换元积分法 高数课件精心整理（共5篇）

第一篇：换元积分法 高数课件精心整理

换元积分法换元积分法

二、第二换元积分法11xdx对积分f(x)dx不易计算时,作适当变换x=φ(t),困难有根式于是有2f(x)dxf((t))(t)dt(t)(t)dtt1(x)解决方法消去根式,令t则dx2tdtx,即xt(t0)2tdt1t1112dtdx2dtdt1t1t1x1t化为不定积分f((t))(t)dt计算,积分后再将t=φ-1(x)代入.其中φ-1(x)是x=φ(t)的反函数.t2tdt2t2ln(1t)C2x2ln(1x)C回代4-1-344-1-35 换元积分法换元积分法定理设x=φ(t)是单调可导函数,且φ′(t)≠0,又设f[φ(t)]φ′(t)具有原函数,则有换元公式例求a2x2dx(a0)解令xasintdxacostdtf(x)dxf[(t)](t)dtt1(x)a2x2dx第二类换元公式（变量替换法）变量替换法a2cos2tdtaa21(tsin2t)C22xxarcsinaat,22a2a2sin2tacostdt辅助三角形21cos2t2dt2a回(tsintcost)C代2a2xx2ax2Carcsin2a24-1-36a2x2aata2x2x4-1-37 换元积分法换元积分法解dx4x291xa22dxln(xx2a2)C相仿地,通过变换xasecx可算出dxdx(2x)2324x29122dxln|xxa|C22xa利用相应的三角变换,还可得到重要公式1d(2x)2(2x)2321ln2x4x29C2x2a2dxxa222xaln|xx2a2|C224-1-394-1-40 换元积分法例求x51x2换元积分法dx.xtant（三角代换很繁琐）2解令t1x,x2t21,xdxtdt,22x4xdx(t1)tdtt1x2x51x2dx1t1dx例求x(x72)11dx2dt解法一令xtt倒代换x12t42t21dtt5t3tC531(84x23x4)1x2C15回代x(xdx72)12t711d(12t)ln|12t7|C7141412t11ln|2x7|ln|x|C回代14271tt1dt2dt12t7t64-1-414-1-42 换元积分法法二xx(x72)dxx7(x72)dxdu1dx7ux71777x(x2)7u(u2)16x(x72)dx1换元积分法法三x(x72)dx12x7x7dx2x(x72)1x(x72)dx111111u2udududu14uu272u(u2)1lnulnu2C14回代11ln|2x7|ln|x|C142还有别的方法吗？4-1-43111x6dx7dx2x2x2111d(x72)ln|x|714x2211ln|x|ln|2x7|C2144-1-44 换元积分法换元积分法1如:倒代换x对如下形式t例求x41dxx21（分母的阶较高）xx2dxa2x2dxx2a2xdx2a2x2xdxx2a2x2a2dxx4解令xa2x2dxx4x411dx2dttt111dx2dt242x1t111tt1t2t3dt2dt221t1t2都适用.ut24-1-454-1-46 换元积分法换元积分法1例求(13x2)dx2解令xt32dx3tdt213t13x2dx(1t)dt例求1dxx(13x)6解令xtdx6t5dt6t56t21x(13x)dxt3(1t2)dt1t2dt13(t1)dt1t13[ttln|1t|]C213[3(x2)23x2ln|13x2|]C24-1-481t21161dt6dt1t21t26[tarctant]C6[6xarctan6x]C4-1-49 换元积分法换元积分法例求11exdx11xadxlnCx2a22axa(16)基(17)本积(18)分表(19)(2)tanxdxlncosxCcotxdxlnsinxCsecxdxln(secxtanx)C解令t1ex,ext21,xln(t21),dx2tdt.t2112dx2dtlnt1Ct11ext12ln(1ex1)xCcscxdxln(cscxcotx)C11xdxarctanCa2x2aa(20)回代4-1-504-1-51

换元积分法换元积分法11xa(21)2lnC2dx2axaxa11ax(22)2dxlnC2aaxax2(23)(24)(25)x21xdxarcsinC22aax122dxln(xxa)C22xax2a2dx222下列各题求积方法有何不同?xdxd(4x)dx1d(2)(2)(1)4x221(x)24x4x2x1d(4x2)(3)dx4x224x2希望自己添加!x241(4)dx4x2]dx4x2dx111(5)dx24x42x2x(6)dx4xx2axaln|xx2a2|C24-1-52d(x2)4(x2)24-1-53换元积分法换元积分法

三、小结两类换元积分法第一换元积分法:凑微分第二换元积分法:三角代换、倒代换、根式代换熟记基本积分表(2)思考题求积分(xlnx)p(lnx1)dx.解p(xlnx)(lnx1)dxd(xlnx)(1lnx)dx(xlnx)pd(xlnx)(xlnx)p1C,p1p1p1ln(xlnx)C,4-1-544-1-55 定积分的概念与性质换元积分法

五、定积分的性质对定积分的补充规定思考题求积分(xlnx)p(lnx1)dx.解(xlnx)p(lnx1)dxd(xlnx)(1lnx)dx(1)当ab时,(2)当ab时,af(x)dx0b(xlnx)pd(xlnx)af(x)dxbabf(x)dx(xlnx)p1C,p1p1p1说明ln(xlnx)C,在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．4-1-555-1-16 定积分的概念与性质性质1证[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxaaabbb定积分的概念与性质性质2证a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi0i1nnbakf(x)dxkf(x)dxabb(k为常数)kf()xakf(x)dxlim0ii1nnbnilimf(i)xilimg(i)xinlimkf(i)xiklimf(i)xi0i10i1f(x)dxg(x)dxaa(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)0i1b0i1bkf(x)dxab性质1和性质2称为线性性质.5-1-175-1-18 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质3假设acbbbcaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx补充不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.性质4ab1dxdxbaab性质5如果在区间[a,b]上f(x)0,则af(x)dx0nb(ab)例若abc则acf(x)dxf(x)dxf(x)dxabcb证f(x)0f(i)0i1i1,2,,nabf(x)dxf(x)dxbf(x)dxf(x)dxf(x)dxacacccxi0nf(i)xi0bbmax{x1,x2,,xn}limf(i)xiaf(x)dx00i15-1-195-1-20(定积分对于积分区间具有可加性)定积分的概念与性质性质5的推论1则性质5如果在区间[a,b]上f(x)0,b则f(x)dx0(ab)a性质5的推论2b性质5如果在区间[a,b]上f(x)0,b则f(x)dx0(ab)a如果在区间[a,b]上f(x)g(x),abbf(x)dxg(x)dx(ab)abaf(x)dxa|f(x)|dx证bbb(ab)b由推论1证f(x)g(x)g(x)f(x)0a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dxa[g(x)f(x)] dx0g(x)dxf(x)dx0bbaaabf(x)dx|f(x)|dxab说明|f(x)|在[a,b]上的可积性是显然的.于是abf(x)dxg(x)dxa5-1-22b5-1-23 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质6设M和m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值及最小值.则m(ba)b性质7(定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一点,使下式成立:af(x)dxM(ba)af(x)dxbbf()(ba)(ab).证mf(x)Mm(ba)f(x)dxM(ba)积分中值公式证abamdxaf(x)dxaMdxbabbm1bf(x)dxMbaam(ba)f(x)dxM(ba)由闭区间上连续函数的介值定理:在[a,b]上至少存在一点ξ,使f()即5-1-241bf(x)dxbaaaf(x)dxbf()(ba)(ab).5-1-25

第二篇：高数课件-函数极限和连续

一、函数极限和连续自测题

1,是非题

（1）无界变量不一定是无穷大量

（）（2）若limf(x)a，则f(x)在x0处必有定义

（）

xx012x（3）极限lim2sinxlimx0

（）

xx33x2，选择题

（1）当x0时，无穷小量1x1x是x的（）A．等价无穷小

B.同阶但不等价

C.高阶无穷小

D.低价无穷小

x11x0（2）设函数f(x)，则x0是f(x)的（）x0x0A.可去间断点 B.无穷间断点

C 连续点

D 跳跃间断点

exx0（3）设函数f(x)，要使f(x)在x0处连续，则a

（）axx0A.2

B 1

C 0

D 1

3n25n1

（）（4）lim2n6n3n2A 151

B 

C 

D  2321xsinx0x(5)设f(x)，则在x0处f(x)

（）

1sinx1x0xA 有定义

B 有极限

C 连续

D左连续

3(6)x1是函数yx1的（）x1A 可去间断点

B 无穷间断点

C 连续

D跳跃间断点

3.求下列极限

（1）limxxsinxsin(2x)x23

（2）lim

（3）lim

x0x12xln(12x)x1e2x1（4）lim

（5）limn[ln(1n)lnn]

（6）lim(sinn1sinn)

nnx0x2x3x2(sinx3)tanx2lim()(7)lim

(8)

（9）limx(x1x)x2x1x01cosx2xcosxcosaarctanxexex0（10）lim

(11)lim

（12）lim

xaxxx0xxxax0x232x21sin(x1))（13）lim

（14）lim(2

xx1x1x24，求满足下列条件的a,b的值

1x2xab

（2）lim(3xax2x1)（1）limxx26x2tanaxx0axb2

(4)已知f(x)x（3）lim且limf(x)存在

x0x1x2x2x0x122（5）已知f(x)xaxb1x1在(,)内连续

2x1sin2xe2ax1x0(6)函数f(x)在x0点连续 xax05．求下列函数的间断点并判断其类型

x1x11cosxx21（1）y2

（2）y

（3）f(x)

sinxx3x23xx11x0x（4）f(x)ex1

（5）y

tanxln(1x)1x026.已知x1时，xax5x1是同阶无穷小，求a

7.证明方程x4x20在区间(1,2)内至少有一个根 8.当x0时，eln(1x)1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)a,(a0,a1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)f(n)]

nn2

第三篇：高数论文

高数求极限方法小结

高等数学是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科。在从初等数学这种静态的数量关系的分析到高等数学这种对动态数量关系的研究这一发展过程中,研究对象发生了很大的变化。也正是在这一背景下,极限作为一种研究事物动态数量关系的方法应运而生。极限，在学习高数中具有至关重要的作用。众所周知,高等数学的基础是微积分,而极限又是微积分的基础,我们不难从此看出极限与高等数学之间的相关性。同时根限又将高等数学各重要内容进行了统一,在高等数学中起到了十分重要的作用。极限的概念是高等数学中最重要也是最基本的概念之一。作为研究分析方法的重要理论基础,它是研究函数的导数和定积分的工具,极限的思想和方法也是微积分中的关键内容。在理解的基础上,熟练掌握求极限的方法,能够提高高等数学的学习能力。下面，我总结了一些求极限的方法：

一、几种常见的求极限方法

1、带根式的分式或简单根式加减法求极限：

1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置。）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式。

2、分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：

分子分母同时除以该无穷大量以凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3、等差数列与等比数列求极限：用求和公式。

4、分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和。

5、分子分母都是未知数的不同次幂求极限:看未知数的次幂，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6、利用等价无穷小代换： 这种方法的理论基础主要包括：（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小。

（有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（3）非零无穷小与无穷大互为倒数。（等价无穷小代换（当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷代替。）（5）只能在乘除时使用，但并不是在加减时一定不能用，但是前提必须证明拆开时极限依然存在。）还有就是，一些常用的等价无穷小换

7、洛必达法则：（大题目有时会有提示要你使用这个法则）

首先它的使用有严格的前提！！！！

1、必须是X趋近而不是N趋近！！！（所以当求数列极限时应先转化为相应函数的极限，当然，n趋近是x趋近的一种情况而已。还有一点，数列的n趋近只可能是趋近于正无穷，不可能是负无穷）

2、必须是函数导数存在！！！（假如告诉你g（x），但没告诉你其导数存在，直接用势必会得出错误的结果。）

3、必须是0/0型或无穷比无穷型！！！当然，还要注意分母不能为零。洛必达法则分为三种情况： 1、0/0型或无穷比无穷时候直接用 2、0乘以无穷

无穷减无穷（应为无穷大与无穷小成倒数关系）所以，无穷大都写成无穷小的倒数形式了。通项之后就能变成1中的形式了。3、0的0次方

1的无穷次方

对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还是对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来，就是写成0与无穷的形式了。

（这就是为什么只有三种形式的原因）

8.泰勒公式

（含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候，特别要注意！！！）

E的x展开 sina展开 cosa展开 ln（1+x）展开 对题目简化有很大帮助

泰勒中值定理：如果函数f（x）在含有n的某个区间（a，b）内具有直到n+1阶导数，则对任意x属于（a，b），有：

F（x）=f（x0）+

+

+

…………

+

+Rn(X)

其中Rn(X)=。。。。。这里的 ke see 是介于x与x0之间的某个值。

9、夹逼定理

这个主要介绍的是如何用之求数列极限，主要看见极限中的通项是方式和的形式，对之缩小或扩大。

10、无穷小与有界函数的处理方法

面对复杂函数的时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定注意用这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道他的范围结果就出来了！！！

11、等比等差数列公式的应用（主要对付数列极限）

（q绝对值要小于1）

12、根号套根号型：约分，注意！！别约错了

13、各项拆分相加：（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数。

14、利用两个重要极限

这两个极限很重要。。对第一个而言是当X趋近于0的时候sinx比上x的值，第二个x趋近于无穷大或无穷小都有对应的形式

15、利用极限的四则运算法则来求极限

16、求数列极限的时候可以将其转化为定积分来求。

17、利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限

（1）、单调有界数列必有极限

（2）、单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限。

18、直接使用1求导的定义求极限

当题目中告诉你F（0）=0，且F（x）的导数为0时，就暗示你一定要用导数的定义：、（1）、设函数y=f（x）在x0的某领域内有定义，当自变量在x在x0处取得增量的他x 时，相应的函数取得增量 的他y=f（的他x+x0）-f（x0）。如果 的他y与 的他x之比的极限存在，则称函数y=f（x）在x0处可导并称这个极限为这个函数的导数。

（2）、在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等。

19、数列极限转化为函数极限求解

数列极限中是n趋近，面对数列极限时，先要转化为x趋近的情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种形式而已，是必要条件。（还有数列的n当然是趋近于正无穷的）

第四篇：高数感悟

学高数感悟

又是一年开学季，我的大一成了过去式，回想大一学习高数的历程，真是感触颇多。大一刚开始学习高数时，就发现与高中截然不同了，大学老师一节课讲的内容很多，速度也很快，我课上没听懂的打算以后找时间再问的，然而不懂的越积越多，能问的时间越来越少。于是期中考只得了二十来分，那时感到害怕极了，感觉期末会挂高数了。但我可不想轻言放弃，于是剩下的半学期，我很认真的对待起高数来。

首先，我开始主动预习课前的内容，然后课上认真听，尽力不让自己睡着，积极标注老师讲的重点，有时没时间预习，就课后看一遍当天讲的内容。看到不懂的题做出了记号，接着就是找时间问同学，这一点真是不容易，有时一道题得问两三个同学才解出来，当然也有些题得问老师才行。问完后，自己又做一遍，真是简单了不少。然后平时的作业也好好做了，尤其是到临近期末时，我更是积极做题，四套模拟练习卷子都写了，应该是能写的都写了。很多题都是自己去找书上近似的题来思考来仿照方法写的。花费的时间可不少，两三个星期的晚上，有时在图书馆，有时在自习室。最后则是参加了老师的答疑，与同学讨论不懂的题型。

功夫不负有心人，最终我的高数是顺利过了，虽然分不高，但也有超高的喜悦感和成就感。现在想想，大学里的课都应重视，只要认真对待，总能学到东西的，只要认真对待，总会过的。

第五篇：高数竞赛（本站推荐）

高数

说明：请用A4纸大小的本来做下面的题目（阴影部分要学完积分之后才能做）

第一章 函数与极限

一、本章主要知识点概述

1、本章重点是函数、极限和连续性概念；函数是高等数学研究的主要对象，而极限是高等数学研究问题、解决问题的主要工具和方法。高等数学中的一些的重要概念，如连续、导数、定积分等，不外乎是不同形式的极限，作为一种思想方法，极限方法贯穿于高等数学的始终。

然而，极限又是一个难学、难懂、难用的概念，究其原因在于，极限集现代数学的两大矛盾于一身。（1）、动与静的矛盾：极限描述的是一个动态的过程，而人的认识能力本质上具有静态的特征。（2）无穷与有穷的矛盾：极限是一个无穷运算，而人的运算能力本质上具有有穷的特征。极限就是在这两大矛盾的运动中产生，这也是极限难学、难懂、难用之所在。

连续性是高等数学研究对象的一个基本性质，又往往作为讨论函数问题的一个先决条件，且与函数的可导性、可积性存在着不可分割的逻辑关系。

2、从2001年第一届天津市大学数学竞赛至今共八届竞赛试题分析，函数极限及其连续性在有的年份占了比较大的比重，连续性、极限与导数、积分等综合的题目也要引起足够的重视；从最近几年的考题也可以看出，有个别题目是研究生入学考试题目的原题，如2004年竞赛试题二为1997年研究生入学考试题目；2006年竞赛试题一为2002年研究生入学考试试题；2005年竞赛试题一为1997年研究生入学考试试题等，这也从侧面反映了部分试题难度系数。

二、证明极限存在及求极限的常用方法

1、用定义证明极限；

2、利用极限的四则运算法则；

3、利用数学公式及其变形求极限；（如分子或分母有理化等）

4、利用极限的夹逼准则求极限；

5、利用等价无穷小的代换求极限；

6、利用变量代换与两个重要极限求极限（也常结合幂指函数极限运算公式求极限）；（2）利用洛必达法则求极限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求极限；

8、利用函数的连续性求极限；

9、利用导数的定义求极限；

10、利用定积分的定义求某些和式的极限；11先证明数列极限的存在（常用到“单调有界数列必有极限”的准则，再利用递归关系求极限）

12、数列极限转化为函数极限等。当然，这些方法之间也不是孤立的，如在利用洛必达法则时经常用到变量代换与等价无穷小的代换，这大大简化计算。

对于定积分的定义，要熟悉其定义形式，如

（二）高数

极限的运算

要灵活运用极限的运算方法，如初等变形，不仅是求极限的基本方法之一，也是微分、积分运算中经常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角变换、求和等。

高数

高数

高数

（四）连续函数的性质及有关的证明、极限与导数、积分等结合的综合性题目。

16、（2006年数学一）

（五）无穷小的比较与无穷小的阶的确定常用工具——洛必达法则与泰勒公式。

高数

（六）由极限值确定函数式中的参数

求极限式中的常数，主要根据极限存在这一前提条件，利用初等数学变形、等价无穷小、必

达法则、泰勒公式等来求解。

高数

四、练习题

高数

高数

高数

高数

五、历届竞赛试题

2001年天津市理工类大学数学竞赛

2002年天津市理工类大学数学竞赛

2003年天津市理工类大学数学竞赛

高数

高数

2004年天津市理工类大学数学竞赛

2005年天津市理工类大学数学竞赛

高数

2007年天津市理工类大学数学竞赛

高数

2010年天津市大学数学竞赛一元函数微分学部分试题

一、填空

注：本题为第十届（1998年）北京市大学数学竞赛试题

二、选择

三、计算

四、证明

高数

首届中国大学生数学竞赛赛区赛（初赛）试题2009年

一、填空

二、计算