期中解答题精选50题（基础版）
1．（2020·浙江）已知平面内两点M（4，﹣2），N（2，4）.（1）求MN的垂直平分线方程；
（2）直线l经过点A（3，0），且点M和点N到直线l的距离相等，求直线l的方程.【答案】（1）x﹣3y＝0（2）x＝3或3x+y﹣9＝0
【详解】解：（1）平面内两点M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中点坐标为（3，1），又直线MN的斜率为，所以线段MN的中垂线的斜率为，线段MN的中垂线的方程为，即x﹣3y＝0.（2）当直线l与直线MN平行时，由（1）知，kMN＝﹣3，所以此时直线l的方程为y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；
当直线l经过点（3，1）时，此时直线的斜率不存在，所以直线方程为x＝3；
综上知，直线l的方程为x＝3或3x+y﹣9＝0.2．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））已知两条直线
与的交点为P，直线的方程为：
（1）求过点P且与平行的直线方程；
（2）求过点P且与垂直的直线方程．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）由得,∴，∵，∴过点P且与平行的直线方程为：，即
（2）∵，过点P且与垂直的直线方程为：
即
3．（2021·全国高二期中）已知点在圆C：上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．
【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）弦长
【详解】（Ⅰ）由题可知：
所以圆的标准方程为
所以圆心，半径
（Ⅱ）直线的方程为，即
则圆心到直线的距离为
所以弦长
4．（2020·六安市裕安区新安中学高二期中（理））已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程.【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.【详解】（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0.5．（2020·六安市裕安区新安中学高二期中（理））已知实数满足，求的最小值.【答案】5.【详解】
表示点与圆上动点之间的距离的平方，若最小，则也最小，数形结合知的最小值为，故的最小值为5.6．（2020·重庆市万州南京中学）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；
（2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求.【答案】（1）；（2）.【详解】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；
（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，不合题意；
故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，即，解得，故直线的方程为，代入圆的方程，整理得，解得，于是，这里，)，所以.7．（2019·静宁县第一中学高二期中（理））过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA．
(1)求弦OA中点M的轨迹方程；
(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.【答案】(1)x2+y2-4x=“0;“
(2)x2+y2-16x=0
试题分析：（1）设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，所以，（2x）2+（2y）2-16x=0，化简得M
点轨迹方程为x2+y2-4x=0．
（2）设N点坐标为（x，y），那么A点坐标是（），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，得到：（）2+（）2-4x=0，N点轨迹方程为：x2+y2-16x=0．
8．（2019·芜湖市城南实验中学（文））在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线BC的方程；
（3）求点C的坐标．
【答案】（1）（2）（3）
试题分析：（1）直线和直线的交点得，即的坐标为，（2）∵直线为边上的高，由垂直得，所以直线BC的方程为
（3）∵的平分线所在直线的方程为，A(-1,0),B（1，2），,设的坐标为，则，解得，即的坐标为．
9．（2020·六安市城南中学高二期中（文））求圆心为且与直线相切的圆的标准方程．
【答案】．
【详解】解：由题意可知圆的半径为，所以所求的圆的方程为
10．（2020·山西大同一中高二期中（理））已知直线
（1）求直线的斜率；
（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，可得，所以斜率为；
（2）由直线m与平行，且过点，可得m的方程为，整理得：.11．（2020·清远市清新区凤霞中学）圆的圆心坐标为，且过点
（1）求圆的方程；
（2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长．
【答案】（1）；（2）直线与圆相交；.【详解】（1）圆的半径．故圆的方程为．
（2）圆心到直线的距离，即，直线与圆相交，可知弦长为．
12．（2020·天津市滨海新区汉沽第六中学高二期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）斜率是，且经过点；
（2）斜率为4，在轴上的截距为；
（3）经过，两点；
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）由直线的点斜式方程可得
即
（2）由直线的斜截式方程可得
即
（3）由直线的两点式方程可得
即
13．（2020·安徽宣城·高二期中（文））若点A与点B到直线的距离相等，求a的值．
【答案】或
【详解】因为点A与点B到直线的距离相等，所以有：或，解得：或.14．（2020·湖北）已知点，直线L经过A，且斜率为.（1）求直线L的方程；
（2）求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意，直线的方程为：，整理成一般式方程，得，∴直线L的方程为；
（2）由已知条件，得所求圆的圆心为，可设圆B方程为：，∵圆B与直线相切，∴
∴.故圆B的方程为.15．（2020·重庆市凤鸣山中学）已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)，（1）求圆C的方程；
（2）若直线
与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度；
（3）求圆C上的点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）；（2）：（3）．
【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)，圆C的半径，∴圆C的方程为：.（2）由C点到直线的距离，∴|MN|=2．
（3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为．
16．（2020·四川高二期中（理））已知直线过点和两点
（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)
（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.【答案】（1）；（2）答案见解析.【详解】解；（1）直线AB的斜率为
故直线AB的点斜式方程为：或.（2）由，得，可化为，当时，当时，所以斜截式：，一般式：，截距式：，在x轴上的截距为；在y轴上的截距为
17．（2020·四川省成都市盐道街中学高二期中）在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.（1）求点的坐标.（2）求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）联立，解得，可得.（2）∵边上的高所在的直线的方程为，∴，即，∴直线的方程为，整理得.18．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l经过点，（1）直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.（2）当直线过原点时，直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，所以直线的方程为.19．（2020·九龙坡·重庆市育才中学）（1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程.（2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）直线的斜率，则，故直线的方程为；
（2）设，的中点为，知，则直线的方程为．
20．（2018·北京市第二中学分校高二期中（理））如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
【答案】(1)
.(2)
.详解：
（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，即，两两垂直，∴以为原点，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，得，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，∴，∴，故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，∴，∴，故二面角的余弦值为．
21．（2021·广西平果二中高二期中（理））如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).详解：（1）连接，∵是正方形，是的中点，∴是的中点，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，设平面的法向量，则，取得，设与平面所成角为，则.22．（2021·横峰中学高二期中（理））如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，∴，，．
（1），∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即，∴即．
又∵，平面且
∴平面．
23．（2021·上海市进才中学高二期中）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点.（1）求证：；
（2）求D､C两点在球O上的球面距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）由题意，，，，；
（2），，D，C两点在球O上的球面距离为；
24．（2021·重庆市第二十九中学校高二期中）在边长为2的菱形中，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）
（1）证明：平面平面；
（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）.【详解】（1）连接图1中的，因为四边形为菱形，且
所以为等边三角形，所以
所以在图2中有，因为
所以平面，因为，所以平面平面
（2）因为平面平面，平面平面，所以平面
以为原点建立如图空间直角坐标系
所以
所以
设平面的法向量为，则，令，则，所以
所以直线与平面所成角的正弦值
25．（2021·浙江温州市·高二期中）在等腰梯形中，，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取BE中点记为H,连结PH、CH，是CD中点,，且，四边形ABED是平行四边形，是边长为2等边三角形，由题意可知，是边长为2的等边三角形，是中线，PH是中线，，又，平面PCH，；
（2）解：由（1）可求得，，又，平面，以为原点，HB，HC，HP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，，设平面BCP的法向量为，即，令,则，平面BCP的法向量为，设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为.26．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二期中）如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，把沿BE折起，使得，得到四棱锥.如图2所示.（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）在等腰梯形中，，可知，由可得.又，则，则，又，可得平面
（2）又，则以点E为原点，以EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间之间坐标系E-BDA.，，设平面的法向量为，则：
注意到，面AED的法向量，设平面ABC与平面AED所成锐二面角的平面角为，故
27．（2020·江西宜春市·宜春九中高二期中（文））已知圆，其中
（1）如果圆C与圆外切，求m的值；
（2）如果直线与圆C相交所得的弦长为，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）圆C的圆心为，半径
因为圆C与圆外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，解得
（2）圆C的圆心到直线的距离
因为直线与圆C相交所得的弦长为，所以，解得
28．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））（1）求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）线段的中点为，线段的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为.，即圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为.（2）圆心，∵圆心在直线上，∴，即.①
又∵半径长，∴.由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴，即.则.故圆的一般方程为.29．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l经过点，（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.（2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【答案】（1）；（2）.【详解】设直线方程为，由直线l经过点可得，（1）由题可得，解得，，则直线方程为；
（2），∴，当且仅当，时面积取最小值，则直线方程为.30．（2020·黑龙江佳木斯一中高二期中（文））已知的三个顶点，．
（1）求边上的中线所在直线方程以及中线的长度；
（2）求边上的高线的长度．
【答案】（1）；；（2）.【详解】（1）的三个顶点，，故边上的中点，所以边上的中线的长度，边上的中线所在直线方程为，即．
（2）由于边所在的直线方程为，即，故边上的高线的长度，即点到直线的距离为．
31．（2020·通城县第二高级中学高二期中）求过点，且与圆相切的直线l的方程.【答案】或.【详解】设切线方程为，即，∵圆心到切线l的距离等于半径2，∴，解得，∴切线方程为，即，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径2.综上可知，所求直线方程为或.32．（2020·四川省泸县第二中学（理））已知两条直线，．
（1）当为何值时，与垂直；
（2）当为何值时，与平行．
【答案】（1）；（2）.【详解】（1）若与垂直，则，解得：；
（2）若与平行，则，解得：.33．（2020·湖南湘潭市·湘潭一中高二期中）已知直线：
().（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）4，.【详解】（1）证明：直线的方程可化为，令，则，解得，∴无论取何值，直线总经过定点.（2）由题意可知，再由的方程，得，．
依题意得：，解得．
∵.当且仅当，即时取等号，∴，此时直线的方程为．
34．（2021·全国高二期中）已知斜率为的直线与圆心为的圆相切于点，且点在轴上.（1）求圆的方程；
（2）若直线与直线平行，且圆上恰有四个不同点到直线距离等于，求直线纵截距的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）依题意，设点的坐标为.，解得，即点的坐标为，从而圆的半径.故所求圆的方程为.（2）因为，设：，由圆上恰有四个不同点到直线距离等于，得圆心到直线的距离，解得.即直线纵截距的取值范围为.35．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（理））已知的三个顶点的坐标分别为，.（1）求边上中线所在直线的方程；
（2）求边上高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）中点为，直线方程为：，即；
（2），直线方程为：，即.36．（2021·安徽省怀宁中学高二期中（文））大家知道，等边三角形的重心(三条中线的交点)､外心(三条边的中垂线的交点)､垂心(三条高的交点)三点重合.（1）观察等腰直角三角形(如图)，若其重心是､外心为､垂心为，判断､､的位置关系以及线段和的长度之间的数量关系.（2）若是等腰三角形(如图)，且，验证（1）的结论是否成立？若成立，请证明你的结论.【答案】（1）可得到､､三点共线，且；（2）答案见解析.【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设等腰直角三角形中，所以有，显然重心的坐标为：，外心的坐标为：，显然垂心与点重合，，所以有，因此､､三点共线，且；
（2）建立如图所示的直角坐标系：
因为，所以有，显然重心的坐标为：，设，由，即
且，解得，即，设，因此有：，即，即，，所以有，因此､､三点共线，且.37．（2020·安徽立人中学高二期中（文））已知圆过点，且与圆关于直线对称．
（1）求圆、圆的方程；
（2）过点Q向圆和圆各引一条切线，切点分别为C，D，且，则是否存在一定点M，使得Q到M的距离为定值？若存在，求出M的坐标，并求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，Q到M的距离为定值．
【详解】（1）设圆的圆心，因为圆与圆关于直线对称，可得，解得，设圆的方程为，将点，代入可得，所以圆的方程为，圆的方程为．
（2）由，根据切线长公式，可得，设，则，化简得，所以存在定点使得Q到M的距离为定值．
38．（2021·安徽高二期中（文））已知圆：.（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）圆：的标准方程为，所以圆心，.设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，①当时，切线方程可设为，即，由点到直线的距离公式，得.所以切线方程为.②当时，切线方程为，即.由点到直线的距离公式，得，.所以切线方程为，.综上，所求切线方程为，.（2）由圆的切线性质可知：，∵，∴.即.整理得.∴.当时，最小，此时，∴.39．（2021·上海市长征中学高二期中）1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧的半径
r
=29米，圆弧所对的弦长l
=12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米，）.【答案】
【详解】
如图，以所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设圆弧的圆心为，连接，则，所以，即圆心的坐标为，所以圆弧的方程为
40．（2020·阜阳市耀云中学高二期中）三角形的顶点是A（，0）、B（，3）、C（0，5）.求这个三角形的三边所在直线的方程.【答案】，．
【详解】由题意直线方程为，即，直线方程为，即，直线方程为，即．
41．（2010·贵州遵义市·高二期中）已知正方形的中心为，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直线方程.【答案】，【详解】正方形的中心到四边的距离均为，设正方形中与已知直线平行的边所在的直线方程为，则，即，解得（舍去）或.故与已知直线平行的边所在的直线方程为；
设正方形中与已知直线垂直的边所在的直线方程为，则，即，解得或，所以正方形另一组对边所在的直线方程分别为和；
综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为，.42．（2020·北京市第十二中学高二期中）已知圆经过点，．
（1）求圆的方程；
（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）根据题意，设圆的方程为，圆经过，三点，则有，解可得：，，故要求圆的方程为；
（2）根据题意，圆的方程为，圆心坐标为，半径，若直线与圆交于，两点，且，则圆心到直线的距离，则有：，解可得：，故．
43．（2020·北京市第十二中学高二期中）已知三个顶点的坐标分别为，．求：
（1）过点且与直线平行的直线方程．
（2）中，边上的高线所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）因为三个顶点的坐标分别为，，所以直线的斜率为，则过点且与直线平行的直线方程为，即.（2）因为直线的斜率为，所以中边上的高所在直线的斜率为-1，又高所在直线过点，所以高所在直线的方程为，即．
44．（2021·江西高安中学高二期中（理））如图所示的几何体中，是菱形，平面，.（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，在菱形中，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，∵，分别是，的中点，∴，又，∴，且，∴四边形是平行四边形，则，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）中证明知，平面，则，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由及是菱形，得，，则，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，求得，所以，同理，可求得平面的一个法向量为，设平面与平面构成的二面角的平面角为，则，又，∴，∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.45．（2020·安徽淮北·高二期中（理））如图所示，与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：取中点，因为为正三角形，所以．
由于平面平面，平面平面，所以平面．
又因为平面，所以．又平面，平面，所以平面．
（2）连接，则，又平面．
取为原点，直线，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示．，则各点坐标分别为，，．．
设平面的法向量为，由
得，解得，取，得．又平面的法向量为，所以，设所求二面角为，则．
46．（2021·北京一七一中）如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为线段AD，DE的中点．四边形BCDO是边长为1的正方形，．
（1）求证：平面ABE；
（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】解：（1）如图取线段中点，连接、，为中点，，又四边形是边长为1的正方形，，．四边形为平行四边形，．
面，面，平面；
（2）连接，为中点，．
面，面面，面面．
面．
又面，面，，如图建立空间直角坐标系．，，0，，1，，1，，0，，设面的法向量为，由，可取．，．
直线与平面所成角的正弦值为；
47．（2021·北京延庆·高二期中）如图，正方体中，棱长为2，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【详解】解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，．
因为是的中点，所以，．
因为是的中点，所以，．
所以，．
所以四边形是平行四边形．
所以．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为正方体中，以点为坐标原点，分别以直线，为，轴建立空间直角坐标系．
所以，，所以，，设平面的法向量为，所以
所以直线与平面所成角的正弦值．
48．（2021·重庆实验外国语学校）如图1，在等腰梯形中，分别是的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线折起，使得点和点重合，记为点，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】解：（1）因为分别是的两个三等分点，所以四边形是正方形；
所以，又因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．
（2）过作于，过作的平行线交于，则面，又所在直线两两垂直，故以它们所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，易知，所以，设平面的法向量为，则，取，则
同理，设平面的法向量为，则，取，则，所以，所以平面与平面所成锐二面角的大小为.49．（2020·山西晋城·高二期中（理））如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，．
（1）证明：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．，且，就是点到平面的距离，即平面
平面，又，四边形是平行四边形，是正三角形，．
（2）解：由（1）得平面，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，则由得，令，得．
设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值．
50．（2020·天津市天津中学高二期中）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到平面的距离；
（4）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）证明：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，因为，分别为，的中点，则，由题意可知，是平面的一个法向量，又，所以，又平面，故平面；
（2）解：由（1）可知，，设平面的法向量为，则，令，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为；
（3）解：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为；
（4）解：由题意，设，其中，则，所以，又时平面的一个法向量，因为直线和平面所成角的正弦值为，则，整理可得，又，解得或（舍），故线段的长为.
点击咨询