【精品分析】山东省济南市2021-2022学年中考数学模仿试题（一模）
（原卷版）
一、选一选（本题共48分，每小题4分）上面各题均有四个选项，其中只要一个是符合题意的．
1.16的算术平方根是（）
A.4
B.-4
C.D.8
2.中国挪动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（）
A.1.26×106
B.12.6×104
C.0.126×106
D.1.26×105
3.从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（）
A
B.C.D.4.如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）
A.30°
B.35°
C.40°
D.50°
5.上面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（）
A.B.C.D.6.下列计算中，正确的是（）
A.2a+3b=5ab
B.（3a3）2=6a6
C.a6÷a2=a3
D.﹣3a+2a=﹣a
7.化简等于（）
A.B.C.﹣
D.﹣
8.东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文明试题10道，理论运用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（）
A.B.C.D.9.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）
A.B.C.D.10.如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（）
A.（0，5）
B.（0，）
C.（0，）
D.（0，）
11.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的有几个（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时中止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动工夫t之间的函数关系图象大致是（）
A.B.C.D.二、填
空
题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13.计算：2﹣1+=_____．
14.因式分解a3－6a2+9a=_____．
15.某校九年级（1）班40名同窗中，14岁有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同窗年龄的中位数是___岁．
16.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．
17.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）
A.1：3
B.1：4
C.1：5
D.1：25
18.如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.三、解
答
题（本题共9小题，共60分）
19.计算
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.（2）解不等式组
20.（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
21.如图，在昆明市轨道交通的建筑中，在A、B两地建筑一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）
22.国家施行高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策施行后，客户每购买一台可获补贴500元.若异样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
23.办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的严重改革，为进一步普及足球知识，传播足球文明，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖先生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的先生共50名，请图中信息，解答下列成绩：
（1）获得一等奖的先生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
24.如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
25.如图，函数y=kx+b图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.26.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相反的速度在直线DC，CB上挪动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C挪动，同时点F在边CB上自C向B挪动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和地位关系，并阐明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延伸线上挪动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上挪动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的挪动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．
27.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上能否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时中止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【精品分析】山东省济南市2021-2022学年中考数学模仿试题（一模）
（解析版）
一、选一选（本题共48分，每小题4分）上面各题均有四个选项，其中只要一个是符合题意的．
1.16的算术平方根是（）
A.4
B.-4
C.D.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，∴，故选：A．
【点睛】本题次要考查了算术平方根的定义，熟习相关性质是解题的关键．
2.中国挪动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（）
A.1.26×106
B.12.6×104
C.0.126×106
D.1.26×105
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方式（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值＞1时，n是负数；当原数的值＜1时，n是负数），即可求解．
【详解】解：126000＝1.26×105．
故选D．
3.从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故答案选B.考点：几何体三视图.4.如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）
A.30°
B.35°
C.40°
D.50°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.考点：平行线的性质.5.上面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（）
A.B.C.D.【答案】A
【解析】
【详解】B、D选项是轴对称图形但不是轴对称图形，C选项不是轴对称图形；
故选A．
6.下列计算中，正确的是（）
A.2a+3b=5ab
B.（3a3）2=6a6
C.a6÷a2=a3
D.﹣3a+2a=﹣a
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A、不是同类项，无法计算；B、原式=9a6；C、同底数幂相除，底数不变，指数相减，原式=；D、是同类项，能够合并，正确．故答案选D．
考点：．合并同类项；同底数幂的乘除法．
7.化简等于（）
A.B.C.﹣
D.﹣
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：原式=====，故选B．
考点：分式的加减法．
8.东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文明试题10道，理论运用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（）
A.B.C.D.【答案】A
【解析】
【分析】直接利用概率公式计算即可.【详解】共有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题的概率是＝.故答案选A.考点：概率公式.9.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）
A.B.C.D.【答案】C
【解析】
【分析】根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实践成绩笼统出二元方程组，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题的关键．
10.如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（）
A.（0，5）
B.（0，）
C.（0，）
D.（0，）
【答案】A
【解析】
【详解】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC=30°，继而求得OC=CD=5，因此点C的坐标为：（0，5）．
故选A．
点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角直角三角形的性质．此题难度适中，留意掌握辅助线的作法是解此题的关键，留意数形思想的运用．
11.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的有几个（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=6，∵∠DAB=60°，∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，在△ABF与△CBF中，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，∴BE=6﹣2=4，∵EG⊥AB，∴EG=2，∴点E到AB的距离是2，故②正确；
∵BE=4，EC=2，∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，∴S△ABF：S△FBE=3：2，∴△ABF的面积为=S△ABE=××6×2=，故④错误；
∵S△ADB=×6×3=9，∴S△DFC=S△ADB﹣S△ABF=9﹣=，∵S△DFC=×6×FM=，∴FM=，∴DM===，∴CM=DC﹣DM=6﹣=，∴tan∠DCF==，故③正确；
故其中一定成立的有3个．
故选C．
12.如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时中止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动工夫t之间的函数关系图象大致是（）
A.B.C.D.【答案】A
【解析】
【详解】解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，∴AC=AB×cos30°=8×=，BC=AB×sin30°=8×=4，∴CH=AC×BC÷AB=×4÷8=，AH=÷AB=；
（1）当0≤t≤时，S==；
（2）当时，S==；
（3）当6＜t≤8时，S=
=；
综上，可得：
S=，∴正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动工夫t之间的函数关系图象大致是A图象．
故选A．
二、填
空
题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13.计算：2﹣1+=_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据负整指数幂的性质和二次根式的性质，可知=.故答案为.14.因式分解a3－6a2+9a=_____．
【答案】a(a-3)2
【解析】
【分析】根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.【详解】解：
故答案为：.【点睛】本题考查因式分解的方法与步骤，纯熟掌握方法与步骤是解答关键.15.某校九年级（1）班40名同窗中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同窗年龄的中位数是___岁．
【答案】15．
【解析】
【分析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【详解】解：∵该班有40名同窗，∴这个班同窗年龄的中位数是第20和21个数的平均数．
∵14岁的有1人，15岁的有21人，∴这个班同窗年龄的中位数是15岁．
【点睛】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新陈列后，最两头的那个数（最两头两个数的平均数），纯熟掌握中位数的定义是本题的关键．
16.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．
【答案】7
【解析】
【详解】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．
故答案为7m.点睛：本题考查了一元二次方程的运用．先生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是处理本题的关键．
17.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）
A.1：3
B.1：4
C.1：5
D.1：25
【答案】B
【解析】
【详解】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴，∵DE∥AC，∴，∴，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选B．
18.如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.【答案】2≤x≤4
【解析】
【详解】根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值k=1×2=2，再由点B、C的坐标利用待定系数法，设直线BC的解析式为y=ax+b，得到，解得：，求出直线BC的解析式y=-x+4，将其代入反比例函数中，得：-x+4=，即x2-4x+k=0，由反比例函数图象与直线BC只要一个交点，可令△=0即可求出k的值k=4，从而得出2≤k≤4．
故答案为2≤k≤4.点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与值．本题属于中档题，难度不大，处理该题型标题时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．
三、解
答
题（本题共9小题，共60分）
19.计算
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.（2）解不等式组
【答案】(1);（2）-1≤x≤2.【解析】
【详解】试题分析：
（1）根据整式的乘法，由完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算化简，然后代入求值；
（2）分别求解两个不等式，然后取其解集的公共部分即可.试题解析：（1）原式
当a=1，时，原式
（2）
由①得：
由②得：
∴不等式的解集是：
20.（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】
【详解】试题分析：
（1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC
-∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴
∴AO=OB
（2）解：∵AB是的直径，PA与相切于点A，∴PA⊥AB，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB，∴.21.如图，在昆明市轨道交通的建筑中，在A、B两地建筑一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）
【答案】546m.【解析】
【详解】试题分析：过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度．
试题解析：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，∴CD=BC=200（m），BD=CBcos（90°﹣60°）=400×=200（m），AD=CD=200（m），∴AB=AD+BD=200+200≈546（m），答：这段地铁AB的长度为546m．
考点：实践成绩转化为直角三角形中的数学成绩．
22.国家施行高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策施行后，客户每购买一台可获补贴500元.若异样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
【答案】3000元.【解析】
【详解】试题分析：
根据题意找到等量关系：补贴后可购买的台数比补贴前多20%，设出未知数，列方程求解即可.试题解析：设该款空调补贴前的售价为每台x元，由题意，得：
解得：x=3000.经检验得：x=3000是原方程的根.答：该款空调补贴前的售价为每台3000元.点睛：此题次要考查了分式方程的运用，解题关键是确定成绩的等量关系，设出未知数，列方程求解，留意分式方程一定要检验：是方程的解且符合实践.23.办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的严重改革，为进一步普及足球知识，传播足球文明，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖先生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的先生共50名，请图中信息，解答下列成绩：
（1）获得一等奖的先生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【答案】（1）30人；（2）.【解析】
【详解】试题分析：（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的先生人数；
（2）用列表法求出概率．
试题解析：（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的先生为人；
（2）列表：
从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．
24.如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由平行的性质条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论；
（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由直角三角形的性质勾股定理可求得AE．
试题解析：
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=．
25.如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.【答案】（1）直线解析式为y=2x-2;反比例函数解析式为：；（2）；（3）点P坐标为（11，0）.【解析】
【详解】试题分析：
（1）根据函数y=k1x+b的图像A、B可得b、k1的方程组，进而求得函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M点在双曲线上求出k2，进而得到反比例函数的解析式；
（2）根据已知构造直角三角形进而利用勾股定理求出AM的长；
（3）过点M作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角形函数的定义求出OP的值，进而可得出结论.试题解析：（1）∵直线的图象、两点
∴，∴解得：
∴函数的表达式为，∴设，作MD⊥x轴于点D
∵，∴，∴，∴n=4，∴将代入得，∴m=3
∵在双曲线上，∴，∴，∴反比例函数的表达式为：；
（2）过点M作MF⊥y轴于点F，则FM=3，AF=4+2=6，∴；
（3）过点作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴，∴在Rt△PDM中，∴PD=2MD=8，∴OP=OD+PD=11
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）.点睛：此题次要考查了反比例函数与函数的交点成绩，涉及到的知识点为用待定系数法求函数的解析式与反比例函数的解析式、锐角三角形函数的定义，熟知以上知识点是解答此题的关键.26.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相反的速度在直线DC，CB上挪动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C挪动，同时点F在边CB上自C向B挪动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和地位关系，并阐明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延伸线上挪动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上挪动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的挪动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．
【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相反的速度在直线DC，CB上挪动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，∴，∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°-90°=90°，∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，有两种情况：
①如图1，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，则；
②如图2，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，∴DE=CD=a，∴CE:CD=2a:a=2；
即CE:CD=或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆，如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延伸交圆弧于点P，此时CP的长度，∵在Rt△QDC中，∴，即线段CP的值是.点睛：此题次要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.27.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上能否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时中止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△M面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
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