线性代数_课件LA1-1B

第一篇：线性代数_课件LA1-1B

线性代数讲稿

讲稿编者：使用教材：《线性代数》

教学参考：《线性代数典型题分析解集》张 凯 院

西北工业大学出版社 西工大数学系编 西北工业大学出版社 徐 仲 等编

第一章

n阶行列式 §1.2 排列及其逆序数

1．排列：n个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素p1,p2,,pn构成的不同排列有n!种．

解 在n个元素中选取1个

n种取法

在剩余n1个元素中选取1个

在剩余n2个元素中选取1个

n1种取法 n2种取法

„„„„„„

„„„„

在剩余2个元素中选取1个

2种取法

在剩余1个元素中选取1个

1种取法

------------------

总共n!种取法

2．标准排列：n个不同的自然数从小到大构成的排列．

n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． 3．逆序数：

(1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）

之间有1个逆序．

(2)排列p1p2pn中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作(p1p2pn)．

算法：固定i(2,,n), 当

满足pjji时，iipi的“pj”的个数记作（称为p的逆序数），那么(p1p2pn)2n．

271032261

4例2 排列6372451中, ．

例3 排列13(2n1)(2n)(2n2)42, 求逆序数．

解

记作p

1p2pnpn1pn2p2n1p2n

20, ,n10

n2221, n3422，„, 2n2(n1)

2[12(n1)]n(n1)4．奇偶性：排列p

(p1p2pn)(p1p2pn)p2pn

奇数时, 称为奇排列； 偶数时, 称为偶排列．

5．对换：

相邻对换：p

一般对换：p

1pipi1pnp1pi1pipn pipjpnp1pjpipn(ij)

1定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变．

证

先证相邻对换：(1)

(2)

ab：对换后aaba1alabb1bma1albab1bm

2增加1, 不变, 故tbbt11； t11． ：对换后不变, 减少1, 故ta所以t与t的奇偶性相反．

2再证一般对换：(1)

(2)

(3)

a1alab1bmbc1cn a1alb1bmabc1cn a1albb1bmac1cn

(1)(2)经过m次相邻对换

(2)(3)经过m1次相邻对换

(1)(3)经过2m1次相邻对换, 所以t与t的奇偶性相

31反．

推论 奇排列标准排列, 对换次数为奇数．

偶排列标准排列, 对换次数为偶数．

§1.3 n阶行列式的定义

1．二阶： a11a21a11a12a22a12a22a32a11a22a12a21

a13a23a33a11a23a32a12a21a33a13a22a31 2．三阶： a21a31a11a22a33a12a23a31a13a21a32

(1)乘积中三个数不同行、不同列：a

行标(第1个下标)：标准排列 123

列标(第2个下标)：p11p1a2p2a3p3

p2p3是

1,2,3的某个排列(共6种)

(2)正项：123, 231, 312为偶排列

负项：132, 213, 321为奇排列

a11a12a22a32a13a23a3

3于是 a21a312(1)(p1p2p3)a1p1a2p2a3p3，(p1p2p3)．

3．n阶：n个数aij(i,j1,2,,n), 称

a1na2nanna11a12a22an2

Da21an1



为n阶行列式, 它表示数值

(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn, (p1p2pn)

其中, 求和式中共有n!项．

a11a12a22a1na2nanna11a1,n1a2,n1a1na21an例3 计算D1，D2.解 数为

D1中只有一项a11a22ann不显含0, 且列标构成排列的逆序(12n)0, 故D1(1)a11a22anna11a22ann．

D2中只有一项a1na2,n1an1不显含

0, 且列标构成排列的逆序数为

(n21)12(n1)n(n1)2

故D

n(n1)2(1)a1na2,n1an1(1)2a1na2,n1an1．

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素

的乘积, 并冠以符号(1)

特例：

1n(n1)2．

1212n，2n(n1)(1)212n

nn

定理2

a11Da21an1

(2)

证a12a22an2a1na2nann(1)(q1q2qn)(q1q2qn)aq11aq22aqnn

(p1p2pn)由定义知

D (1)a1p1a2p2anpn6(p1p2pn)

(1)

先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得

(3)

①

(q1q2qn)偶数

q1q2qn12n(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(q1q2qn)a1p1a2p2anpn

偶数次对换

偶数次对换 偶数 12np1p2pn

所以(p ② (q

11p2pn)q2qn)奇数

奇数次对换

奇数次对换 奇数 , 由(3)可得

(p1p2pn)q1q2qn12n12np1p2pn

所以(p

因此(1)

(1)1p2pn)(1)(q1q2qn)(p1p2pn)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)a1p1a2p2anpn

同理可证(1)中的项都是(2)中的项．

课后作业：习题一

1，2，3

§1.4 行列式的性质

a11a1nanna11an1ann

性质1 设D

证 令b

DΤan1，DΤa1n, 则DΤD．

ijaji(i,j1,2,,n), 则

b11b1nbn1(1)(p1p2pn)b1p1b2p2bnpn

(p1p2pn)

bnn

(1)(p1p2pn)ap11ap22apnnDai1ainajn

(根据Th2)

aj1ajnain

性质2 设ij,Daj1，D1ai1, 则D1D．

证

bikajk,bjkaik(k1,2,,n)

li,j:blkalk(k1,2,,n)

bi1tbinbjn

D1bj1(1)(bipibjpj)

(pipj)

推论1 (1)(1)(bjpjbipi)

t(pjpi)

(1)(1)(aipjajpi)ttqipj,qjpili,j:qlpl

(1)(1)(aiqiajqj)DDt(qiqj)

对调两列得D2D2D．

TT证 因为D对调两列得D, 相当于D对调两行得D

2所以D 2D2DTTD

推论2 D中某两行(列)元素对应相等D0．

证 因为对调此两行(列)后,D的形式不变

所以DDD0

12b23c03

例如, 对于任意的a,b,c, 都有a1a11a1nkainkDanna11．

ka1jkanja1nkD

性质3 kai1an1，an1

ann

证(1)左端(1)[a1p

推论1

推论2 DD1(kaipi)anpn]

(ppp)

1ink(1)(a1p1aipianpn)kD

中某行(列)元素全为0D0． D0． 中某两行(列)元素成比例ij

性质4 若对某个i, 有aa11a1na11bijcij(j1,2,,n), 则

a1na11a1ncinann

ai1an1ainbi1annan1binci1annan1

证 左端(1)(a1p

1aipianpn)

(ppp)

1in(1)(a1p1bipianpn)(1)(a1p1cipianpn)

右端(1)+ 右端(2)[注] 性质4对于列的情形也成立．

ai1ain

性质5

rikraji1aj1ainajn(ij)

aj1ajnaj1ajn [注] 性质5对于列的情形也成立．

1533

例5 计算D20113112.413115331533153

解 D01055211110161011500023(5)0002021911011102115331533

1110111(5)00023(5)002355

0031000112xaa

例6 计算Dxana．

aax111

解 r1(r2rn)Dxan[x(n1)a]a

aax111

[x(n1)a]0xa0

00xa

[x(n1)a](xa)n1

3131

12210030103010n00

例7 计算Dn3n．

n01t2100

解 c1jc0jDnj2,,n0001(2n)

221

§1.5 行列式按行（列）展开

余子式：在n阶行列式中，将元素a所在的行与列上的元素划

ij去，其余

元素按照原来的相对位置构成的n1阶行列式，称为元素a的

ij

余子式，记作M．

ij

代数余子式：元素a的代数余子式Aijij(1)ijMij．

a11a12a22an2a1na2nann

定理3 Da21an1



ai1Ai1ai2Ai2ainAin

(i1,2,,n)(j1,2,,n)a1jA1ja2jA2janjAnj

证

证明第一式, 分以下3步．

a11a1,n1

第1步：Mnnan1,1(1)(p1pn1)a1p1an1,pn1

an1,n1(1pin1)

a11a1,n1an1,n10a1nan1,nann

an1,10(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn

(1)pnnpnn(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn+

(1)

ann(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn a1p1an1,pn1

MannAnn(1)nn(p1pn1n)

(p

D21pn1n)(p1pn1)

annMann(1)nnnna1jD1ai1,j

第2步： D(i,j)00aijai1,janj00

D3D4a1jD1D2ai1,j

(1)(ni)(nj)ai1,jD3000D40anjaij

(1)(ij)aijMijaijAij

第3步：DD(i,1)D(i,2)D(i,n)

ai1Ai1ai2Ai2ainAin

15011712331133121

例8 计算D234．

160010211解 D23116(1)3221471321

20010a51(1)(1)122

(1)272075155

baaccbddd00(1)(2n1)12nb

例9 计算D2n．

c

解 D2n(1)11a0D2(n1)00db0c0D2(n1)0

(2n1)

(1)(2n1)(2n1)adD2(n1)(1)(1)n1(2n1)1bcD2(n1)

(adbc)D2(n1)(adbc)acbdD2

D2adbc

D2n(adbc)n

111200023003n10n1n

例10 计算Dn111．

解 DnnDn1(1)n1(n1)!

(n1)1

n(n1)Dn2(1)(n11)!(1)n1(n1)!

n(n1)Dn2(1)nn!n1(1)n1n!n

n

4n(n1)3D2(1)n!3(1)n!n1(1)n1n!n

D2111221(1)2(1)1

2334n1(1)2(1)(1)(1)Dn(n!)123n

课后作业：习题一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2

1x11x2x2x2n121xn1xn1xn1n121xnxnxnn12 例11 证明Dnx1x12(x1jinixj).n1 14

11(x2xn)x2(x2xn)x2n21(xn1xn)xn1(xn1xn)xn1(xn1xn)n21000 证 D(i)xn(i1)nin,,2(x1xn)x1(x1xn)x1n2

(x1xn)(x2xn) (1)(x D D Dkn1n(x1xn)(x2xn)(xn1xn)Dn1

xn1)(xnxn2)(xnx1)Dn1

(xkxk1)(xkxk2)(xkx1)Dk1(kn,n1,,3)

21x11x2x2x1

n(xnxn1)(xnxn2)(xnx2)(xnx1)

(xn1xn2)(xn1x2)(xn1x1)

„„„„„„

(x3x2)(x3x1)

(xa11am1a1mamm00b11bn100b1nbnn2x1)

例12 证明 D

a11a1mb11b1n a11a1mammam1p1

ammbn1bnn 证 D行倍加1am1pmp1pm

b11b1nbnn D列倍加q102bn1p1q1qnqn00

pm0q1 D前m行“行倍加”后n列“列倍加”(p1pm)(q1qn)D1D2

qn 定理

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn04 设ij, 则 a1iA1ja2iA2janiAnj0．

证 只证第一式.ij时, 有

ai1ainajnainainai1Aj1ai2Aj2ainAjnaj1Aj1aj2Aj2ajnAjn Daj1ai1

0ai1

[注]结合定理3与定理4可得

Dai1Aj1ai2Aj2ainAjn0a1iA1ja2iA2janiAnj1241433334122(ij)(ij)(ij)(ij)

D0

例13 D241, 求A11A21A31A41．

12414333341220 解法1 因为D1111 D与D的第1列元素的代数余子式相同

所以将D按第1列展开可得AA21A31A410．

解法2 因为D的第3列元素与D的第1列元素的代数余子式相乘求和

为0,即 3A 所以

§1.7 Cramer法则

考虑线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2 an1x1an2x2annxnbna11a12a22an2a1na2nanna21an1113A213A313A410

A11A21A31A410

D

b1a12a22an20a1na2nanna11b1b2bna13a23an3a1na2nann(j)D(1)b2bn，D(2)a21an1, „„

 定理5 若D 证 存在性., 则方程组存在唯一解xjDD(j1,2,,n).17 bib1~ Dbibnai1a11ai1an1aija1jaijanjaina1nr1ainri1ann0(r1ri1)

 第1行中元素a的代数余子式为

ij~ Ab1ija11an1a11a1,j1an,j1a1,j1an,j1a1,j1an,j1b1bna1n(1)1(j1)bn

a1nD(j)a1,j1an,j1ann (1)j2(1)j1an1

ann~ 将D按第1行展开可得

biDai1(D(1))aij(D(j))ain(D(n))0

因为D ai10, 所以

aijD(j)D(1)DDjainD(j)D(n)Dbi(i1,2,,n)

故方程组有解 xD(j1,2,,n)

*1 唯一性.设方程组还有解xa11a1,j1an,j1a1,j1an,j1a1,j1an,j1*,x2,,xn, 则

**a1jxjanjxj*a1,j1an,j1*a1n x*jDan1a11

***anna1,j1**(a11x1a1jxja1nxn)(an1x1anjxjannxn)b1bna1,j1an,j1a1nannD(j)a1n an1a11

an,j1ann an1

同理可得 xjDD(j)于是 x*jD xjDxjxj(j1,2,,n)

* 例

x1x22x1x214 解线性方程组3x12x2x1x29, D(1)9, D(2)18(3)x32x40x3x40x35x45x3x41.解 D

D x 127, D(4)9

1, x22, x33, x41

a11x1a12x2a1nxn0a21x1a22x2a2nxn0 齐次方程组 

an1x1an2x2annxn0

定理6 若D0, 则齐次方程组只有零解.D0.推论 齐次方程组有非零解 [注] D0齐次方程组有非零解.(定理3.5之推论)

例

x1x2x3015 已知 x1x2x30 有非零解, 求xxx0231.111(2)(1)02 解 D111, 故1或2. 19

a1b1a2a2b2a2anananbn 例16 计算Dna1a1(bi0). 解 采用加边法.10a1a1b1a1a111a1b100a20b20a2a2a2b2a2an0ananananbnt0a1b100a20b20an00bn Dn00

1100bn0

tbb1ana1a21bbbb2n12nb1b2bn

课后作业：习题一

8，9

第二章

矩阵及其运算 §2.1 矩阵

1.方程组由其系数和右端项确定

a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2 am1x1am2x2amnxnbma11a12a22am2a1na2nammb1b2bm

a21am1



2.矩阵

设mn个数a表

ij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成m行n列的数

a11a12a22am2a1na2namn

a21am1



用括号将其括起来, 称为mn矩阵, 并用大写字母表示, 即

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n, amn

简记为A(aij)mn.(1)方阵

(2)矩阵

(3)矩阵 aij

称为A的i行j列元素

(4)mn

称A为aijR

称A为实矩阵

(5)m1,n1 称A为行aijC

称A为复矩阵

(6)m1,n1 称A为列

零矩阵：所有元素都是0 的矩阵.100010010；对角矩阵 01000

单位矩阵 En200n

3.线性变换与矩阵

设变量y为

1,y2,,ym可由变量x1,x2,,xn表示y1a11x1a12x2a1nxny2a21x1a22x2a2nxn ymam1x1am2x2amnxn

称之为由变量x矩阵

A(aij)mn1,x2,,xn到变量y1,y2,,ym的线性变换, 它与是一一对应关系．

§2.2

矩阵的基本运算

同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵．

矩阵相等：设A(a

ij)mn,B(bij)mn, 若 , 称AB.aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n))mn,B(bij)mn

1.线性运算：A(a

加法：AB(aijijbij)mna11b11am1bm1a1nb1n amnbmn

数乘：kA(kaij)mnka11kam1)mnka1n kamn

负矩阵：A(1)A(a

减法：AB(abij)mnij

a1nb1namnbmnija11b11am1bm122



算律：设A,B,C为同阶矩阵，(1)

(2)

(3)

(4)

例1 ABBAk,l为常数, 则有

(5)1AA

(6)(kl)Ak(lA)

(kl)AkAlAk(AB)kAkB(AB)CA(BC)AOA

(7)

(8)

08, B552364 A(A)O231设A4

满足2AX

解 1B2X, 求X．

212X(B2A)3121

2.矩阵乘法：

q1q2qn

特殊情形 P1np1p2pn，Qn1

一般情形 PQp1q1p2q2pnqn

A(aij)ms,B(bij)sn

b1jb2jabababi11ji22jissjbsj

cijai1ai2ais

a11ABam1a1samsb11bs1b1nc11bsncm1c1ncmn

[注] A的列数 = B的行数．

AB的行数 = A的行数；AB的列数 = B的列数．

A与B的先后次序不能改变．

例2 3A01130，1B0021110，3AB01260231301

[注] BA无意义．

例3

1A122，1B111

1AB1BA10, BA100 0O [注] AB ；AO, B, 但是BAO．

算律：(1)

(2)

(3)

(4)(AmsBsn)CnlA(BC)Ams(BsnCsn)ABAC(AmsBms)CsnACBCk(AmsBsn)(kA)BA(kB)

则

nEmAmnA，AmnEnA

验证(1)设A(a

ij)ms,B(bij)sn,C(cij)nl，[(AB)C]ijaikbk1k1sc1jaikbknk1cnjst1saikbktctjk1

[A(BC)]ijai1nbc1ttjt1aisnbstctjt1nabcikkttjk1t1s

nt1saikbktctj[(AB)C]ijk1

(i,j)

a11a应用：A21am1a12a22am2a1nx1a2nx, x2amnxnb1b2bbmy1y2yym,，线性方程组的矩阵形式 Axb

线性变换的矩阵形式 yAx

3.方阵的幂：

Ann, k,l为正整数

A1A, Ak1AkA(k1,2,)

算律：(1)AkAlAkl

(2)(Ak)lAkl

101

例4 A20k, 求A(k2,3,)．

1101101102 解法1 A22020220

11110210110

A3A2A22020231110k

可以验证：Akk20

1 25

30

1 解法2

1A021101k20010k000k110BC0k

BCCB(BC)C2BkBkCCk1

OAk(BC)BkkBC

k1

112k1k10k01020010110000002k100

000

4.矩阵的转置：

a11a21Aam1a12a22am2(A)(kA)TT2kk01



a1na11a2na, AT12amna1na21a22a2nTam1am2amnATTT

算律：(1)

(3)

验证(4)

A kA

(2)

T(AmnBmn)(AmsBsn)TBT

T

(4)

BA

A(aij)ms, B(bij)snTT

ABC(cij)mn, BAD(dij)nm

左ijcjiaj1ajsb1iaj1b1iajsbsibsi

右

故

ijdijb1iaj1bsib1iaj1bsiajscjiajs

dijcji(i1,2,,n;j1,2,,m)，即(AB)TBTAT．

T

对称矩阵：指A满足AnnA26，即aijaji(i,j1,2,,n)

反对称矩阵：指A满足AnnTA，即aijaji(i,j1,2,,n)

5.方阵的行列式：指A(a的

行列

算律：(1)

(3)detATij)nn的元素按照原来的相对位置构成, 记作detA, 或者A．

(2)

(4)

det(lA)ldetA

nkdetAdet(AB)(detA)(detB)

detA(detA)k

[注] 方阵是数表, 而行列式是数值．

6.伴随矩阵：A(aa11a21Aan1a12a22an2*ijAnnBnnBA, 而det(AB)det(BA).)nn, detA中元素a的代数余子式为A．

ijij

*a1nA11a2nA，A*12annA1nA21A22A2nAn1An2Ann

重要性质：AAAA(detA)E

．

7.共轭矩阵：复矩阵A(a

算律：(1)

(3)

§2.3 逆矩阵

定义：对于Annij)mn的共轭矩阵记作A(aij)mn(AB)AB

(2)

(kA)kAT

T记作H(AB)AB

(4)

(A)(A)A , 若有Bnn满足ABBAE1, 则称A为可逆矩阵，且B为A的逆矩阵, 记作A

B．

定理1 若Ann为可逆矩阵, 则A的逆矩阵唯一．

证

设B与C都是A的逆矩阵, 则有

定理2

ABBAE，ACCAE

BBEB(AC)(BA)CECCAnnAnn为可逆矩阵为可逆矩阵1detA0；

A11detAA*．

证

必要性．已知A存在，则有

AA1EdeAtdeAt1deAt01

充分性．已知detA0，则有

AA*AA(detA)EA*AEdeAtdeAt1A*A*

*

由定义知A为可逆矩阵，且A [注]detA0时, 亦称A1detAA．

为非奇异矩阵；

detA0时, 亦称A为奇异矩阵．

推论1 对于A

证

nn, 若有Bnn满足ABE, 则A可逆, 且A1B．

ABEdetAdetB1detA0A可逆 , 则A可逆, 且A1A1A1EA1(AB)(A1A)BEBB

推论2 对于A

算律：

(1)Ann, 若有Bnn满足BAEB．

可逆1A1可逆, 且(AA1)1A．

1

对于A, 取B

(2)A, 有A1BAAE1k．

A1可逆, k0kA可逆, 且(kA)A11．

1

对于kA, 取B

1k, 有(kA)B(kA)(28

1kA)AA1E．

(3)Ann与Bnn都可逆B1ABA1可逆, 且(AB), 有

11B1A1．

对于AB, 取C

(4)(AB)C(AB)(BA1A1)A(BBT)A1E)T．

可逆TAT可逆, 且(A(A1)1(AT1．

1

对于A, 取B

(5)

(6)A)T, 有ABA(AT)T(A1A)TE．

可逆detA与Bnn11detA．

***Ann都可逆(AB)BA1．

1

证(AB)[det(AB)](AB)[(deBt)B01*[(detA)(detB)][B1A1]

][(deAt)A]BA1**

则有

负幂：A可逆, 定义A

例1

例2 设A 解 2El，klAk(A)k(k1,2,), AAA3A21klkl，(A)Ak

(k,l为整数)

4121131111014，A151*1A10550

nn满足A22A4EO，2求(A

E)1．

A2A4EOA2A3EE

应用：

(AE)(A3E)E(AE)1A3E

(1)n阶线性方程组求解

(2)求线性变换的逆变换

(3)矩阵方程求解

设A

Annxb, detA0xAyAnnx1b1

y，detA0xA

mm可逆，Bnn可逆, 且Cmn已知, 则

例3 AXCXAC11

XBCXCB

1AXBCXA1CB

1055设A22131016，2C23 满足AXC2X, 求X．

解

并项：

计算：(A2E)XCX(A2E)1

131223130751011C

1设A11511050111*412111 1

例4 满足A

*XA12X, 求X．

解

并项：

左乘A：

计算：

密码问题：

(A2E)XA1[(detA)E2A]XEdeAt4

X(4E2A)112(2EA)111041110011

a1, b2,c3, „ ,z02126

111

1A1021132 2121，A1

action：1, 3, 20, 9, 15, 14

167加密：A3442043，981A15521443

发出∕接收密码：67, 44, 43, 81, 52, 43

解密：A1671443 4320，A181952154314

明码：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

§2.4 分块矩阵

11A0011A00000000001120112010A111A21310B113

A12 A22

B2B3B4

用若干条横线与纵线将矩阵A划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵

为A的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵．

特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；

同列上的子矩阵有相同的“列数”．

1.加法：AA11As1A1rAsrmn，BmnB11Bs1B1rBsr

A11B11ABAs1Bs1A1rB1rAsrBsr

要求：A与B同阶, 且分块方式相同．

2.数乘：kAkA11kAs1kA1rkAsrA1tAstmn

B11Bt1B1rBtr

3.乘法：AmlA11As1，Bln

 32

CijAi1B1jAitAi1B1jAitBtjBtj

C11ABCs1C1rCsr

要求：A的列划分方式与B的行划分方式相同．

10A11B***100E0A211104201B111B210OE

例1

E B22

B11ABA21B11B21EA21B221121TA11AT1r024110330131T

4.转置：AmnA11As1A1rAsr，ATAs1TAsr

特点：“大转”+“小转”

5.准对角矩阵：设A,A,,A都是方阵, 记

12s

A1Adia(gA1,A2,,As)A2As

性质：(1)

(2)detA(detA1)(detA2)(detAs)A可逆Ai(i1,2,,s)可逆

(3)Ai(i1,2,,s)可逆A1A11A211As

例2 5A000320A11O1OA2

012013

A1A11O15O01A20

OB

例3 设A 解

mm与Bnn都可逆，Cnm，AMC, 求M．

1detM(detA)(detB)0M可逆

X1X3X1X2X3X4M1X1X3X2X4，ACOBX2EmX4OAOBB111OEn

AX1EmAX2OCX1BX3OCXBXE24n1

CA1

MA11BCAO1B

课后作业：习题二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第三章

矩阵的初等变换 §3.1 矩阵的秩

1.子式：在A原来的 mn中, 选取k行与k列, 位于交叉处的k个数按照

相对位置构成k阶行列式, 称为A的一个k阶子式, 记作D．

k

对于给定的k, 不同的k阶子式总共有C 2.矩阵的秩：在AmnkmCn个．

k中，若

r

(1)有某个r阶子式D0；

(2)所有的r1阶子式D

称rankO0 Ar1． 0（如果有r1阶子式的话）

r(A)r的秩为r, 记作rankAr, 或者

rankAmnmin{m,n} k0．规定：

性质：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)例1 2A21时rank(kA)rankA

TrankAAArankA

中的一个D中所有的D8212124r0rankAr

r10rankAr3123, 求r(A)．

解

位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式D

计算知, 所有的3阶子式D[注] Amn3222312300

0, 故r(A)2． , 若rankAm, 称A为行满秩矩阵；

若rankAn, 称A为列满秩矩阵．

Ann, 若rankAn, 称A为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）；

若rankAn, 称A为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．

§3.2 矩阵的初等变换

1.初等变换

行变换

列变换

① 对调

rirj

cicj

② 数乘(k0)kri kci

③ 倍加 rikrj cikcj

Amn经过初等变换得到Bmn, 记作AmnBmn．

2.等价矩阵：若

有限次AmnBmn, 称

Amn与

Bmn等价, AmnBmn．

(1)自反性：AA

(2)对称性：AmnBmnBmnAmn

(3)传递性：AmnBmn，BmnCmnAmnCmn

定理1 AmnBmnrankArankB．

证

只需证明1次AmnBmnrankArankB．

设rankAr, 仅证行变换之(3)的情形：

记作

irkriijAjkjBj

(1)若rmin{m,n}, 则有

Dr1不含ri(B)：D(B)r1Dr10(B)r1(A)

(A)(A)Dr1含ri(B), 不含r：DjjDr1kDr10倍加

D(B)r1含r, 且含r：Di(B)r1Dr10

(A)

故B中所有的r1阶子式D

kranBk, BAranArikrj(B)r10rankBrrankA

于是可得rankArankB．

(2)若rm或者rn, 构造矩阵

O O(m1)(n1)

AA1OOB, B1O(m1)(n1)Orikrj

由(1)可得A

1B1rankA1rankB1

ranAk1ranAkkranBkranAranBk1ranBk

其余情形类似．

例2 2A2131239636418212124, 求r(A)．

360140440 解 0A01行61行4040, 故r(A)2．

1行最简形：A00行310010000123041行230000103230223B0

1标准形：A00行与列00H0

定理2 若rankA0行A0mnr(r0), 则

b1irb2irbrir00***B00b1i1b1i2b2i1

：行阶梯形

0行A0[i1]101[i2][ir]00100

***H00

：行最简形

定理3 形． 若rankAmnr(r0)，Er则AOOO, 称为A的等价标准 推论1 若A 推论2 nn满秩, 则AEn．

． AmnBmnrankArankB§3.3 解线性方程组的消元法

例如

2x1x23x314x12x25x342x362x12x1x23x314x2x32x2x352x1x23x31x2x353x318(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

(2)2(1)(3)(1)

x19x21x63

(5)4(6)(5)(6)

解线性方程组的初等变换：(1)互换两个方程的位置(2)用非零数乘某个方程

(3)将某个方程的若干倍加到另一个方程

用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：

A2b42200行12011035212行4060313141311010125001

91 6

11行50180

方程组： a11a21am1a12a22am2b

a1na2namnx1b1x2b2 xbnm 或者

Axb

~A

增广矩阵：A

设rankAr, 且A的左上角r阶子式D10行~A0000100000100b1,r1b2,r1br,r100b1nb2nbrn00r0, 则

d1d2drdr10： 行最简形

Axb的同解方程组为

x1b1,r1xr1b1nxnd1xb2,r1xr1b2nxnd22xbxr1brnxndrr,r1r0dr1

(3.4)

若d

若dr10, 0, 则方程组(3.4)无解：rankA~~r1rrankArankA

r1则方程组(3.4)有解：rankAr方程组(3.4)成为

„，xndn

(1)

(2)rn时, x1d1, x2d2，是其唯一解

rn时, 方程组(3.4)成为

x1d1b1,r1xr1b1nxnx2d2b2,r1xr1b2nxnxrdrbr,r1xr1brnxn

一般解为

x1d1b1,r1k1b1nknrxd2b2,r1k1b2nknr2xrdrbr,r1k1brnknrxk1r1knrxn40

其中k

定理4

(1)

(2)1,k2,,knr为任意常数．

Amn，~AAb

~Axb有解rankArankA；

Axb有解时, 若rankAn, 则有唯一解；

若rankAn, 则有无穷多组解．

定理5(1)

(2)

课后作业：习题三

1, 2, 3, 4

例3 求解Ax1~A21100行Amnx0有非零解rankAnAnnx0有非零解detA0；

．

b，341A2146224234120011046232221 0，b422583

242200310

解

141051行803020001052 2

51行1000~ranAkranAk24Axb有无穷多解

x122x2x4x31x4

同解方程组：x1x2一般解：x3x4

22k1k21k1k2k2

（k1,k2为任意常数）

例4 求解Ax~A111b，111A1111111111，1b210

100121111

解 11101行121100110001

1010100

111行1012行1111(1)11

(1)

1

x21x1同解方程组：x3(1)x1x(1)(2)x14x1x2一般解：x3x41(1)kkk

（k为任意常数）

(1)(2)k

(2)1

1(x2x3x4)

同解方程组：xx1x2一般解：x3x41

1k1k2k3k1k2k3

（k1,k2,k3为任意常数）

例5 讨论方程组Ax

解

计算可得

(1)

b何时有唯一解, 无穷多解, 无解?

1A121111，3b44

detA(1)

0且1：根据Cramer法则, 方程组有唯一解．

(2)

0： 1~A100111131行40400011011行1043030101104313

(3)

ranAk2，~rankA3，故方程组无解．

1且0： 1~A11101行2101111110131行404121行1040101010110031行1041201011214

 1211212时, 时，~rankA3, rankA2, 故方程组无解． 故方程组有无穷多解．

~rankArankA23, §3.4 初等矩阵

定义

对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．

[注] 对单位矩阵进行一次初等列变换, 相当于对单位矩阵进行一次

同类型的初等行变换．因此, 初等矩阵可分为以下3类：

ErirjE01E10(i)ΔE(i,j)(j)E

1.43

2.EEkrikΔE[i(k)] E

(k0)

3.ErikrjEEcjkciE1Ek1(i)ΔE[i,j(k)] (j)E(i)ΔE[i,j(k)](j)E1Ek1

Amna11a21am1a12a22am21a1nia2njamnm，Amn1,,i,,j,,n

性质1

1jEm(i,j)Aim，1kiEm[i(k)]Ajm，iEm[i,j(k)]Akjjm1

因此可得：对A进行一次初等行变换, 相当于给A左乘一个

同类型的初等矩阵．（定理6的结论之一）

性质2

AEn(i,j)1,,j,,i,,n  AEn[i(k)]1,,ki,,j,,n 44

AEn[i,j(k)]1,,i,,jki,,nB3

cjkciΔ

注意：AB3

因此可得：对A进行一次初等列变换, 相当于给A右乘一个

同类型的初等矩阵．（定理6的结论之二）

性质3

定理7 AnndetE(i,j)1，[E(i,j)]1E(i,j)

1detE[i(k)]k0, detE[i,j(k)]1，[E(i(k))]E[i(1k)]

[E(i,j(k))]1E[i,j(k)]

可逆A可以表示为有限个初等矩阵的乘积．

AEn，证

必要性．已知detA0, 则A满秩

P1,,Ps故存在初等矩阵

及Q1,,Qt, 使得，AP1PsQtQ11111PsP1AQ1QtEn1

而P与Q都是初等矩阵．

i1j

充分性．显然成立．

矩阵求逆方法之二（初等行变换法）：

deAtnn0AP1P2Ps

（P都是初等矩阵）

i1111PsP2P1EAPsP2P1AE111



PsP2P1111AEEA1

由此可得：对n2n矩阵A

E

施行“初等行变换”，当前n列

（A的位置）成为E时，则后n列（E的位置）为A．

1

例6 1A2121332, 4213213010324求A．

1

解 A1E21100行1003140001001行00101001111231010010341121111010315111001001

213

1226501行100011行4030

100行0012651111143

故A12651431001a．

例7 1aA2a3a1aa21a01aa2, 求A．

1

解 A1aE2a3a***00001

依次作初等行变换

10E00010000100001r4ar3，r3ar2, r2ar1可得

1a0001a0001a

A00 01 46

故 A11a1a1a1．

定理8 设Amn,Bmn, 则AmmB , 使得PAQB

存在可逆矩阵P

证

必要性．已知A等

矩阵Q1和Qnn．

1B, 则存在m阶初等矩阵P,,Ps和n阶初,,Qt, 使得PsP1AQ1QtB, 令

则有PAQ

充分性．已知PAQ为

PP1,,Ps，QQ1,,Qt

BB． , 则由定理7知，P和Q都可以表示

有限个初等矩阵的乘积, 即

故P

第四章

向量组的线性相关性 §4.1 向量及其运算

1．向量：n个数a

1sPP1,,Ps，QQ1,,QtB

P1AQ1QtB, 也就是A． ,a2,,an构成的有序数组，47

记作(a1,a2,,an)，称为n维行向量．

ai–– aiR称为向量的第i个分量

–– 称为实向量（下面主要讨论实向量）称为复向量 aiC––

零向量：(0,0,,0),a2,,an)

负向量：()(a 2．线性运算：

相等：若a

加法：i1(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn)

bi(i1,2,,n), Δ称．

(a1b1,a2b2,,anbn)

Δ

数乘：k(ka

减法： 3．算律：

(1)

(2)Δ1,ka2,,kan)

()(a1b1,a2b2,,anbn)(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn), (c1,c2,,cn)



(5)

(6)

1

()()k(l)(kl)

(3)

(4)

(7)

(8)

k()kk(kl)kl()

4．列向量：n个数a1,a2,,an构成的有序数组，a1a2记作an，或者(a1,a2,,an)T, 称为n维列向量．

00零向量：0

a1a2负向量：()an

5．内积：设实向量

(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn)，称实数

[,]a1b1a2b2anbn为与的内积．

算律：(a1,a2,,an), (b1,b2,,bn), (c1,c2,,cn)

(1)[,][,]

(2)[k,]k[,]

（k为常数）

(3)[

(4),][,][,]2 时，[,]0． 时, [,]0；(5)[,]证(5)[,][,]

tR, 由[t,t]0可得

[,]2[,]t[,]t20

04[,]4[,][,]0[,][,][,]

6．范数：设实向量, 称实数

性质：(1)

(2)

(3)

(4)

证(3)

[,]为的范数．

k时, 0；时, 0．

k

(kR)

2

[,][,]2[,][,]

证(4)

222

2,()



[,]() 7．夹角：设实向量,, 称

arccos(0)

为与之间的夹角．

正交：若[,]0, 称与正交, 记作．

(1)

(2)

单位化：若

§4.2 向量组的线性相关性

1．线性组合：对n维向量及

1,时, 2；

或时, 有意义, 而无意义．

1, 称0为与同方向的单位向量． ,,m, 若有数组k11,,km使得

k11kmm,,m, 称为,,m的线性组合，或可由例1 1110, 2111411线性表示．，4531，3311

判断可否由解

设4,2,3线性表示? k11k22k33，比较两端的对应分量可得

第二篇：数值线性代数课设课件资料

数值线性代数课程设计报告

姓名:陶英 学号:081410124

任课教师:杨熙

南京航空航天大学

2016 年 6 月 22日

求解线性方程组的三种迭代法及其结果比较

摘要

当今的环境下，数值计算越来越依赖于计算机。大规模科学计算和工程技术中许多问题的解决，最终归结为大型稀疏线性方程组的求解，其求解时间在整个问题求解时间中占有很大的比重，有的甚至达到80%。由于现今科学研究和大型项目中各种复杂的可以对计算精度和计算速度的要求越来越高。因此，作为大规模科学计算基础的线性代数方程组的高效数值求解引起了人们的普遍关注。这种方程组的求解一般采用迭代法。

关于迭代法，是有很多种解决公式的：Jacobi，G-S和超松弛迭代法。这三种方法的原理大致相同，Jacobi需要给定初向量，G-S则需要给定初值，超松弛法是对Guass-Seidel迭代法的加权平均改造。而本文则是对大型稀疏线性方程组迭代求解与三种迭代法（Jacobi，Gauss-Seidel和超松弛迭代法）的收敛速度与精确解的误差比较做出研究。

关键词：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；线性方程组 方法与理论的叙述

1.1迭代法简介

1.Jacobi迭代法：

对于非奇异线性方程组Ax=b，令A=D-L-U，其中

则原方程组可改写为：

其中

给定初始向量：

由（2.2）可以构造迭代公式：

其分量形式为：

2.2）（2.Guass-Seidel迭代法： 类似于Jacobi迭代法，给定初值：

令

则得到Guass-Seidel公式：

其分量形式为：

3.超松弛迭代法（SOR 迭代法）：

SOR迭代法是对Guass-Seidel迭代法的加权平均改造，即

为Guass-Seidel迭代解，即

它的分量形式为：

其中ω称为松弛因子，当ω>1时称为超松弛；当ω<1时叫低松弛；ω=1时就是

Guass-Seidel迭代。

上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于1。

谱半径不易求解，而在一定条件下，通过系数矩阵A的性质可判断迭代法的收敛性。定理1：

若系数矩阵A是严格对角占优或不可约对角占优，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。定理2：

（1）SOR迭代法收敛的必要条件是0

（2）若系数矩阵A严格对角占优或不可约对角占优且0

2.1问题

考虑两点边值问题：

d2ydya,0a12 dxdxy(0)0,y(1)1.1a(1e)ax 容易知道它的精确解为：y1/1ex为了将微分方程离散，把[0,1]区间n等分，令h=1/n，xiih,i1,2,...n1，得到差分方程

(h)yi1(2h)yiyi1ah2，从而得到迭代方程组的系数矩阵A。

对=1，a=1/2,n=100,分别用jacobi，G-S，超松弛迭代法分别求线性方程组的解，要求4位有效数字，然后比较与精确解的误差。

对=0.1，=0.01，=0.001，考虑同样问题。

1.方程的表示及存储

由于本题中线性方程组的系数矩阵为三对角矩阵，所以可以采用紧缩方法存储，即

然后在矩阵乘法时对下标处理一下即可。但是考虑到三种迭代方法的一般性，且本题中n=200并不是很大，所以实验中并没有采用紧缩存储，而是采用了直接存储。2.边值条件的处理

由于差分得到的方程组的第一行和最后一行中分别出现了边值y(0)与y(1)作为常数项，因此要在常向量的第一项和最后一项作一些修改：

3.迭代终止条件

首先确定要求的精度tol，我们希望当

则停止迭代。对于迭代格式，若

且，则迭代序列的

第k 次近似解和精确解之间有估计式由题目要求知我们需要有

。，而由上面的迭代估计，只要，即取为，因此最后令迭代终止条件为

即可。而本题中q可近似

4.SOR 迭代中最佳松弛因子的选取

由于SOR 迭代法的效果和其松弛因子w的选取有关，所以有必要选取合适的松弛因子。当选择最佳松弛因子

时，SOR 方法的迭代速度最快。

Matlab实现：

迭代矩阵是n-1阶的，不是n阶；

等号右端向量b的最后一项，不是ah^2，而是ah^2-eps-h

2.2精确解

1ay(1e)ax 1/1ex带入a=1/2,=1 代码： >> clear >> x=linspace(0,1);truy=(1-0.5)/(1-exp(-1/1))*(1-exp(-x./1))+x.*0.5;figure;plot(x,truy,'g','LineWidth',1.5);hold on;Grid

图：

2.3三种迭代法

Jacobi法：代码见附录 Eps=1 结果：

迭代次数k：22273 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.1 结果：

迭代次数k：8753 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.01 结果：

迭代次数k：661 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

G-S迭代法：代码见附录 Eps=1 结果：

迭代次数k：11125 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.1 结果：

迭代次数k：4394 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.01 结果：

迭代次数k：379 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

超松弛法：代码见附录 Eps=1 w=1.56 结果：

迭代次数k：3503 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.1 w=1.56 结果：

迭代次数k：1369 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）

Eps=0.01 w=1.56 结果：

迭代次数k：131 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）分析讨论及心得体会

3.1三种方法的比较

Jacobi、G-S、超松弛法，三者都能够取得对精确解的良好逼近，但是，在相同的精度条件下，三者的收敛速度是不一样的，jacobi

3.2心得体会

这次课程设计，平时感觉挺简单的那些枯燥单调的代码和数学公式，真正到了自己运用的时候却无从下手，但是，解决问题的过程恰是不断学习的过程：数学算法转换为代码的过程要对题目有深入的了解，然后对程序函数定义还要有一定的掌握能力，通过这个的过程让我巩固了自己的数学知识，对数学专业知识和MATLAB的操作有了更深的体会。

课程设计中遇到的问题只凭自己苦思冥想是不能全部解决的，这是同学老师的建议和网络给了我很大的帮助。遇到自己解决不了的问题时，多多向老师同学请教，或许问题就能迎刃而解。

4参考文献

[1]徐树方.数值线性代数.北京:北京大学出版社,1995.[2]马昌凤.现代数值分析.北京:国防工业出版社.2013.[3]刘春凤,米翠兰.实用数值分析教程.北京冶金工业出版社.2006

5附录

源代码

1.Jacobi：

function [y,k]=jacobi2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end

for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end

for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end

if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end

end end

b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end

b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end

L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end

end end

U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i

end end

B=D(L+U);g=Db;while 1 z=B*y+g;if norm(z-y,inf)

y=z;k=k+1;end

x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;grid hold on;plot(y,'b')

2.G-S: function [y,k]=gs2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end

for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end

for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end

if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end

end end

b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end

b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end

L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end

end end

U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i

end end

B=D(L+U);g=Db;while 1 z=(D-L)U*y+(D-L)b;if norm(z-y,inf)

y=z;k=k+1;end

x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;grid hold on;plot(y,'b')

3.SOR：

function [y,k]=sor(a,eps,h,delta,w)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0;end end

for i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);end

for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i==j+1 A(i,j)=eps;end if i==j-1 A(i,j)=eps+h;end

end end

b=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h^2;end

b(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);end

L=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i>j L(i,j)=-A(i,j);end

end end

U=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i

end end

B=D(L+U);g=Db;Lw=((D-w*L)^-1)*((1-w)*D+w*U);while 1 z=Lw*y+w*(D-w*L)^-1*b;if norm(z-y,inf)

y=z;k=k+1;end

x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;grid hold on;plot(y,'b')

第三篇：线性代数学习心得

线性代数学习心得 各位学友好！

首先让我们分析一下线性代数考试卷（本人以1999年上半年和下半年为例）

我个人让为，先做计算题，填空题，然后证明题，选择题等（一定要坚持先易后难的原则，一定要。旁边有某些同志说：“这些都是屁话，我们都知的快快转入正题吧！”）

把选择题第8题拉出来让大家看看

n(n>1)阶实对矩阵A是正定矩阵的充份必要条件是（）

A．A是正定二次型f(x)=x(A)x的矩阵

B．A是各阶顺序主子式均大于等于零（书本的p231定5.9知，大于零就可以了，明显也是错的）

C．二次型f(x)=xTAx的负惯性指数为零

D．存在n阶矩阵C，使得A=CTC（由书本的P230知，存在非奇异N阶矩阵C，使A=CTC)很明显，这个选择是错了）

各位学友在做选择题时要仔细呀！

证明题

先讲1999年下半年

设A，B，C均为n阶矩阵，若ABC=I,这里I为单位矩阵，求证：B为可逆矩阵，且写出的逆矩阵？

证的过程：己知ABC=I，|ABC|=|I|不等于零，|A|*|B|*|C|不等于零，得出|B|不等于零。所以B是可逆矩阵。

求其逆矩阵，ABC=I，两边同时右乘C-1得AB=C-1,接下来左乘以A-1得B=A-1C-1，最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位学友有没有更简便的方法谢谢告之）

对这题做后的心得，本人认为一定要记得，a逆阵可逆的充分必要条件是行列式|a|不等零（切记，还有如ab=i,那么a-1=b）

对了还有，在求解逆矩阵，最简单方法是用初等行变换

公式法吗！容易出错，只适合求解比较特殊的

下面这些是相关的证明题

设B矩阵可逆，A矩阵与B矩阵同阶。且满足A2+AB+B2=O，证明A和A+B都是可逆矩阵？（相信大家都能做出）

己知i+ab可逆，试证I+BA也可逆？

接下来看看1999年上半年的

设n阶方阵A与B相似，证明：A和B有相同的特征多项式？

应搞清楚下面的概念

什么是特征多项式呢（1）

什么是特征值呢（2）

什么还有特征向量（3）

什么是相似矩阵（4）

λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；|λI-A|=0称为A的特征矩阵，而由些求出的全部根，即为A的全部特征值。

对每一个求出特征值λ，求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1,&2,&3...&s,则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中，k1...ks不全为零）

相似矩阵：设A，B都是n阶方阵，若存在n阶可逆阵p，使得p-1ap=b,则称A相似于B，记为A~B(相拟矩阵有相同的行列式，相同的秩，相同的特征值）

我觉得有这么一题使终我还是一知半解的，拉出来让大家看看：

设A为4阶方阵，A*为A的伴随矩阵，若|A|=3，则|A*|=?,|2A*|=?

这题答案是27，432

怎么算的呢？这个具体我也不太清楚，我是用自己的方法，|A|N-1=|A*|,这个N代表多少阶，如是4阶那么3^3=27,后面那个，切记：把2提出行列式以外，看A是几阶行列式，4阶就提4次，2^4*3^3=432(可能书上不是这样的，我只是根据其习题答案推论出来的）

应注意的问题：区为行列式和矩阵之间的区别，特别是用一个不为零的数K乘以行列式或矩阵，前者只是乘以某一行或列，后者则是每一个元素都要乘！

很容易搞不零清的：线性相关或无关和什么情况下线性方程组有解或无解，还有什么极大无关组，基础解系，特征值，多项式，特征向量，相似矩阵有哪些性质，正交矩阵的充分心要条件，二次型化成标准型。

第四篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

第五篇：线性代数试卷

线性代数试题

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════