集合知识点总结

集合知识点总结

一、集合的概念

教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．

教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．：

（一）主要知识：

1．集合、子集、空集的概念；

2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3．若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个．

二、集合的运算

教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．

教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．

（一）主要知识：

1．交集、并集、全集、补集的概念；

2．，；

3．，．

（二）主要方法：

1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

考点要点总结与归纳

一、集合有关概念

1.集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。

2.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。

3.集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。

（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山

（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合4.元素与集合的关系

（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；

（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。

5.集合的表示方法：自然语言法，列举法，描述法，图示法。

（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于

8的偶数构成的集合。

（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。

注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。

（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I

|

p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。

（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。

韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。

6.集合的分类：

有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集

：不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

u

常用数集及其记法：

（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；

（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；

（3）整数集：全体整数的集合，记做Z

（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q

（5）实数集：全体实数的集合，记做R

二、集合间的基本关系

7.子集的概念：A中的任何一个元素都属于B。记作：

①

任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②

如果

AÍB,BÍC,那么

AÍC

8.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集；

空集是任何非空集合的真子集。

9.相等集合：如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。如：且则A=B

10.真子集:如果AÍB,且A¹

B那就说集合A是集合B真子集。

记作：AB

11.集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分、（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B

(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设

A={x|x2-1=0}

B={-1,1}

“元素相同则两集合相等”

12.若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个．

三、集合的运算

1、交集：

2、并集：

3、补集：

运算类型

交

集

并

集

补

集

定

义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作“A交B”），即AB=｛x|xA，且xB｝．

核心词汇：共有

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB

={x|xA，或xB})．

核心词汇：全部

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

S

A

记作，即

CSA=

韦恩

图示

S

A

性

质

AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

(CuA)

(CuB)

=

Cu

(AB)

(CuA)

(CuB)

=

Cu(AB)

A

(CuA)=U

A

(CuA)=

Φ．

★经典例题：

例一、判断下列集合是否为同一个集合①

--------------不是，一个是点集，一个是数集

②

-------------不是，元素范围不同

③-不是，一个是点集，一个是数集

④------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关

例二、用适当的符号填空：；

；；

；；

应该注意的问题：

集合与元素之间是属于关系，集合与集合之间的是包含关系，两者不能混淆。

例三、已知集合，则等于

【】

解：，故

例四、若集合，且，则

【或】

解：依题，则，或，解出；

由于元素具有互异性，故舍去1。

例五、集合，若,则的值为

【4】

解：∵，∴∴

例六、设集合，则

【】

解：表示平面上满足直线的无数点，其中。

又表示平面上满足直线上的全部点，故补集为，这组有序数对。

例七、已知集合，若，则实数的取值集合为

【】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由确定，应往左画（若为，则往右画），进而开始实验；

③得到初步试验结果；

④验证端点。

试验得到：，当时，由于集合也不含有4，故满足。

综上所述。

例八、设集合，则

【】

解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，故，因此取交集后，得到的结果应为。

例九、，若，则实数的取值范围是

【】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由确定，应往左画（若为，则往右画），进而开始实验；

③得到初步试验结果；④验证端点。

试验得到的结果为，验证端点，当时，由于集合不含有3，满足交集为。

综上所述，的取值范围是。

注意：在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！

例十、满足的集合为

【】

解：因为，因此中必须含有1这个元素。又知道

故得到。（不满足真子集的要求）

例十一、已知集合，且，求实数的值。【】

解：观察集合，可知，又有，则。

将0代入，得到，反解，得到或1。

由于，则。

将代入，解得。

例十二、已知集合，若，求实数的取值范围。【或】

解：①当时，方程无解，解得或；

②当时，方程有一个解，同时将代入，解得；

综上所述的取值范围为或。

练习题

1.下列四组对象，能构成集合的是

（）

A某班所有高个子的学生

B著名的艺术家

C一切很大的书

D

倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c

}的真子集共有

个。

1．已知集合，若，则=_____________．

2．设集合，,A.M=N

B.M

N

C.NM

D.M

N=

3．如图所示，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

4．设全集，若，，则下列结论正确的是（）

（A）

且

（B）

且

（C）

且

（D）且

5．设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算：

A*B={x|x∈A，或x∈B,且xA∩B}，则(A*B)*A等于（）

A．A

B．B

C．

D．

6．已知集合，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么的“长度”的最小值是____________________．

7．已知集合，且，求实数的取值范围．

8．已知集合，且A

是B的真子集，求实数k的取值范围。

9．集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝，若A∩B，A∩C＝，求a的值．

10．设集合，集合．

（1）求使的实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

高一数学第一章集合数学测试题

一、选择题（每小题5分，计5×12=60分）

1．下列集合中，结果是空集的为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．设集合，则（）

（A）（B）

（C）（D）

3．下列表示①②③

④中,正确的个数为（）

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

4．满足的集合的个数为（）

（A）6

（B）

（C）

（D）9

5．若集合、、，满足，则与之间的关系为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

6．下列集合中，表示方程组的解集的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

7．设，若，则实数的取值范围是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

8．已知全集合，，那么是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

9．已知集合，则等于（）

（A）

（B）

（C）

（D）

10．已知集合，那么（）

（A）

（B）

（C）

（D）

11．如图所示，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

（A）

（B）（C）（D）

12．设全集，若，，则下列结论正确的是（）

（A）

且（B）

且（C）

且（D）且

二、填空题（每小题4分，计4×4=16分）

13．已知集合，则集合————

14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为——----------

15．设全集，，则的值为

16．若集合只有一个元素，则实数的值为-----------

三、解答题（共计74分）

17．（本小题满分12分）若，求实数的值。

18．（本小题满分12分）设全集合，，求，，