第一节
相似形与相似三角形
基本概念：
1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）
（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,A
D
a
B
E
b
C
F
c
可得
等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A
D
E
B
C
由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质
①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。
②合比性质：如果，那么。
③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么
④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析
例1：①
在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②
若
=
则=__________.③
若
=
则a：b=__________.3．
相似三角形的判定
（1）
如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）
两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）
三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法
(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)
(3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【基础练习】
（1）如图1，当
时，△ABC∽
△ADE
（2）如图2，当
时，△ABC∽
△AED。
（3）如图3，当
时，△ABC∽
△ACD。
小结：以上三类归为基本图形：母子型或A型
（3）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△
∽△。
（4）如图5，当
时，则△
∽△。
小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X型
典例剖析
例1：判断
①所有的等腰三角形都相似．
（）
②所有的直角三角形都相似．
（）
③所有的等边三角形都相似．
（）
④所有的等腰直角三角形都相似．
（）
例2：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F
求证：
△ABF∽
△CAF.例3：如图：在Rt
△
ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若
AB=6
；AD=2；
则AC=
；BD=
；BC=；
例3：如图：在Rt
△
ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB
:
AC=DF
:
BF
第二节
相似三角形的判定
(一)相似三角形：定义
1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
温馨提示：
①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；
②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；
③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。
④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
温馨提示：
①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．
③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．
3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
温馨提示：
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；
③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．
温馨提示：
①有平行线时，用上节学习的预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交AB于D
点，与AC的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
温馨提示：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．
③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．
直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB
CD2=AD*BD
BC2=BD*AB
总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧
正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：
(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；
(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．
2、常见的相似三角形的基本图形：
学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：
(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；
(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；
(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．
第三节
相似三角形中的辅助线
一、作平行线
例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：
例2.如图，△ABC中，AB 二、作垂线 例3.如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。 三、作延长线 例4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。 例5.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF 四、作中线 例6 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。 五、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 2、等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：． 3、等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。 例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F． 求证：CD2＝DF·DG． 六、证比例式和等积式的方法： 对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明． A E F B D G C H 例 图 C E D A F M B 例3 如图过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E．过点D作DM∥FC交AB于点M．(1)若S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED； (2)求证：AE×FB＝2AF×ED 第四节 相似三角形难题集 一、相似三角形中的动点问题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 三、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长． 8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A.B.C.D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。 四、构造相似辅助线——A、X字型 11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证： 12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。 求证： 13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1)当时，EF=；(2)当时，EF=； (3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明． 14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。 求BN：NQ：QM． 15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
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