1.3.2球的表面积与体积的教案

第一篇：1.3.2球的表面积与体积的教案

枣庄三中2012-2013学年第一学期高一数学教学案

1.3.2 球体的表面积与体积

备课人： 编号：

教材分析：本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.课时分配：1课时 教学目标：

1、教学重点：球的表面积和体积公式的应用.2、教学难点：关于球的组合体的计算.3、知识点：球的表面积和体积公式的应用.4、能力点：通过对球体的研究，掌握球的表面积和体积的求法。

5、教育点：培养学生空间想象能力和思维能力。

6、自主探究点：让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的表面积和体积的关系

7、考试点：能运用公式求解，柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

8、易错易混点：正确运用公式求解，柱体、锥体和台体的体积

9：拓展点：通过让学生感受几何体面积和体积的求解过程，提高自己空间思维能力，增强学习的积极性。

教具准备：

圆规，黑板 引入新课：

思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？

思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.探究新知：

球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=R.注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.理解新知：

例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

433

图1（1）球的体积等于圆柱体积的2； 3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=R，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=V圆柱.（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.（设计意图）本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）? 43323

图3

活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×（1

2)≈1.6(m2), 2所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.（设计意图：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.）运用新知：

练习1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2

解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=AC'2CC'282.∴a=8.∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.练习2.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？

分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4 圆锥底面半径r=R3R, tan30圆锥母线l=2r=23R，圆锥高为h=3r=3R，∴V水=3r2h434353R·RR，3R2·3R3333球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=3R,设上底面半径为r′，则高h′=(r-r′)tan60°=3(3Rr'), ∴53Rh'(r2+r′2+rr′),∴5R3=3(3Rr')(r'23Rr'3R2), 33∴5R3=3(33R3r'3)，解得r′=343R616R, 3∴h′=(3312)R.答：容器中水的高度为(3312)R.(选做题)1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）

A.1倍

B.2倍

C.97倍

D.倍 54分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、36r293r，所以各球的表面积分别为4πr、16πr、36πr，（倍）.2254r16r

222答案：C 2.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为

4232=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π 课堂小结

本节课学习了： 1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：

（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是： 柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；

锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高； 台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章

点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.布置作业：1.课本本节练习1、2、3.2.自主学习丛书1.3.2 教后反思：

本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.板书设计：

1.3.2球体的表面积与体积

公式： 例一： 例二： 练习：

第二篇：《球的体积和表面积》教学设计

一、教学目标

知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式V=

πR3和面积公式S=4πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、学法和教学用具

学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

教学用具：投影仪

四、教学设计

创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。

探究新知

1.球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：

第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。

如图：

得

第二步：求和

第三步：化为准确的和

当n→∞时，→0(同学们讨论得出)

所以

得到定理：半径是R的球的体积

练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)

2.球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的?

半径为R的球的表面积为 S=4πR

2练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。(答案50元)

典例分析

课本P47 例4和P29例

5巩固深化、反馈矫正

⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为。

(答案： 3 ：1)

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。(答案：2500πcm2)

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径

课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

评价设计

作业 P30 练习1、3，B(1)

第三篇：示范教案(1.3.2 球的体积和表面积)

1.3.2 球的体积和表面积

整体设计

教学分析

本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标

掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.重点难点

教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.课时安排

约1课时

教学过程

导入新课

思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？

思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.推进新课 新知探究

球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=

43R.3注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.应用示例

思路1

例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

图1（1）球的体积等于圆柱体积的23；

（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=4332R=2πR，所以V球=R，V圆柱=πR·

323V圆柱.（2）因为S球=4πR，S圆柱侧=2πR·2R=4πR，所以S球=S圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练

1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.2

2图2

解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=AC'CC'82.∴a=8.22∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm3，精确到0.1 cm）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为

45343()x］=142, 7.9·［323∴x3=()3514237.943.142≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?

图3

活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×（12)≈1.6(m)，22所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练

有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？

分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4 圆锥底面半径r=Rtan303R, 圆锥母线l=2r=23R，圆锥高为h=3r=3R，∴V水=3rh243R33·3R2·3R43R353R，3球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=3R,设上底面半径为r′，则高h′=(r-r′)tan60°=3(3Rr'), ∴53R33h'(r+r′+rr′),∴5R=3(3Rr')(r'3Rr'3R), 22322∴5R3=3(33R3r'3)，43163解得r′=3R6R, ∴h′=(3312)R.答：容器中水的高度为(3312)R.思路2

例1（2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=

332，则该球的表面积为S=4πR=27π.答案：27π

点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练

1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=S=4πR=24π.答案：C 2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为

22a，于是球的半径2

2122242226，所以球的表面积为为24a，V=224a.3答案：224a 33.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为12322214，则球的半径为

142,则球的表面积为4π(142)2=14π.答案：14π

例2 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？

图5

活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为()2×20=60π（cm），32163设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为(202)x=100πx（cm）.23所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（cm）.答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练

1.一个空心钢球，外直径为12 cm，壁厚0.2 cm，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm）

分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V钢=

43633

3435.8343×20.888≈87.45(cm3)，∴钢的质量为m钢=87.45×7.9=690.86(g).4∵水的体积为V水=×63=904.32(cm3)，3∴水的质量为m水=904.32×1=904.32(g)＞m钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m水.∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为cm的正方形，所以注水高为(1+2213)cm.故应注水π(1+

22)-4×

413123()()π cm.3232答案：（+22）π

知能训练

1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A.1倍

B.2倍

C.9574倍

D.倍 分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr、16πr、36πr，答案：C 2.（2006安徽高考，理9）表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A.2

3222

36r2224r16r95（倍）.B.3

C.23

D.223

分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×3a4223知，a=1，则此球的直径为2.答案：A 3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为

4322=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π

4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm）.4503()≈516 792(g), 解：由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×32街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792, 所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm，那么球的质量为7.9·［解得x3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=

2r,则球的体积与三棱锥体积之比是（）

43(502)343x］=145 000，3A.π

B.2π

C.3π

D.4π 分析：由题意得SO=r为三棱锥的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面积是13r312×2r×r=r,2所以三棱锥体积是rr23，又球的体积为

4r33，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D 点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升

问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）

图6 A.S1＜S

2B.S1＞S2

C.S1=S2

D.S1,S2的大小关系不能确定

探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC，又VA—BEFD=VA—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7

答案：C 课堂小结

本节课学习了：

1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：

（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：

柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；

锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高； 台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章

点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业

课本本节练习1、2、3.设计感想

本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.

第四篇：球的体积教案

球的体积教案

教学目的

通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力．并注意完善学生的认知结构．

[若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程；已知半径求体积；已知体积求半径，„„；这是降低教学要求．]

教学过程

师：(板书)已知球的半径为R，求V球=？(出示小黑板——图1．)

[思维从问题开始．]

师：为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积V半球．观察图1，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号(学生完成)，得

V圆柱＞V半球＞V圆锥．

[提供类比，让学生目测大小，温故而知新，用以强化认识过程．]

[向“量化”过渡．]

你能猜测V半球=？

[引诱学生猜想．猜想是发现的开始！]

生：„„

师：可以大胆一些，准许猜错．

(此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者．)

[既鼓励，又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地．]

(用行动支持敢于大胆猜想的学生．)

师：我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想．

[理、化有实验，数学也可以有实验．美国盛行“数学实验数学法”，这对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利．]

(取一个半径为R的半球面，再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个，都是铁皮制成的容器．将圆锥放入圆桶内(图2)，再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙倒入圆桶内，发现圆桶恰好被装满．)

师：你能将实验结果用一个等式表达出来吗？

[鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式)是十分重要的数学方法．]

生甲：(板书．)

V圆柱－V圆锥=V半球．

生乙：(板书．)

V半球=V圆柱－V圆锥

师：于是得(板书)

且 V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1．

师：中学数学是建立在推理的基础上的，实验结果是否可靠，还要进行论证才行．

[中学理、化是建立在实验基础上的．用数学工具去证明实验结果，学生兴趣盎然．]

师：我们现在的任务是证明这个实验结果．或者说，是要证明图2右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形．而右边几何体的体积是已知的．(板书．)

如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”，我们就可以将它作为半球的参照体了．

(为了运用祖暅原理，所引入的几何体必须符合两个条件：一是它的计算公式是已知的；二是它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时，截得的截面面积总相等，符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体．在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系．)

该几何体与半球同高(R)，这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等．

用与底面平行的任一平面去截图2的两个几何体(图3)，截面分别是圆面和圆环

R，小圆半径为l，因此

S圆=πr2=π(R2－l2)，S圆环=πR2－πl2=π(R2－l2)，所以S圆=S环．

根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即

由此，“猜想”得到证明，可以写成定理形式：

[从猜想到证明是“质”的升华！是学习数学的最重要的素质．]

定理：如果球的半径是R，那么它的体积是

师：你准备怎样记忆这个结论呢？

[不管是意义识记或是机械识记，在这里都是有效的，都是可行的．根据各个学生的学习习惯，不必强求一律．]

生甲：根据“细沙实验”，生乙：我只要记住

V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1就行了．

师：还有其他的记忆方法吗？例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公式试试看．

[数学教师要不要培养学生的记忆能力，这是有争议的．看来，数学教师有可能，也有必要去培养学生的记忆能力．]

生：(板演)

(随时复习与应用拟柱体体积公式．)

师：这能作为球体积公式的证明吗？

生：球体不是拟柱体，不能作为证明，但可以作为一种记忆方法．

师：还有其他的记忆方法吗？例如，将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体的顶点，锥的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)请看图4．

[是重要的数学思想．]

于是，V球=许多小锥体之和，而这许多小锥体的高可视为球半径R．又因为所有小锥体的底面之和=球面积=4πR2，所以

[发展学生的空间想象能力．]

同样，这也不能作为球体积公式的证明．但是，使人感到兴趣的是，拟柱体、小锥体与球体的这种“默契”，这种内部的一致，给人们以合谐的感觉，它不仅帮助人们记忆，还给人以和谐美的感受！

[升华了！]

师：现在再请大家自己解答一个问题：(板书．)

[不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本并进行议论，有时比教师直接讲解要收效大些，不妨一试．]

有一种空心钢球，重142 g，测得外径等于5.0 cm，求它的内径(钢比重是7.9g/cm3)．

师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．

(学生议论，同时由一位学生板演．)

师：今天这堂课的关键是构造一个球的参照体，而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题．你能离开实验，经过分析直接构造这个参照体吗？

(代替小结，将课内效果引向课外——直接构造参照体．)

教案说明

这份教案显然是写给别人看的，如果只是为了自己教学，我想，只要记下教学过程就行了：

(1)提出问题：V球=？

(2)自测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系(图1)．

(4)细沙实验——验证“猜想”．

(5)构造参照体，证明“猜想”．

(6)得定理、谈记忆．

(7)例题、小结、作业．

我为什么要采取上面这几个环节？理由如下：

目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开．于是，过程(1)～(4)都可以省略．并且，“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造)．师生的

和方法用定论的形式直接呈现在学生面前，新、旧知识的衔接点直接给出，内化任务很快就完成．因此，这种做法的优点是直截了当，节约时间；缺点是学生缺乏一个完整的认识过程，把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生．长此以往，越“抛”越多，学生头脑中很难形成一个有效的认知结构，结果成绩分化，出现大量差生．

反之，插入环节(1)～(4)，则环节(5)的“构造参照体”(这是全课的关键)就十分自然．从“目测”到“猜想”，这是“发现”；从“猜想”到“实验”，这是强化“发现”，而环节(5)则是内化．这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的，教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽．

“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权，优生也不乏味；从“实验”到“构造参照体”，随流而下，直闯关键(出现参照体)，终达彼岸(得定理)．最后“谈记忆”，生动活泼，乃至升华；“小结提问”，余味不尽．

数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．

最后，还要说明一点，“构造参照体”是本课的难点，本教案采用了“细沙实验”，也就回避了“构造性困难”，因此本教案是为普通班设计的．而“好班”就不应该回避构造困难，何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键，也是学习这一段教材(从柱体开始)的关键所在．因此，建议根据学生情况补充下述内容：

参照体与祖暅原理

为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积，常要构造另一个几何体，此几何体必须符合两个条件：(1)它的计算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等．为了下面的叙述方便起见，把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体，或简称参照体．

用祖暅原理求几何体的体积，关键在于构造参照体．

轴，求该旋转体的体积．

解 将此旋转体放在平面α上(图5)，用与平面α平行且相距h的平面去截，得

这说明参照体的截面可以是一个矩形，其一边长π，另一边长为变量h．于是得

[例2] 求半径为R的半球的体积．

[例3] 汽车内胎或游泳时用的救生圈是旋转体(图6)，它的母线是半径为r的圆，圆心与旋转轴MN的距离等于d(d＞r)，能否用构造参照体的思想方法去寻求它的体积公式？

解 取环体的上半部研究，它的下底面是圆环(图6，外半径=d+r，内半径=d－r)，上底是半径为d的圆周(面积为零)，半环体的高为r．用平行于底面的平面去截，设截面距底面h(h＜r)，则截面是另一个圆环(图7)．

(变量)，据此，可构造一个参照体如下：取一个半径为r的圆为底面，高为4πd的圆柱的1/4，并将此1/4圆柱横卧(图8)，此参照体的体积为圆柱的1/4，由祖暅原理

此结论与直觉是一致的：将环体沿断面(图6中的小圆)切开后，拉直成一个圆柱，[培养学生的直觉思维能力．]

第五篇：空间几何体的表面积与体积 教案

空间几何体的表面积与体积

教学任务分析:根据柱，锥，台的结构特征，并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体；用极限思想推导球的体积公式和表面公式，使学生初步了解利用极限思想解决问题的基本步骤，体会极限思想的基本内涵。与此同时，培养学生积极探索的科学精神，培养学生的思维能力，空间想象能力。

教学重点：柱体，锥体，台体的表面积和体积的计算公式。教学难点：球的体积和表面积的推导 教学设计：

1． 从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系。其目的是㈠复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和㈡介绍求几何体表面积的方法，把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积。

2． 通过类比正方体和长方体的表面积，讨论棱柱，棱锥，棱台的表面积问题。实际上，求棱柱，棱锥，棱台的表面积问题可转化成求平行四边形，三角形和梯形问题。

3． 利用计算机或实物展示圆柱的侧面可以展开成一个矩形。圆锥的侧面可以展开成一个扇形。

随后的有关圆台表面积的探究，也可以按照这样的思路进行教学。说明圆台表面积公式时,可推导侧面积公式。

圆台侧面积的推导：

设圆台侧面的母线长为，上，下底周长分别是，半径分别是

11clxcx

则S圆台侧=221clccx 21

=

cxcxlclxcc1clS圆台侧clcc2cc1cclrrl2

在分别学习了圆柱，圆锥，圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动，变化的观点分析它们之间的关系。圆柱可看成上，下两底面全等的圆台，圆锥可看成上底面半径为零的圆台。因此，圆柱，圆锥可看成圆台的特例。（可用计算机演示）

4．柱体，锥体和台体的体积

从正方体，长方体的体积公式引入到一般棱柱的体积也是V=Sh

若有时间，可推导棱锥的体积公式

棱锥的体积公式的推导

如图,设三棱柱ABC-ABC的底面积(即ΔABC的面积)为S，高（即点A¹到平面ABC的距离）为h，则它的体积为Sh，沿平面A¹BC和平面A¹B¹C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥，其中三棱锥1，2的底面积相等（SΔA¹AB=SΔA¹B¹B），高也相等点C到平面AB，BA的距离）三棱锥也有相等的底面积，和相等的高（点A¹到平面BCC¹B¹ 的高）因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥体积是sh，得sh 台体 推导出台体的体积公式 V=S¹+Sh 让学生思考，柱体，锥体台体的体积公式之间的联系。

B`C'A`A'B`B`A`C'A'A'BACBBACC

5.球的表面积和体积

本节课可以用多媒体课件演示球体的分割过程，使整个推导过程更加形象直观。

本课的重点放在引导学生了解其所运用的基本思想方法，即‘分割、求近似和、再由近似和

转化为球的体积（表面积）’的极限思想方法。例四和例五都是球的体积公式和表面公式的应用。例五的教学可以先要学生分析几何组合体的结构特征，分析清楚之后自然明白花柱的表面积由哪些部分构成。