第一篇：试计算酒桶体积和表面积
试计算酒桶体积和表面积
我读了《趣味几何学》，在“黑暗中的几何学”一章中，我了解了酒桶，对它体积和表面积近似计算时，可用图1：
即把酒桶看作两个截圆锥体，想算截圆锥体体积，要从圆锥体入手，从图2左图中可以看出，我们把圆锥沿底面半径切成如图2右图的近似的三棱锥无限个，要研究的仅是特定的一种三棱锥：
图1
把这个三棱锥扩成三棱柱，再扩为长方体，只需要证明三棱锥体积为长方体的，就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的，过程见图3。
图2,左图2,右图3
可以从长方体中切去如图4的与原三棱锥全等的三棱锥3个，即ABDE、BCDG、DEGH，可得图5:
DABCDBHEJ图5，左FGE图5，右FG图4
从图5中看出，剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥BEFG，还有一个大三棱锥BDEG，只要证明三棱锥BDEG的高是三棱锥BEFG的2倍即可（实际要证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的2倍，因为底面积相等，故用高代替）。看点划线长方形BDFH，取出它，如图6：
D2H12B:J:1图61F
从图中来看，DO是FO的三倍长，那么这两条线与两个三棱锥高有什么关系呢？可看图5中波浪线长方形，如图7：
（以下证明该图的正确：由于两条线DQ、PF都是与面BEG垂直且在面MNWZ上，而又是面MNWZ与面BEG的相交线，故PF及DQ都与
垂直，同时也说明二者平行，而D、F两点都在面MNWZ上，两点的连线必然在面MNWZ上，同样又由于
又是面MNWZ与面BEG的唯一的相交的部分，线上，P、Q、O三点且O点是DF线与面BEG的唯一相交点，故O点也在共线）从图中可以看出，由于三角形DOQ和FOP相似，前面已证明DO是FO的两倍，故DQ是PF的两倍，而DQ、PF分别是两个三棱锥的高，则证明三棱锥BDEG体积是三棱锥BEFG的两倍。
综上所述，可得出圆锥体积公式：
再来看截圆锥体，如图8：
krhR
截圆锥体是两个圆锥相减的结果，为了分别知道圆锥的高，需要知道k，为此，我们看截圆锥体的截面，如图9：
图7krhR图8从中可以得出比例式：
然后分别求两个圆锥的体积：
故截圆锥体体积为：
来看酒桶，它近似于两个全等的截圆锥体，如图10：
rRhr图9
故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。
那么酒桶表面积呢？同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说起。如图11：
L
如上图点划线所示，可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形，它们的高是L，底之和为2，面积之和为： 图10即圆锥的侧面积为截圆锥侧面展开后得图12：
tL2лr2лR图11截圆锥的截面为图13：
trR
从图12中可以看出：
L图12根据图11，分别求两个扇形的面积（利用圆锥侧面积公式）：
即截圆锥体表面积为:
来看木桶，如图14：
rLR图13
加上下底面，表面积近似于：
至此，木桶体积和表面积近似式都已得出。高伟辰
第二篇：编写程序,计算圆柱体、球体、正方体和长方体的表面积和体积。
编写程序，计算圆柱体、球体、正方体和长方体的表面积和体积。
#include “stdafx.h” #include“iostream.h” class Shape { protected: int x,y,h;public: void set(int i=0,int j=0,int z=0){
x=i;
y=j;
h=z;} virtual void area()=0;virtual void volume()=0;};class Cylinder:public Shape {
public: void area(){
cout<<“圆柱体的表面积为:”<<2*3.14*x*x+2*3.14*x*y< cout<<“圆柱体的体积为:”<<3.14*x*x*y< public: void area(){ cout<<“球体的表面积为:”<<4*3.14*x*x< cout<<“球体的体积为:”<<4/3*3.14*x*x*x< cout<<“长方体的表面积为:”<<2*x*y+2*x*h+2*y*h< cout<<“长方体的体积为:”< cout<<“正方体的表面积为:”<<6*x*x< cout<<“正方体的体积为:”< int main(int argc, char* argv[]){ Shape *p;Cylinder c;p=&c;p->set(5,2);p->area();p->volume();Globe g;p=&g; p->set(3);p->area();p->volume();Cuboid l;p=&l;p->set(2,3,5);p->area();p->volume();Cube f; } p=&f;p->set(5);p->area();p->volume();return 0; 怎么计算钢结构厂房表面积？ 钢结构厂房在现阶段是国家提倡和推荐的，它的优点不必多说，重要的一点就是环保而且节省工程成本，稳定性好，可回收利用，但是，还是有很多人关心这个工程是如何进行收费的？我们知道单层钢结构建筑高度一般在2.20m，这是一个标准，超过2.20m计算时，要计算全面积，而低于这个尺度按1/2来计算，具体我们来看下面几点： 1.当住宅建筑尺度层层高大于4.9米(2.7米+2.2米)时，不论层内是否有隔层，建筑面积的计算值按该层水平投影面积的2倍计算；当住宅建筑层高大于7.6米(2.7米×2+2.2米)时，不论层内是否有隔层，建筑面积的计算值按该层水平投影面积的3倍计算。 2.当办公建筑尺度层层高大于5.5米(3.3米+2.2米)时，不论层内是否有隔层，建筑面积的计算值按该层水平投影面积的2倍计算；当办公建筑层高大于 8.8米(3.3米×2+2.2米)时，不论层内是否有隔层，建筑面积的计算值按该层水平投影面积的3倍计算。 3.当普通贸易建筑尺度层层高大于6.1米(3.9米+2.2米)时，不论层内是否有隔层，建筑面积的计算值按该层水平投影面积的2倍计算；当普通贸易建筑层高大于10米(3.9米×2+2.2米)时，不论层内是否有隔层，建筑面积的计算值按该层水平投影面积的3倍计算。 综合上面三点可以大致了解钢结构厂房的计算方式，弘扬和发展钢结构是我国的政策和方针，加大对钢结构技术的研究和探讨，有助于钢结构技术的成熟，对民生和环境都有不可忽视的作用，所以，了解和传扬钢结构知识是我们的责任~！ 1．一个零件形状大小如图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米? 6−2=4(厘米)，所以这个零件是两个长宽高分别为10厘米、4厘米、2厘米的长方体；所以： 体积为：2×4×10×2=160(立方厘米)，表面积为：(2×10+10×4+2×4)×2×2−10×2×2,=(20+40+8)×4−40,=68×4−40,=272−40,=232(平方厘米)； 2．有一个长方体形状的零件。中间挖去一个正方体的孔。你能算出它的体积和表面积吗? 8×6×5−2×2×2,=240−8,=232(立方厘米)； (8×6+8×5+6×5)×2+4×2×2,=118×2+16,=236+16,=252(平方厘米) 3．一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米? 50÷4×6,=12.5×6,=75(平方厘米)4．长方体的不同的的三个面的面积分别为10cm2,15cm2和6cm2.这个长方体的体积是多少立方厘米? 10=2×5 15=3×5 6=2×3 2×3×5 =6×5 =30（立方厘米）5．把11块相同的长方体砖拼成一个长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是______平方厘米。 设小长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则a=4h,即h=14a,2a=3b即b=23a，每块砖的体积为：a×23a×14a=16a3.再据16a3=288可得：a=12(厘米)，则b=23×12=8(厘米)，h=14×12=3(厘米)，于是可得：大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8+3=11厘米，大长方体表面积就为：24×12×2+24×11×2+12×11×2,=288×2+264×2+132×2,=576+528+264,=1368(平方厘米) 教学内容： 教科书第98页例4及做一做。教学目标： 1．学生在整理、复习的过程中，进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵，能灵活地计算它们的表面积和体积，加强知识之间的内在联系，将所学知识进一步条理化和系统化。 2．在学生对立体图形的认识和理解的基础上，进一步培养空间观念。 3．让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，体会数学的价值，进一步培养学生的合作意识和创新精神 重点、难点： 1.灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。2.沟通立体图形体积计算方法之间的联系。教学准备： 课件 教 学 过 程 一、回忆旧知，揭示课题一 1、谈话揭示课题。 师：昨天我们对立体图形的认识进行了整理和复习，今天我们来走入立体图形的表面积和体积的整理与复习。（板书：立体图形表面积和体积的整理与复习） 2、看到课题，你准备从哪些方面去进行整理和复习。（板书：意义、计算方法） 二、回顾整理、建构网络 1、立体图形的表面积和体积的意义。 （1）提问：什么是立体图形的表面积？你能举例说明吗？（2）提问：什么是立体图形的体积？你能举例说明吗？ （3）教师小结：立体图形的表面积就是指一个立体图形所有的面的面积总和，立体图形的体积就是指一个立体图形所占空间的大小。 2、小组合作，系统整理――立体图形的表面积和体积的计算方法。（1）独立整理。 刚才我们已经对立体图形的表面积和体积的意义进行了整理。下面，请同学们用自己喜欢的方式，将对立体图形的计算方法进行整理。（2）整理好的同学请在小组中说一说你是怎样进行整理的？ 3、汇报展示，交流评价 哪一个同学自愿上讲台展示、汇报你的整理情况。其余的同学要注意认真地看，仔细地听，待会对他整理情况说说你的看法或者有什么好的建议。（注意计算公式与学生的评价） 4、归纳总结，升华提高（1）公式推导。 刚才，我们已经对立体图形表面积和体积的计算公式进行了整理。那么，这些计算公式是怎样推导出来的？请同学们选择1-2种自己喜欢的图形，自己说一说。（2）反馈：谁自愿来说一说自己喜欢图形表面积或者体积公式的推导过程。根据学生的回答，教师随机用课件演示每种立体图形的体积计算公式的推导过程。还有没有不同的？ （3）教师小结：从立体图形的表面积和体积计算公式的推导过程中，我们不难发现有一个共同的特点：就是把新问题转化成已学过的知识，从而解决新问题，这种转化的方法、转化的思想，是我们数学学习中一种很常见、很重要的方法。（4）整理知识间的内在联系 ①同学们。我们已经对立体图形的表面积和体积计算公式进行了整理，并且也知道了这些公式的推导过程。那么，这些立体图形的表面积计算公式之间有什么内在联系？体积计算公式之间又有什么内在联系？对照自己整理的公式，想一想，然后把你想的法说给同桌听听。②反馈学生交流情况，明确其内在联系： a、立体图形的表面积计算公式的内在联系：长方体和圆柱体的表面积都可以用侧面积加两个底面积； b、立体图形的体积计算公式的内在联系：长方体体积计算公式推导出了正方体和圆柱的体积计算公式，也就是说正方体、圆柱的体积计算公式都是在长方体体积计算公式的基础上推导出来的；长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算；等底等高的圆柱体的体积是圆锥的3倍，等体积等高的圆柱体的底面积是圆锥的，等体积等底的圆柱体的高是圆锥的。随着学生的回答，课件出示下图。 或 三、重点复习、强化提高 同学们，我们对立体图形的表面积和体积的意义和计算方法进行了整理和复习，而整理复习的最终目的就是要运用。（板书：运用）运用相关知识去解决问题。 1、判断。（对的打“√”，错误的打“×”） ① 正方体的棱长扩大2倍，体积就扩大6倍。（） ② 一个圆柱体底面半径缩小3倍，高扩大9倍，它的体积不变。（）③ 因为求体积与求容积的计算公式相同，所以物体的体积就是它的容积。（）④ 一个正方体与一个圆柱体的底面周长相等，高也相等。那么，它们的体积也相等。（） ⑤ 圆柱和圆锥等底等高，则圆锥的体积比圆柱少，圆柱的体积比圆锥多200％。（） 2、选择正确答案的序号填在括号里。 ① 把一个棱长6厘米的正方体切成棱长2厘米的小正方体，可以得到（）个小正方体。 A、3 B、9 C、12 D、27 ② 一个圆锥和一个圆柱的体积相等，底面积也相等。这个圆锥的高是圆柱的高的（）。 A、3倍 B、C、D、③ 把两个棱长5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的表面积是（），体积是（）。 A、250平方厘米 B、200平方厘米 C、250立方厘米 D、200立方厘米 ④ 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是2厘米，列式为（3.14×2×2×2）平方厘米，是求（）。 A、侧面积 B、表面积 C、体积 D、容积 ⑤ 681.2用进一法取近似值，得数保留整十数约是（）。A、681 B、680 C、690 D、700 3、解决问题。我朋友买了一套新房，他告诉了我他家客厅的一些数据（长6米，宽4米，高3米）。请同学们帮老师算一算装修时所需的部分材料。 （1）客厅准备用边长是（100×100）平方厘米规格的方砖铺地面，需要多少块？（2）准备粉刷客厅的四周和顶面，除去门、电视墙等10平方米不粉刷外，实际粉刷的面积是多少平方米？ （3）朋友装修新房时，所选的木料是直径40厘米，长是3米的圆木自己加工，大约需要5根。求装修新房时所需木料的体积？（4）课本98页做一做。 教师小结：同学们，在为我朋友计算装修材料时，实际就是在解决我们日常生活中的实际问题，你认为我们应注意些什么？ （板书：认清图形、单位对应、明白问题、认真计算、反复检验） 四、自主简评、完善提高 自主检测 (一)仔细思考、明辨是非 1、一个正方体的棱长扩大2倍，它的体积就会扩大8倍。（） 2、长方体比长方形大。（） 3、油桶的容积就是油桶的体积（） 4、一个正方体和一个圆柱体的底面周长和高都相等，那么它们的体积也相等。（） 5、把一个圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分的一半。（）(二)你能解决下面生活中的问题吗? 一个圆柱形水池,直径是20米,深2米.①这个水池占地面积是多少? ③在池内四周和池底抹一层水泥,水泥面的面积是多少平方米?(三)活用知识、解决问题 一个水池的排水管内直径是2分米，水在管内的流速是每秒4分米。一小时可以排水多少升？(四)我是生活小能手 一个装满稻谷的粮囤，高2米，它的上面是圆锥形，下面是圆柱形，底面半径是3米，圆柱和圆锥一样高，这囤稻谷大约有多少立方米？（得数保留整数）评价完善 1、通过这节课的整理和复习，你最大的收获是什么？ 2、关于立体图形的表面积和体积你还有什么问题？ 板书设计： “立体图形的表面积和体积”的整理和复习（图形、单位、问题、计算、检验）意义 应用 计算方法 作业设计 基础： 1.填一填： （1）如果我想给房屋进行粉刷，需要刷（）个面？（）面不刷？（2）甲乙两人分别利用一张长20厘米，宽15厘米的纸用不同的方法围成一个圆柱体，那么，围成的圆柱（）一定相等。 （3）把一个圆柱在平坦的桌面上滚动，那滚动的路线是一条（）。（4）把一个边长1分米的正方形纸围成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（）。 2.选择题。（将错误的答案划掉）。 （1）一只铁皮水桶能装水多少生升是求水桶的（侧面积、表面积、容积、体积）。（2）做一只圆柱体的油桶至少要用多少铁皮，是求油桶的（侧面积、表面积、容积、体积）。 （3）做一节圆柱形的铁皮通风管，要用多少铁皮，是求通风管的（侧面积、表面积、容积、体积）。 （4）求一段圆柱形钢条有多少立方米，是求它的（侧面积、表面积、容积、体积）。3.判一判： （1）两个圆柱体侧面积相等，它们的体积一定相等。（）（2）两个圆柱体底面积和高分别相等，它们的体积一定相等。（）（3）圆柱体底面积和高都扩2倍，体积就扩4倍。（）（4）一个圆柱底面周长和高都扩2倍，体积就扩4倍。（）（5）一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等。（）（6）容器的容积和容器的体积大小不一样。（） （7）两个圆柱体的侧面积相等，那么，它们的底面周长一定相等。（）（8）一个圆柱体，它的高缩小2倍，底面半径扩大2倍，体积不变。（）（9）一段圆柱体木头，把它制成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是圆柱体积的2/3，是圆锥体积的2倍。综合： 4.只列式、不计算： （1）我们学校的一间教室长9米，宽6米，高3米。在四周墙壁和顶部抹水泥，扣除门窗以及黑板面积共20平方米后，需抹水泥的面积是多少平方米？（2）李师傅要做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高6分米，底面半径4分米，做这个水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） （3）大厅里有十根圆柱形柱子，它的底面直径是10分米，高是6米，在这些柱子的表面涂漆，1千克能涂2平方米，共需油漆多少千克？ （4）一个圆柱的侧面展开图是一个边长6.28厘米的正方形，这个圆柱的表面积是多少？ （5）将两个棱长是10厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 拓展提升： 5.解决问题 （1）把一个棱长6分米的正方体木块削成最大的圆柱形，要削去多少立方分米？（2）一个底面直径是40厘米的圆柱容器中，水深12厘米，把一块石头沉入水中完全浸没后，水面上升了5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？（3）一个酒瓶里面深30厘米,底面直径是8厘米,瓶里有酒深10厘米,把酒瓶塞紧后倒置(瓶口向下), 这时酒深20厘米,你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗?（4）一个圆柱体，底面半径3分米，切拼成一个近似的长方体后，表面积增加了60平方分米，这个圆柱体的高是多少分米？ （5）一个长方体，底面是个正方形，高每减少2厘米，长方体的表面积就减少32平方厘米，这个长方体的的底面边长是多少？ （6）一根圆柱体木料，长2米，直径4分米，要把它等分成二份，表面积增加了多少？ （7）有一个近似圆锥的小麦堆，测得其底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦重0.75吨，这堆小麦大约有多少吨？将这些小麦装入底面积是3.14平方米的圆柱形粮囤里能装多高？ （8）一间教室长10米，宽8米，高4米，门窗面积21.5平方米，粉刷教室的四壁和顶面要用水泥多少千克？（按每平方米用水泥15千克计算）第三篇：怎么计算钢结构厂房表面积
第四篇：奥数教案 表面积体积
第五篇：立体图形表面积和体积教案
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