第1章 分 式
1．1 分 式
第1课时 分 式
1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式．
2．能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围．(重难点)
3．能根据字母的取值求分式的值．(重点)
4．能用分式表示现实情境中的数量关系．(重点)
知识模块一 分式的概念
【合作探究】
教材P2动脑筋．
代数式，有什么共同点？
归纳：分式的概念：一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有__字母__)，所得商叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.【自主学习】
下列式子中是分式的有：__②⑥⑦__．
①；②；③；④3x2；⑤；⑥4x＋；
⑦－.知识模块二 分式存在以及分式的值为0的条件
【自主学习】
阅读教材P3例1和例2.【合作探究】
当x取什么值时，分式的值：(1)不存在；(2)等于0?
解：(1)当分母x－2＝0时，即x＝2时，分式的值不存在；(2)当分子x＋1＝0，即x＝－1时，分式的值等于＝0.归纳：分式存在的条件是__g≠0__；分式不存在的条件是__g＝0__．分式的值为0的条件是__f＝0且g≠0__.练习：
求下列条件下分式的值．
(1)x＝3；(2)x＝－2.解：(1)当x＝3时，＝＝；
(2)当x＝－2时，＝＝.活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；
(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；
(3)x与y的差除以4的商是多少．
解：(1)；分式．(2)a＋b，a－b；整式．(3)；整式．
例2 当x取何值时，分式的值存在？当x取何值时，分式的值为零？
解：当的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；当的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.【点拨】分式的值存在的条件：分式的分母不能为0，分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的．
活动2 跟踪训练
1．下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤x2.解：①③是分式．
2．当x取何值时，分式的值存在．
解：3x－2≠0，即x≠时，存在．
3．求下列条件下分式的值．
(1)x＝1；(2)x＝－1.解：(1)当x＝1时，＝－；(2)当x＝－1时，＝－.活动3 课堂小结
1．分式的定义及根据条件列分式．
2．分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件．
第2课时 分式的基本性质
1．理解并掌握分式的基本性质．(重点)
2．能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算．(重难点)
知识模块一 分式的基本性质
【合作探究】
教材P4说一说．
填空，并说一说下列等式从左到右变形的依据．
(1)＝＝；(2)＝＝
与分数类似，＝，＝成立吗？
归纳：分式的分子与分母都乘__同一个非零整式__，所得分式与原分式__相等__．即对于分式，有＝(h≠0)．
【自主学习】
根据分式的基本性质填空：
(1)＝；(2)＝；
(3)＝
知识模块二 分式的约分
【自主学习】
阅读教材P5例4，P6例5.【合作探究】
1.＝＝，公因数是__2__；＝＝，公因式是__4abc__．
2.＝＝
归纳：把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分．
像、这样，分式的分子分母没有__公因式__，这样的分式叫作最简分式．
练习：
1．约分．
(1)；
解：原式＝＝；
(2).解：原式＝＝.2．下面变形是否正确？为什么？如果不正确应该怎样改正？
＝.解：不正确．正确变形如下：＝＝.3．先约分，再求值：，其中m＝1，n＝3.解：＝＝.当m＝1，n＝3时，原式＝＝－.活动1 小组讨论
例 约分．
(1)；(2)；(3).解：(1)＝－；(2)＝；(3)＝＝.【点拨】约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用．像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分．
活动2 跟踪训练
1．约分．
(1)；(2).解：(1)＝；
(2)＝＝－.2．先约分，再求值．
(1)，其中m＝1，n＝2；
(2)，其中x＝2，y＝4.解：(1)＝＝＝1；
(2)＝＝＝＝－.活动3 课堂小结
1．分数的基本性质．
2．约分、化简求值．
1.2 分式的乘法和除法
第1课时 分式的乘法和除法
1．理解分式的乘、除法运算法则．(重点)
2．会进行分式的乘除运算．(重难点)
知识模块一 用类比思想探究分式乘除法运算法则
【合作探究】
类比分数的运算：(1)×；(2)÷(u≠0)怎样计算呢？
(1)·＝；(2)÷＝·＝.归纳： 分式的乘除法法则．
__分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．__
【自主学习】
计算．
(1)·；(2)(x＋2)÷；
(3)·；(4)÷.解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝(x＋2)·＝；
(3)原式＝；
(4)原式＝.知识模块二 需要分解因式才能约分的分式乘除法
【自主学习】
阅读教材P9例2，学习解题方法．
【合作探究】
1．计算：(1)·；(2)÷(x－y)．
解：(1)原式＝·＝；
(2)原式＝·＝.2．先化简，再求值：÷·，其中a＝－1.解：原式＝··＝，当a＝－1时，原式＝＝1.活动1 小组讨论
例1 计算．
(1)·；(2)÷.解：(1)原式＝＝＝；
(2)原式＝·＝＝.例2 计算．
(1)·；(2)÷.解：(1)原式＝·＝＝；
(2)原式＝·＝·＝＝.【点拨】整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式．注意变换过程中的符号．
活动2 跟踪训练
1．计算：
(1)·；(2)÷8x2y；(3)－3xy÷.解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝·＝＝；
(3)原式＝－3xy·＝－＝－.【点拨】(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式．
2．计算：
(1)÷；
(2)÷(x＋3)·.解：(1)原式＝·＝·＝＝；
(2)原式＝··＝··＝－.【点拨】分式的乘除要严格按法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式．运算过程一定要注意符号．
活动3 课堂小结
1．分式的乘、除法运算法则．
2．分式的乘、除法运算法则的运用．
第2课时 分式的乘方
1．理解分式乘方的运算法则．(重点)
2．熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算．(重难点)
知识模块一 探究分式乘方法则
【合作探究】
教材P10做一做．
1．()2＝×＝；()3＝××＝
2．类比分数的乘方计算．
()2＝×＝，()3＝××＝，()10呢？
归纳：()n＝×××……×,＼s＼do4(n个))＝.(其中n为正整数)
即：分式的乘方就是把__分子、分母分别乘方__．
【自主学习】
1．计算：
(1)()4；(2)()3.解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝＝.2．判断下列各式是否成立，并改正：
(1)()2＝；错，；
(2)()2＝；错，；
(3)()3＝；错，－；
(4)()2＝.错，.知识模块二 分式的乘除、乘方混合运算
【自主学习】
阅读教材P10例4，注意计算过程．
【合作探究】
计算：
(1)()2·()3；
(2)()4·()3÷()5.解：(1)原式＝·(－)＝－；
(2)原式＝··(－)＝－.活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)()3；(2)()3.解：(1)()3＝；(2)()3＝＝
【点拨】分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算．
例2 计算：
(1)m3n2÷()3；(2)(－)2÷()3·()3.解：(1)m3n2÷()3＝m3n2÷＝m3n2·＝n5；
(2)(－)2÷()3·()3＝÷·＝··＝.【点拨】分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式．
活动2 跟踪训练
1．计算：
(1)·÷；
(2)÷·；
(3)()2÷(a－1)·.解：(1)原式＝··＝；
(2)原式＝··＝－；
(3)原式＝··＝.2．计算．
(1)()3；(2)()2÷·()3.解：(1)原式＝＝－；
(2)原式＝··＝－.3．化简求值：÷()2·，其中a＝，b＝－3.解：化简结果是ab，求值结果为－.【点拨】化简过程中注意“－”．化简中，乘除混合运算顺序要从左到右．
活动3 课堂小结
1．分式乘方的运算．
2．分式乘除法及乘方的运算方法．
1.3 整数指数幂
1．3.1 同底数幂的除法
1．理解同底数幂的除法法则．(重点)
2．熟练进行同底数幂的除法运算．(重难点)
知识模块一 探究同底数幂的除法法则
【合作探究】
教材P14动脑筋．
怎样计算呢？＝＝(210)．类似地，设a≠0，m，n是正整数，且m>n，则＝＝(am－n)．
归纳：同底数幂相除，底数__不变__，指数__相减__．
【自主学习】
1．阅读教材P15例1.2．计算：
(1)(－)15÷(－)12；(2)；
(3)(m是正整数)．
解：(1)原式＝(－)15－12＝(－)3＝－；
(2)原式＝(－x2y)7－4＝(－x2y)3＝－x6y3；
(3)原式＝a2m－1－m＝am－1.知识模块二 底数是多项式的同底数幂的除法运算
【自主学习】
阅读教材P15例2.【合作探究】
1．计算：(1)(a＋b＋1)4÷(a＋b＋1)3；
(2)(a－b)5÷(b－a)3.解：(1)原式＝(a＋b＋1)4－3＝a＋b＋1；
(2)原式＝(a－b)5÷[－(a－b)3]＝－(a－b)2.2．已知xa＝32，xb＝4，求xa－b的值．
解：因为xa＝32，xb＝4，所以xa－b＝xa÷xb＝32÷4＝8.3．化简求值．
(2x－y)13÷[(2x－y)3]2÷[(y－2x)2]3，其中x＝2，y＝－1.解：原式＝(2x－y)13÷(2x－y)6÷(2x－y)6＝(2x－y)，当x＝2，y＝－1时，原式＝2×2－(－1)＝5.活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)；(2).解：(1)＝－x5－3＝－x2；
(2)＝＝－x3y3.例2 计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y)．
解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.活动2 跟踪训练
1．计算：
(1)；(2)；
解：(1)原式＝a3；(2)原式＝1.2．计算：(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2.解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3]·(p－q)2＝－(p－q)·(p－q)2＝－(p－q)3.活动3 课堂小结
同底数幂的除法的运算．
1．3.2 零次幂和负整数指数幂
1．理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题．(重难点)
2．理解零指数幂和负整数指数幂的意义．(重点)
3．负整数指数幂在科学记数法中的应用．(重难点)．
知识模块一 零次幂的意义
【合作探究】
教材P16说一说．
计算：82÷82＝__1__，103÷103＝__1__，am÷am＝__1__．又因为＝am－m＝a0，这启发我们规定．
归纳：a0＝1(a≠0)，即任何不等于零的数的零次幂都等于__1__．
【自主学习】
填空：70＝__1__，(－13)0＝__1__，()0＝__1__，(π－3)0＝__1__．
知识模块二 负整数指数幂
【合作探究】
教材P17动脑筋．
在am÷an中，当m＝n时，产生零次幂，即a0＝1(a≠0)，那么m (1)82÷85＝82－5＝8－3，82÷85＝＝，∴8－3＝(2)74÷78＝74－8＝7－4 74÷78＝＝，∴7－4＝ 思考：a－n＝？，a－n＝a0－n＝＝.归纳：a－n＝＝()n(a≠0，且n是正整数)．特别地，a－1＝(a≠0)． 【自主学习】 1．计算：(1)1－1；(2)5－2；(3)()－5.解：(1)1－1＝＝1；(2)5－2＝＝；(3)()－5＝25＝32.2．把下列各式写成分式的形式． (1)2xy－5＝2x·＝； (2)－5x－2y3＝－5··y3＝－； (3)a3b－1c－3＝a3··＝.知识模块三 科学记数法 【自主学习】 阅读教材P18例5、例6.【合作探究】 用小数表示下列各数： (1)5.6×10－2＝__0.056__；(2)－2.08×10－5＝__－0.0000208__． 类似的，利用10的负整数次幂，我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成__a×10－n__的形式，其中n是正整数，__1≤|a|≤10__，.当一个数的绝对值很小的时候，我们也能用科学记数法表示． 练习：用科学记数法表示． (1)0.00000405＝__4.05×10－6__； (2)－0.0026＝__－2.6×10－3__． 活动1 小组讨论 例1 计算： (1)3－2；(2)(10)－3；(3)()－2.解：(1)3－2＝＝；(2)10－3＝＝0.001； (3)()－2＝()2＝.例2 把下列各式写成分式的形式． (1)3x－3；(2)2x－2y－3.解：(1)3x－3＝；(2)2x－2y－3＝.例3 用科学记数法表示下列各数． (1)0.0003267；(2)－0.0011.解：(1)0.0003267＝3.267×10－4；(2)－0.0011＝－1.1×10－3.活动2 跟踪训练 1．计算；(－2)0＝__1__；3－1＝____． 2．把(－100)0，(－3)－2，(－)2按从大到小的顺序排列为__(－100)0>(－)2＝(－3)－2__． 3．计算：(－1)2012×(3－π)0＋()－1.解：原式＝1×1＋2＝3.活动3 课堂小结 1．零次幂和整数指数幂的运算性质． 2．零次幂和负整数指数幂的意义． 3．负整数指数幂在科学记数法中的应用． 1.3.3 整数指数幂的运算法则 1．理解整数指数幂的运算法则．(重点) 2．熟练掌握整数指数幂的各种运算．(重难点) 知识模块 整数指数幂的运算法则及运算 【自主学习】 阅读教材P20例7、例8.【合作探究】 学习例7、例8的计算，你发现了什么？ 在前面我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数，可以说明：当a≠0，b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立． 归纳：＝am·＝am·a－n＝am＋(－n)＝am－n； ()n＝(a·b－1)n＝an·(b－1)n＝an·b－n＝.我们可以把正整数指数幂的5个运算法则推广并归纳为整数指数幂的以下3个运算法则． ①am·an＝__am＋n__(a≠0，m，n都是整数) ②(am)n＝__amn__(a≠0，m，n都是整数) ③(ab)n＝__anbn__(a≠0，b≠0，n是整数) 练习： 1．设a≠0，b≠0，计算下列各式(结果不含负指数)． (1)a4·a－8；(2)(a－3)2；(3)[(－)－4]2； (4)(x－2y)－3 解：(1)原式＝a－4＝；(2)原式＝a－6＝；(3)原式＝(44)2＝48；(4)原式＝x6y－3＝.2．计算：(1)[(a＋b)－4]2(a＋b)2÷(a＋b)； 解：原式＝(a＋b)－8(a＋b)2÷(a＋b)＝(a＋b)－7＝； (2)(3x－2y－3)·(－2x2y)－3·(－xy2)－2.解：原式＝··＝－.归纳：对于含有负整数指数幂的运算，计算方法和整数指数幂的运算一样，一般有两种运算方法：一是首先把负整数次幂转化为__正整数指数幂__的形式，然后再计算；二是直接根据__整数指数幂__的运算法则进行计算，但要注意结果中不能含有负整数指数幂的形式． 活动1 小组讨论 例1 计算： (1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)原式＝a－3b6＝； (2)原式＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.例2 下列等式是否正确？为什么？ (1)am÷an＝am·a－n；(2)()n＝anb－n.解：(1)正确．理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n； (2)正确．理由：()n＝＝an·＝anb－n.活动2 跟踪训练 1．下列式子中，正确的有(D) ①a2÷a5＝a－3＝；②a2·a－3＝a－1＝；③(a·b)－3＝＝；④(a3)－2＝a－6＝.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．计算：[x(x2－4)]－2·(x2－2x)2＝____． 活动3 课堂小结 牢记整数指数幂的运算法则． 1.4 分式的加法和减法 第1课时 同分母分式的加减法 1．掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算．(重点) 2．会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算． 知识模块一 同分母分式的加减法 【合作探究】 计算：＋＝____，－＝____，＋＝____，－＝____． 归纳：类似地，±＝____，即同分母的分式相加减，分母__不变__，把分子__相加减__． 【自主学习】 计算： (1)＋；(2)－； (3)＋－.解：(1)原式＝＝＝3x； (2)原式＝＝＝； (3)原式＝＋－＝＝＝1.知识模块二 分式的符号法则在分式加减运算中的运用 【合作探究】 教材P24说一说． 归纳：＝＝－，＝.计算：－＋.解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝.【自主学习】 计算：(1)＋； (2)＋.解：(1)原式＝－＝＝；(2)原式＝－＝＝1.活动1 小组讨论 例1 计算： (1)＋；(2)－.解：(1)原式＝＝＝1； (2)原式＝＝＝＝.例2 计算： (1)－；(2)－.解：(1)原式＝＋＝； (2)原式＝－＝＋＝＝.活动2 跟踪训练 1．化简＋的结果是(D) A．x＋1 B．x－1 C．－x D．x 2．化简－的结果是(A) A．a＋b B．a－b C．a2－b2 D．1 【点拨】在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式． 3．计算：(1)－；(2)＋－.解：(1)原式＝＝1；(2)原式＝＝0.活动3 课堂小结 1．分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误． 2．分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)． 第2课时 通 分 1．了解什么是最简公分母，会求最简公分母．(重点) 2．了解通分的概念，并能将异分母分式通分．(重难点) 知识模块一 怎样确定最简公分母 【合作探究】 教材P25做一做，完成下面的内容： 异分母分数相加减，要先找到分母的最小公倍数作为公分母，通分后化为同分母分数，再加减． 类似地，异分母分式进行加减运算时，也要先化成__同分母分式__，然后再加减． 归纳：1.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成__同分母__的分式的过程，叫作分式的通分． 2．通分时怎样确定公分母最简便？ 【自主学习】，的最简公分母是__36x2y2__；，的最简公分母是__ab(a－b)__； 求与的最简公分母． 分析：第一个分式的分母含有哪些因式？即x2－1＝__(x＋1)(x－1)__．第二个分式的分母含有哪些因式？即x2－x＝__x(x－1)__；因此，最简公分母是__x(x＋1)(x－1)__． 知识模块二 如何将异分母分式通分 【合作探究】 教材P25动脑筋． 【自主学习】 1．学习教材P26例3、例4.2．通分． (1)，；(2)，.解：(1)最简公分母是：12x2y.＝＝，＝＝，＝＝.(2)最简公分母是：(x＋2)2(x－2)，＝，＝.活动1 小组讨论 例1 通分． (1)与；(2)与.解：(1)最简公分母是2a2b2c.＝＝，＝＝； (2)最简公分母是(x＋5)(x－5)． ＝＝，＝＝.例2 通分． (1)与；(2)与.解：(1)最简公分母是4b2d.＝，＝； (2)最简公分母是2(x＋2)(x－2)． ＝＝，＝＝＝－.活动2 跟踪训练 1．分式，的最简公分母为(B) A．(x＋2)(x－2) B．2(x＋2)(x－2) C．2(x＋2)(x－2)2 D．－(x＋2)(x－2)2 2．分式，的最简公分母是__x(x＋1)2(x－1)__． 3．通分． (1)与；(2)与；(3)与.解：(1)＝，＝； (2)＝，＝； (3)＝，＝.活动3 课堂小结 1．确定最简公分母． 2．将异分母分式通分． 第3课时 异分母分式的加减法 1．熟练掌握求最简公分母的方法． 2．能根据异分母分式的加减法则进行计算．(重难点) 知识模块一 异分母分式的加减法 【合作探究】 教材P27动脑筋． 回顾：你是怎样计算＋的？ 归纳：类似地，异分母的分式相加减时，要先__通分__，即把各个分式的__分子、分母__同乘一个适当的__整式__，化成__同分母分式__，然后再__加减__． 【自主学习】 1．学习教材P28例5、例6.2．计算： (1)＋＋；(2)－.解：(1)原式＝＋＋＝； (2)原式＝－ ＝ ＝ ＝－.知识模块二 整式与分式的加减运算 【自主学习】 阅读教材P29例7.【合作探究】 计算： (1)x－y＋；(2)－x＋1.解：(1)原式＝＋ ＝＋ ＝ ＝； (2)原式＝－(x－1) ＝－ ＝ ＝.活动1 小组讨论 例1 计算． (1)＋；(2)－.解：(1)原式＝＋＝； (2)原式＝－＝.例2 计算． (1)(1－)÷；(2)＋.解：(1)原式＝·＝·＝a－b； (2)原式＝＋＝＝.活动2 跟踪训练 1．计算(＋)÷的结果为(A) A．a B．－a C．(a＋3)2 D．1 2．化简(1＋)÷的结果是(A) A.B.C.D.3．化简·＋的结果是____． 4．化简(1－)(m＋1)的结果是__m__． 【点拨】1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式． 活动3 课堂小结 分式加减运算的方法思路． 1．5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程 1．理解分式方程的意义． 2．了解分式方程的基本思路和解法．(重点) 3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法．(重点) 知识模块一 分式方程的概念 【合作探究】 教材P32动脑筋． 归纳：分母中含有__未知数__的方程叫作分式方程． 【自主学习】 下列是分式方程的是：__④__(只填序号)． ①x＋y＝5；②＝；③；④＝2.知识模块二 分式方程的解与解法 【自主学习】 阅读教材P33例1、例2.【合作探究】 对于上面的分式方程如何求解呢？可以联想一元一次方程的解法，通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程来求解． 解方程：－＝1.解：方程两边同乘以1.5x，得36－30＝1.5x，解得x＝4.检验：把x＝4代入原方程，得左边＝－＝1＝右边，因此x＝4是原方程的解． 归纳：解分式方程的关键是把含有未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边同乘以各个分式的__最简公分母__而达到． 活动1 小组讨论 例1 解方程：＝.解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3)．解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解为x＝9.例2 解方程：－1＝.解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.所以x＝1不是原方程的解．所以，原方程无解． 活动2 跟踪训练 解方程：(1)＝；(2)＝＋1； (3)＝；(4)－＝0.解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x，化简得3x＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0，所以x＝1是原方程的解； (2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－.检验：当x＝－时，3x＋3≠0.所以x＝－是原方程的解； (3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解．所以原方程无解； (4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0，解得x＝.检验：当x＝时，x(x＋1)(x－1)≠0.所以x＝是原方程的解． 【点拨】方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母． 活动3 课堂小结 解分式方程的思路是： ―→ 第2课时 分式方程的应用 能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．(重难点) 知识模块一 分式方程的应用——工程问题 【合作探究】 教材P34动脑筋． 【自主学习】 甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？ 解：设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意可列方程：＋＝1，方程两边同乘以30x，得18x＋240＝30x，解得x＝20.检验：把x＝20代入30x中，它的值不等于0.因此x＝20是原方程的根，且符合题意．答：乙队单独完成这项工程需要20天． 知识模块二 分式方程的应用——路程问题 【合作探究】 小明家和小玲家住同一小区，离学校3000 m，某一天早晨，小玲和小明分别于7：20，7：25离家骑车上学，在校门口遇上，已知小明骑车的速度是小玲的1.2倍，试问：小玲和小明骑车的速度各是多少？ 解：设小玲的速度为v m/s，则小明的速度为__1.2v__m/s.依题意得：__－＝300__． 去分母得：__3600－3000＝300×1.2v__，解得v＝.检验：__把v＝代入最简公分母中，它不等于0，因此v＝是原方程的解．__ 答：小玲、小明的骑车速度分别是____m/s，__2__m/s.【自主学习】 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60 km所需时间与逆水航行48 km所需时间相同，已知水流速度是2 km/h，求轮船在静水中航行的速度，若设轮船在静水中航行速度为x km/h，则依题意可列方程为__＝__． 知识模块三 分式方程的应用——商品购买问题 【自主学习】 阅读教材P35例3.【合作探究】 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支铅笔的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支，求第一次每支铅笔的进价． 解：设第一次每支铅笔的进价为x元，由题意得－＝30，解得x＝4.经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意．答：第一次每支铅笔的进价为4元． 归纳：列分式方程解应用题的一般步骤：(1)分析题意，找等量关系；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验(双检验)、作答． 活动1 小组讨论 例 甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇，已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？ 分析： 路程 速度 时间 甲 18＋1×2 x＋0.5 乙 x 等量关系：t甲＝t乙． 解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时．根据题意，列方程得＝.解得：x＝4.5.检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.所以x＝4.5是原方程的解，则x＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时． 【点拨】等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米． 活动2 跟踪训练 1．A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度． 解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时． 根据题意，列方程得＝.解得x＝9.检验：当x＝9时，10x≠0.所以，x＝9是原方程的解．则2x＝18，5x＝45.答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时． 【点拨】等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间． 2．一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？ 解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得 ＋＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解． 答：规定日期是6天． 活动3 课堂小结 1．列分式方程解应用题，应该注意解题的步骤． 2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系． 3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系． 4．注意不要遗漏检验和写答案． 第2章 三角形 2．1 三角形 第1课时 三角形的有关概念及三边关系 1．通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素． 2．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类． 3．掌握三角形三条边之间的关系．(重点) 知识模块一 探究三角形中的基本概念 【自主学习】 阅读教材P42，完成下面的填空． 1．__由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形__叫作三角形． 如图：用线段连接不在同一直线上的三点D、E、F所组成的图形叫作__三角形__，记用__△DEF__，它的三个顶点分别是点__D__、点__E__、点__F__．它的三个内角分别是__∠D__、__∠__E__、__∠F__． 2．其中，__两条边相等__的三角形叫作等腰三角形，__三边都相等__的三角形叫作等边三角形． 知识模块二 三角形三边的关系 【合作探究】 如图，请量出线段AB、BC、AC的长度(精确到1 mm)，根据测量结果填空(选填“>”或“<”) AB＋BC__>__AC，BC＋AC__>__AB，AB＋AC__>__BC.AB－BC__<__AC，BC－AC__<__AB，AB－AC__<__BC.归纳：三角形任意两边之和__大于__第三边，三角形任意两边之差__小于__第三边． 【自主学习】 1．教材P43做一做． 2．阅读教材P43例1.练习：有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)4 cm、5 cm、10 cm；(2)5 cm、6 cm、11 cm； (3)6 cm、7 cm、12 cm.解：(1)因为4＋5<10，所以它们不能组成三角形；(2)因为5＋6＝11，所以它们不能组成三角形；(3)因为6＋7>12，所以它们能组成三角形． 活动1 小组讨论 例 如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小． 解：在△BDC中，有BD＋DC＞BC(三角形的任意两边之和大于第三边)． 又因为AD＝BD，则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，所以AC＞BC.活动2 跟踪训练 1．现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B) A．10 cm的木棒 B．20 cm的木棒 C．50 cm的木棒 D．60 cm的木棒 2．看图填空． (1)如图中共有__4__个三角形，它们是__△ABC、△EBG、△AEF、△CGF__； (2)△BGE的三个顶点分别是__B、G、E__，三条边分别是__BG、EG、BE__，三个角分别是__∠B、∠BEG、∠BGE__； (3)△AEF中，顶点A所对的边是__EF__；边AF所对的顶点是__E__； (4)∠ACB是△__ACB__的内角，∠ACB的对边是__AB__． 3．用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？ 解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米； (2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4＜10，所以此时不能构成三角形．即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米． 活动3 课堂小结 1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．三角形的边、角、顶点及表示方法． 2．三角形的分类：按边和角分类． 3．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 第2课时 三角形的高、角平分线和中线 1．能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心．(重点) 2．能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题．(难点) 知识模块一 三角形中的三种线段的定义 【合作探究】 教材P44做一做． 1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的__高线__，简称三角形的__高__． 2．在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的__角平分线__． 3．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的__中线__．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫作三角形的__重心__． 【自主学习】 1．如图，在图1中，∠BAD＝∠CAD，那么线段AD叫作△ABC的一条__角平分线__．在图2中，AF＝FC，那么线段BF叫作△ABC的一条__中线__．在图3中，BH⊥AC，垂足为H，那么线段BH叫作△ABC的一条__高__． 2．如图． (1)AD是△ABC的角平分线，则∠__BAD__＝∠__DAC__＝∠__BAC__； (2)AE是△ABC的中线，则__BE__＝__EC__＝__BC__； (3)AF是△ABC的高，则∠__AFB__＝∠__AFC__＝90°.知识模块二 动手画一画三角形的三种线段 【合作探究】 如图，试分别画出下列三角形的三条高． 解：如图： 归纳：锐角三角形的三条高都在三角形的__内部__，直角三角形中有两条高就是它的__两条直角边__，钝角三角形有两条高在三角形的__外部__． 【自主学习】 1．如图，已知△ABC，试画出它的三条中线． 解：如图，线段AD、BE、CF就是△ABC的三条中线． 2．如图，已知△ABC，试画出它的三条角平分线． 解：如图，线段AD、BE、CF就是△ABC的三条角平分线． 活动1 小组讨论 例1 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高． (1)图中共有几个三角形？请分别列举出来． (2)其中哪些三角形的面积相等？ 解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.(2)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，又S△ABD＝BD·AE，S△ADC＝DC·AE.所以S△ABD＝S△ADC.活动2 跟踪训练 1．一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B) A．高线 B．中线 C．角平分线 D．不确定 2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，则线段AC(D) A．是边BB′上的中线 B是边BB′上的高 C．是∠BAB′的角平分线 D．以上都对 第2题图 第3题图 3．如图所示，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，SABC＝4 cm2，则S△ABE的面积是__1__cm2.活动3 课堂小结 三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线． 第3课时 三角形内角和定理 1．知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题． 2．知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形． 3．会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题．(重点) 知识回顾： 如图，在图1中，已知过点A的直线DE∥BC，那么∠B＝∠__BAD__，∠C＝∠__CAE__．在图2中，已知过点C的直线CE∥BA，那么∠B＝∠__ECD__，∠A＝∠__ACE__． 知识模块一 探究三角形的内角和定理及三角形中的相关概念 【合作探究】 你能否由以上两个图形推出三角形的内角和为180°呢？ 如图1，由∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，知∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，从而得出结论：三角形的内角和等于__180°__． 由于三角形内角和等于180°，而三角形的外角与它相邻的内角和也为180°，由此可得：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的__和__． 【自主学习】 1．阅读教材P46～P48，完成下面的填空： (1)__三个角都是锐角__的三角形叫锐角三角形；__有一个角是直角__的三角形叫直角三角形；__有一个角是钝角__的三角形叫钝角三角形． (2)直角三角形可以用符号“__Rt△__”表示，直角三角形ABC可以写成__Rt△ABC__，在直角三角形中，夹直角的两边叫作__直角边__，直角的对边叫作__斜边__．两条直角边相等的直角三角形叫作__等腰直角三角形__． (3)三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的__外角__． 2．(1)在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，则∠C＝__60°__；∠B＋∠C＝__90°__． (2)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A＝__30°__；∠B＋∠A＝__90°__． (3)在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝85°，则∠A＝__5°__；∠C＋∠A＝__90°__． 知识模块二 运用三角形内角和定理和外角和的性质解决问题 【自主学习】 阅读教材P46例3.【合作探究】 如图，直线DE分别交△ABC的边AB，AC于点D，E，若∠B＝67°，∠C＝74°，∠AED＝48°，求∠BDE的度数． 解：∵∠B＝67°，∠C＝74°，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－74°＝39°.又∵∠AED＝48°，∴∠BDE＝∠A＋∠AED＝39°＋48°＝87°.活动1 小组讨论 例 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数． 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.活动2 跟踪训练 1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5.则∠C的度数为(C) A．45° B．60° C．75° D．90° 2．如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A) A．63° B．83° C．73° D．53° 第2题图 第3题图 3．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为__20°__，∠ACD的度数为__110°__． 活动3 课堂小结 ↑ Ｋ ↓ 2.2 命题与证明 第1课时 定义与命题 1．知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题． 2．能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论．(重点) 3．知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题．(重难点) 知识模块一 掌握定义、命题的相关概念 【自主学习】 阅读教材P50～P52，完成下面的填空： 1．对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的__定义__． 2．对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫__命题__． 3．命题通常可以写成__“如果……，那么……”__的形式，其中“__如果__”引出的部分是条件、“__那么__”引出的部分是结论． 4．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这两个命题叫__互逆命题__．其中一个叫__原命题__，另一个叫__逆命题__． 【合作探究】 判断下列语句哪些是命题？哪些不是？ (1)对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；(4)同位角相等，两条直线平行吗？(5)鸟是动物；(6)若x－5＝0，求x的值． 解：(1)(3)(5)是命题，(2)(4)(6)不是命题． 知识模块二 探究命题的条件与结论的结构 【合作探究】 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，写出它们的逆命题． (1)垂直于同一直线的两条直线平行； 解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”． 可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行．” 逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线． (2)对顶角相等． 解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”． 可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 逆命题是：相等的角是对顶角． 【自主学习】 1．教材P51做一做． 2．写出“两直线平行，同位角相等”的条件和结论，并写出它的逆命题． 解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”． 逆命题是：同位角相等，两直线平行． 活动1 小组讨论 例 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题． (1)两直线平行，内错角相等； 解：条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”． 可以改写成“如果两直线平行，那么内错角相等．” 逆命题是：内错角相等，两直线平行． (2)同角的余角相等． 解：条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”可以改写成“如果两个角是同一角的余角，那么这两个角相等”． 逆命题是：余角相等的两个角是同一个角． 活动2 跟踪训练 1．下列语句中，是命题的是(B) A．连接A、B两点 B．锐角小于钝角 C．作平行线 D．取线段AB的中点M 2．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式． (1)能被2整除的数必能被4整除； 解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除． (2)异号两数相加得零． 解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零． 3．写出下列命题的逆命题． (1)直角三角形的两个锐角互余； 解：两个锐角互余的三角形是直角三角形． (2)若a＝0，则ab＝0.解：若ab＝0，则a＝0.活动3 课堂小结 Ｋ 第2课时 真命题、假命题与定理 1．会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例．(重点) 2．知道基本事实、定理和逆定理的含义，以及它们之间的内在联系． 3．知道基本事实与定理的区别，认识基本事实是进行逻辑推理的基本依据． 知识模块 探究真命题、假命题、基本事实的相关概念 【合作探究】 教材P53议一议． 1．我们把__正确__的命题叫真命题，把__错误__的命题叫假命题． 2．要判断一个命题是真命题，常常要从命题的__条件__出发，通过__讲道理__得出其结论__成立__，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫__证明__． 3．要判断一个命题是假命题，只需举出一个__反例__，它符合命题的__条件__，但不满足命题的__结论__，从而就可以判断这个命题为假命题． 4．我们把通过证明为真的命题叫__定理__，把人们长期实践中总结出来的公认的真命题叫__公理__，又叫基本事实． 5．如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的__逆定理__，这两个定理叫作__互逆定理__． 【自主学习】 1．有下面命题： (1)直角三角形的两个锐角互余；(2)钝角三角形的两个内角互补；(3)两个锐角的和一定是直角；(4)两点之间线段最短．其中，真命题有(B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．判断下列命题的真假，举出反例． ①大于锐角的角是钝角； ②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数； ③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点． 解：①②③都是假命题．①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角．②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数．③的反例：如果AC＝BC，而点A、B、C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点． 活动1 小组讨论 例1 下列命题中，哪些正确，哪些错误？ (1)每一个月都有31天； (2)如果a是有理数，那么a是整数； (3)同位角相等； (4)同角的补角相等． 解：(4)正确，(1)(2)(3)错误． 例2 举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0.解：(1)如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角，但它们相等； (2)如：当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.活动2 跟踪训练 1．下列命题中，真命题是(D) A．相等的角是直角 B．不相交的两条线段平行 C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线 2．写出你熟悉的一个定理：__两直线平行，内错角相等__，写出这个定理的逆定理：__内错角相等，两直线平行__． 3．下列命题是真命题吗？若不是请举出反例． (1)只有锐角才有余角． 解：真命题． (2)若x2＝4，则x＝2； 解：假命题，如x＝－2.(3)a2＋1≥1； 解：真命题． (4)若|a|＝－a，则a＜0.解：假命题，如a＝0.活动3 课堂小结 第3课时 命题的证明 1．知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明． 2．会证明文字类证明题． 3．能利用反证法进行简单的证明．(重点) 知识模块一 探究对命题的证明的步骤 【合作探究】 1．教材P55做一做． 2．教材P56动脑筋． (1)如图，△ABC的一边BC延长，则∠ACD叫作△ABC的一个__外角__，∠ACB是与它__相邻__的内角，∠A、∠B是与它__不相邻__的内角． (2)三角形的一个外角等于__和它不相邻的两个内角的和__． (3)与三角形的一个内角相邻的外角有__2__个，它们是一对__对顶角__．三角形的外角和等于__360°__． 【自主学习】 1．认真阅读教材P57例1.2．已知，如图，AD是△ABD和△ACD的公共边． 求证：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.证明：延长AD于E.∵∠BDE＝∠B＋∠BAD，∠CDE＝∠C＋∠CAD.∴∠BDE＋∠CDE＝∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CAD.而∠BDE＋∠CDE＝∠BDC.∠BAD＋∠CAD＝∠BAC.即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.知识模块二 探究反证法的步骤 【自主学习】 阅读教材P57例2，学习如何运用反证法． 【合作探究】 用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 已知：如图，在△ABC中，∠ABD是△ABC的一个外角． 求证：∠ABD＝∠A＋∠C.证明：假设∠ABD≠∠A＋∠C.于是就有两种情况： (1)∠ABD＞∠A＋∠C； 由邻补角的定义可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，则∠A＋∠C＋∠ABC＜180°，这与三角形内角和定理相矛盾，所以∠ABD＞∠A＋∠C不成立； (2)∠ABD＜∠A＋∠C.由邻补角的定义可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，则∠A＋∠C＋∠ABC＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，所以∠ABD＜∠A＋∠C不成立． 所以三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 活动1 小组讨论 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：因为∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，所以∠DAC＝2∠B.又因为AE平分∠DAC.所以∠DAC＝2∠DAE.所以∠DAE＝∠B.所以AE∥BC.例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角． 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A＋∠B＋∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立． 因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.活动2 跟踪训练 1．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°.∵∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°.∴∠P＝90° 2．用反证法证明：两条直线相交只有一个交点． 已知：如图两条相交直线a、b.求证：a与b只有一个交点． 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A′，因为两点确定一条直线，即经过A和A′的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立． 所以a与b只有一个交点． 活动3 课堂小结 2.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1．能用语言描述等腰三角形的性质，并会运用性质解决一些简单的实际问题． 2．能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质．(重难点) 知识模块一 探究等腰三角形和等边三角形的性质 【合作探究】 教材P61探究． 通过探究，我们得到等腰三角形的性质： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角__平分线__所在的直线． 等腰三角形的底边上的__高__、__中线__及顶角__平分线__重合(通常简称为“三线合一”)． 等腰三角形的两底角__相等__(简称“等边对__等角__”)． 【自主学习】 阅读教材P62“动脑筋”，可得到等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角__相等__，且都等于__60°__，有__三__条对称轴． 知识模块二 等腰三角形性质和等边三角形性质的运用 【自主学习】 阅读教材P62例1～P63“议一议”． 【合作探究】 1．已知：如图，AB＝AC，F为AC上一点，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝155°.求∠EDF的度数． 解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠B＋∠1＝∠EDF＋∠1＝90°.∴∠B＝∠EDF＝∠C.又∵∠C＝∠AFD－∠FDC＝155°－90°＝65°，∴∠EDF＝65°.2．如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论． 解：AC⊥BD.∵△DCE是由△ABC平移得到的，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCE，又∵△ABC是等边三角形∴DC＝AB＝BC，∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ACB＋∠DCE＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠ACD，又∵BC＝CD，∴AC⊥BD.活动1 小组讨论 例 已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线． ∴BF＝CF，DF＝EF.∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.【点拨】利用等腰三角形三线合一的性质求证． 活动2 跟踪训练 1．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(B) A．80° B．50° C．40° D．20° 2．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C) A．60° B．90° C．120° D．180° 第2题图 第3题图 3．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为__25°__． 活动3 课堂小结 第2课时 等腰三角形的判定 1．能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述．(重点) 2．能运用判定定理解决一些实际问题．(难点) 知识模块一 探究等腰三角形的判定定理 【合作探究】 教材P63探究． 通过探究，我们得到等腰三角形的判定定理： 有两个角__相等__的三角形是等腰三角形．(简称为：__等角__对等边) 思考：在三角形中，如果有三个角相等，你能得出什么结论呢？ 结合三角形内角和定理得出等边三角形的判定定理： 三个角都是__60°__的三角形是等边三角形． 【自主学习】 1．阅读教材P64例2.2．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证AB＝AC.证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC(等角对等边)． 知识模块二 运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算 【自主学习】 阅读教材P65例3.【合作探究】 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且BD平分∠ABC，判断AB与AD是否相等，并说明理由． 解：相等．理由如下： ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.2．如图，AB∥CE，AD∥FC，E、A、F在同一直线上，且∠EAD＝∠FAB.(1)△CEF是等腰三角形吗？请说明理由； (2)想一想：△CEF的哪两条边之和等于四边形ABCD的周长？并说明理由． 解：(1)△CEF是等腰三角形．理由如下：∵AB∥CE，∴∠FAB＝∠E.∵AD∥FC，∴∠EAD＝∠F.又∵∠EAD＝∠FAB，∴∠F＝∠E，∴△CEF是等腰三角形． (2)四边形ABCD的周长＝FC＋EC.理由如下：∵∠FAB＝∠E，∠EAD＝∠FAB，∴∠E＝∠EAD，∴AD＝DE.∵∠EAD＝∠F，∠EAD＝∠FAB.∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF，∴四边形ABCD的周长为：AB＋BC＋CD＋AD＝BF＋BC＋CD＋DE＝FC＋EC.活动1 小组讨论 例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形． 证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.又因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.所以∠ADE＝∠AED.所以△ADE为等腰三角形． 例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.求证：△ADE为等边三角形． 证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.所以∠EAD＝∠BAC＝60°.又因为AD＝AE，所以△ADE为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)． 活动2 跟踪训练 1．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(B) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 2．下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是__①__(只填序号)． 3．如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△DEF的形状，并说明理由． 解：△DEF是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2.∴∠FDE＝∠A＝60°.同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∴△DEF是等边三角形． 活动3 课堂小结 2．4 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 1．通过作图，探究、总结、归纳垂直平分线的性质．识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理．(重点) 2．会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题．(难点) 知识模块一 探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理 【合作探究】 教材P68探究～P69动脑筋． 如果两点A、A′关于直线l对称，则l是线段__AA′__的垂直平分线；如果l是线段AA′的垂直平分线，则点__A__与点__A′__关于直线l对称． 结合轴对称的性质可以归纳得出线段的垂直平分线的性质定理与判定定理： 1．线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离__相等__． 2．到线段两端距离相等的点在线段的__垂直平分线__上． 【自主学习】 1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中相等的线段：__BE＝CE，BD＝CD，AE＝AC＝EC＝BE__． 2．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝__70°__． 知识模块二 运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题 【自主学习】 阅读教材P69例题． 【合作探究】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边与点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点N，垂足为M.(1)求△AEN的周长； (2)求∠EAN的度数； (3)判断△AEN的形状． 解：(1)根据线段垂直平分线的性质定理得：AE＝BE，AN＝NC，因此△AEN的周长等于BC的长，即△AEN的周长为12； (2)在△ABC中，因为∠BAC＝120°，AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30°，再由题中条件易得∠AEN＝2∠B＝60°，∠ENA＝2∠C＝60°，所以∠EAN＝60°； (3)由(2)易知△AEN是等边三角形． 活动1 小组讨论 例 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上． 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上． 所以OA＝OB.同理：OB＝OC.∴OA＝OC.所以点O在AC的垂直平分线上． 活动2 跟踪训练 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B) A．6 B．5 C．4 D．3 第1题图 第3题图 2．在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC的(D) A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝__15__． 4．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有__1__个． 活动3 课堂小结 第2课时 作线段的垂直平分线 1．知道尺规作图法及其具体要求． 2．会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法，理解作图的原理．(重难点) 3．会用尺规作直线的垂线以及会写其作法，理解作图的原理． 知识模块一 利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线 【合作探究】 教材P70做一做． 1．要作出一条线段的垂直平分线，只要找到线段的垂直平分线上的任意__两__点． 2．线段AB的垂直平分线的作法． (1)分别以点__A__和点__B__为圆心，以__大于AB__的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D； (2)过点C、D作直线__CD__，则直线__CD__就是线段AB的垂直平分线． 【自主学习】 1．已知线段AB，求作线段AB的中点O.分析：线段的__垂直平分线__经过线段的中点． 作法：作线段AB的垂直平分线CD，交线段AB于点O.点O就是线段AB的中点． 2．教材P72“练习1”． 知识模块二 过已知点作已知直线的垂线 【合作探究】 教材P71动脑筋． 【自主学习】 1．已知直线l和l外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P。 作法：1.在直线l与点P的另一侧任取一点M，以点P为圆心，以PM的长为半径作弧交直线l于A、B两点；2.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点Q；3.作直线PQ，则直线PQ为直线l的垂线． 2．在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上求作一点P，使点P到A、B两点的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)． 活动1 小组讨论 例1 如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线． 解：作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D； ②过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线． 例2 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ 解：点P与已知直线l的位置关系有两种：点P在直线l上或点P在直线l外． (1)当点P在直线l上．作法： ①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA＝PB； ②分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线． (2)当点P在直线l外．作法： ①以点P为圆心，大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线． 活动2 跟踪训练 1．下列作图属于尺规作图的是(D) A．画线段MN＝3 cm B．用量角器画出∠AOB的平分线 C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线 D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α 2．△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有(C) A．AB＝AC B．AB＝BC C．AC＝BC D．∠B＝∠C 活动3 课堂小结 →→ 2．5 全等三角形 第1课时 全等三角形及其性质 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素． 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重难点) 知识模块一 探究全等三角形的性质及读法和写法 【自主学习】 教材P74做一做． 1．能够完全重合的两个图形叫作__全等图形__，能够完全重合的两个三角形叫作__全等三角形__．用“≌”表示两个三角形全等． 2．两个全等三角形重合时互相重合的顶点叫作__对应顶点__，互相重合的边叫作__对应边__，互相重合的角叫作__对应角__． 【合作探究】 教材P74动脑筋． 能够完全重合的两个三角形叫作__全等三角形__． 全等三角形的对应边__相等__；对应角__相等__． 如图，已知△ABE≌△ACD，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角． 解：AB与AC，AD与AE，BE与CD是对应边； ∠BAE与∠CAD是对应角． 练习：如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角． 解：OA与OD，OC与OB，AC与DB是对应边； ∠C与∠B，∠A与∠D，∠AOC与∠DOB是对应角． 知识模块二 全等三角形性质的运用 【自主学习】 阅读教材P75例1，注意全等三角形性质的运用． 【合作探究】 如图所示，四边形ABCD中，AM平分∠CAD，CN平分∠ACB，△ACB≌△CAD.请探究AM和CN的位置关系，并说明理由． 解：AM∥CN.理由：因为△ACB≌△CAD，所以∠ACB＝∠CAD.因为CN平分∠ACB，AM平分∠CAD，所以∠ACN＝∠ACB，∠CAM＝∠CAD，所以∠ACN＝∠CAM，所以AM∥CN.活动1 小组讨论 例 如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝3，DB＝4，∠A＝60°.(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角； (2)求AC，DC的长及∠D的度数． 解：(1)AB与DC、AC与DB、BC与CB是对应边；∠A与∠D、∠ABC与∠DCB、∠ACB与∠DBC是对应角． (2)∵AC与DB、AB与DC是全等三角形的对应边，∴AC＝DB＝4，DC＝AB＝3.∵∠A与∠D是全等三角形的对应角． ∴∠D＝∠A＝60°.活动2 跟踪训练 如图，△ABC≌△CDA.求证：AB∥CD.证明：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥CD.【点拨】注意对应关系． 活动3 课堂小结 通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的． 第2课时 全等三角形的判定1——SAS 1．体会从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，得出三角形全等的基本事实——边角边． 2．能应用边角边证明两个三角形全等．(重难点) 3．学会综合应用边角边以及几何的相关知识，进行简单的推理论证． 知识模块一 探索发现三角形全等的基本事实1 【合作探究】 教材P76探究． 每位同学在纸上的两个不同位置分别画两个三角形，使它们都有一个角等于50°，且夹这个角的两条边分别都是2 cm和2.5 cm.将这两个三角形剪下来叠在一起，你发现了什么？__完全重合__． 从而得出判定两个三角形全等的基本事实： 有两边和这两边的__夹角__分别对应__相等__的两个三角形全等，简写为“边角边”或__SAS__ 【自主学习】 如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE.证明：∵∠BAC＝∠1＋∠2，∠DAE＝∠3＋∠2且∠BAC＝∠DAE，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠1＝∠3.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)． 知识模块二 “边角边”的运用 【自主学习】 教材P78例2 【合作探究】 已知如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，连接BM、AN.求证：AN＝MB.证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB(SAS)． ∴AN＝MB.活动1 小组讨论 例 已知：如图，AB和CD相交于点O，且AO＝BO，CO＝DO.求证：△ACO≌△BDO.证明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO(SAS)． 【点拨】利用“SAS”证明两个三角形全等，只要找到两条边及其夹角相等即可． 活动2 跟踪训练 1．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：AD∥BC.证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠1.在△CDB与△ABD中，CD＝AB，∠2＝∠1，BD＝DB，∴△CDB≌△ABD(SAS)．∴∠4＝∠3.∴AD∥BC.【点拨】可从问题出发，要证线段平行只需证角相等即可(∠3＝∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等． 2．如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论． 解：结论：AE＝CD，AE⊥CD.理由如下(提示)：可延长AE交CD于点F，先证△ABE≌△CBD，得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD.又∠AEB＝∠CEF，可得∠CFE＝90°，即AE⊥CD.【点拨】1.注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件.2.线段的关系分数量与位置两种关系． 活动3 课堂小结 1．利用对顶角、公共角、直角用SAS证明三角形全等． 2．用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径． 第3课时 全等三角形的判定2——ASA 1．从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，探究三角形全等的判定定理——角边角． 2．会应用角边角证明两个三角形全等。(重点) 3．学会综合应用边角边、角边角以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题．(难点) 知识模块一 探索发现三角形全等的基本事实2 【合作探究】 教材P79探究． 归纳得出判定两个三角形全等的基本事实2： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形__全等__，简写为“角边角”或“__ASA__”． 【自主学习】 1．阅读教材P79例3.2．如图，已知∠A＝∠D，EF∥BC，那么要用ASA得到△ABC≌△DEF，还要添加条件__AC＝DF或AF＝DC__． 知识模块二 “角边角”的运用 【自主学习】 教材P80例4.【合作探究】 如图，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B.求证：ED＝EF.证明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.在△EBD与△FCE中，∴△EBD≌△FCE(ASA)． ∴ED＝EF.活动1 小组讨论 例1 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.求证：△ABE≌△CDF.证明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(ASA)． 【点拨】根据两直线平行可得出∠A＝∠C，再根据已知条件即可根据ASA判定两三角形全等． 例2 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着河AC的垂直方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上．于是小军说：“CD的长就是河的宽度．”你能说出这个道理吗？ 解：在△AEB和△CED中，∴△AEB≌△CED(ASA)． ∴AB＝CD.因此，CD的长度就是河的宽度． 【点拨】根据△AEB≌△CED即可得出CD的长就是河宽AB的长． 活动2 跟踪训练 1．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，由“ASA”判定△AOB≌△DOC，则需要添加的一个条件是__AO＝DO__.第1题图 第2题图 2．如图，在四边形ABCD中，∠BDC＝∠BDA，∠ABD＝∠CBD，若AD＝3 cm，则CD＝__3__cm__.3．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为__7__． 第3题图 第4题图 4．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，∴△ABC≌△ABD(ASA)．∴AC＝AD.活动3 课堂小结 本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？ 第4课时 全等三角形的判定3——AAS 1．会从全等三角形的角边角推导出角角边；并能区别角边角与角角边． 2．会应用角角边证明两个三角形全等．(重点) 3．会综合应用边角边、角边角、角角边以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题．(难点) 如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AC＝A′C′，∠C＝∠C′，根据我们学过的全等三角形的判定方法，还缺少一个条件，请你补充一个条件，使这两个三角形全等．并说明根据是什么？ 解：补充：∠A＝∠A′(角边角)，或者BC＝B′C′(边角边)，问题：如果填“∠B＝∠B′”能否判断△ABC和△A′B′C′全等呢？ 知识模块一 推出三角形全等的判定定理“角角边”定理 【合作探究】 1．教材P81动脑筋． 2．探究上面的问题： 在△ABC和△A′B′C′中，AC＝A′C′，∠C＝∠C′，∠B＝∠B′.由三角形内角和定理可推出__∠A＝∠A′__，从而由“__ASA__”得出△ABC≌A′B′C′.归纳得出判断两个三角形全等的定理： 有两角和其中一角的__对边__对应__相等__的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__AAS__”． 【自主学习】 1．阅读教材P81例5.2．如图，已知AC＝DF，EF∥BC，那么要用AAS得到△ABC≌△DEF，还要添加条件__∠B＝∠E__，并证明． 证明：∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE.在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)． 知识模块二 “角角边”定理的运用 【自主学习】 阅读教材P82例6.【合作探究】 已知，BE、CD相交于F，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：DF＝EF.证明：∵∠ADF＝∠B＋∠3，∠AEF＝∠C＋∠4，且∠B＝∠C，∠3＝∠4，∴∠ADF＝∠AEF.在△AFD和△AFE中，∴△AFD≌△AFE(AAS)． ∴DF＝EF.活动1 小组讨论 例1 已知：如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADC.证明：因为∠1＝∠2，所以∠ACB＝∠ACD.在△ABC和△ADC中，所以△ABC≌△ADC(AAS)． 例2 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC∥FD，∠A＝∠D，BF＝EC.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)． 活动2 跟踪训练 1．已知AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则判定△ABC≌△A′B′C′的根据是(C) A．SAS B．ASA C．AAS D．不确定 2．如图所示，∠CAB＝∠DBA，∠C＝∠D，AC、BD相交于点E，下列结论不正确的是(B) A．∠DAE＝∠CBE B．△DEA与△CEB不全等 C．CE＝DE D．EA＝EB 第2题图 第3题图 3．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要根据“AAS”判定△ABF≌△DCE，需要增加的一个条件是__BE＝CF或BF＝CE或AF＝DE__． 4．如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2.求证：AB＝AD.证明：∵AC平分∠BAD.∴∠BAC＝∠DAC.∵∠1＋∠ABC＝180°，∠2＋∠ADC＝180°，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ADC.又AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴AB＝AD.活动3 课堂小结 本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？ 第5课时 全等三角形的判定4——SSS 1．理解边边边的推导过程，并联系生活说出三角形的稳定性在生产和生活中的应用． 2．会应用边边边证明两个三角形全等．(重点) 3．学会综合应用边角边、角边角、角角边和边边边以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题．(难点) 知识模块一 通过实验检验与推理得出“边边边” 【合作探究】 教材P82探究． 推理探究“边边边”： 如图，在△ABC与△ABD中，AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB.求证：△ABC≌△ABD.证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.又∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ADC＋∠BDC，即∠ACB＝∠ADB.在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD(SAS)． 归纳得出判定两个三角形全等的基本事实： 三边分别相等的两个三角形__全等__，简写为“__边边边__”或“__SSS__”． 由“SSS”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的__稳定性__．一些大型的电线塔常常用三角形的结构去建造，这是运用三角形的__稳定性__． 【自主学习】 认真阅读教材P83例7.知识模块二 “边边边”的运用 【自主学习】 认真阅读教材P84例8，进一步体会证全等的一般步骤． 【合作探究】 已知，如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.求证：∠C＝∠A.证明：连接BD.在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SSS)． ∴∠C＝∠A.活动1 小组讨论 例1 已知：如图，AB＝CD，BC＝DA.求证：∠B＝∠D.证明：在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(SSS)．∴∠B＝∠D.例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且AD＝AE，BE＝CD.求证：△ABD≌△ACE.证明：∵BE＝CD，∴BE－DE＝CD－DE，即BD＝CE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SSS)． 活动2 跟踪训练 1．如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定(B) A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对 2．如图，工人师傅制作了一个窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，钉这两块木条的原理是__三角形的稳定性__． 第2题图 第3题图 3．如图，在△ADF和△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，当添加条件__DF＝BE__时，就可根据“SSS”判定△ADF≌△CBE.4．如图，已知AB＝DC，AC＝DB.求证：∠A＝∠D.证明：在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.∴∠A＝∠D.活动3 课堂小结 本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？ 第6课时 全等三角形判定方法的综合运用 1．回顾证明两个三角形全等的四种判定方法，理解判定三角形全等的条件． 2．学会根据题目条件灵活运用SAS，ASA，AAS，SSS解决问题．(重点) 3．综合应用全等三角形的性质及判定，解决较为复杂的问题．(难点) 知识模块一 通过实验检验得出“边边角”、“角角角”不能判定三角形全等 【合作探究】 教材P85“议一议”． 探究1：在纸上分别画如下两个三角形，AB＝A′B′＝3 cm，AC＝A′C′＝2.5 cm，∠B＝∠B′＝45°.把它们剪下来，你发现它们能互相重合吗？__不一定__． 由此得出结论： 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等． 探究2：三个角相等的两个三角形，如30°，70°，80°，它们一定全等吗？__不一定__． 由此得出结论： 三个角分别相等的两个三角形不一定全等． 【自主学习】 如图，给出下列四组条件： ①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ②AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D； ③∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∠A＝∠D； ④AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(B) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 知识模块二 运用已学方法判定两个三角形全等 【自主学习】 阅读教材P85例9～P86例10，进一步理解三角形全等判定方法的运用． 【合作探究】 如图，(1)已知：AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：BD＝AC； (2)已知：AD＝BC，AC＝BD，求证：∠ACD＝∠BDC.证明：(1)在△ABD和△BAC中，∴△ABD≌△BAC(SAS)． ∴BD＝AC.(2)在△ADC和△BCD中，∴∠ACD＝∠BDC.活动1 小组讨论 例1 已知，如图，AC与BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB.求证：∠A＝∠D.证明：连接BC.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SSS)． ∴∠A＝∠D.例2 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道，为估测这条隧道的长度，需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？ 解：选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO，BO的长度．连接AO并延长至A′，使OA′＝OA；延长BO并延长至B′，使OB′＝OB，连接A′B′，这样就构造出两个三角形． 在△AOB和△A′OB′中，∴△AOB≌ △A′OB′(SAS)． ∴AB＝A′B′.因此只要测出A′B′的长度就能得到这座山A，B间的距离． 活动2 跟踪训练 1．下列条件能判定两个三角形全等的是(D) A．有两条边对应相等的两个三角形 B．有两边及一角对应相等的两个三角形 C．有三角对应相等的两个三角形 D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形 2．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是(D) A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠A＝∠D 3．把两根钢条A′B、B′A的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，如图，若测得AB＝5 cm，则槽宽为__5__cm__． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：∠ABC＝∠CDA.证明：连接AC.在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝AD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SSS)． ∴∠ABC＝∠CDA.活动3 课堂小结 本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？ 2.6 用尺规作三角形 第1课时 已知三边作三角形 掌握在已知三边的条件下作三角形和已知底边及底边上的高作等腰三角形的方法步骤．(重难点) 知识模块一 在已知三边的条件下作三角形 【合作探究】 教材P89～P90.1．已知三边作三角形．已知一个三角形三条边分别为a，b，c，求作这个三角形． 解：图略．作法：(1)先作线段BA＝c；(2)分别以点B，点A为圆心，以a，b为半径画弧交于点C；(3)连接AC，BC，则△ABC即为所求． 2．已知底边和底边上的高分别为a和h，作等腰三角形． 解：作法：(1)先作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；(3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA＝h；(4)连接AB，AC，则如图△ABC为所求作的等腰三角形． 【自主学习】 如图①所示，已知线段a，b，b＞a，求作△ABC，使AB＝AC，BC＝a，AB＋AC＝b.作法：(1)作线段__BC__＝a； (2)分别以__点B、点C__为圆心，以__b长__为半径画弧，两弧交于__A__点； (3)连接__AB__、__AC__，__△ABC__就是所求作的三角形(如图②)． 知识模块二 作一个角的角平分线 【自主学习】 认真阅读教材P90“做一做”，特别要注意作法． 已知一个角，求作这个角的平分线．(写出已知、求作、作法) 解：已知：∠MON.求作：射线OC，使OC平分∠MON.作法：1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于A、B； 2．分别以A、B为圆心，相等的长R(R＞AB)为半径画弧，两弧相交于点C； 3．作射线OC，则射线OC即为所求作的角平分线． 【合作探究】 思考：你能用已学知识说一说上面作出的射线为什么是已知角的平分线吗？ 解：连接BC、AC.由作图可知，OB＝OA，BC＝AC.在△BOC和△AOC中，∴△BOC≌△AOC(SSS)． ∴∠BOC＝∠AOC，即所作射线OC是∠AOB的平分线． 活动1 小组讨论 例1 如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB＝a，直角边AC＝b.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) 解：如图，△ABC为所求作的直角三角形． 活动2 跟踪训练 1．在下列作图题中，可直接用“SSS”条件作出三角形的是(A) A．已知腰和底边，作等腰三角形 B．已知两条直角边，作直角三角形 C．已知高，作等边三角形 D．已知腰长，作等腰直角三角形 2．如图，已知∠AOB，按下列语句作图： (1)用直尺和圆规作出∠AOB的平分线OP； (2)在射线OP上任取一点C，过点C作OA，OB的垂线，垂足分别为点D、点E； (3)试找出线段CD、线段CE的长度关系，并说明理由． 解：(1)如图所示：OP即为所求． (2)如图所示：CD，CE，即为所求． (3)DC＝EC，理由：∵OP平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴DC＝EC(角平分线上的点到角的两边距离相等)． 活动3 课堂小结 本课时主要学习了已知三边作三角形以及如何作一个角的平分线． 第2课时 已知边、角作三角形 1．掌握已知边、角作三角形的作图方法．(重点) 2．利用基本作图，掌握“已知两边及其夹角作三角形”和“已知两角及其夹边作三角形”的方法与步骤．(难点) 知识模块一 基本作图“作一个角等于已知角” 【合作探究】 教材P91动脑筋． 探究：已知∠AOB.求作一个角，使它等于∠AOB.作法：(1)作射线__O′A′__； (2)以O为圆心，以任意长为半径画弧，交__OA__于点C，交__OB__于点D； (3)以O′为圆心，以__OC__的长为半径画弧，交O′A′于点C′； (4)以点C′为圆心，以__CD__的长为半径画弧，交前弧于点D′； (5)过D′作射线__O′B′__，则∠A′O′B′就是所求作的角． 【自主学习】 运用所学知识，说一说为什么∠A′O′B′为所求作的角？ 证明：∵在△C′O′D′和△COD中，∴△C′O′D′≌△COD(SSS)． ∴∠C′O′D′＝∠COD，即∠A′O′B′＝∠AOB，∴∠A′O′B′为所求作的角． 知识模块二 已知边、角作三角形 【自主学习】 阅读教材P92，完成下题： 已知∠α和线段a，b，如何求作△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？(画出草图，写作法) 作法：(1)作∠MCN＝__∠α__； (2)在射线CM，CN上分别截取__CB＝a__，CA＝b； (3)__连接AB__，则△ABC为所求作的三角形． 【合作探究】 已知两条线段a，b.求作△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a.解：作法： 1．作直线MN，在直线MN上取点C； 2．作∠MCN的平分线CE； 3．在CE上截取CA＝b，在CM上截取CB＝a； 4．连接AB，则△ABC为所求作的三角形． 活动1 小组讨论 例 已知∠α和线段a，b，如何求作△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？(画出草图，写作法) 图略 (1)作∠MCN＝__∠α__； (2)在射线CM，CN上分别截取__BC＝a__，CA＝b； (3)__连接AB__，则△ABC为所求作的三角形． 活动2 跟踪训练 已知∠α和线段a.求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝a.解：图略． 活动3 课堂小结 本课时主要学习了已知边、角作三角形等基本尺规作图的方法． 第3章 实 数 3．1 平方根 第1课时 平方根、算术平方根 1．能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根．(重难点) 2．理解开平方与平方两者之间的联系与区别． 3．认识非负数的平方根的特点．(重点) 知识模块一 探究平方根及算术平方根的概念及其性质 【合作探究】 教材P105动脑筋和探究． 1．平方根及算术平方根的概念：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个__平方根__，也叫作__二次方根__．一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：__r__与__－r__．我们把正数a的正平方根叫作a的__算术平方根__，记作____，读作__根号a__；a的负平方根记作__－__，读作__负根号a__．例如，9的平方根是__3__与__－3__，即__±＝±3__． 2．平方根的性质： (1)0的平方根就是__0__本身，记作____，即＝__0__； (2)任何一个数的平方都不会是负数，因此__负数没有平方根__． 3．开平方的概念： 求一个非负数的平方根的运算，叫作__开平方__． 【自主学习】 1．36的平方根是__±6__；的平方根是__±__． 2．81的算术平方根是__9__；的算术平方根是____． 3．一个数的平方根包括它本身，这个数是__0或1__；一个数的平方根是它本身，这个数是__0__． 4.的算术平方根是__2__． 知识模块二 平方根和算术平方根的计算 【自主学习】 认真阅读教材P107例1、例2.【合作探究】 1．求下列各数的平方根： (1)196； 解：由于142＝196，因此196的平方根是14和－14，即±＝±14； (2)2.56.解：由于1.62＝2.56，因此2.56的平方根是1.6和－1.6，即±＝±1.6.2．若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，则m为__1__． 3．求下列各数的算术平方根： (1)121； 解：由于112＝121，因此＝11； (2)6.25.解：由于2.52＝6.25，因此＝2.5.4．a的算术平方根是4，b是36的算术平方根，则a－b＝__10__． 活动1 小组讨论 例1 分别求下列各数的平方根：36，1.21.解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±＝±6.由于()2＝，因此的平方根是与－，即±＝±.由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即±＝±1.1.【点拨】求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 例2 分别求下列各数的算术平方根：100，0.49.解：由于102＝100，因此＝10.由于()2＝，因此＝.由于0.72＝0.49，因此＝0.7.活动2 跟踪训练 1．下列说法不正确的是(C) A．－是2的平方根 B.是2的平方根 C．2的平方根是 D．2的算术平方根是 【点拨】一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根． 2．求下列各式的值： (1)±；(2)－；(3)； (4)±.解：(1)±1.7；(2)－；(3)；(4)±11.活动3 课堂小结 本节课学习了平方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算． 第2课时 无理数、用计算器求算术平方根 1．理解无理数的概念和它的本质特征．(重点) 2．正确使用计算器求一个数的算术平方根．(重点) 知识模块一 探究无理数的概念和它的本质特征 【合作探究】 由教材P109“动脑筋”可猜想，面积为8 cm2的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断__增加__的小数． 结论：我们把无限不循环小数叫作__无理数__． 1．根据实际需要，往往用一个__有限小数__来近似地表示一个无理数．例如，π＝3.14159265…，用四舍五入法精确到百分位的近似值是__3.14__，精确到0.001的近似值是__3.142__． 2．无理数分为正无理数和__负无理数__． 【自主学习】 1．写出一个大于1且小于2的无理数__(答案不唯一)__． 2．在－5，－0.1，中，____是无理数． 3．有下列各数：3.14，π，0，3.1 .4 .，3.1414414441….其中__3.14，0，3.1__.4__.____是有理数，__π，3.1414414441…__是无理数． 知识模块二 正确使用计算器求一个数的算术平方根 【自主学习】 1．认真阅读教材P110例3，学习用计算器求一个无理数的值的方法． 2．用计算器求的近似值(精确到小数点后第三位)． 解：依次按键：，显示：7.141428429，所以，≈7.141.【合作探究】 教材P111第10题． 用计算器分别计算：，，.你能发现什么规律？ 解：＝0.03，＝0.3，＝3，＝30，＝300.我发现：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍． 活动1 小组讨论 例 用计算器求下列各式的值． (1)； (2) (精确到小数点后面第三位)． 解：(1)依次按键：，显示：32，所以，＝32.(2)依次按键：，显示：2.828427125，所以，≈2.828.活动2 跟踪训练 1．下列说法正确的是(B) A．无理数只是有限小数 B．无理数是无限不循环小数 C．无限小数是无理数 D.是分数 2．在，3.1415926，0.7070070007…(每两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，2π中，无理数有(B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．用计算器求下列各数的值(精确到0.01)： ≈__2.50__； ≈__0.49__； ≈__11.11__； ≈__7.54__． 活动3 课堂小结 学生概括：1.什么是无理数？ 2．怎样用计算器求算术平方根？ 3.2 立方根 1．通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实世界中的客观存在，了解立方根的概念． 2．会求某些数的立方根，能用计算器求一个数的立方根及其近似值． 知识模块一 立方根的概念 【自主学习】 认真阅读教材P112，理解开立方与立方是互逆运算． 【合作探究】 体积为8 cm3的正方体，它的棱长是2 cm.在实际问题中，有时要找一个数，使它的立方等于给定的数，由此我们给出： 结论：如果一个数b，使得b3＝a，那么我们把b叫作a的一个__立方根__．也叫作__三次方根__．a的立方根记作，读作__立方根号a__或__三次根号a__． 求__一个数的立方根的运算__，叫作开立方，开立方与立方互为__逆运算__． 因为33＝27，所以__3__是27的一个立方根，即＝__3__． 因为(－3)3＝－27，所以－3是__－27__的一个立方根，即＝__－3__． 练习： 1．－2013的立方根用符号表示，正确的是(A) A.B．＋ C．－ D.2．－8的立方根是(B) A．2 B．－2 C.D．－ 3.的绝对值是(A) A．3 B．－3 C.D．－ 知识模块二 求一个数的立方根 【自主学习】 认真阅读教材P113例1、例2、例3.【合作探究】 1．分别求下列各数的立方根： (1)；(2)－0.125.解：(1)由于()3＝，因此＝； (2)由于(－0.5)3＝－0.125，因此＝－0.5.2．用计算器求－1.728的立方根． 解：按键：，显示：－1.2，所以：＝－1.2.3．用计算器求的近似值(精确到0.001)． 解：按键：，显示：1.709975947，所以≈1.710.活动1 小组讨论 例1 分别求下列各数的立方根：1，0，－0.064.解：由于13＝1，因此＝1； 由于()3＝，因此＝； 由于03＝0，因此＝0； 由于(－0.4)3＝－0.064，因此＝－0.4.【点拨】可根据开立方与立方互为逆运算来求立方根． 例2 用计算器求下列各数的立方根： 343，－1.331.解：按键 显示：7，所以，＝7.按键：，显示：－1.1，所以，＝－1.1.例3 用计算器求的近似值(精确到0.001)． 解：按键：，显示：1.25992105，所以，≈1.260.【点拨】许多有理数的立方根都是无理数，如，…都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们． 活动2 跟踪训练 1．下列等式成立的是(C) A.＝±1 B.＝15 C.＝－5 D.＝－3 2．立方根等于它本身的数是__±1，0__． 3．求下列各数的立方根． (1)27；(2)；(3)－63.解：(1)3.(2).(3)－6.4．下列各式是否有意义？为什么？ (1)－；(2)；(3)；(4).解：(1)、(3)、(4)有意义，因为任何一个数都有立方根；(2)没有意义，因为负数没有平方根． 活动3 课堂小结 1．一个数只有一个立方根，且当a＞0时，＞0；a＝0时，＝0，a＜0时，＜0.2.＝－.3．立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根． 3.3 实数 第1课时 实数的有关概念 1．了解实数的概念，能对实数按要求进行分类．(重点) 2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(重点) 3．了解实数和数轴上的点一一对应． 知识模块一 实数的概念与分类 【合作探究】 教材P116说一说． 从教材“说一说”中我们可以知道： __0，1.414，－__是有理数，__，π，0.1010010001…__是无理数． 归纳：1.有理数和无理数统称为__实数__． 2．实数 【自主学习】 把下列各数填入相应的集合内． －；3.14；－；；；；0.1010010001…(相邻两个1之间依次增加一个0)；0.3333… 有理数集合：__{－；3.14；－；0.3333…；…}__ 无理数集合：__{；；；0.1010010001…(相邻两个1之间依次增加一个0)；…}__ 仿例：下列说法中，正确的是(D) A.是分数 B.是负数 C.是有理数 D.是无理数 知识模块二 实数与数轴的关系 【合作探究】 教材P116动脑筋． 通过教材的“动脑筋”我们可以知道： 以数轴的原点O为圆心，以正方形的__边长__为半径画弧，与__正__半轴的交点M就可以表示，与__负__半轴的交点N就可以表示－.归纳：1.每一个实数都可以用数轴上__唯一__的一个点来表示，且数轴上每一个点都可以表示__唯一__的一个实数，即实数和__数轴上的点__一一对应． 2．规定正实数都__大于__0，负实数都小于0.数轴上表示正实数的点在原点__右__边，表示负实数的点在原点左边． 【自主学习】 1．已知数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上表示对应的点． 解：如图所示： 2．如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和－1，则点C对应的实数是__2＋1__． 知识模块三 实数的相反数和绝对值 【自主学习】 认真阅读教材P117及P118例1.【合作探究】 1．下列结论中，不能由a＋b＝0得到的是(C) A．a2＝－ab B．|a|＝|b| C．a＝0，b＝0 D．a2＝b2 2．若|a|＝，则a＝__±__．－的绝对值是____．－的相反数是____． 3．若|x|＜π，则整数x的个数是__7__． 活动1 小组讨论 例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？，0，1.414，π，－，0.1010010001…(相邻两个1之间逐次增加一个0)． 解：0，1.414，－是有理数．，π，0.1010010001…是无理数． 【点拨】实数可以分为有理数和无理数，还可以分为正实数、零和负实数． 例2 求下列各数的相反数和绝对值： －，π－3.14.解：因为－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π.所以－，π－3.14的相反数分别为，3.14－π.由绝对值的意义得：|－|＝，|π－3.14|＝π－3.14.活动2 跟踪训练 1．把下列各数填入相应的横线上． 7．5，4，，0.31，－π，0.1 .5 ..(1)有理数：__{7.5，4，，0.31，0.1__.5__.，…}__； (2)无理数：__{，－π，…}__； (3)正实数：__{7.5，4，，0.31，0.1__.5__.，…}__； (4)负实数：__{，－π，…}__． 2．求下列各数的相反数和绝对值： (1)；(2)；(3).解：(1)的相反数是－，绝对值是.(2)的相反数是2，绝对值是2.(3)的相反数是－7，绝对值是7.活动3 课堂小结 学生回答：本节课我们学到了哪些知识？ 第2课时 实数的运算和大小比较 1．了解有理数范围内的运算法则及运算律对于实数仍然成立，会进行实数范围内的运算．(重难点) 2．会用计算器进行实数的运算，并能比较两个实数的大小．(重点) 知识模块一 探究实数的运算律、大小比较及其相关性质 【合作探究】 教材P118～P119做一做． 对于实数，我们可以得出： 1．每个正实数有且只有__两__个平方根，它们互为__相反数__；在实数范围内，负实数__没有__平方根． 2．在实数范围内，每个实数a有且只有__1__个立方根． 3．0的平方根是__0__． 4．实数也可以进行__加__、__减__、__乘__、__除__、__乘方__运算，而且非负数可以进行__开平方__运算，任意实数都可以进行__开立方__运算． 5．实数也可以比较大小：对于实数a、b，如果a－b>0，则称a__>__b；对于实数a，b，如果a－b<0，则称a__<__b.【自主学习】 1．下列计算正确的是(B) A．－(－3)2＝9 B.＝3 C．－(－8)0＝1 D．|－7|＝－7 2．在实数0，－，－，|－2|中，最小的是(B) A．－ B．－ C．0 D．|－2| 知识模块二 实数的计算 【自主学习】 认真阅读教材P120例2、例3，进一步掌握运算顺序． 【合作探究】 1．计算． (1)(－)－ 解：原式＝－＋(－) ＝－＋0 ＝－(2)4－9 解：原式＝(4－9) ＝－5 2．用计算器计算：－(精确到小数点后面第二位)． 解：按键：，显示：0.913700503，所以，－≈0.91.知识模块三 估计两个实数的大小 【合作探究】 1．教材P120动脑筋． 2．比大的实数是(C) A．－5 B．0 C．3 D.归纳：一般地，当a>0，b>0时，如果a>b，那么>.【自主学习】 比较下列两数的大小． (1)与； 解：∵12<27，∴<； (2)2与3.解：∵(2)2＝48，(3)2＝54，∵48<54，∴(2)2<(3)2，∴2<3.活动1 小组讨论 例1 计算下列各式的值： (1)(＋)－；(2)2－3.解：(1)(＋)－ ＝＋(－)(加法结合律) ＝.(2)2－3 ＝(2－3)(乘法对于加法的分配律) ＝－.例2 用计算器计算：×(精确到小数点后面第二位)． 解：按键： 显示：3.16227766 精确到小数点后面第二位得3.16.所以，×≈3.16.【点拨】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算． 活动2 跟踪训练 1．比较下列各组数的大小，正确的是(C) A．1.7＞ B．π＜3.14 C．－＞－ D．5＜ 2．计算． (1)3－5；(2)|1－|＋|－|＋|－2|.解：(1)－2；(2)1.3．用计算器计算(精确到0.01)． (1)π－＋；(2)＋×.解：(1)3.46；(2)4.74.活动3 课堂小结 本节课你有什么收获？ 第4章 一元一次不等式(组) 4．1 不等式 1．通过对具体不等关系的分析，使学生感受到不等式是刻画数量之间关系的有效模型． 2．会根据实际问题建立不等式模型．(重难点) 知识模块一 不等式的概念 【合作探究】 教材P130动脑筋． 归纳： 用不等号(＞、＜、≥、≤、≠)连接而成的式子叫作不等式． 符号“≥”读作“__大于或等于__”也可读作“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可读作“__不大于__”． 如a≥0表示a＞0或a＝0.【自主学习】 在数学表达式中：①－1＜0；②3m－2n＞0；③x＝4；④x≠7；⑤m＋n，其中是不等式的有__①②④__． 知识模块二 用不等式表示数量关系 【自主学习】 认真阅读教材P131例题，弄清不等数量关系之间有什么联系． 【合作探究】 1．用不等式表示下列数量关系： (1)a－3是大于－3的数； (2)8与y的7%的差是负数； (3)x的与y的2倍的和是非负数； (4)a与b的平方和不大于3.解：(1)a－3＞－3； (2)8－7%y＜0； (3)x＋2y≥0； (4)a2＋b2≤3.2．教材P131做一做． 已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元．小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔．若付50元仍找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？ 解：1.5x＋(1.5＋2)×10＜50.活动1 小组讨论 例 用不等式表示下列数量关系： (1)x的5倍大于－7； (2)a与b的和的一半小于－1； (3)长、宽分别为x cm，y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积． 解：(1)5x＞－7； (2)＜－1； (3)xy＜a2.活动2 跟踪训练 1．某市今年5月份的最低气温是10 ℃，最高气温为27 ℃，已知该月某一天的气温为t ℃，则下面表示t的范围，正确的是(C) A．10＜t＜27 B．10≤t＜2 C．10≤t≤27 D．10＜t≤27 2．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指(B) A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 3．某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答一题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，可列不等式为(D) A．10x－3(30－x)＞70 B．10x－3(30－x)≤70 C．10x－3x≥70 D．10x－3(30－x)≥70 4．用适当的符号表示下列关系． (1)y的一半不小于3； (2)x的与x的2倍的和是正数； (3)m除以4的商加上3至多为5.解：(1)y≥3.(2)x＋2x＞0.(3)＋3≤5.活动3 课堂小结 本节课你学到了什么？ 4.2 不等式的基本性质 第1课时 不等式基本性质1 1．经历不等式基本性质1的探索过程，能利用它对不等式进行简单变形．(重点) 2．能理解什么是“移项”，并能熟练地使用“移项”解决问题． 3．在学习过程中通过与等式基本性质1的比较，体会类比学习的思想． 知识模块一 不等式的基本性质1 【合作探究】 教材P133探究． 1．探究： (1)水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨和84千克苹果，你能用“＞”或“＜”连接梨和苹果的进货量吗？ 解：100千克＞84千克． (2)几天后，小王卖出梨和苹果各a千克，你能用“＞”或“＜”连接梨和苹果的剩余量吗？ 解：(100－a)千克＞(84－a)千克． 2．学生活动： (1)自己写一个不等式，在它的两边同时加上或减去同一个数，看看有什么结果． (2)交流讨论，大胆说出自己的“发现”． 归纳：不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，__不等号的方向__不变． 用字母表示：若a＞b，则a＋c__＞__b＋c，a－c__＞__b－c.【自主学习】 1．教材P133例题． 2．已知a＜b，用“>”或“<”填空． (1)a＋12__<__b＋12； (2)b－10__>__a－10； (3)a－(－7)__<__b－(－7)； (4)a＋m__<__b＋m.3．按下列条件写出仍成立的不等式． (1)已知－2<1，两边都减去1：__－3<0__； (2)已知3x－2y>3x－8，两边都减去3x：__－2y>－8__． 知识模块二 不等式中的移项 【自主学习】 认真阅读教材P134例2，注意不等式性质的运用． 【合作探究】 把下列不等式化为x>a，或x (1)1＋x>3； 解：不等式的两边都减去1，得1＋x－1>3－1，即x>2； (2)2x 解：不等式两边都减去x，得2x－x<－3，即x<－3.观察：由不等式2x 归纳：把不等式一边的某一项__变号__后移到另一边，这种变形称为移项． 练习： 在下列不等式的变形中，属于移项的是(C) A．由3x≤－4，得x≤－ B.≤7，得x≤21 C．由5x－10≥0，得5x≥10 D．由2＋3x≤0，得3x＋2≤0 知识模块三 三角形的任意两边之差小于第三边 【合作探究】 教材P134动脑筋． 我们知道三角形中任意两边之和大于第三边，在△ABC中，AB＋BC>AC，BC＋AC>AB，AC＋AB>BC.那么根据不等式的基本性质1，三角形中任意两边之差与第三边又有怎样的关系呢？ 解：把不等式AB＋BC>AC中的BC移到右边，得AB>AC－BC，即AC－BC 活动1 小组讨论 例1 用“>”或“<”填空： (1)已知a>b，则a＋3________b＋3.(2)已知a (1)x＋6>5；(2)3x<2x－2.解：(1)不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得x＋6－6>5－6，即x>－1.(2)不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得3x－2x<2x－2－2x，即x<－2.活动2 跟踪训练 1．已知m>n，下面四个不等式中，不正确的是(D) A．m＋1>n＋1 B．m－1>n－1 C．m>n－1 D．m－1>n＋1 2．若2x＋3y－1>3x＋2y，则x，y的大小关系为(A) A．x B．x>y C．x＝y D．不能确定 3．如果a－3>－3，那么a>0，其变形依据是__不等式基本性质1__． 4．把下列不等式化为“x>a”或“x (1)－2x－1>－3x＋1；(2)2x－1≤x＋1； (3)2(x－1)≥3x.解：(1)x>2；(2)x≤2；(3)x≤－2.活动3 课堂小结 本节课你有哪些收获？ 第2课时 不等式基本性质2、3 1．经历不等式基本性质2、3的探索过程，理解不等式基本性质2、3，并会利用不等式基本性质2、3将不等式进行简单变形．(重难点) 2．在学习过程中进一步通过与等式的基本性质的比较，体会类比思想． 知识模块一 不等式的基本性质2、3 【合作探究】 教材P135探究． 自己任写一个不等式，分别在它的两边都乘(或除以)同一个正数或负数，看看是否有相同的结论？ 归纳：1.不等式基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向__不变__．即：如果a>b，c>0，那么ac__>__bc，且__＞__.2．不等式基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__改变__．即：如果a>b，c<0，那么ac__<__bc，且__<__.【自主学习】 说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条基本性质． (1)由x>－3得：x>－6；__根据性质2，两边同时除以__； (2)由3＋x≤5得：x≤2；__根据性质1，两边同时减去3__； (3)由－2x<6得：x>－3；__根据性质3，两边同时除以－2__； (4)由3x≥2x－4得：x≥－4.__根据性质1，两边同时减去2x__． 知识模块二 利用不等式的基本性质将不等式变形 【自主学习】 教材P136例3.【合作探究】 1．把下列不等式化为x>a或x (1)6x－7<0；(2)－x＋4>； 解：(1)移项，得6x<7，两边同时除以6，得x<； (2)移项，得－x>－4，合并同类项，得－x>－，两边同时乘以(－4)，得x<14.2．小明在不等式－1<0的两边都乘－1，得1<0，错在哪里？ 解：错在不等式－1<0的两边都乘－1时，不等号的方向没有改变．正确的结果应是1>0.活动1 小组讨论 例 用“<”或“>”填空： (1)已知a>b，则3a________3b； (2)已知a>b，则－a________－b； (3)已知a 1．若x A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0 2．用“＜”“>”填空． (1)若3x>3y，则x__>__y； (2)若－2x<－2y，则x__>__y.(3)若5x＋1<5y＋1，则x__<__y.3．判断下列各题的结论是否正确？并说明理由． (1)若ax＞b，且a>0，则x>； (2)若ax>b，且a<0，则x>； (3)若a>b，则ac2>bc2； (4)若ac2>bc2，则a>b.解：(1)正确； (2)错误，不等式两边除以一个负数时，不等号方向要改变； (3)错误，如果c＝0，那么不成立； (4)正确． 4．把下列不等式化为x>a或x (1)2x＋5>3；(2)－3x＋2>4.解：(1)x>－1；(2)x<－.活动3 课堂小结 本节课你有哪些收获？ 4.3 一元一次不等式的解法 第1课时 一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式，不等式的解与解集的概念，会正确判断一元一次不等式． 2．掌握解一元一次不等式的基本方法，并会熟练地解一元一次不等式．(重点) 知识模块一 一元一次不等式的概念 【合作探究】 1．教材P139动脑筋． 75＋25x≤1200① 归纳：不等式①的特点：含有__1__个未知数，且含未知数的项的次数是__1__，这样的不等式称为__一元一次不等式__． 2．已知(a－2)xa2－3－3>0是关于x的一元一次不等式，则a＝__－2__． 【自主学习】 下列不等式中一元一次不等式的个数有(A) ①x≥－2；②x－≤2－；③2－5x<8－6x；④3x＋y<0；⑤5y2－2>3；⑥5x－6＝9.A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识模块二 不等式的解与解集 【合作探究】 如何解一元一次不等式75＋25x≤1200①呢？ 与解一元一次方程类似，我们利用不等式的基本性质进行如下步骤： 将①式移项得25x≤1200－75，即25x≤1125②，将②式两边都除以25(将x的系数化为1)得：x≤45，因此，升降机最多装载45件25 kg重的货物． 我们把满足一个不等式的未知数的每一个值称为不等式的__一个解__，把一个不等式的解的全体称为这个不等式的__解集__． __求一个不等式的解集的过程__称为解不等式． 【自主学习】 1．认真阅读教材P140例1.类比一元一次方程的解法，它与一元一次方程的解法有什么联系？ 2．解下列不等式． (1)3x－1>2(2－5x)；(2)≥.解：(1)去括号，得3x－1>4－10x，移项，得3x＋10x>4＋1，合并同类项，得13x>5，两边都除以13，得x>； (2)去分母，得2(x＋2)≥3(2x－3)，去括号，得2x＋4≥6x－9，移项，得2x－6x≥－9－4，合并同类项，得－4x≥－13，两边同时除以－4，得x≤.活动1 小组讨论 例 解下列一元一次不等式： (1)2－5x<8－6x；(2)＋1≤x.解：(1)移项，得－5x＋6x<8－2，即x<6； (2)去分母，得2(x－5)＋1×6≤9x，去括号，得2x－10＋6≤9x.移项，得2x－9x≤10－6.合并同类项，得－7x≤4.两边都除以－7，得x≥－.【点拨】解一元一次不等式与解一元一次方程类似，有分母要去分母，有括号要去括号． 活动2 跟踪训练 1．不等式1－2x>3的解集是(D) A．x>1 B．x>－1 C．x<1 D．x<－1 2．下列解不等式>的步骤中，错误的是(D) A．去分母，得5(2＋x)>3(2x－1) B．去括号，得10＋5x>6x－3 C．移项、合并同类项，得－x>－13 D．系数化为1，得x>13 3．若3x2a＋3－9>6是关于x的一元一次不等式，则a＝__－1__． 4．解下列不等式： (1)5x－1>3(x＋1)；(2)≤.解：(1)去括号，得5x－1>3x＋3，移项，得5x－3x>3＋1，合并同类项，得2x>4，两边都除以2，得x>2.(2)去分母，得2(2x－1)≤3x－4，去括号，得4x－2≤3x－4，移项，得4x－3x≤－4＋2，合并同类项，得x≤－2.活动3 课堂小结 本节课你学到了什么？ 第2课时 在数轴上表示不等式的解集 通过探索与交流，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法，能正确地在数轴上表示不等式的解集． 知识模块一 在数轴上表示不等式的解集 【合作探究】 教材P141动脑筋． 不等式3x>6的解集是__x>2__，先在数轴上找出表示2的点，则它右边所有的点表示的数都大于2，如图在数轴上表示为： 把表示2的点画成__空心圆圈__，表示不等式的解集不包括2.归纳：在以向右为正方向的数轴上的点，其右边的点表示的数比该点表示的数__大__，其左边的点表示的数比该点表示的数__小__． 【自主学习】 1．教材P142例2.2．解不等式9－6x≤3(4－x)，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：去括号，得9－6x≤12－3x，移项，得－6x＋3x≤12－9，合并同类项，得－3x≤3，两边都除以－3，得x≥－1.原不等式的解集在数轴上表示为： 知识模块二 利用数轴确定不等式的整数解 【自主学习】 认真阅读教材P142例3，注意题目要求． 【合作探究】 当x取什么值时，代数式的值不小于x－2的值？将它的解集在数轴上表示出来，并求它的非负整数解． 解：由题意，得≥x－2，解这个不等式，得x≤1，所以，当x≤1时，代数式的值不小于x－2的值，解集在数轴上表示如图所示： 由图可知满足条件的非负整数解有0、1.活动1 小组讨论 例1 解不等式12－6x≥2(1－2x)，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：去括号，得12－6x≥2－4x，移项，得－6x＋4x≥2－12，合并同类项，得－2x≥－10，两边都除以－2，得x≤5.原不等式的解集数轴上表示如图所示． 【点拨】解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点． 例2 当x取什么值时，代数式－x＋2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数． 解：根据题意，得－x＋2≥0，解这个不等式，得x≤6.所以，当x≤6时，代数式－x＋2的值大于或等于0.x≤6在数轴上表示如图所示． 由图可知，满足条件的正整数有1、2、3、4、5、6.活动2 跟踪训练 1．一元一次不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为(A) 2．若代数式x－的值小于0，则x的取值范围是(D) A．x<－ B．x>－ C．x> D．x< 3．不等式2x<4x－6的最小整数解为__4__． 4．解不等式2x－1>，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：4x－2>3x－1，x>1.这个不等式的解集在数轴上表示如下： 活动3 课堂小结 本节课你有什么收获？ 4.4 一元一次不等式的应用 能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，并解决问题．(重难点) 知识模块 一元一次不等式的应用 【合作探究】 教材P144动脑筋． 归纳：应用一元一次不等式解决实际问题的步骤为： 实际问题―→设未知数―→找出不等关系―→列不等式―→解不等式―→结合实际确定答案． 【自主学习】 1．教材P144例1.2．教材P145例2.练习：在一次知识竞赛中，有10道抢答题，答对一题得10分，答错一题扣5分，不答得0分，小玲有一道题没有答，成绩仍然不低于60分，她至少答对几道题？ 分析：不等关系：__答对题得分－答错题扣分≥60__． 解：设小玲答对的题数是x，则她答错的题数为(10－1－x)，根据题意得10x－5(9－x)≥60，解这个不等式，得x≥7.答：她至少答对7道题． 活动1 小组讨论 例1 某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？ 分析：本题涉及的数量关系是：销售额－成本－税费≥纯利润(900元) 解：设每套童装的售价是x元，则 40×x－90×40－40×x×10%≥900.解这个不等式，得x≥125.答：每套童装的售价至少是125元． 例2 当一个人坐下时，不宜提举超过4.5 kg的重物，以免受伤，小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2 kg的画册和一批每本重0.4 kg的记事本，如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本．问他最多只应搬动多少本记事本？ 分析：本题的数量关系是：画册的总重＋记事本的总重≤4.5 kg.解：设小明可搬动x本记事本，则 1．2×2＋0.4x≤4.5.解这个不等式，得x≤5.25.由于记事本的数目必须是整数，所以x的最大值为5.答：小明最多只应搬动5本记事本.活动2 跟踪训练 1．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表： 原料种类 甲种原料 乙种原料 维生素C含量(单位/千克) 500 200 现配制这种饮料10 kg，要求至少含有4100单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为x kg，则x应满足的不等式为(A) A．500x＋200(10－x)≥4100 B．200x＋500(100－x)≤4100 C．500x＋200(10－x)≤4100 D．200x＋500(100－x)≥4100 2．小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本的数量为(C) A．7本 B．6本 C．5本 D．4本 3．水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，售价为11元/千克，销去一半后为尽快销完，准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，那么余下水果可按原定价打________折出售(D) A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折 4．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为多少厘米？ 解：设长为3x，宽为2x，由题意，得5x＋30≤160，解得x≤26.故行李箱的长的最大值为3x＝78.答：行李箱的长的最大值为78厘米． 活动3 课堂小结 本节课你有什么收获？ 4.5 一元一次不等式组 1．了解一元一次不等式组的概念． 2．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，会用数轴确定解集．(重难点) 知识模块一 一元一次不等式组的有关概念 【合作探究】 教材P147动脑筋． 一个长方形足球场的宽为70米，如果它的长为x米，(1)周长大于350米，用不等式表示为__2(70＋x)>350__； (2)面积小于7630平方米，用不等式表示为__70x<7630__； (3)如果需要同时满足(1)(2)，又该如何表示呢？ 归纳：像这样，把几个__含有相同未知数的一元一次不等式__组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． __一元一次不等式解集的公共部分__，叫作一元一次不等式组的解集． __求不等式组的解集的过程__叫作解不等式组． 知识模块二 一元一次不等式组的解法 【自主学习】 认真阅读教材P148～P149例1、例2、例3.【合作探究】 1．解决知识模块一的问题． 解：解不等式①得x>105，解不等式②得x<109，∴不等式组的解集就是x>105与x<109的公共部分． 活动1 小组讨论 例1 解不等式组： 解：解不等式①，得x≤3，解不等式②，得x<－3.把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 所以不等式组的解集为x＜－3.例2 解不等式组： 解：解不等式①，得x>－2，解不等式②，得x>6.把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 由图可知，不等式①、②的解集的公共部分是x>6，所以这个不等式组的解集是x>6.例3 解不等式组： 解：解不等式①，得x<－2，解不等式②，得x>3.把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示． 所以不等式组无解． 活动2 跟踪训练 1．如图，将某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，则这个不等式组可能是(B) A.B.C.D.2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(B) 3．不等式组的整数解是__－1，0，1__． 4．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1)(2) 解：(1)解不等式x＋3<4，得x<1.解不等式3(2－x)－9>6，得x<－3.∴不等式组的解集为x<－3.将不等式组的解集表示在数轴上如下： (2)解不等式2x＋5≤3(x＋2)，得x≥－1，解不等式2x－<1，得x<3，∴原不等式组的解集是－1≤x<3.将不等式组的解集在数轴上表示如下： 活动3 课堂小结 本节课你学到了什么？ 第5章 二次根式 5．1 二次根式 第1课时 二次根式的概念及性质 1．了解二次根式的概念． 2．理解并掌握二次根式的性质：()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)．(重点) 知识模块一 探究二次根式的概念及有意义的条件 【自主学习】 认真阅读教材P155内容，完成下面的填空： (1)形如____的式子叫作二次根式，被开方数是指__根号下的数__． (2)当a为正数时，是a的__算术平方根__，而0的算术平方根是__0__，负数__没有平方根__，只有非负数才有平方根．所以，在二次根式中，字母a必须是__非负__实数，才在实数范围内有意义． 练习：判断下列各式：，－，，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 解：，－，是二次根式；，不是二次根式．因为的根指数不是2，的被开方数不是非负数． 【合作探究】 求下列二次根式中字母x的取值范围． (1)； 解：由3x＋1≥0，解得x≥－.(2)； 解：由5－2x≥0，解得x≤； (3).解：由x－5>0，解得x>5.知识模块二 二次根式的性质及其运用 【合作探究】 1．因为是__2__的一个平方根，所以()2＝__2__；因为是__3__的一个平方根，所以()2＝__3__．根据上述结果，当a≥0时，我猜测()2＝__a__． 2．由于22＝4，因此＝2，即＝＝__2__；由于32＝9，因此＝3，即＝＝3；根据上述结果，当a≥0时，我猜测＝__a__． 3．当a<0时，＝a是否还成立？为什么？ 计算＝____＝__2__； ＝____＝__3__． 根据上述结果，当a<0时，我猜测＝__－a__．由此，我们可以概括：＝|a|＝ 【自主学习】 1．认真阅读教材P156例2例3，进一步巩固二次根式的性质． 2．计算． (1)＝__8__；(2)＝__3__． (3)(－)2＝__3__； (4)()2＝____． 活动1 小组讨论 例1 当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？ 解：由x－1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，在实数范围内有意义． 例2 计算： (1)()2；(2)(2)2.解：(1)()2＝5；(2)(2)2＝22×()2＝4×2＝8.例3 计算： (1)；(2) 解：(1)＝＝2；(2)＝＝1.2.活动2 跟踪训练 1．若＝a－3，则a的取值范围是(D) A．a<3 B．a≤3 C．a>3 D．a≥3 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式； (1)5＝__()2__；(2)3.4＝__()2__； (3)＝__()2__；(4)x＝__()2__(x≥0)． 3．当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ (1)；(2)；(3).解：(1)由－x≥0，得x≤0，因此，当x≤0时，有意义． (2)由5－2x≥0，得x≤.因此，当x≤时，有意义． (3)由x2＋1≥0，得x为任意实数，因此，当x为任意实数时，都有意义． 4．计算： (1)()2；(2)；(3)(－2)2； (4)－2.解：(1)11；(2)6；(3)20；(4)－.活动3 课堂小结 本节课你有什么收获？ 第2课时 二次根式的化简 1．了解最简二次根式的概念． 2．会利用积的算术平方根的性质化简二次根式．(重点) 知识模块一 探究积的算术平方根的性质 【合作探究】 教材P157动脑筋． 1．计算：①×＝__6__；＝__6__．②＝__12__，×＝__12__． 2．观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？并用表达式表示你发现的规律：＝·(a≥0，b≥0)． 3．验证结果 (1)×＝__50__；＝__50__； __＝__× (2)×与.解：∵×＝×＝，＝＝，∴＝×.知识模块二 二次根式的化简 【自主学习】 认真阅读教材P158例4、例5，进一步掌握积的算术平方根的性质． 【合作探究】 1．化简下列二次根式． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)(a≥0，b≥0)． 解：(1)＝2；(2)＝5；(3)＝2； (4)＝4；(5)＝5； (6)＝3；(7)＝3ab.2．化简下列二次根式． (1)；(2)；(3)；(4)(a>0)． 解：(1)＝；(2)＝； (3)＝；(4)＝.结论：我们把被开方数中不含__开得尽方__的因数、被开方数中不含__分母__的二次根式叫作最简二次根式． 活动1 小组讨论 例1 化简下列二次根式： (1)；(2)；(3).解：(1)＝＝×＝3.(2)＝＝×＝2.(3)＝＝＝2×3＝6.例2 化简下列二次根式： (1)；(2).解：(1)＝＝＝.(2)＝＝＝.活动2 跟踪训练 1．下列二次根式中是最简二次根式的是(A) A.B.C.D.2．实数0.5的算术平方根等于(C) A．－3 B.C.D.3．化简二次根式得(B) A．－3 B．3 C.D.4．化简下列二次根式． (1)；(2)；(3)；(4).解：(1)2；(2)3；(3)8；(4).活动3 课堂小结 本节课你有什么收获？ 5.2 二次根式的乘法和除法 第1课时 二次根式的乘法 会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算．(重难点) 知识模块一 探究二次根式的乘法运算法则 【合作探究】 教材P161说一说． 我们把＝·(a≥0，b≥0)从右至左看，就可以得到__·＝(a≥0，b≥0)__．利用这个公式，可以进行二次根式的乘法运算． 讨论如何计算2·3？ 解：2·3＝2×3×＝6＝96.【自主学习】 计算下列各题． (1)×；(2)×；(3)2×2×；(4)×(－)；(5)5·(－4)(a≥0，b≥0)． 解：(1)原式＝＝＝3； (2)原式＝＝＝6； (3)原式＝2×2×＝4＝40； (4)原式＝－＝－＝－＝－12； (5)原式＝5×(－4)×＝－20a2b.知识模块二 二次根式的乘法的运用 【自主学习】 认真阅读教材P162例3，分析二次根式的乘法是怎样在实际问题中运用的？ 【合作探究】 1．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是(C) A．3 B．5 C．15 D．25 2．一个直角三角形的两条直角边分别为a＝2 cm，b＝3 cm，那么这个直角三角形的面积是__9__ cm2.活动1 小组讨论 例1 计算： (1)×；(2)×.解：(1)×＝＝＝3； (2)×＝＝＝＝2.例2 计算： (1)2×5；(2)3×(－)． 解：(1)2×5＝2×5×＝10＝30； (2)3×(－)＝3×(－)××＝－＝－.例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是3 cm和 cm，求这张长方形图片的面积． 解：3×＝3×7＝21 (cm2)． 答：这张长方形图片的面积为21 cm2.活动2 跟踪训练 1．计算×的结果是(B) A.B.C．2 D．3 2．下列各等式成立的是(D) A．4×2＝8 B．5×4＝20 C．4×3＝7 D．5×4＝20 3.·的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B) A．1 B．2 C．3 D．5 4．一个直角三角形的两条直角分别为a＝2 cm，b＝3 cm，那么这个直角边三角形的面积为__9__cm2.5．计算下列各题． (1)×；(2)×；(3)×；(4)3×2；(5)××；(6)6×(－3)． 解：(1)；(2)6；(3)2；(4)6；(5)30； (6)－72.活动3 课堂小结 本节课你有什么收获？ 第2课时 二次根式的除法 1．理解商的算术平方根的性质＝(a≥0，b>0)，并能运用于二次根式的化简．(重点) 2．能熟练运用二次根式的除法法则＝(a≥0，b>0)进行二次根式的除法运算．(重难点) 知识模块一 探究商的算术平方根的性质 【合作探究】 教材P162动脑筋． (1)＝____，＝____ (2)＝____，＝____． 观察上面的式子，将得到的结论用字母表示为__＝(a>0，b≥0)__．利用这个等式可以化简二次根式． 【自主学习】 教材P163例4.化简下列二次根式． (1)；(2)；(3).解：(1)原式＝＝； (2)原式＝＝； (3)原式＝＝.知识模块二 二次根式的除法法则的探究与运用 【自主学习】 认真阅读教材P164例5，注意计算过程． 【合作探究】 通过例5的计算理解由＝(a＞0，b≥0)反过来可得：＝(a＞0，b≥0)． 结论：二次根式相除，__先把被开方数相除，再把所得的商化简__． 1．计算下列各题：(1)；(2)3÷；(3)×÷.解：(1)原式＝＝＝3； (2)原式＝＝3＝3； (3)原式＝＝＝＝12.2．若＝成立，则x的取值范围是__x>2__． 知识模块三 二次根式除法的应用 【自主学习】 阅读教材P164例6，进一步理解二次根式的除法运算． 活动1 小组讨论 例1 化简下列二次根式： (1)；(2).解：(1)＝＝.(2)＝＝＝＝.例2 计算： (1)÷；(2)；(3).解：(1)÷＝＝＝； (2)＝＝； (3)＝＝＝＝.例3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高h (km)与电视节目信号的传播半径r (km)之间满足r＝(其中R是地球半径)．现有两座高分别为h1＝400 m，h2＝450 m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？ 解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.因为r＝，400 m＝0.4 km，450 m＝0.45 km，所以＝＝＝＝＝＝.活动2 跟踪训练 1．下列运算正确的是(D) A.÷＝10 B.÷2＝2 C.＝3＋4＝7 D.÷＝3 2．计算：＝__2__． 3．如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这边上的高为__2__． 4．计算． (1)÷；(2)；(3)；(4)÷.解：(1)2；(2)4；(3)；(4).活动3 课堂小结 1．商的算术平方根的性质． 2．二次根式的除法法则． 5.3 二次根式的加法和减法 第1课时 二次根式的加法和减法 1．理解二次根式的加、减运算法则． 2．会进行简单的二次根式的加、减运算．(重难点) 你能否用分配律计算下列各题： (1)2＋3；(2)5－3.解：(1)原式＝(2＋3)＝5； (2)原式＝(5－3)＝2.知识模块一 探究被开方数相同的二次根式的识别方法 【合作探究】 1．上述的运算是什么运算？计算的依据是什么？ 2．教材P167动脑筋． ＋＝2＋3＝(2＋3)＝5 归纳：经过化简后，__被开方数相同__的二次根式，可以直接进行加减，加减时，只把系数相加减，被开方数不变． 【自主学习】 1．下列各组数中，化简后被开方数相同的是(B) A.与 B.与4 C.与 D.与 2．下列二次根式中能与－5合并的是(D) A.B.C.D.知识模块二 二次根式的加法和减法 【自主学习】 认真阅读教材P168例1、例2，与有理数加减法则进行比较，有什么联系？ 【合作探究】 计算下列各题，并归纳二次根式加减法法则． (1)10＋3－7；(2)5－3－2.解：(1)原式＝10＋6－7 ＝(10＋6－7) ＝9； (2)原式＝10－6－6 ＝(10－6)－6 ＝4－6.结论：一般地，只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，只将__系数__相加减，__被开方数__不变． 活动1 小组讨论 例1 计算： (1)5－2＋；(2)2－＋.解：(1)原式＝10－6＋3＝13－6.(2)原式＝6－5＋＝＋.【点拨】二次根式的加减与合并同类项类似，进行二次根式的加减运算时，必须先将各个二次根式化简，再合并被开方数相同的二次根式． 例2 如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成．已知大圆和小圆的面积分别为763.02 m2和150.72 m2，求圆环的宽度d(π取3.14)． 解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝，r＝，则d＝R－r ＝－ ＝－ ＝－ ＝9－4 ＝5.答：圆环的宽限d为5 m.活动2 跟踪训练 1．下列二次根式中，不能与合并的是(C) A.B.C.D.2．下列计算是否正确？为什么？ (1)－＝；(2)＋＝；(3)3－＝2.解：(1)不正确．此式结果为2－.(2)不正确．此式结果为5.(3)正确． 3．计算． (1)＋；(2)2＋；(3)－＋；(4)＋(－)；(5)(－)－(－)． 解：(1)5；(2)7；(3)3；(4)10－3；(5)－.活动3 课堂小结 怎样进行二次根式的加减计算． 第2课时 二次根式的混合运算 会正确快速地进行二次根式的混合运算．(重难点) 知识模块一 仿照多项式乘法运算法则进行二次根式的计算 【合作探究】 教材P169动脑筋． 归纳：二次根式的混合运算是根据有理数的运算律进行的． 【自主学习】 1．认真阅读教材P170例3.2．计算下列各题． (1)(＋)÷； (2)－(＋2)； (3)(＋3)(＋5)． 解：(1)原式＝(4＋)÷3＝(4＋)÷3＝； (2)原式＝2－2－2＝－2； (3)原式＝2＋5＋3＋15＝17＋8.知识模块二 仿照乘法公式进行二次根式的计算 【自主学习】 阅读教材P170例4并与有理数的乘法公式运算进行比较． 【合作探究】 已知：a＝－1，求a3＋2a2＋a的值． 解：a3＋2a2＋a＝a(a2＋2a＋1)＝a(a＋1)2，当a＝－1时，原式＝(－1)(－1＋1)2＝(－1)·3＝3－3.知识模块三 仿照多项式除法法则和分式运算法则进行计算 【自主学习】 阅读教材P171例5进一步理解二次根式的运算． 活动1 小组讨论 例1 计算： (1)(－)×；(2)(2＋)(1－)． 解：(1)(－)×＝×－×＝－＝2－＝.(2)(2＋)(1－)＝2－2＋－×＝2－2＋－2＝－.例2 计算： (1)(＋1)(－1)；(2)(－)2.解：(1)(＋1)(－1)＝()2－12＝1.(2)(－)2＝()2－2×＋()2＝2－2＋3＝5－2.例3 计算： (1)(＋)÷；(2)＋.解：(1)(＋)÷＝(4＋)÷＝5÷＝5.(2)＋＝＋＝＝＝4.活动2 跟踪训练 1．化简－(－2)的结果是(D) A．－2 B.－2 C．2 D．4－2 2．估计×＋的运算结果应在(C) A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．计算：(－)×＝__8__． 4．计算． (1)(＋)(－)；(2)(＋)2 解：(1)－2；(2)8＋2.5．计算． (1)(－)－－|－3|； (2)÷×－.解：(1)原式＝－3－2＋－3＝－6； (2)原式＝－＝－＝0.活动3 课堂小结 如何进行二次根式的混合计算？
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