角形，求

的长；

（3）若

，求

的长．

6、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作

，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

（3）连接DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

（4）当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE平分∠DFC．

8.(1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点,∠DPC＝∠A＝∠B＝90°,求证：

AD﹒BC＝AP﹒BP;

（2）探究：如图 2，在四边形 ABCD中，点 P为 AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

（3）应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图 3，在△ABD 中，AB＝6,AD＝BD＝5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边

AB向点B运动，且满足∠CPD＝∠A，设点P的运动时间为t（秒），当DC＝4BC时，求t的值．

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