初一数学孟庆军校本课程《数学文化及其应用》

第一篇：初一数学孟庆军校本课程《数学文化及其应用》

初一数学孟庆军校本课程《数学文化及其应用》.txt不怕偷儿带工具，就怕偷儿懂科技！1品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。本文由dnkey0000贡献

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校本课程开发方案

数学文化及其应用

山东省昌乐二中

初 一 级 数学 孟庆军 1 题目：（一）题目 ： 数学文化及其应用（二）课程标准

第一部分 前言

数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。由于实际的需要，数学在 古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了 客观世界的规律，并成为理解自然，改造自然的有力武器。对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对这门知识掌握 得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。我们 的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。

一、课程性质

本课程旨在通过数学文化及其应用，数学文化的应用，通过本课程的开 发利用增长见识，启迪智慧，激发学生对数学学习的兴趣，提高学生的人文 素养。

二、教学设计与安排

教学设计与安排： 第 1 部分 第 2 部分 第 3 部分 第 4 部分 第 5 部分 第 6 部分 第 7 部分 数学与美 数学是什么？ 数学的内容 数学的特点 关于中等教育 数学与人类文明 数学的新用场 教学要求

一、教学要求 为了提高校本课教学的有效性，特提出如下要求：

一、课堂秩序 教师应创设动而不乱，静而不板，动静结合，收放适度的课堂，要努力 激发学生学习兴趣，要有秩序地将全部学生的所有心思凝聚在课堂里，使学 生真正成为课堂的主角。

二、教材使用 校本教材是教学的参考。教师要从学生的实际情况出发，符合其具体情 况的可参考，不符合的则应取舍，甚至自己设计。绝不可完全拘泥于教材，尤其不能忽略学生本身的经验、愿望、兴趣和生活、学习环境。要把学生作 2（1 课时）（1 课时）（1 课时）（1 课时）（1 课时）（3 课时）（2 课时）

部分：实施要求 第二部分：实施要求

为教学的基本出发点，要把课堂作为教学的基本生长点。

三、教学策略 1．备课策略。要从学生的学习活动的角度来备课。这堂课有几项活动，怎样安排，在活动过程中教师怎样指导、怎样与学习互动，在活动过程中怎 样进行评估和调控等要作为教师重点考虑的问题。不仅要事先备课，还要教 后单个或集体写出教学反思。2．实施策略（1）注重课堂提问的有效性。既要注意提高的针对性与辐射面问题的难 易程度，学生的个别差异，又要注意为学生提供思维的时间与空间，不要逼 迫学生作立即反映，或急于把答案告诉学生。还要注意反馈的积极态势，教 师要始终保护学生回答问题的自尊心与自信心，更要注意鼓励学生思维的创 新性。（2）注重教学媒体运用的有效性。要成功而有效地运用教学媒体进行课 程教学，应该进行周详的设计，遵循一定的运用步骤。（3）注重教学时间安排的有效性。首先要合理安排课堂教学的时间密度，即单位时间内的教学活动的紧张度；其次要把握好课堂教学节奏，即考虑好 教学要求的高度、教学内容的难度、教学进程的速度；第三要对教学时序以 优化；第四要捕捉好教学时机。（4）注重教学评价的有效性。有效教学评价系统要解决好三个问题：即 谁来评价、评价什么、怎样评价。有效教学评价人员包括学生、教师、同事、教学管理人员等。评价内容主要从教师教学个性发展和学生的进步与发展两 方面来考虑。评价的方法主要有深入课堂、参加活动等进行观察，也可安排 适当的课堂教学测试及发测量表进行测评，这种评价不是等到教学结果出来 以后再给予评价，而是边教学边评价，对可能出现的偏差进行及时纠正。（５）开放课堂。根据需要将课堂设在教学需要的任何场所。

四、学习方式 学习方式不在于一定要多么新，而在于用得恰当，用得适度，用得有效。国家课程、地方课程运用的先学后教、自主、合作、探究等方式都可以运用 根据教材内容还可以集中上活动课、综合课、实践课。课堂学习过程要实际、真实，不能搞形式，求新鲜。

五、教学效率 教师要先于学生学习校本课，并在教学中以促进学生和教师的发展为基 础。教师要结合校本课程的学习和教学实践不断地探索，并在实践中总结，3 改进校本课程。教师要带头积累校本材料，要培养学生良好的学习习惯，要充分利用教 材进行**指导，教师必须全面提高个人的素质，注重操作要处理校本课程 与国家、地方课程的关系，要利用校本课程育人，尽量减轻学生课业负担过 重，构建适合素质教育的课堂模式

六、教材建设 校本课程的教学，“关键是教材。”而每个老师既是教材的实施者，也是 再次开发者，更是开发与实施的研究者。学校鼓励教师边实施、边开发、边 研究。教师要有一双发现校本教材内容重难点，要和所有相关的人一起编写 校本教材，不断修订校本教材，要有编写品牌精品校本教材的智慧，尤其要 注重校本教材的可操作，实践性和高效益。评价要求

二、评价要求

1、评价方式：在对校本课程评价的过程中，我们掌握的主要原则是：评价 方式应当灵活多样，可以采用作品展示、撰写心得体会、背诵朗诵、专题活 动、相互交流、自我评价、作品评定、等形式。

2、评价内容 ①参与互动的态度，指是否主动积极，是否能表达表现，是否能倾听、协作、分享等； ②参与互动的广度，指参与时间、参与方式、参与后的影响力等； ③参与互动的深度，指思维活跃程度；

三、课程教材 目录 第一章 第二章 第三章 第四章 „„„„„„„„„数学与美 „„„„„„„„„ 数学与美 „„„„„„„„„数学是什么 „„„„„„„„„ 数学是什么 „„„„„„„„„数学的内容 „„„„„„„„„ 数学的内容 „„„„„„„„„数学的特点 „„„„„„„„„ 数学的特点 4 第五章 第六章 第七章

„„„„„„„„„关于中等教育 „„„„„„„„„ 关于中等教育 „„„„„„„„„数学与人类文明 „„„„„„„„„ 数学与人类文明 „„„„„„„„„数学的新用场 „„„„„„„„„ 数学的新用场

前

正感兴趣的人有益。

言

数学既不严峻，也不遥远，它既和所有的人类活动有关，又对每一个真

数学的传奇就是攀登智慧之山的传奇。

诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外.入乎其内,故能写之.出乎其外, 故能观之..入乎其内,故有生气, 出乎其外,故有高致.数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。由于实际的 需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学 与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然，改造自然的有 力武器。对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对 这门知识掌握得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了 解这门学科的本质。我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关 于数学本质的一般概念。今从以下几个方面来谈这个问题。1 数学与美

庄子说：”判天地之美，析万物之理”。日本物理学家，诺贝尔奖得主汤 川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美 5 学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通 过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美 的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术 的关系。而艺术与科学的联系是天然的。李政道说： “科学和艺术是不可分 割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的 目标都是真理的普遍性。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对 ” 象不外乎天─大宇宙； 地，自然界及其中一切动植物─中宇宙； 人─最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相 辅相成的两个领域。这里需要指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史 诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的 一部分。数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还 原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是，在历史上，重大课题的选 择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正电子的猜想便是狄 拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的； 他唯一的根据就是从电子运动的 方程得出正负两个解。几年之后这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后 来说： “理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非 信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。” 为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界 的。发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。反过来，美又是人类 进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示 6 自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说，美是 真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道： 美就是真，真就是美—这就是 你所知道的，和你应该知道的。法国数学家阿达玛说： “数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成 不了数学家。”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基 础。那么，什么是美呢？美有两条标准：一，一切绝妙的美都显示出奇异的 均衡关系（培根）二，“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森堡）。这是科学和艺术共同追求的东西。希尔伯特说： “我们无比热爱 的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。在这 个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多 意想不到的令人愉快的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我 们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。” 对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当 它们的长度成简单的整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于 这种认识,毕达哥拉斯学派定出了音律.顺便指出,我国在古代也以同样的方式 确定了音律.这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系，是人 类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式，爱因斯坦的质能转换 公式，既是美，又是真。7 数学的美表现在什么地方呢？表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇 异。为什么我们这样重视美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个 重要因素呢？因为人们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面，而对 于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也 认为只不过是次要的因素。但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因 素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。

数学是什么

给数学下定义是一个困难的问题。对任何事物下定义都遇到同样的困难。因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。考虑全面性与历 史发展，我们给数学下两个定义。数学是数和形的学问。数学是数和形的学问。数学是一棵参天大树。它的根深深地扎在我们的 现实世界。它有两个主干，一曰形─几何，一曰数─代数。这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史； 这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝； 这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域； 这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。如果我们一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远 见不到数学的多采和多姿。见不到数学整体的宏伟和谐调。我们先看数学大树的两大主干：几何与代数。几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力； 代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。8 记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。特别要注 意到，这两者相辅相成。没有直觉就没有发明 没有逻辑就没有证明。有发明，意到，这两者相辅相成。没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。借助 直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。庞加莱说： 直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。庞加莱说： 逻辑可以告诉我们走 “ 这条路或那条路保证不遇到任何障碍，这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导 我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领 是直觉。英国数学家阿蒂亚说： 是直觉。英国数学家阿蒂亚说： 几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的 ” “ 途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养” 遗憾的是，途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养” 遗憾的是，在通常的数学教。学中只讲逻辑而很少讲直觉。学中只讲逻辑而很少讲直觉。如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。所以只研究数与 形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的。这就产生了微积分。它的 延伸是，无穷级数，微分方程，微分几何等。那么，什么是数学呢？19 世纪恩格斯给数学下了这样的定义： “数学是关于空间形式和数量关系的科学。” 恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前 也概括了数学的绝大部分。但是在 19 世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻 辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。于是人们又考虑数学的新 定义 数学是关于模式和秩序的科学.我们生活在一个由诸多模式组成的世界 数学是关于模式和秩序的科学 中：春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中 飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用 建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。通过数学建立模式可以使知识 条理化，并揭示自然界的奥秘。模式和秩序的科学都是数学吗？物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。物理学的基本元素：基本粒子。生物学的基本元素：细胞。9 数学呢？数，形，机会，算法与变化。数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明： 自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。数学提供了有特色的思考方式： 抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究： 符号化：把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。这是 自然科学公有的思考方式，以数学为最。公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行 推理。归纳与演绎并用。最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。建立模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，并化为数学问题。应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要 的一种智力。它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数 学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。

数学的内容

大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式 的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含： 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中 学。线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。10 高等代数：研究方程式的求根问题。微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理 类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的 宏伟大厦。

数学的特点

数学区分于其它学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它 的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是 一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这 一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概 念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n 维空间以 至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象 度更高的概念，都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学独有的特性，任 何一门科学都具有这一特性。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数 学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关 系和空间形式而舍弃了其它一切； 第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身 几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为 了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计 算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽 象的、思辨的。11 数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论 的确定无疑与无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现 了人类认识逐渐深化的过程。数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚 教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生 物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了 数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工 具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出 其它数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。

关于中等教育

为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着 关键的作用。以下几点应当受到注意： 1).将应试教育转为素养教育。要培养学生善于思考，有独创精神，而不 只是常于记忆，巧于应考。这对我们民族的长远利益是极关重要的。2).中学数学教育的中心应实现三个转变：从具体数学到概念化数学的转 变，发展符号意识；从常量数学到变量数学的转变；从直观描述到严格证明 的转变，建立严密的逻辑思维意识。3).向学生提供数学主流的核心部分，为微积分，统计学和计算机作好准 备。4).计算机教育应尽早进行。计算机的出现必将改变中等教育的方式与内 容。首先，建立在计算机与人脑思维相结合之上的新教学法，将有利于培养 12 学生的洞察力，理解力，以及数学直观。其次，离散数学、图论、进位制系 统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就成为教 育议事日程上极其重要的问题。数学是科学和技术的基础。数学在决定国家 的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。

数学与人类文明

王国维在《人间词话》中说: “诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外.入乎其内,故能写之.出乎其 外,故能观之..入乎其内,故有生气, 出乎其外,故有高致.” 只知入乎其内,那是见木不见林,常常会迷失方向.所以还要辅助以出乎其 外,站出来作高瞻远瞩.不站出来,就不知道数学的根在何处,不知道自己研究 的最终目的与最终方向是什么.不站出来,就看不到数学与别的学科的密切联 系与相互影响.不站出来,就看不到数学对人类文明的巨大贡献.整个人类文明的历史就像长江的波浪一样,一浪高过一浪,滚滚向前.科学 巨人们站在时代的潮头,以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮 推向另一个高潮.我们认为,整个人类文明可以分为三个鲜明的层次: 1)以锄头为代表的农耕文明;2)以大机器流水线作业为代表的工业文明;3)以计算机为代表的信息文明.数学在这三个文明中都是深层次的动力.其作用一次比一次明显.数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量.它不仅在科学推理中具有 重要的价值,在科学研究中起着核心的作用,在工程设计中必不可少.而且,数 学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法,摧毁和构造了诸多宗教教义,为 13 政治学和经济学提供了依据,塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格, 创立了逻辑学.数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答 案.作为理性的化身,数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域, 并取而代之,成为其思想和行动的指南.这里,还需要指出,数学文化包含两个方面.一是作为人类文化子系统的数 学,它自身的发生、发展的规律,以及它自身的结构;一是它与其它文化的关系, 与整个人类文明的关系.今天报告希望兼顾两个方面,但重点放在第二个方面.我们必须认识到,数学对人类文化的影响有这样一些特点:由小到大,由弱 到强,由少到多,由隐到显,由自然科学到社会科学.简而言之,今天我们要唱一曲数学的赞歌,赞美数学思想的博大精深,赞美 由数学文化引出的理性精神,以及在理性精神的指导下,人类文明的蓬勃发展.1）古希腊的数学。古希腊人最了不起的贡献是,他们认识到,数学在人类）古希腊的数学。文明中的基础作用.这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括:自然数是万物之母.毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的 永恒真理.他们对周围世界作了周密的观察,发现了数与几何图形的关系,数与 音乐的和谐,他们还发现数与天体的运行都有密切关系.他们把整个学习过程 分成四大部分:1)数的绝对理论—算术;2)静止的量—几何;3)运动的量—天 文;4)数的应用—音乐.合起来称为四艺.他们得到结论:自然数是万物之母.宇宙中的一切现象都以某种方式依赖 于整数.但是当他们利用毕达哥拉斯定理发现 2 不能表示为两个整数的比, 即, 2 不是有理数时,受到了极大的震动.这就爆发了第一次数学危机.数学基 础的第一次危机是数学史上的一个里程碑，它的产生与克服都具有重要的意 义.第一次数学危机表明,当时希腊的数学已经发展到这样的阶段:证明进入了 14 数学, 数学已由经验科学变为演绎科学.中国,埃及,巴比伦,印度等国的数学没有经历这样的危机,因而一直停留在 实验科学,即算术的阶段.希腊则走上了完全不同的道路,形成了欧几里得的” 几何原本”与亚里士多得的逻辑体系,而成为现代科学的始祖.2）欧几里得的 几何原本。）欧几里得的”几何原本 欧几里得的”几何原本”(Euclid,约公元前 330几何原本”。前 275)的出现是数学史上的一个伟大的里程碑.从它刚问世起就受到人们的 高度重视.在西方世界除了”圣经”以外没有其它著作的作用、研究、印行之广 泛能与”几何原本”相比.自 1482 年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种 版本.在我国,明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前 6 卷,于 1607 年出版.中译本书名为”几何原本”.徐光启曾对这部著作给以高度评价.他说:”此书有四不必:不必疑,不必揣,不必试,不必改.有四不可得:欲脱之不可 得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得.有三至三能:似至晦,实 至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似 至难,实至易,故能以其易易他物之至难.易生于简,简生于明,综其妙在明而 已.” “几何原本”的传入对我国数学界影响颇大.欧几里得的”几何原本”被称为数学家的圣经,在数学史,乃至人类科学史 上具有无与伦比的崇高地位.它在数学上的主要贡献是什么呢? 1)成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体 结构.2)对命题作了公理化演绎.从定义,公理,公设出发建立了几何学的逻辑体 系,成为其后所有数学的范本.3)几个世纪以来,已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段.4)演绎的思考首先出现在几何学中,而不是在代数学中,使几何具有更加 15 重要的地位.这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生.我们还应当注意到,它的影响远远地超出了数学以外,而对整个人类文明 都带来了巨大影响.它对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定 理,更重要的是它孕育了一种理性精神.人类的任何其它创造都不可能像欧几 里德的几百条证明那样,显示出这么多的知识都仅仅是靠几条公理推导出来 的.这些大量深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量,从 而增强了他们利用这种才能获得成功的信心.受到这一成就的鼓舞,人们把理 性运用于其它领域.神学家、逻辑学家、哲学家、政治家、和所有真理的追求 者都纷纷仿效欧几里德的模式,来建立他们自己的理论.此外欧氏几何的重要性还表现在它的美学价值。随着几何学美妙结构和 精确推理的发展，数学变成了一门艺术。希腊文化小结。古希腊的文化大约从公元前 600 年延续到公元前 300 3）希腊文化小结。年.古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论.他们所关心的并不是 这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象推理,激发人们对理想与美的追 求.因此,这个时代产生了后世很难超越的优美文学,极端理性化的哲学,以及 理想化的建筑与雕刻.那位断臂美人—米洛的维纳斯(公元前 4 世纪)是那个时 代最好的代表,是至善至美象征.正是由于数学文化的发展,使得希腊社会具有 现代社会的一切胚胎.希腊文化给人类文明留下了什么样的珍贵遗产呢?它留给后人四件宝.第一,它留给我们一个坚强的信念:自然数是万物之母,即宇宙规律的核 心是数学.这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来,并将它 数量化.第二,它孕育了一种理性精神,这种精神现在已经渗透的人类知识的一切 16 领域.第三,它给出一个样板—欧几里得几何.这个样板的光辉照亮了人类文化 的每个角落.第四，它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究奠定了基础。但是,令人痛惜的是,罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人.这就宣 布了一个光辉时代的结束.怀特海对此评论道:”阿基米德死于罗马士兵之手 是世界巨变的象征.务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人,领导了欧洲.„罗 马人是一个伟大的民族.但是受到了这样的批评:讲求实效,而无建树.他们没 有改进祖先的知识,他们的进步只限于工程上的技术细节.他们没有梦想,得不 出新观点,因而不能对自然的力量得到新的控制.” 此后是千余年的停滞.4)欧几里得几何的影响。欧几里得几何是推理的典范,其特点是,以简驭 欧几里得几何的影响。繁,以少胜多.这本书成为后人模仿的样板.我们来举几个典型的例子.阿基米德不是通过用重物作实验,而是按欧几里得的方式,从”相等的重物 在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律.牛顿称著名的三定律为”公理或运动定律”.从三定律和万有引力定律出发, 建立了他的力学体系.他的”自然哲学的数学原理”具有欧几里得式的结构.在马尔萨斯 1789 年的”人口论”中,我们可以找到另一个例子.马尔萨斯接 受了欧几里得的演绎模型.他把下面两个公设作为他的人口学的出发点:人需 要食品;人需要繁衍后代.他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立 了他的数学模型.这个模型简洁,有说服力,对各国的人口政策有巨大影响.令人惊奇的是,欧几里得的模式还推广到了政治学.美国的”独立宣言”是 一个著名的例子.独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的.17 美国第三任总统杰斐逊(1743-1826)是这个宣言的主要起草人.他试图借助欧 几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑.”我们认为这些真理 是不证自明的„”不仅所有的直角都相等,而且”所有的人生来都平等”.这些 自明的真理包括,如果任何一届政府不服从这些先决条件,那么”人民就有权 更换或废除它”.宣言主要部分的开头讲,英国国王乔治的政府没有满足上述 条件.”因此,„我们宣布,这些联合起来的殖民地是,而且按正当权力应该是,自 由的和独立的国家.”我们顺便指出,杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑 艺术.相对论的诞生是另一个光辉的例子.相对论的公理只有两条:1)相对性

原理,任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式;2)光速不 变原理,对于一切惯性系,光在真空中都以确定的速度传播.爱因斯坦就是在这 两条公理的基础上建立了他的相对论.关于建立一个理论体系,爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步.第一 步是发现公理,第二步是从公理推出结论.哪一步更难呢?他认为,如果研究人 员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练,那么他在第二步时, 只要”相当勤奋和聪明,就一定能成功”.至于第一步,即找出所需要的公理,则 具有完全不同的性质,这里没有一般的方法.爱因斯坦说:”科学家必须在庞杂 的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性,由此探求自然界 的普遍原理.” 5)选票分配问题。选票分配问题属于民主政治的范畴.选票分配是否合理 选票分配问题。选票分配问题 是选民最关心的热点问题.这一问题早已引起西方政治家和数学家的关注,并 进行了大量深入的研究.那么,选票分配的基本原则是什么呢?首先是公平合 理.要做到公平合理,一个简单的办法是,选票按人数比例分配.但是会出现这 18 样的问题:人数的比例常常不是整数.怎么办?一个简单的办法是四舍五入.四 舍五入的结果可能会出现名额多余,或名额不足的情况.因为有这个缺点,美国 乔治华盛顿时代的财政部长亚历山大汉密尔顿在 1790 年提出一个解决 名额分配的办法,并于 1792 年为美国国会所通过.美国国会的议员是按州分配.假定美国的人口数是 p ,各州的人口数分别 是 p1 , p2 , , pl.再假定议员的总数是 n.记 qi = pi n p 称它为第 i 个州分配的份额.汉密尔顿方法的具体操作如下:(1)取各州份额 qi 的整数部分 [q i ] ,让第 i 个州先拥有 [q i ] 个议员.(2)然后考虑各个 qi 的小数部分 {q i } ,按从大到小的顺序将余下的名额分 配给相应的州,直到名额分配完为止.汉密尔顿方法看起来十分合理,但是仍存在问题.按照常规,假定各州的人 口比例不变,议员名额的总数由于某种原因而增加的话,那么各州的议员名额 数或者不变,或者增加,至少不应该减少.可是汉密尔顿方法却不能满足这一常 规.1880 年,亚拉巴马州曾面临这种状况.人们把汉密尔顿方法产生的这一矛 盾叫作亚拉巴马悖论.汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益.其后,1890 年,1900 年人口普查后,缅因州和克罗拉多州也极力反对汉密尔顿方法.所以, 从 1880 年起,美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论.因此, 必须改进汉密尔顿方法,使之更加合理.新的方法不久就提出来了,并消除了亚 拉巴马悖论.但是新的方法引出新的问题,新的问题又需要消除.于是更新的方 法,当然是更加公正合理的方法又出现了.人们当然会问,有没有一种一劳永逸 的解决办法呢? 这个问题从诞生之日起,就一直吸引着众多政治家和数学家取研究.这里 19 要特别提出的是,1952 年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理—阿罗不可 能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统这就是说,只有更合理,没有 最合理.原来世上无”公”.阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里 程碑。阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果。因此，作为一名数学家，于 1972 年获得了诺贝尔经济奖。选举问题吸引经济学家 的因素主要有两个方面：策略与公平性。而策略的研究又引出了博奕论。6)伽利略的规划。历史上向前一步的进展，往往伴随着向后一步的推本 伽利略的规划。溯源。欧洲在千余年的沉寂后,迎来了伟大的文艺复兴.这是一个需要巨人,而 且也产生了巨人的时代.1564 年,伽利略诞生了,不独有偶,同年莎士比亚也诞 生了.文艺复兴运动为人们带来了希腊的理性精神.伽利略是第一个举起理性 旗帜的科学家.他的工作成了现代科学的新起点.近代科学成功的密诀在何处呢?在于科学活动选择了一个新目标.这个目 标是伽利略提出的.希腊科学家曾致力于解释现象发生的原因,例如亚里士多 德曾花费大量时间去解释为什么空中的物体会落到地上.伽利略第一个认识 到关于事物原因与结果的玄想不能增进科学知识,无助于人们找出揭示和控 制自然的办法.伽利略提出了一个科学规划.这个规划包含三个主要内容: 第一,找出物理现象的定量描述,即联系它们的数学公式;第二,找出最基本的物理量,这些就是公式中的变量;第三,在此基础上建立演绎科学.规划的核心就是寻求描述自然现象的数学公式.在这个思想的指导下,伽利略 找出了自由落体下落的公式,还找出了力学第一定律和第二定律.所有这些成 果和其它成果,伽利略都总结在 《关于两门新科学的方法和数学证明》 一书中, 20 此书耗费了他 30 多年的心血.在这部著作中,伽利略开创了物理科学数学化的 进程,建立了力学科学,设计和树立了近代科学思维模式.． 现在方向已经指明,航道已经开通,科学将呈现一种加速发展的趋势.但是, 要前进必须有新的数学工具.7)解析几何。解析几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程碑.他的 解析几何。创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何的局限性表示不满:古代的几何过 于抽象,过多地依赖于图形.他们对代数也提出了批评,因为代数过于受法则和 公式的约束,成为一种阻碍思想的技艺,而不是有益于发展思想的艺术.同时, 他们都认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数学能用来对 抽象的未知量进行推理,是一门潜在的方法科学.因此,把代数学和几何学中一 切精华的东西结合起来,可以取长补短.这样一来,一门新的科学诞生了.笛卡 儿的理论以两个概念为基础:坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意 代数方程看成平面上的一条曲线的概念.因此,解析几何是这样一个数学学科, 它在采用坐标法的同时,运用代数方法来研究几何对象.解析几何的伟大意义表现在什么地方呢? 1)数学的研究方向发生了一次重大转折:古代以几何为主导的数学转变 为以代数和分析为主导的数学.2)以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学,为微积分的诞生奠 定了基础.3)使代数和几何融合为一体,实现了几何图形的数字化,是数字化时代的 先声.4)代数的几何化和几何的代数化,使人们摆脱了现实的束缚.它带来了认 识新空间的需要.帮助人们从现实空间进入虚拟空间:从三维空间进入更高维 21 的空间.解析几何中的代数语言具有意想不到的作用,因为它不需要从几何考虑也 行.考虑方程

x 2 + y 2 = 25 我们知道,它是一个圆.圆的完美形状,对称性,无终点等都存在在哪里呢?在方 程之中!例如,(x,y)与(x,-y)对称,等等.代数取代了几何,思想取代了眼睛!在这 个代数方程的性质中,我们能够找出几何中圆的所有性质.这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示,能够探索出更深层次的概念.那就是四维几何.我们为什么不能考虑下述方程呢? x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 25, 以及形如

2 x12 + x 2 ++ x n = 25 的方程呢?这是一个伟大的进步.仅仅靠类比,就从三维空间进入高维空间,从 有形进入无形,从现实世界走向虚拟世界.这是何等奇妙的事情啊!用宋代著 名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程: 道通天地有形外,思入风云变态中.5）代数几何的发祥。高次曲线的研究成为可能。8)微积分。微积分诞生之前,人类基本上还处在农耕文明时期.解析几何 微积分。的诞生是新时代到来的序曲,但还不是新时代的开端.它对旧数学作了总结,使 代数和几何融为一体,并引出变量的概念.变量,这是一个全新的概念,它为研 究运动提供了基础.恩格斯说:”数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运 动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻 成为必要的了”.22 推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来,准备好这方面的思想, 产生像牛顿、莱布尼兹、拉普拉斯这样一批能够开创未来,为科学活动提供方 法,指出方向的领袖.但也必须等待创立一个必不可少的工具—微积分,没有微 积分,推导宇宙定律是不可能的.在 17 世纪的天才们开发的所有知识宝库中, 这一领域是最丰富的.微积分为创立许多新的学科提供了源泉.微积分是人类智力的伟大结晶.它给出一整套的科学方法,开创了科学的 新纪元,并因此加强与加深了数学的作用.恩格斯说:”在一切理论成就中,未必 再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这 里.”有了微积分,人类才有能力把握运动和过程.有了微积分,就有了工业革命, 有了大工业生产,也就有了现代化的社会.航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工 具都是微积分的直接后果.数学一下子走到了前台.数学在人类社会的第二次 浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了.1642 年 1 月 8 日,伽利略在宗教的迫害下,默默辞世.同年 12 月 25 日,一个 孱弱的没有了父亲的早产儿诞生了,他就是牛顿.牛顿接过伽利略的事业继续 前进.当初伽利略用数学化的语言描述自然界时,总是将运动限制在地球表面 或附近.他的同时代人开卜勒得到了关于天体运动的三个数学定律.但是,科学 的这两个分支似乎是独立的.找出它们之间的联系是对当时最伟大的科学家 的挑战.在微积分的帮助下,万有引力定律发现了,牛顿用同一个公式来描述太 阳对行星的作用,以及地球对它附近物体的作用.这就是说,伽利略和牛顿建立 的这些定律描述了从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为.宇宙中没有哪 一个角落不在这些定律的所包含的范围内.这是人类认识史上的一次空前飞 跃,不仅具有伟大的科学意义,而且具有深远的社会影响.它强有力地证明了宇 23 宙的数学设计,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学.在伽利略规划的指导下,借助微积分的工具在寻求自然规律方面所取得的 成功远远超出了天文学的领域.人们把声音当作空气分子的运动而进行研究, 获得了著名的数学定律.胡克研究了物体的振动.波意耳、马略特、伽利略 托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体的压力和密度.范 海尔蒙特利用天平测 量物质,迈出了近代化学中重要的一步.黑尔斯开始用定量的方法研究生理学.哈维利用定量的方法证明了,流出心脏的血液在回到心脏前将在全身周流.定 量研究也推广到了植物学.所有这些仅仅是一场空前巨大的、席卷近代世界的 科学运动的开端.到 18 世纪中叶,伽利略和牛顿研究自然的定量方法的无限优越性,已经完 全确立了.著名哲学家康德说,自然科学的发展取决于其方法与内容和数学结 合的程度,数学成为打开知识大门的金钥匙,成为科学的皇后.数学与自然科学的联盟所显示出的惊人成果,使人们认识到: 1)理性精神是获取真理的最高源泉;2)数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段;3)每一个领域都应该探求相应的自然和数学规律.特别是哲学、宗教、政 治经济、伦理和美学中的概念和结论都要重新定义,否则它们将与那个领域里 的规律不相符合.9)数学与绘画。在整个绘画史上,绘画的体系大致分为两大类:观念体系 数学与绘画。与光学体系.观念体系就是按照某种观念或原则去画画.例如,埃及的绘画和浮 雕作品大都遵从观念体系.人物的大小不是依照写实的原则,而是依据人物的 政治地位或宗教地位来决定.法老经常是最重要的人物,他的尺寸最大,他的妻 子比他小一些,仆人就小得可怜了.光学透视体系则试图将图形本身在眼睛 24 中的映像表达出来.它是从西方绘画艺术中发展起来的.早在希腊和罗马时期, 光学体系已经有了发展.但是到了中世纪,基督教神秘主义的影响使艺术家们 回到了观念体系.画家们所画的背景和主题倾向于表现宗教题材,目的在于引 导宗教感情,而不是表现现实世界中的真人真事.从中世纪末到文艺复兴时期, 绘画艺术发生了质的变化.其典型特征是,艺术家朝写实方向前进.在 13 世纪 末,数学也进入了艺术领域.到了 13 世纪的时候,通过翻译阿拉伯和希腊的著作,使亚里士多德的著作 广泛为人们所知晓.西方的画家们开始意识到,中世纪的绘画是脱离现实和脱 离生活的,这种倾向应当纠正.实际上,从中世纪转向文艺复兴,首先是人性的 觉醒.在中世纪,艺术只是为了”训导人”成为一个好的信徒.到了文艺复兴时期, 艺术则更多的是为了”丰富人”和”愉悦人”.在中世纪严格的思想控制下,希腊、罗马艺术中美丽的维纳斯竞被看作是” 异教的女妖”,而遭到毁弃.到了文艺复兴时期,向往古典文化的意大利人却觉 得这个从海里生起来的女神是新时代的信使,她把美带到了人间.文艺复兴时期的绘画与中世纪绘画的本质区别在于引入了第三维,也就是 在绘画中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象.三维空间的画面只有通 过光学透视体系的表达方法才能得到.这方面的成就是在 14 世纪初由杜乔(Duccio,1255-1319)和乔多(Giotto,1276-1336)取得的.在他们的作品中出现了 几种方法,而这些方法成为一种数学体系发展过程中的一个重要阶段.毫无疑问,达 芬奇是 15 至 16 世纪的一位艺术大师和科学巨匠.文艺复兴 时期的传记作家瓦萨里曾这样赞美他:”上天有时候将美丽、优雅、才能赋予 一人之身,他之所为无不超群绝寰,显示出他的天才来自上苍而非人间之力, 达芬奇正是如此.他的优雅与伟美无与伦比,他才智之高超使一切难题无不 25 迎刃而解.”他通过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化 学,为从事绘画作好了充分的准备.他对待透视学的态度可以在他的艺术哲学 中看出来.他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想:”欣赏我的作品的人, 没有一个不是数学家”.达 芬奇坚持认为,绘画的目的是再现自然界,而绘画的价值就在于精确地 再现.因此,绘画是一门科学,和其它科学一样,其基础是数学.他指出,”任何人 类的探究活动也不能成为科学,除非这种活动通过数学表达方式和经过数学 证明为自己开辟道路”.达芬奇创作了许多精美的透视学作品.这位真正富有科学思想和绝伦技 术的天才,对每幅作品他都进行过大量的精密研究.他最优秀的杰作都是透视 学的最好典范.”最后的晚餐”描绘出了真情实感,一眼看去,与真实生活一样.观众似乎觉得达 芬奇就在画中的房子里.墙、楼板和天花板上后退的光线不 仅清晰地衬托出了景深,而且经仔细选择的光线集中在基督头上,从而使人们 将注意力集中于基督.12 个门徒分成 3 组,每组 4 人,对称地分布在基督的两边.基督本人被画成一个等边三角形,这样的描绘目的在于,表达基督的情感和思 考,并且身体处于一种平衡状态.附图中给出了原画及它的数学结构图.10)从艺术中诞生的科学。数学对绘画艺术作出了贡献,绘画艺术也给了 从艺术中诞生的科学。数学以丰厚的回报.画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思 想,并促进了数学的一个全新方向的发展,这就是射影几何.在透视学的研究中产生的第一个思想是,人用手摸到的世界和用眼睛看到 的世界并不是一回事.因而,相应地应该有两种几何,一种是触觉几何,一种是 视觉几何.欧氏几何是触觉几何,它与我们的触觉一致,但与我们的视觉并不总 一致.例如,欧几里得的平行线只有用手摸才存在,用眼睛看它并不存在.这样, 26 欧氏几何就为视觉几何留下了广阔的研究领域.现在讨论在透视学的研究中提出的第二个重要思想.画家们搞出来的聚焦 透视体系,其基本思想是投影和截面取景原理.人眼被看作一个点,由此出发来 观察景物.从景物上的每一点出发通过人眼的光线形成一个投影锥.根据这一 体系,画面本身必须含有投射锥的一个截景.从数学上看,这截景就是一张平面 与投影锥相截的一部分截面.设人眼在 O 处(图 1),今从 O 点观察平面上的一个矩形 ABCD.从 O 到矩形 的四个边上各点的连线形成一个投射棱锥,其中 OA、OB、OC 及 OD 是四根 棱线.现在在人眼和矩形之间插入一平面,并在其上画出截景四边形 A' B' C' D'.由于截景对人眼产生的视觉印象与原矩形一样,所以人们自然要问:截景与原 矩形有什么共同的性质?要知道截景与原矩形既不重合,也不相似,它们也没 有相同的面积,甚至截景连矩形也不是.把问题提得更一般一些:设有两个不同平面以任意角度与这个投射锥相截, 得到两个不同的截景,那么,这两个截景有什么共同性质呢? 这个问题还可以进一步推广.设有矩形 ABCD(图 2),今从两个不同的点 O 和 O’来观察它.这时会出现两个不同的投射锥.在每个锥里各取一个截景,由 于每个截景都应与原矩形有某些共同的几何性质,因此,这两个矩形间也应有 某些共同的几何性质, 17 世纪的数学家们开始寻找这些问题的答案.他们把所得到的方法和结 果都看成欧氏几何的一部分.诚然,这些方法和结果大大丰富了欧几里得几何 的内容,但其本身却是几何学的一个新的分支,到了 19 世纪,人们把几何学的 这一分支叫作射影几何学.射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一物体的相同射影或不 27 同射影的截景所形成的几何图形的共同性质.这门”诞生于艺术的科学”,今天 成了最美的数学分支之一.11)新几何 新世界。众所周知,欧几里得几何以五条公设为基础,它们是 新几何,新世界。新世界(1)连接任何两点可以作一直线段.(2)一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线.(3)以任意点为中心,通过任意给定的另一点可以作一圆.(4)凡直角都相等.(5)如果在同一平面内,任一直线与另两直线相交,同一侧的两内角之和小 于两直角,则这两直线无限延长必在这一侧相交.(5)等价于”过一直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线”.这些公设的真理性不证自明,没有一位”神智健全”的人胆敢对此表示怀疑.从 如此坚实的基础出发,经过完美、严密的逻辑推理,产生出更多的定理,并为大 家所接受.笛卡儿、牛顿的成功使这些定理的地位愈加巩固,在两千多年的应 用中达到了光辉的顶点.人们毫不迟疑地得到这样的结论:欧氏几何是真理;真理就是欧氏几何.但是,从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安,其中包括欧几里得本 人.他们主要怀疑的是第五公设.因为只有第五公设涉及到无限,这是人们经验 之外的东西.第五公设的研究在 19 世纪导致对数学发展极其重要的一些结 果.19 世纪上半叶,数学史上有两个很重要的转折,一个是 1829 年左右发现的 双曲几何,一个是 1843 年发现的非交换代数.非欧几何的发现是人类思想史上 的一个重大事件.著名数学家凯塞说,欧几里得的第五公设,”也许是科学史上 最重要的一句话”.非欧几何的发现过程,可以在有关的数学史的著作中查到,”数学的思想、28 方法和应用”一书中也有详细介绍,这里不再论述.由于平行公设的不同而带来了欧氐几何与非欧几何的一些本质不同.都有 哪些不同呢,我们稍作介绍.例如，在罗巴切夫斯基的几何中三角形的内角和总小于180°.半径无限大 的圆周的极限不是直线，而是一种曲线，叫作极限圆.通过不在一条非欧直线 上的三点，并不总能作一个非欧圆，而能做的或者是非欧圆，或者是极限圆，或者是等距线(即与一条非欧直线等距离的点组成的线).不 存 在 面 积 任 意 大 的非欧三角形.两个非欧三角形相似就全同.毕达哥拉斯定理不成立,等等。在黎曼的几何中三角形的内角和总大于 180°.两个三角形,面积较大者具 有较大的内角和.一条直线的所有垂线相交于一点.两条直线围成一个封闭区 域.黎曼几何具有真实的意义吗?在这里答案是肯定的.如果将公理中的直线 解释为球面上的大圆,黎曼几何的公理恰恰适用于球面上.球面上没有平行线, 因为任何两个大圆都相交.事实上,它们不是相交一次,而是相交两次.另一个 定理也容易推导出来:一条直线的所有垂线相交于一点.我们指出,黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到令人满意的解释和意 义.换言之,自然界的几何或实用的几何,在一般经验意义上来说,就是黎曼几 何.几千年来,这种几何一直就在我们的脚下.但是,连最伟大的数学家也没有 想过通过检验球的几何性质来攻击平行线公理.我们生活在非欧平面上,却把 它当成一个怪物,真是咄咄怪事!非欧几何诞生的重要性与哥白尼的日心说,牛顿的引力定律,达尔文的进 化论一样,对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响.遗憾的是,在一般思想 史中没有受到应有的重视.它的重要影响是什么呢? 29 1 非欧几何的创立使人们开始认识到,数学空间与物理空间之间有着本质 的区别.但最初人认为这两者是相同的.这种区别对理解 1880 年以来的数学和 科学的发展至关重要.2 非欧几何的创立扫荡了整个真理王国.在古代社会,像宗教一样,数学在 西方思想中居于神圣不可侵犯的地位.数学殿堂中汇集了所有真理,欧几里得 是殿堂中最高的神父.但是通过鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工作,这种 信仰彻底被摧毁了.非欧几何诞生之前,每个时代都坚信存在着绝对真理,数学 就是一个典范.现在希望破灭了!欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终 结.3 真理性的丧失,解决了关于数学自身本质这一古老问题.数学是像高山、大海一样独立于人而存在,还是完全人的创造物呢?答案是,数学确实是人的 思想产物,而不是独立于人的永恒世界的东西.4 非欧几何的创立使数学丧失了真理性,但却使数学获得了自由.数学家 能够而且应该探索任何可能的问题,探索任何可能的公理体系,只要这种研究 具有一定的意义.非欧几何在思想史上具有无可比拟的重要性.它使逻辑思维发展到了顶峰.为数学提供了一个不受实用性左右,只受抽象思想和逻辑思维支配的范例,提 供了一个理性的智慧拚弃感觉经验的范例.数学的新用场

1992 年国际数学家联合会把 2000 年为世界数学年。其目的在于加强数学与 社会的联系，使更多人了解数学的作用。通常人们把数学分为纯粹数学与应用数学。纯粹数学研究数学本身提出 的问题，如费马大定理，哥特巴赫猜想，几何三大难题等。这些问题与生活 30 无关，不用于技术，不能改善人类的生活条件。应用数学却不同，它直接应 用于技术。这种看法在二次世界大战前具有相当的普遍性。二次世界大战后，情况发生很大变化。英国著名数学家哈代说,纯粹数学是一门“无害而清白” 的职业，而数论 和相对论则是这种清白学问的范例： “真正的数学对战争毫无影响，至今没 有人能发现有什么火药味的东西是数论或相对论造成的，而且将来好多年也 不会有人能够发现这类事情”。但 1945 年原子弹的蘑菇云使人们，也使哈代 本人在生前看到了相对论不可能与战争有关的预言的可怕破产。他最钟爱的 数论也已成为能控制成千上万颗核导弹的密码系统的理论基础。90 年代的 “海湾战争”甚至被称为数学战争了。二次世界大战后，数学的面貌呈现四大变化： 1）计算机的介入改变了数学研究的方法，大大扩展了数学研究的领

域，加强了数学与社会多方面的联系。例如，四色问题的解决，数学 实验的诞生，生物进化的模拟，股票市场的模拟等。2）3）数学直接介入社会，数学模型的作用越来越大。离散数学获得重大发展。人们可以在不懂微积分的情况下，对数

学作出重大贡献。4）分形几何与混沌学的诞生是数学史上的重大事件。

现在我们具体谈谈数学在各个领域里的新贡献。1)对化学。对化学。大约在 1950 年,一个名叫 H.Hauptman 的数学家对晶体的结构 这个迷产生了兴趣.从本世纪初化学家就知道,当 X-射线穿过晶体时,光线碰 到晶体中的原子而发生散射或衍射.当他们把胶卷置于晶体之后,X-射线会使 随原子位置而变动的衍射图案处的胶卷变黑.化学家的迷惑是,他们不能准确 31 地确定晶体中原子的位置.这是因为 X-射线也可以看作是波,它们有振幅和相 位.这个衍射图只能探清 X-射线的振幅,但不能探测相位.化学家们对此困惑 了 40 多年.H.Hauptman 认识到,这件事能形成一个纯粹的数学问题,并有一个 优美的解.他借助傅氏分析找出了决定相位的办法,并进一步确定了晶体的几何.结 晶学家只见过物理现象的影子, H.Hauptman 却利用 100 年前的古典数学从影 子来再现实际的现象.前几年在一次谈话中,他回忆说,1950 年以前,人们认为 他的工作是荒谬的,并把他看成一个大傻瓜.事实上,他一生只上过一门化学课 —大学一年级的化学.但是,由于他用古典数学解决了一个难倒现代化学家的 迷,而在 1985 年获得了诺贝尔化学奖.2)生物学。数学在生物学中的应用使生物学从经验科学上升为理论科 生物学。学，由定性科学转变为定量科学。它们的结合与相互促进必将产生许多奇妙 的结果。数学在生物学中的应用可以追溯到 11 世纪。我国科学家沈括已观察到出 生性别大致相等的规律，并立出“育胎之理”的数学模型。1866 年奥地利人 孟德尔通过植物杂交实验提出了“遗传因子”的概念，并发现了生物遗传的 分离定律和自由组合定律。但这些都是简单的，个别而不普遍。1899 年英人 皮尔逊创办《生物统计学》是数学大量进入生物学的序曲。哈代和费希尔在 20 世纪 20 年代创立了 《群体遗传学》 成为生命科学中最活跃的定量分析方，法和工具。意大利数学家沃尔泰拉在第一世界大战后不久创立了生物动力 学。而这几位都是当时的一流数学家。数学对生物学最有影响的分支是生命科学。目前拓扑学和形态发生学，纽结理论和 DNA 重组机理受到很大重视。美国数学家琼斯在纽结理论方面 32 的工作使他获得 1990 年的菲尔兹奖。生物学家很快地把这项成果用到了 DNA 上，对弄清 DNA 结构产生重大影响。《Science》发表文章“数学打开 了双螺旋的疑结” 其次是生理学。人们已建立了心脏、肾、胰腺、耳朵等许多器官的计算 模型。此外，生命系统在不同层次上呈现出无序与有序的复杂行为，如何描 述它们的运作体制对数学和生物学都构成挑战。第三是脑科学。目前网络学的研究对神经网络极关重要。为了让数学发挥作用，最重要的是对现有生物学研究方法进行改革。如 果生物学仍满足于从某一实验中得出一个很局限的结论，那么生物学就变成 生命现象的记录，失去了理性的光辉，更无法去揭开自然之谜。3)体育运动。用现代数学方法研究体育运动是从本世纪七十年代开始 体育运动。的。1973 年，美国的应用数学家 J.B.开勒发表了赛跑的理论，并用他的理论 训练中长跑运动员，取得了很好的成绩。几乎同时，美国的计算专家艾斯特 运用数学、力学，并藉助计算机研究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术，从而提出了他自己的研究理论，据此提出了改正投掷技术的训练措施，从而 使这位世界冠军在短期内将成绩提高了 4 米，在一次奥运会的比赛中创造了 连破三次世界纪录的辉煌成绩。这些例子说明，数学在体育训练中也在发挥 着越来越明显的作用。所用到的数学内容也相当深入.主要的研究方面有： 赛 跑理论，投掷技术，台球的击球方向，跳高的起跳点，足球场上的射门与守 门，比赛程序的安排，博奕论与决策。举个例子。1982 年 11 月在印度举行的亚运会上，曾经创造男子跳高世界 纪录的我国著名跳高选手朱建华已经跳过 2 米 33 的高度，稳获冠军。他开 始向 2 米 37 的高度进军。只见他几个碎步，快速助跑，有力的弹跳，身体 33 腾空而起，他的头部越过了横杆，上身越过了横杆，臀部、大腿、甚至小腿 都越过了横杆。，可惜，脚跟擦到了横杆，横杆摇晃了几下，掉了下来！问 题出在哪里？出在起跳点上。那么如何选取起跳点呢？可以建立一个数学模 型。其中涉及到，起跳速度，助跑曲线与横杆的夹角，身体重心的运动方向 与地面的夹角等诸多因素。4)数学与经济学的联姻。经济学在社会科学中占有举足轻重的地位。一 数学与经济学的联姻。方面是它与人的生活密切相关。它探讨的是资源如何在人群中进行有效分配 的问题。另一方面，是因为经济学理论的清晰性、严密性和完整性使它成为 社会科学中最“科学”的学科，而这要归功于数学。数学介入经济学使得经 济学发生了深刻而巨大的变革。目前看来至少推动了几门新的经济学分支学 科的诞生和发展。其中有数理经济学，计量经济学等。从 1969 到 1990 共有 27 位经济学家获得诺贝尔奖。其中有 14 位是因为提出和应用数学方法于经 济分析中才获此殊荣，其他人也部分地应用了数学，纯作文字分析的几乎没 有。5)数理语言学。在传统分类中语言学属人文科学。但由于它的研究对象 数理语言学。的特殊性，近年来它越来越向自然科学靠拢。因为它是一个内部规则严整的 系统，所以应用数学便是自然的了。用数学方法研究语言现象，给语言以定 量化与形式化的描述称为数理语言学。它既研究自然语言，也研究人工语言，例如计算机语言。数理语言学包含三个主要分支： 统计语言学； 代数语言学； 算法语言学。统计语言学用统计方法处理语言资料，衡量各种语言的相关程 度，比较作者的文体风格，确定不同时期的语言发展特征，等等。代数语言 学是借助数学和逻辑方法提出精确的数学模型，并把语言改造为现代科学的 演绎系统，以便适用于计算机处理。算法语言学是借助图论的方法研究语言 34 的各种层次，挖掘语言的潜在本质解决语言学中的难题。6）文学作品鉴真。）文学作品鉴真。《红楼梦》研究是一个很好的例子。1980 年 6 月在美 国威斯康星大学召开的首届国际《红楼梦》研讨会上，华裔学者陈炳藻宣读 了论文“从词汇统计论《红楼梦》的作者问题”。此后他又发表了多篇用电 脑研究文学的论文。数学物理中的谱分析与快速傅立叶变换密切相关。令人 吃惊的是，这一方法已被成功地应用于文学研究。文学作品的微量元素，即 文学的“指纹“，就是文章的句型风格，其判断的主要方法是频谱分析。日本有两位作者多久正和安本美典大量应用频谱分析来研究各种文学作品，最后达到这样的程度，随便拿一篇文字来，不讲明作者，也可以知道作者是 谁，就像法医根据指纹抓犯人一样，准确无误。7)史学研究。数学方法的应用为历史研究开辟了许多过去不为人重视，史学研究。或不曾很好利用的历史资料的新领域，并且极大地影响着历史学家运用文献 资料的方法，影响着他们对原始资料的收集和整理，以及分析这些资料的方 向，内容和着眼点。另外，数学方法正在影响历史学家观察问题的角度和思 考问题的方式，从而有可能解决使用习惯的，传统的历史研究方法所无法解 决的某些难题。数学方法的应用使历史学趋于严谨和精确，而且对研究结果 的检验也有重要意义。8).对自然界。大家都听到过蝉鸣，或知了叫。不管有多少蝉或知了，也 对自然界。对自然界 不管有多少树，它们的鸣声总是一致的。这是什么原因呢？谁在指挥它们？ 自然界最壮观的景象之一发生在东南亚。在那里，一大批萤火虫同步闪光。1935 年，在“科学”杂志上发表了一篇题为“萤火虫的同步闪光”的论文。在这篇论文中，美国生物学家史密斯对这一现象作了生动的描述： “想象一下，一棵 10 米至 12 米高的树，每一片树叶上都有一个萤火虫，35 所有的萤火虫大约都以每 2 秒 3 次的频率同步闪光，这棵树在两次闪光 之间漆黑一片。想象一下，在 160 米的河岸两旁是不间断的芒果树，每 一片树叶上的萤火虫，以及树列两端之间所有树上的萤火虫完全一致同 步闪光。那么，如果一个人的想象力足够生动的话，他会对这一惊人奇 观形成某种概念。” 这种闪光为什么会同步？1990 年，米洛罗和施特盖茨借助数学模型给 了一个解释。在这种模型中，每个萤火虫都和其他萤火虫相互作用。建模的 主要思想是，把诸多昆虫模拟成一群彼此靠视觉信号耦合的振荡器。每个萤 火虫用来产生闪光的化学循环被表示成一个振荡器，萤火虫整体则表示成此 种振荡器的网络—每个振荡器以完全相同的方式影响其他振荡器。这些振荡 器是脉冲式耦合，即，振荡器仅在产生闪光一瞬间对邻近振荡器施加影响。米洛罗和施特盖茨证明了，不管初始条件如何，所有振荡器最终都会变得同 步。这个证明的基础是吸附概念。吸附使两个不同的振荡器“互锁”，并保 持同相。由于耦合完全对称，一旦一群振荡器互锁，就不能解锁。最后,需要指出,数学与人类文明的联系与应用是多方面、多层次的.我们的 报告只涉及其中的一部分.数学与哲学、文学、建筑、音乐也都有深刻的联系, 这里不及叙述.计算机诞生后,数学与其它文化的联系更加深入和广泛.可以毫 无愧言地说,信息时代就是数学时代.联合国科教文组织在 1992 年发表了 〖里 约热内卢宣言〗,将 2000 年定为数学年,并指出,”纯粹数学与应用数学是理解 世界及其发展的一把主要钥匙”.未来不管你将从事自然科学还是社会科学, 请记住这句话.并用你的胆力、智慧和勤奋把人类文明推向新的高峰.36 1

第二篇：数学文化课程作业

教育科学学院 12初等教育班 钟舒怡 201213032131

数学文化课程作业

（三）1.分形：分形理论是人们在自然界和社会的实践活动中所遇到的不完全规则事物的一种数学抽象。分形理论自从20世纪70年代被提出以来，经过几十年的发展，已经成为一门重要的新学科，被广泛应用于数学、计算机科学、力学、物理学、化学、生物学、地质学、社会学、人文学以及艺术学等各个领域，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。分形理论是研究和处理自然与工程项目中不完全规则图形的强有力的理论工具，分形理论正起着把现代科学各个领域连接起来的作用，人们把它与耗散结构及混沌理论共称为20世纪70年代中期科学上的三大重要发现。随着电子计算机的迅速发展和广泛应用，分形的思想和方法正在不断的应用发展，日益影响着现代社会的生产和生活活动。随着分形理论的广泛应用，一些新的数学方法和数学工具被不断提出，显示了分形理论的强大生命力。

分形理论是非线性科学的前沿和重要分支，在分形造型、自然景物模拟以及图象压缩等方面具有广阔的应用前景，随着图形学和软件技术的迅速发展，分形理论的研究和应用日见受到人们重视。对具有分形特征的图形图像进行变形也越来越成为热门，分形变形技术是计算机图形学中重要的研究领域之一。

2.感想与建议：数学文化与人类一般文化的不同，与人类一般文化相比较，数学文化具有如下特点：首先，它具有自己独一无二的语言系统——数学语言。数学语言是按照简化自然语言的方向，按克服

自然语言中含糊不清的毛病的方向按扩充它的表达范围的方向去改进自然语言的结果。数学语言和自然语言的本质区别之一是变元的使用。由于使用了各种变元，数学语言能够较好地表示一般规律。其次，它具有独特的价值判断标准 —数学认识论、数学真理观。数学在它长期发展的过程中，形成了以逻辑论证来检验真理性的学科标准。这些集中地、淋漓尽致地反映了人类思维中极宝贵的逻辑性和简约性。再次，它具有独特的发展模式。在数学课程中谈数学文化，与在数学教育中倡导人文性并不能混为一谈。一方面，数学中蕴含的人文精神与数学知识建构中的人性特征，固然可以作为数学文化的生动材料，但是，对于数学教育的人文性来说，需要考虑的东西显然要更多一些。换句话说，后者比前者有更为丰富的内涵。在数学教育中倡导人文性，其含义应该不囿于数学文化语境中的“人文性”。另一方面，数学文化的基本素材并不必然对等于数学教育中的人文性。这是因为，数学文化兼有科学文化与

人文文化的共同特征，这一特点使得数学文化在数学课程建设中扮演着培育科学精神与人文精神的双重功效。数学文化保留了既有的数学活动的痕迹，是有关数学现象的一种客观纪录。在数学课程中谈数学文化，有一个很重要的功能选择问题，这至少包括3个方面的含义。第一，数学文化必须与数学课程的总体目标相协调、相一致。想的课程设计应该是融知识与文化于一体的。第二，数学文化应

它体现出对于数学前进方向和数学思想方法的一种倾向、一种引导和一种归结，而不仅仅是事实的陈述与历史的展现。第三，数学文

化应该与学习者的既有文化系统做一个很好的切合。所以，数学文化在数学课程中予以渗透，这一思想倾向总体上是值得肯定的。

但是如果在数学课堂上过度纠缠于数学史的枝节，就会偏离数学课堂的核心目标。数学课程的核心是教数学，而不应该是数学知识的演化史，或者数学故事、数学家生平，甚至数学的应用价值，都不代替数学本身。这里，数学课程的过滤与选择功能应该发挥其对于数学文化材料的更大的作用。在有限的课程容量与资源的限制之下，数学课程应该把什么样的“目标”和“素材”放在优先和重要的位置，是一个十分关键的问题。我们的理解是，“数学文化”应该包含这样的意思，就是一种数的印象、数学的“感觉”和“知道”，即不一定非要会证明、非要把细节和来龙去脉弄得一清二楚，知道个大概和有这回事就行了。所以，希望以后上这门课的老师能更加形象的介绍这门课程。

第三篇：应用数学基础课程教学大纲

应用数学基础课程教学大纲

一、课程的性质与任务

应用数学基础是河北广播电视大学高等专科计算机类各专业开设的一门必修课程。本课程是在学生完成一元函数微积分的基本知识、基本理论和基本方法的学习基础上，介绍多元函数微积分简介、线性代数初步、概率论和数理统计基础等内容。

二、课程的目的与要求

本课程的教学目的是使学生在一元函数微积分的基础上，进一步扩充在后续课程的学习和今后实际工作中必须具备的数学学科的基本知识、基本理论和基本方法，使学生初步掌握多元微积分、线性代数、概率论和数理统计的基本概念和基本方法，培养学生具有初步的抽象思维和慎密的概括能力，提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力以及自学能力，使学生具有较高的学习专业理论的素质。因此，通过本课程的学习，要求学生： 1.了解多元函数微积分的基本概念和基本方法，进一步建立变量的思想，提高综合运用所学知识解决实际问题的能力。

2.熟悉线性代数研究问题的方法，掌握矩阵、向量、线性方程组等方面的基本理论和基本运算，提高抽象思维、逻辑推理和基本运算的能力。

3.初步认识概率论和数理统计是研究随机现象数量规律性的科学，掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，以及处理随机现象的基本思想和基本方法，具有运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

三、课程的教学内容及学时

本课程共计72学时。具体内容及学时如下：

第一部分

多元函数微积分学简介

9学时

1.预备知识

平面区域，空间直角坐标系，空间的平面与曲面等概念。2.多元函数的概念

多元函数的定义，二元函数的极限与连续性。3.偏导数与全微分

偏导数与全微分及其几何意义，高阶偏导数。4.二重积分

二重积分的定义与基本性质，在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分。

第二部分

线性代数

27学时

（一）矩阵

1.矩阵概念

矩阵的概念，零矩阵，单位矩阵, 数量矩阵，对角矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵，矩阵相等。

2．方阵的行列式

n阶行列式的定义，行列式的性质，克莱姆法则。3．矩阵的运算

矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵的乘法，矩阵的转置。方阵乘积行列式定理。4．逆矩阵

可逆矩阵与逆矩阵的定义、性质。矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的初等行变换，逆矩阵的求法。5.分块矩阵

分块矩阵及其运算，准对角矩阵。

（二）线性方程组

1.高斯消元法解线性方程组

线性方程组的系数矩阵，增广矩阵，阶梯形矩阵，线性方程组解的几种情况。2.n维向量

n维向量定义，向量的线性运算，线性组合，线性表出，向量组线性相关与线性无关。3.向量组的秩和矩阵的秩

极大线性无关组，向量组的秩和矩阵的秩。4.线性方程组的相容性

线性方程组的相容性定理，解的情况讨论，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。5.线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的性质，基础解系，一般线性方程组解的性质及解的结构。

第三部分

概率论与数理统计

36学时

（一）随机事件与概率 1.随机事件

随机事件的关系与运算。2.概率及其性质

随机事件的频率、概率，古典概型及其简单计算，概率的基本性质。3.概率的运算法则

概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性。完备事件组概念，全概公式。4.贝努里概型

n重贝努里试验与二项概型。

（二）随机变量与数字特征 1.随机变量及其分布

随机变量的概念及分类，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量的分布函数。离散型随机变量函数的分布。2.随机变量的数字特征

数学期望、方差与标准差的概念，期望与方差的性质。随机变量函数的期望公式。矩的概念。

3.几种重要的分布及数字特征

两点分布、二项分布、泊松分布和它们的数字特征。均匀分布、指数分布、正态分布和它们的数字特征。4.二维随机变量

二维随机变量的联合分布、边缘分布、独立性。二维随机变量的期望与方差的性质。*5.中心极限定理

切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理。

（三）数理统计基础

1.数理统计的基本概念

总体与样本，样本函数与统计量，样本矩。抽样分布（分布，t分布）。2.点估计

点估计概念，期望与方差的点估计（矩法与最大似然法）。3.估计量的优良性

无偏性与有效性。4.区间估计 置信区间与置信度。单正态总体与的区间估计。

5.假设检验的基本概念

假设检验问题的提出，假设检验的基本思想，两类错误，显著性水平。6.单正态总体均值与方差的检验

已知方差的均值检验的U检验法，未知方差的均值检验的t检验法。方差的假设检验的22检验法。

四、教材和媒体

1．文字教材

文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。

本课程的文字教材使用《应用数学基础》（胡晶主编，河北大学出版社），《应用数学基础》的编写采用主教材和辅教材“合一型”方式。

2.本课程已经制作出教学辅助学习课件，即CAI课件。教学大纲、学习要求、内容提要、在线辅导、自测练习、模拟测试栏目。

第四篇：数学文化课程论文

浅谈数学机械化

一、数学机械化的概念 何为数学机械化？所谓数学问题的机械化,就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。即将数学的主要内容，方程求解与定理证明，转变为计算机可以接受的形式并利用计算机强大的计算功能解决数学与高新技术中的理论问题。即所谓的机械化就是刻板化和规格化，也就是对一类定理(可以是成千上万)提供一种统一的算法，使得该类定理中的每个定理，都可依此方法给出证明。从而实现从“一理一证”到“一类一证”的飞跃。在数学中，要通过推理和证明来建立定理，证明的每一个步骤都是通过逻辑推理，推出另一些命题。从它们出发进行推理的命题称为前提，由此推出的命题称为结论。而机器证明，就是要把这项推理和证明的工作交由计算机去完成。它是现代数学中一种新兴的边缘性学科，是现代人工智能发展的一个重要方向。

二、数学机械化的理论基础

数学机械化研究，是在初等几何定理的机器证明研究方面取得突破的。公理化体系的几何定理证明非常不机械化。以中学课程中的几何为例，－个定理的证明，往往要经过冥思苦想，奇巧构思，无章可循地填加辅助线，迂回曲拆地给出证明。如何利用计算机进行自动惟理，特别是进行几何定理的自动证明，是学术界长期研究的课题。所谓定理的机械化证明，就是对一类定理（这类定理可能成千上万）提供一种统一的方法，使得该类定理中每个定理，都可依此方法给出证明。在证明过程中，每前进一步，都有章可循地确定下一步该做什么和如何做。从“一理一证”到“－类一证”，是数学的认识和实践的飞跃。吴先生创立了初等几何（泛指不具有微分运算的几何，如欧氏几何、非欧几何、仿射几何、投影几何、代数几何等等）定理证明的机械化方法，国际上称“吴方法”，首次实现了高效的几何定理的机器证明。“吴方法”也可用于几何定理的自动发现和未知关系的自动推导。吴文俊先生的开创性成果，打破了国际自动推理界在几何定理自动证明研究中长期徘徊不前的局面，也使我国在这一领域处于领先地位。吴先生的杰出贡献，使他获得1998国际自动推理界的最高奖“Herbrand奖”。

例如机械化证明几何定理：首先引进坐标，使待证定理的假设与终结都转换成多项式方程。这在通常的情形都是如此的。然后依照某种确定的方式对代表假设的多项式方程进行处理，使在有限步骤后到达代表结论的那一个多项式方程，或与之相反。这就给出了一个机械地进行的证明或否定一个几何定理的过程。这一方法还具有普适的性质。即不论所考虑的定理出自何种初等几何，不论是欧氏的，还是非欧的，只要像通常出现的那样，假设与终结都可用多项式方程来表示，就可应用这同一的方法与过程

三、数学机械化的发展历程

历史上一些大师级的数学家，曾在几何定理的机器证明这条道路上艰辛地探索过。笛卡儿为了用代数的方法来处理千变万化的几何问题，发明了坐标方法，创立了解析几何，这是科学上的一件大事，从而为用计算机解决几何问题打下了基础。

莱布尼滋，微积分的创始人之一，曾有过“推理机器”的设想。他还提出了现代计算机上所用二进制记数法，这项工作促进了数理逻辑的早期工作。

大数学家希尔伯特在他的《几何基础》中，曾给出了一类几何问题的机械化解题方法。9 4 5年，波兰数理逻辑学家塔尔斯基(A．A．Tarski)证明了一个值得称道的定理——塔尔斯基定理：一切初等几何和初等代数的命题，都可以机器证明。(前提和结论都可以用有限个整系数多项式的等式或不等式来表达的命题，叫做初等几何和初等代数命题。)1 9 7 5年，考林斯(Collins)提出了“柱面代数分解方法”，比塔尔斯基的方法提高了许多，但在计算机上仍然只能解决个别稍难点的几何问题。

20世纪70年代以来，吴文俊研究机器证明问题。他提出的机械化方法，国际上称之为“吴方法”，被认为是机器证明的里程碑式的贡献。2001年，吴文俊获首届中国国家最高科技奖，而机器证明是获奖的主要原因。

1984年，吴文俊院士的学术专著《集合定理机器证明的基本原理(初等几何部分)》由科学出版社出版。这本专著遵循机械化思想引进数系和公理，依照机械化观点系统地分析了各类几何体系，诸如Pascal几何、垂直几何、度量几何，以及欧氏几何，证明确立了各类几何的机械化定理，系统地阐明了几何定理机器证明代数方法的基本原理。

后来，洪加威等人提出了通过数值实例的检验（即列举法）来证明几何定理的思

想方法，张景中、杨路提出了数值并行法和面积法，李洪波、王车明发展了不变量方法，极大地促进了数学机械化的发展。

四、数学机械化的应用

1.证明几何学问题

几何学包括定理证明、几何作图和几何不等式证明。在吴先生开刨性成果的影响和启迪下，在几何学的机械化方面，如定理机器证明、几何自动作图和几何不等式机器证明，我国学者都取得了很大成绩。

众所周知，直线和平面等几何概念可由一次代数方程描述，多项式方程则用于描

述曲线和曲面等。数学科学中，从线性到非线性的第一步跨跃，是由多项式实观的。因此，多项式方程组求解是非线性数学最基本的课题，这个问题的研究已经持续几百年。数学不同分支中许多的问题、自然科学不同领域中很多的问题、高新技术中大量的问题，都可转化为多项式方程组求解。在几何定理机器证明的过程中，必须理清多项式方程组的零点结构。这一需求，促使吴先生创立了多项式方程组求解的理论和方法，国际上称“特征列法”或“吴消元法”。吴先生还把这些方法拓展到微分情形，建立了微分几何定理机器证明和微分代数方程组求解的机械化理论和方法。自然，较之代数情形，微分代数的应用范围更为广阔，同时，问题的研究更为复杂和困难。

2.四色问题的证明

人工智能定理证明最有说服力的例子，是机器证明了困扰数学界长达100余年之久的难题——“四色定理”。据说，“四色问题”最早是1852年一位21岁的大学生提出的数学难题：任何地图都可以用最多四种颜色着色，就能区分任何两相邻的国家或区域。这个看似简单的问题，就象“哥德巴赫猜想”一样，不知难倒了多少著名数学家和献身数学的业余爱好者，属于世界上最著名的数学难题之一。

1976年6月，美国伊利诺斯大学的两位数学家沃尔夫冈·哈肯（W.Haken）和肯尼斯·阿佩尔（K.Apple）自豪地宣布，他们用电脑证明了这一定理。哈肯和阿佩尔攻克这一难题使用的方法仍然是前人提出的“穷举归纳法”，只是别人用的是手工计算，无论如何也不能“穷举”所有的可能性。哈肯和阿佩尔编制出一种很复杂的程序，让3台

IBM360大型电脑去自动高速寻找各种可能的情况，并逐一判断它们是否可以被“归纳”。十几天后，共耗费了1200个机时，做完了200亿个逻辑判断，电脑终于证明了“四色定理”。

3.数学定理的自动发现

数学机械化的发展方向不仅仅是定理自动证明，它还应该能使用户发现他以前并不知道的定理，即定理的自动发现或猜想的自动提出。

以HR系统为例，来阐述如何自动发现定理。

HR系统是一种主要做描述性归纳工作的机器学习系统，它能基于所给的背景知识提出经验性的猜想，并尝试使用第三方软件来证明该猜想的正确性。下面我们把该系统所能做的工作分为6大类：（ⅰ）使用由用户提供的背景信息（ⅱ）发明新的概念（ⅲ）提出经验性猜想（ⅳ）寻找反例（ⅴ）证明该定理（ⅵ）报告结果。

计算技术在纯数学领域一个最要的应用就是使用CAS进行数学家无法通过手工完成的计算工作，在计算过程中通过对由CAS内部产生数据的分析来探索新的函数和提出经验性猜想。在该探索和发现过程中，我们通过使用HR系统提出关于用户所给的Maple函数的猜想，使这个探索和发现过程完全机械化。在该过程中，HR先用用户所提供的Maple函数的信息来发明新的概念，进而提出与这些新概念相关的数学猜想，然后把这个猜想交给第三方定理证明机，通常是Otter theorem prover, 来证明该猜想的真伪。这种方法已经成功运用在20多个有限代数理论体系中，其中主要包括数论、图论、集合理论和ring理论，发现了很多重要的新定理。

五、数学机械化的发展前景

自20世纪70年代以来，计算机解几何问题的本领已飞跃提高。但是更难的问题的解决，要求发展更有力的新方法。发展非线性代数方程组的并行插值求解方法，综合不同方法的长处以建立有效的人机交互求解系统，都是极有希望的研究方向。对于几何不等式和几何作图的机器求解的研究，这不但有传统的兴趣，更有广泛的应用，是目前国际上一个很活跃的领域。这一方向方兴未艾，有大量的工作可做。在几何定理的机器证明的各种方法都有长足的发展，如何把不同的方法综合起来，组织成有效的几何问题计算机自动求解或人机交互求解系统，将成为更有意义的研究方向。

在研究几何定理机器求解时，创造或发展了一些新的方法或代数工具，它们也可以用来解决其他领域的问题。如机构设计、曲面造型、计算机辅助设计、机器人控制、计算机视觉、自动控制、化学平衡、几何模型等领域都有着广泛的应用。但这些都是本领域人员自己的设想，与技术领域的实际需求有一定的距离。因此，有必要做更具体的分析，并开发界面友好、易学易用的软件。另一种应用是把几何定理机器证明的程序发展成软件，或者直接嵌入计算机应用软件中。在这些方面，数学机械化有很大的发展前景。

【参考文献】

[1] 吴文俊 《论数学机械化》 山东教育出版社1996年7月

[2] 易南轩，王芝平《多远视角下的数学文化》 科学出版社 2007年9月

[3] 林东岱《数学与数学机械化》 山东教育出版社 2001

第五篇：我的数学绘本课程

我的数学绘本课程

【摘 要】如果说教育就是生长，生长就是目的的话，那么数学绘本中的情境就是滋润生长的载体、呵护生长的通道，它以自己独特的价值追求、具有个性的方式方法，走进孩子的心灵，实现知识与情境依存、儿童与情境互动。文章从对数学绘本的赏析、逻辑、拓展的角度梳理了作者开发自有数学绘本的过程，以资借鉴。

【关键词】数学；情境；课程

中图分类号：G613.4 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）13-0133-02

一、数学绘本是什么

数学绘本到底是什么？有的教师认为，绘本最适用于语言领域的早期阅读。笔者认为，数学绘本是一本美丽的图画书，是一本动听的故事书，是一本神奇的数学书，它提供了贴近生活经验的场景，让数学概念或问题发生在生活中，体会到生活中有很多有用和有趣的数学，这样数学就不会遥远、生硬。

学生在数学绘本课程中，一边阅读，一边回忆，主动地打量着自己的生活。教师只要选准恰当的时机，给予儿童时间、空间，他们就可以表达出自己对生活的理解、感悟。无论是阅读蕴含在数学绘本中的道理，还是打量生活，解决实际生活中的问题，都是在悄无声息地丰富着学生的逻辑底色，快乐地充实着他们的童年生活。一册短小精薄的绘本，如同一部精彩的动画剧，学生在零压力的情况下，带着好奇、兴奋的心情，透过文字与画面，感悟到世界的缤纷与丰盈。

二、数学绘本课程是始于生活的课程

有人说，数学是一段旅行，那么在这段旅行的路上，学生如何留下难忘的回忆，如何汲取一生的素养，如何获得人生的力量呢？生活应是能影响学生成长的“风景”。

对于儿童来说，生活既是学习的内容，也是学习的方式；既是他们当下的存在，也是构建学习能力的基本要素。研究表明，即使不借助符号认知，儿童也能够通过自己的方式完成学习。在学生眼中，生活有着无穷无尽的变化与乐趣，激发着他们探索的欲望，他们会主动运用感官，在思维层面进行判断、推理、整合与加工。数学绘本以儿童发展为核心，通过还原儿童生活，帮助他们从不同层面完成学习，课程的表现形式也是生活化的。教师和学生一起感受生活，用学生的方式学习与探索，帮助他们使零散的知识经验结构化，进一步内化为知识与觉知。例如，绘本《我家漂亮的尺子》中的文字不多，画面清晰易懂，书中介绍了小女孩一家在日常生活中用手、用脚、用胳膊等身体部位来测量长度，让学生明白原来每个人都是一把尺子。

又如，在活动中，从一个宝宝长大讲起，用一个孩子的视野去看待测量，从测量的必要性到身边的测量工具，如一把、一步等，都是身体的一部分，都可以用来进行简单测量。此时，不妨让学生动手体验，用自己身上的小尺子进行测量，学生纷纷举起小手，要求用自己的小手臂测量笔者的腰围……原本普普通通的数学绘本活动顿时充满爱的气息。最后抛出问题：小宝宝长大了，又会发生什么故事？学生纷纷说：“尺子也变大了，每个宝宝长大后的尺子大小是不一样的！”……于是，笔者笑着用一句富有启发的话结束活动：“当身边的尺子不一样时，小宝宝会怎么测量呢？大家回去好好思考一下吧！”数学绘本课堂虽然结束了，但是数学思考还没有停止，数学绘本课程就是要用生活来完成学习，而不是用学习来替代生活。

三、数学绘本课程是始于问题的课程

世界本是问题的世界，没有问题就不成其为世界。《3～6岁儿童发展学习指南》中的“数学认知”这一子领域以“解决问题”为核心，发现问题、分析问题和解决问题既是幼儿学习数学的重点，也是基本途径。因此，绘本、数学问题、过程是数学绘本课程的“三块基石”。

如何从发现问题中汲取智慧，从解决问题中获取力量，这是一个充满艰辛的探索过程。在笔者眼里，问题不是麻烦，每个问题都蕴含着解决的“种子”。笔者视绘本资源中的数学问题为“接生婆”，透过“绘本”和“数学问题”这两条并进的线索，对绘本中的问题进行相应的删选或拓展。

活动中，笔者努力突破传统封闭式教育，解决单纯符号化认知使儿童处于被动应付状态、发展受到压抑、潜能未被有效开发的问题。例如，《好饿好饿的小蛇》中小蛇的食物问题透视着“集合形状”的认识，《蜘蛛的糖果商店》透视着“概率”的方法。又如，绘本《大熊的储藏室》，中班教学重点可设计为根据物体的3种特征进行分类，初步学习物体的二次分类；大班教学重点可设计为初步尝试按种类进行分类，能与同伴共同概括、分类方法并迁移于生活。在这样的数学绘本课程中，学生乐于“悬思”、敢于“探索”、善于“顿悟”，以“望尽天涯路”的开阔视野、“众里寻他千百度”的顽强毅力、“衣带渐宽终不悔”的坚定韧劲，收获了“那人却在，灯火阑珊处”的无比喜悦。

四、数学绘本课程是始于情境的课程

实践研究中，笔者试图从以下方面破解“孩子主动与绘本情境、图画对话，把自己心中情境与蕴含的数学元素积极互动”的密码。

1.密码1：顺应主旨

学生对数学绘本的阅读往往停留在感性认识阶段，找寻、思考绘本中内隐的“鲜活、个性的生活状态”和“惊喜的多样性”是笔者向往的理想花园。反思形成课程的诸多要素，目标的确立、内在的逻辑思考方式是数学活动中非常重要的一环，让学生顺应天性，静静地、专注地、有节奏地、慢慢地生长，必然要顺应数应绘本的主旨。例如，绘本《寻找消失的爸爸》的知识点是初步了解平面图形和立体图形的关系，笔者制订了教学目标：①在看绘本找线索的过程中初步了解平面图形和立体图形的关系；②体验帮助智娜找到爸爸的快乐。让幼儿在看绘本找线索的过程中，观察周围各种立体图形物体的各面，试着找出立体图形上的平面图形，并通过平面图形类推出对该立体图形物体的部分认知。在此过程中，幼儿准确地理解了我们周围的物体全部是立体图形，并不存在像圆形、三角形和四边形这样没有厚度只有形状的物体。

2.密码2：化静为动

绘本创作者构思故事时，总是着力于用图表现动的东西，表现一瞬间的行为、动作、神态，以暗示时间的推移，叙述故事，而原本承载着数学信息的文字语言则被“少量化了”，其中一部分文字被作者融入图画，或隐退到图背后。根据数学绘本的这一特点，笔者精选绘本中的“典型图画”，巧妙设计活动过程，在文图交融、往返运动的阅读过程中，引导学生仔细观察图画中人物的行为、动作、神态，联系配图的文字，放飞想象，弄清他们在干什么，发生了什么事，并结合各自的生活经验，发现图中人物之间、人物与环境之间的联系，揣摩他们在说什么、想什么，让平面的、静止的画面在儿童心中变得立体起来、鲜活起来。

在绘本教学中，要制作一些与绘本、文本相匹配的教学用具，真真切切地为教学目标服务。在绘本教学《我家漂亮的尺子》中，提供一比一等比的尺子、幼儿常见的地垫；在《寻找消失的爸爸》中，提供各种立体的几乎型生活物品（圆锥形、立方体、圆柱形）糖盒等学具，让学生在与材料的互动中主动学习、探究，享受成功与喜悦。学生边玩边学，在轻松、愉悦的操作活动中学习着，体验着，使原来枯燥、抽象的数学知识变得生动形象，富有情趣，达到较好的效果。

课程的建构离不开积累，积累离不开坚守；坚守的力量来自于内心里信仰般的确认。数学绘本课程犹如生长的跑道，要让学生在教师自己开发的跑道上成长，课程即成长！

（编辑：易继斌）