[初中数学]正多边形和圆教案2 人教版

第一篇：[初中数学]正多边形和圆教案2 人教版

《正多边形和圆》教案2 教学目标 ：

（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．

教学难点 ：

对定理的理解以及定理的证明方法．

教学活动设计：

（一）观察、分析、归纳：

观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

（二）正多边形的概念：

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

（三）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

（五）初步应用

P157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2．求证：正五边形的对角线相等．

3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．

（六）小结：

知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

（七）作业 教材P172习题A组2、3． 教学设计示例2 教学目标 ：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

教学难点 ：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

教学活动设计：

（一）提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

组织学生自己完成以下活动．

实践：

1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．

同理，点E在⊙O上．

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．

（2）归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

正五边形的各顶点共圆．

正五边形有外接圆．

圆心到各边的距离相等．

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．

（3）巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

（四）正多边形的性质：

1、各边都相等．

2、各角都相等．

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

（五）总结

知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

能力：探索、推理、归纳等能力．

方法：证明点共圆的方法．

（六）作业 P159中练习1、2、3．

教学设计示例3 教学目标 ：

（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．

教学重点：

综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．

教学难点 ：综合运用知识证题．

教学活动设计：

（一）知识回顾

1．什么叫做正多边形？

2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于 ．

5．正多边形的有关的定理．

（二）例题研究：

例

1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．

已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求证：五边形ABCDE是正五边形．

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

教师引导学生分析，学生动手证明．

证法1：连结OA、OB、OC，∵五边形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五边形ABCDE是正五边形．

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．

例

2、已知：正六边形ABCDEF．

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．

（三）小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．

能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．

（四）作业

教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．

探究活动

折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．

（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）

（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．

（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD；

②对折小正方形ABCD的中线；

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）

探究问题：

（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．

（1）[说明]（2）[证明]（3）[猜想]

解：（1）由图知∠AFC对 ．因为 =，而∠DAF对的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．

（2）因为∠A对，∠B对，又因为∠A=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七边形ABCDEFG是正七边形．

猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形

第二篇：正多边形和圆反思

正多边形和圆教学反思

孙叶

这一节课，我花了十分钟的时间已经让学生通过看书感知了中心、中心角、半径、边心距的定义，这节的教学重点是特殊的正多边形和圆中边心距、边长、半径的关系。

我先给了学生五分钟看书上正六边形的例题，在黑板上画了半径为R的正四边形、正六边形、正三角形及其外接圆，点拨例题后我以表格的形式给出学生的第一个问题是：分别用R表示正四边形、正六边形、正三角形的边长、周长、边心距和面积。以前一直习惯于我讲学生听，这节我试着让学生讲，学生在黑边前的讲解的时候我发现其他学生听的更认真，虽然讲解的学生还存在着声音小、讲解不是太透彻等缺点，但整体还可以，多给学生机会肯定会有提高。整节课我围绕这个问题花了很长的时间，目的是让更多的学生体会并且学会这种构造直角三角形的思想。其中我给学生补充的知识有：有一个角是30度的直角三角形的三边比和等腰直角三角形的三边比的推导及结论，我觉得这样可以为学生的运算节省时间。

这节课的第二个问题是：探究正三角形的外接圆半径R和内切圆的半径r的数量关系，以及它们与正三角形的高之间的数量关系。在这个过程由两个同学去讲解，田礼厚同学通过连接半径转化R构造直角三角形，而郑文豪同学通过构造弦心距转化r构造直角三角形，同样都是转化，但转化的不一样，我觉得学生的思维表现的很活跃。

整节课设计的问题较少，重点在于让学生体会构造思想和转化思想，学生表现很积极，但是没有练习以及反馈的时间，在接下来的练习课上我觉得困扰学生的不是构造直角三角形的思想而是计算的速度及准确性，但快速准确运算又不是一天两天的功夫，我认为对于我的学生而言，每节课还得给适当的运算来锻炼学生。

第三篇：24.3 正多边形和圆(教案)

24.3正多边形和圆

【知识与技能】

了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】

正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识

观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.（1）你能从图案中找出多边形吗？

（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？ 【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知 1.正多边形和圆的关系

问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.证明：在⊙O中，∵ABBCCDDEEA，∴AB=BC=CD=DE=EA，CDA3BCEAB，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？

答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.2.正多边形的有关概念

综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：

360°n；内角的度数为：180°（n-2）n 3.正多边形和圆有关的计算问题

例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.4.画正多边形

画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：（1）用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.（2）用尺规等分圆

正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解

1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，„„正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.（1）求图1中的∠MON的度数；

（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案）【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.【答案】1.72°

4.解：（1）连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？

【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取.2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.

第四篇：圆与正多边形教案一

正多边形与圆

田小华

一．学习目标：

1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；

2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；

3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形； 二．教学重难点

学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。三．自学提纲

了解正多边形的概念，掌握如何利用尺规做正多边形的画法，理解正多边形与圆的的定理。

四．教学过程： 1.情境创设：

我们国旗上的五角星怎么画的？能不能利用尺规作出正五边形 及所有边相等的正多边形

提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？

拓展：如果圆内接正三角形，正方形有什么性质

二、探索活动：活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念

正多边形的概念：（学生读出，并及时理解）

（注：各边相等与各角相等必须同时成立）

提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形等．

定理：

此定理讲述了元与正多边形的关系，和包含了做圆内接正多边形的方法，我们拿正五边形来做事例 分析书上的例题 P33 拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA．（图形师生共同作图）

（1）求证：五边形ABCDE是正五边形． 探讨：以圆心到弦AB的弦心距为半径，还以O为圆心画圆。这个圆与正五边形什么关系？

活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系

1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；

2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。

活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形 问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？

拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？

五、课堂练习

课本P34练习1,2和P35习题3，4

六．小结：本节课主要讲的是圆与正多边形联系，及如何作正（四，五，六，八）多边形，及进一步探讨正多边形的对称性。

第五篇：《正多边形和圆》第二课时参考教案

24.3 正多边形和圆

第二课时

教学目标：

1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形．

2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形．

3、通过画图培养学生的画图能力；

4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力．

5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力． 教学重点：

(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形． 教学难点：

准确作图． 教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形．

二、新课讲解：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径rn，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形．

n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．

另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的．

由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．

学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．

大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)

请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形．

大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)请同学们用此二法在图上画出正八边形．

照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．

方法1．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．

方法2．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)

在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E．画出图形比较准确．

请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．

大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可)请同学们按此法画半径为2cm的正三角形．

请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？

在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点．引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB ∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°． ∴ DE是⊙O内接正12边形一边．

三、课堂小结：

这堂课你学了哪些知识？(安排中等生回答：1．用量角器等分圆周作正n边形；2．用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)

四、布置作业