数学竞赛教案讲义——数列

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第一篇:数学竞赛教案讲义——数列

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第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,….数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…,an或a1, a2, a3,…,an…。其中a1叫做数列的首项,an是关于n的具体表达式,称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有an+1-an=d(常数),则{an}称为等差数列,d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式an=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:Sn=n(a1an)n(n1)na1d;3)an-am=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,22则an+am=ap+aq;5)对任意正整数p, q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有

an1 q,则{an}称为等比数列,q叫做公比。

ana1(1qn)定理3 等比数列的性质:1)an=a1q;2)前n项和Sn,当q1时,Sn=;当

1qn-1q=1时,Sn=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则aman=apaq。

定义4 极限,给定数列{an}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<,则称A为n→+∞时数列{an}的极限,记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为

a1(由极限的定义可得)。1q定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

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定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ,则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1,其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定;(2)若α=β,则,其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1.不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n换成n+1或欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1,求通项an.21,求证:对任意n∈N+,有an>1.an高考资源网(www.xiexiebang.com),您身边的高考专家

n-1等,这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3,q0,求证:存在常数c,使得2n2an1pan1·an+qancq0.例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1,求证:an都是整数,n∈N+.3.数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和:Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn为数列

4.特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求an.欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 21(n=1, 2, …),求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111.+…+123234n(n1)(n2)an的前n项和,求证:Sn<2。n2高考资源网(www.xiexiebang.com),您身边的高考专家

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项an.5.构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2an1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1,求通项。

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xn

三、基础训练题

1. 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中Sn为{xn}前n项和,当n≥2时,xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1,xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.23xn21xn1+2n-1(n≥2),则{xn}的通项xn=_________.23.数列{xn}满足x1=1,xn=4.等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0, Sn为前n项之和,则当Sn最大时,n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn,则S100=_________.7.数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网(www.xiexiebang.com),您身边的高考专家

8.若

x3xnx1x2,并且x1+x2+…+ xn=8,则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n,则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11.若{an}是无穷等比数列,an为正整数,且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36,求1的通项。ann12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{ab}是公比为q的等比数列,且b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q的值;(2)数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21.已知函数f(x)=2x1x1a2006=_____________.1x271x1,若数列{a}满足a=,an+1=f(an)(n∈N+),则n

132(x1)2.已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项an=1(n1).(n2)3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列,则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-(210+1)S20+S10=0,则23n15.已知limn1,则a的取值范围是______________.nn33(a1)6.数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+),存在_________个a1值,使{an}成等差数列;存在________个a1值,使{an}成等比数列。

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7.已知ann401n402(n ∈N+),则在数列{an}的前50项中,最大项与最小项分别是____________.8.有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11.已知数列{an}中,an0,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是

11111(n≥2)①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112.已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时,21an1an;(3)求数列limbn.nan1(1)求证:an>0, bn>0且an+bn=1(n∈N);(2)求证:an+1=13.是否存在常数a, b, c,使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立?证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为972,这样的数列共有_________个。2.设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12,则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0,且3anan1,则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且a0=3,则1=__________.i0ai5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.xiexiebang.com n高考资源网(www.xiexiebang.com),您身边的高考专家

数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2,则

an11limna1a2ann2________.8.数列{an} 称为等差比数列,当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列,q称为此等差比数列的差比。那么,由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时,项数最多有__________项.an9.设h∈N+,数列{an}定义为:a0=1, an+1=2ahn大于0的整数n,使得an=1?

an为偶数an为奇数。问:对于怎样的h,存在10.设{ak}k≥1为一非负整数列,且对任意k≥1,满足ak≥a2k+a2k+1,(1)求证:对任意正整数n,数列中存在n个连续项为0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的数列。

11.求证:存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1.设an为下述自然数N的个数:N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4,求证:a2n是完全平方数,这里n=1, 2,….2.设a1, a2,…, an表示整数1,2,…,n的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目:①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除?

3.设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0,且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证:an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:x0=1,xi+1

22x0xnx12(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个n≥1,使1≥3.999

x1x2xn均成立;

22x0xnx12(2)寻求这样的一个数列使不等式1<4对任一n均成立。

x1x2xn5.设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项?

2(12an2)an116.设a1=a2=,且当n=3,4,5,…时,an=, 2232an14an2an1an2(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:

12是整数的平方。an7.整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1,且对每个正整数n, un+1un-1=kuu,这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000,求k的所有可能的值。

8.求证:存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的m, k,有|xm-xk|≥

1.mk9.已知n个正整数a0,a1,…,an和实数q,其中0

第二篇:数学竞赛教案讲义——数列

第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,….数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…,an或a1, a2, a3,…,an…。其中a1叫做数列的首项,an是关于n的具体表达式,称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有an+1-an=d(常数),则{an}称为等差数列,d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式an=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:Sn=n(a1an)n(n1)na1d;3)an-am=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,22则an+am=ap+aq;5)对任意正整数p, q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有

an1q,则{an}称为等比数列,q叫做公比。ana1(1qn)定理3 等比数列的性质:1)an=a1q;2)前n项和Sn,当q1时,Sn=;当

1qn-1q=1时,Sn=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则aman=apaq。

定义4 极限,给定数列{an}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<,则称A为n→+∞时数列{an}的极限,记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为

a1(由极限的定义可得)。1q定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ,则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1,其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定;(2)若α=β,则,其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1.不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n换成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1,求通项an.21,求证:对任意n∈N+,有an>1.an或n-1等,这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3,q0,求证:存在常数c,使得22nan1pan1·an+qancq0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1,求证:an都是整数,n∈N+.3.数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和:Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn为数列

4.特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求an.1(n=1, 2, …),求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111+…+.n(n1)(n2)123234an的前n项和,求证:Sn<2。n2

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项an.5.构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnan1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1,求通项。

三、基础训练题

1. 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中Sn为{xn}前n项和,当n≥2时,xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1,xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3xn223.数列{xn}满足x1=1,xn=

1xn1+2n-1(n≥2),则{xn}的通项xn=_________.24.等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0, Sn为前n项之和,则当Sn最大时,n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn,则S100=_________.7.数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2,并且x1+x2+…+ xn=8,则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n,则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11.若{an}是无穷等比数列,an为正整数,且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36,求1的通项。ann12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{ab}是公比为q的等比数列,且b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q的值;(2)数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21.已知函数f(x)=2x1x1则a2006=_____________.1x271+

x1,若数列{an}满足a1=,an+1=f(an)(n∈N),32(x1)2.已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项an=1(n1)(n2).3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列,则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-(210+1)S20+S10=0,则23n15.已知limn1,则a的取值范围是______________.n3(a1)n36.数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+),存在_________个a1值,使{an}成等差数列;存在________个a1值,使{an}成等比数列。7.已知ann401n402(n ∈N+),则在数列{an}的前50项中,最大项与最小项分别是____________.8.有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11.已知数列{an}中,an0,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是

11111(n≥2)①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112.已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时,21an1an;(3)求数列limbn.nan1(1)求证:an>0, bn>0且an+bn=1(n∈N);(2)求证:an+1=13.是否存在常数a, b, c,使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立?证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为972,这样的数列共有_________个。2.设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12,则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0,且3anan1,则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且a0=3,则ai0n1i=__________.5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2,则

an11lima1a2ann2n________.8.数列{an} 称为等差比数列,当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列,q称为此等差比数列的差比。那么,由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时,项数最多有__________项.an9.设h∈N+,数列{an}定义为:a0=1, an+1=2ahn在大于0的整数n,使得an=1?

an为偶数an为奇数。问:对于怎样的h,存10.设{ak}k≥1为一非负整数列,且对任意k≥1,满足ak≥a2k+a2k+1,(1)求证:对任意正整数n,数列中存在n个连续项为0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的数列。

11.求证:存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1.设an为下述自然数N的个数:N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4,求证:a2n是完全平方数,这里n=1, 2,….2.设a1, a2,…, an表示整数1,2,…,n的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目:①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除?

3.设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0,且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证:an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:x0=1,xi+1

x1x2xn均成立;

22x0xnx121<4对任一n均成立。(2)寻求这样的一个数列使不等式

x1x2xn5.设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项?

2(12an2)an116.设a1=a2=,且当n=3,4,5,…时,an=, 222an14an2an1an23(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:

12是整数的平方。an7.整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1,且对每个正整数n, un+1un-1=kuu,这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000,求k的所有可能的值。

8.求证:存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的m, k,有|xm-xk|≥

1.mk9.已知n个正整数a0,a1,…,an和实数q,其中0

第三篇:数学竞赛教案讲义(9)——不等式

第九章 不等式

一、基础知识

不等式的基本性质:

(1)a>ba-b>0;

(2)a>b, b>ca>c;(3)a>ba+c>b+c;

(4)a>b, c>0ac>bc;

(5)a>b, c<0ac

(6)a>b>0, c>d>0ac>bd;(7)a>b>0, n∈N+an>bn;

(8)a>b>0, n∈N+nanb;(9)a>0, |x|ax>a或x<-a;(10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;(11)a, b∈R,则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;(12)x, y, z∈R+,则x+y≥

2xy, x+y+z33xyz.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。(6)因为a>b>0, c>d>0,所以ac>bc, bc>bd,所以ac>bd;重复利用性质(6),可得性质(7);

nn再证性质(8),用反证法,若nanb,由性质(7)得(na)(nb),即a≤b,与a>b矛盾,所以假设不成立,所以nanb;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;(11)显然成立;下证(12),因为x+y-2xy(x一不等式,令3y)2≥0,所以x+y≥2xy,当且仅当x=y时,等号成立,再证另xa,3yb,3zc,因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以a3+b3+c3≥3abc,即x+y+z≥33xyz,等号当且仅当x=y=z2时成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、方法与例题

1.不等式证明的基本方法。

(1)比较法,在证明A>B或A

例1 设a, b, 22

2A(A,B>0)与1Bx,y,z,有

c∈R+,试证:对任意实数

ababcbccaxyyzxzx+y+z2.(ab)(bc)(ca)cab

例2 若a

例3 已知a, b, c∈R+,求证:a+b+c-33abc≥a+b2ab.(3)数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n.(4)反证法。

例6 设实数a0, a1,„,an满足a0=an=0,且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,„, an-2-2an-1+an≥0,求证ak≤0(k=1, 2,„, n-1).(5)分类讨论法。

x2y2y2z2z2x20.例7 已知x, y, z∈R,求证:

yzzxxy+

(6)放缩法,即要证A>B,可证A>C1, C1≥C2,„,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).例8 求证:1

例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长,m>0,求证:111nn(n2).2321abc.ambmcm

(7)引入参变量法。

b3例10 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数,求f(x, y)=22的最小值。

xy+

a3

例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.(8)局部不等式。

例12 已知x, y, z∈R+,且x2+y2+z2=1,求证:

例13 已知0≤a, b, c≤1,求证:

(9)利用函数的思想。

例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1,求f(a, b, c)=值。

2.几个常用的不等式。

33xyz.21x21y21z2abc≤2。bc1ca1ab1111的最小abbcca(1)柯西不等式:若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n,则(a)(b2ii1i1nn2i)(aibi)2.i1n等号当且仅当存在λ∈R,使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi,ai2变式1:若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n,则()bi1in(ai)2(bi)2i1i1nn.等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, „, n)。

变式2:设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, „, n),则

aibi1in(ai)2nabii1i1n.i等号成立当且仅当b1=b2=„=bn.(2)平均值不等式:设a1, a2,„,an∈R+,记Hn=

n111a1a2an, Gn=na1a2an, aa2an,QnAn=1n22a12a2an,则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤

n算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a1=a2=„=an.【证明】

由柯西不等式得An≤Qn,再由Gn≤An可得Hn≤Gn,以下仅证Gn≤An.1)当n=2时,显然成立;

2)设n=k时有Gk≤Ak,当n=k+1时,记1ka1a2akak1=Gk+1.k1因为a1+a2+„+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2akkkak1Gk1 k12k≥2k2ka1a2ak1Gk12k2kGk12kGk+1,所以a1+a2+„+ak+1≥(k+1)Gk+1,即Ak+1≥Gk+1.所以由数学归纳法,结论成立。

(3)排序不等式:若两组实数a1≤a2≤„≤an且b1≤b2≤„≤bn,则对于b1, b2, „, bn的任意排列bi,bi,,bi,有a1bn+a2bn-1+„+anb1≤a1bia2bianbi≤a1b1+a2b2+„+anbn.12n12n【证明】

引理:记

A0=0,Ak=

ai1ki(1kn),则

abii1ni

(si1nisi1)bi=si(bibi1)snbn(阿贝尔求和法)。

i1n1证法一:因为b1≤b2≤„≤bn,所以bibibi≥b1+b2+„+bk.12k记sk=bibibi-(b1+b2+„+bk),则sk≥0(k=1, 2, „, n)。

12k所以a1bia2bianbi12k-(a1b1+a2b2+„+anbn)=

aj1nj(bibj)

jsj1nj(ajaj1)+snan≤0.最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, „, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。

证法二:(调整法)考察a1bia2bianbi,若bibn,则存在。

12kj若bibn(j≤n-1),则将bi与bi互换。

jnj因为

banbnajbi(anbiajbn)(anaj)bn(ajan)bi(anaj)(bnbi)≥0,nnnn所 调整后,和是不减的,接下来若bin1bn1,则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可得左边不等式。

222anana12a21a1+a2+„+an.例15 已知a1, a2,„,an∈R,求证;

a2a3ana1+

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。

三、基础训练题

a2b21.已知0m,则m的最小值是____________.6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2

11;②≤a3+b3<1;8411112③22;④ab2;⑤a22abab8.已知0<<,若sinb12ab;⑥

b1lgablga.22(1cos)43,则=____________.99.已知xx1x2xn,p=(x1-x)2+(x2-x)2+„+(xn-x)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+„

n+(xn-a)2, 若ax,则比较大小:p___________q.10.已知a>0, b>0且ab, m=aabb, n=abba, 则比较大小:m_________n.113n.22n22n1112.已知0

四、高考水平训练题

1.已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R),设m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2,则下列结论成立的有]__________.(1)m≥n, p≥q;(2)m≤n, p≤q;(3)m+p≥n+q;(4)m+q≥n+p.2.已知a, b, c, d∈R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比较大小:M________N.3.若ab,a,bR+,且a3,b________.4.已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b,则

a3ab,将3,a,b,从小到大排列为a12b的取值范围是________.a5.若实数x, y满足|x|+|y|≤1,则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.6.设函数f(x)=2x3x12(x∈[-4,2]),则f(x)的值域是________.7.对x1>x2>0, 1>a>0,记y1x1x2________y1y2.8.已知函数yx1axaxx2,y212,比较大小:1a1a1a1aasinx4的值域是,,则实数a的值为________.1cosx39.设a≤b

五、联赛一试水平训练题

1.已知a1, a2, b1, b2, c1, c∈R,a1c1-b1=a2c2b2>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2,比较大小:P_______Q.2已知x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.3.二次函数f(x)=x2+ax+b,记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|},则M的最小值为__________.4.设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d,比较大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5.已知xi∈R, i=1, 2, „,n且+

22xy2yz的最大值。222xyz11,则x1x2„xn的最小值为__________(这里1xi1inn>1).6.已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.7.已知0≤ak≤1(k=1, 2, „,2n),记a2n+1=a1, a2n+2=a2,则__________.8.已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则

(ak12nkak1ak2)的最大值为

xyz的最大值为__________.yz1zx1xy19.已知3≤x≤5,求证:2x12x3153x219.2abc310abc.327=1。又0<λ1≤λ2≤„≤λn,求证:10.对于不全相等的正整数a, b, c,求证:

n11.已知ai>0(i=1, 2, „, n),且

ai1inai(iai)i1i1in(1n)2≤.41n

六、联赛二试水平训练题

1.设正实数x, y, z满足x+y+z=1,求证:

xyxyyzyzyzxzxzxzxy2.22.设整数x1, x2, „,xn与y1, y2, „, yn满足1y1+y2+„+ym,求证:x1x2xn>y1y2„ym.3.设f(x)=x2+a,记f'(x)f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, „),M={a∈R|对所有正整数n, |fn(0)| ≤2},求证:M2,。

414.给定正数λ和正整数n(n≥2),求最小的正数M(λ),使得对于所有非负数x1, x2,„,xn,有M(λ)(xk1nk)xxk.nnkk1k1nn1119.5.已知x, y, z∈R,求证:(xy+yz+zx)222(yz)(zx)4(xy)+6.已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1,求证:2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c),并求出等号成立的条件。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第四篇:小学生数学竞赛讲义

小学生数学竞赛

上海市小学生竞赛简介

1、小机灵杯 

2、中环杯 

3、走美杯 

4、华罗庚杯 

5、希望杯 小机灵杯

 小机灵杯介绍:

 小机灵杯,是一项难度比较高的思维能力竞赛,从某种程度上来说难度较大,与中环杯相比,题目难度更深,但是灵活性没有中环杯大,中环杯的题目更具独创性,尤其是最后的图形的切拼割,更是考察学生的数学思维能力。小机灵杯的考试的题型来说,相对比较集中不零散,历年题目的类型都不会怎么改变,都是填空题型,不会对图形的切拼割进行考察。小机灵杯的复习主要还是分板块进行,不宜过高的难度,也不能太简单,主要还是要学生自己能够比较好的举一反三。

 竞赛特色:小机灵杯考试从某种程度上来说难度较大,与中环杯相比,题目难度更深,但是灵活性没有中环杯大。

 参加对象:全市各小学三至五年级学生;分三年级、四年级、五年级三个组别。

 赛程时间:初赛:每年12月;决赛:每年2月。

中环杯

 中环杯介绍

中环杯是一项难度较大的中小学数学竞赛,在江浙和上海受到广泛认可。分为初赛和复赛两个阶段,初赛主要考察奥数水平,复赛考察动手能力和思维能力等综合实力。

 参赛人群:小学四年级~中学八年级,爱好科学、数学的学生。

 竞赛时间:区选拔赛: 12月左右(四、五年级)

 市决赛: 3月左右 希望杯

 希望杯

这一邀请赛自1990年以来,已经连续举行了二一届。21年来,主办单位始终坚持比赛面向多数学校、多数学生,从命题、评奖到组织工作的每个环节,都围绕着一个宗旨:激发广大中学生学习的兴趣,培养他们的自信,不断提高他们的能力和素质。希望杯不涉及初

三、高三,不与奥赛重复。其他杯赛介绍

 走美杯:走进美妙的数学花园比赛的简称。

 “走美”始创于2003年(第一届没有笔试,仅仅是活动),现在已举行过7届,“走美”作为数学竞赛中的后起之秀,凭借其新颖的考试形式以及较高的竞赛难度取得了非常迅速的发展,近年来在重点中学选拔中引起了广泛的关注。客观地说“走美”

一、二等奖对小升初作用非常大,三等奖作用不大。

 华罗庚杯:

 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛(简称“华杯赛”)是以“华罗庚”名字命名的数学竞赛。始于1986年是纪念我国著名数学家华罗庚始创的,“华杯”数学竞赛活动至2010年以有16届。

竞赛时间安排及顺序

 小机灵杯

 2月28号左右  走美杯

 3月7号左右  中环杯  3月20日  华杯赛  4月10日  希望杯  4月11日 各杯赛常考问题

 数字问题:包括奇数偶数问题、整除余数问题、质(素)数问题、数列等问题等。 逻辑推理问题:包括数阵问题、说谎问题、逻辑判断问题等。

 应用问题:路程问题、行船问题、过桥问题、盈亏问题、牛吃草问题鸡兔同笼问题等。

 几何问题:数图形个数问题、周长面积问题、立体图形问题、图形切割问题等。 其他问题:时钟问题、定义新运算问题、十进制和二进制问题、抽屉原理、分类讨论问题等。

各杯赛试题分析:

 关于流水问题:  甲、乙两个景点相距15千米,一艘观光游船从甲景点出发,抵达乙景点后立即返回,共用了3个小时。已知第三小时比第一小时少行了12千米,那么这条河的水流速度为每小时多少千米?(五年级试题) 逻辑推理问题:

 例:四对夫妻,分为四组进行围棋比赛,设A、B、C、D为男士,E、F、G、H为女士,如果比赛的对决有下面的描述:B对H,A对C的妻子,E对F的丈夫,D对A的妻子,F对H的丈夫。那么B的妻子是谁?(五年级试题) 数字运算问题:

 例:如果6*2=6+7,5*3=5+6+7,4*4=4+5+6+7,…...,那么5*5+6*5+……+10*5等于多少?(四年级试题)

 余数问题:

 例:求4321×3275+2983-19×876除以17的余数(五年级试题) 数列问题:

 例:.小青虫由幼虫长成成虫,每天长大一倍,20能长到32cm。问长到4cm时要用几天?(三年级试题) 应用问题:

 例:.乙丙三组工人参加锯圆木劳动,他们领取的分别是4米、3米和2米长的圆木,要求把这3中木材都锯成长为1米的木断,已知每组工人将一根木材锯成两段所需 

    的时间是6分钟,且甲乙丙3组最后分别锯出了28段、27段、34段,那么工作量最少的的一组共锯木多少分钟?(三年级试题)火车问题:

例:两列火车相向而行,甲车每小时行50千米,乙车每小时行58千米,两车交错时,甲车上一乘客从看见乙车的车头到车尾一共经过10秒钟,乙车全长为几米?(四年级试题)时钟问题:

例:8点——分的时候,分针与时针第一次形成75°角。(五年级试题)几何问题:

例题:下图是五个同样大小的小长方形(单位:厘米),则一个小长方形的面积是多少平方厘米?(四年级试题)

 总结:各杯赛其实是课本知识的一个延伸和拓展,参加杯赛能够使学生的思维开阔。杯赛题目难度相对较大,但是每种类型的题目都有其比较固定的方法,在学习时需要学生多加积累和总计,这些方法不仅仅用在参加竞赛上面,在以后的学习中很多地方都可以应用。

第五篇:高一数学 数列求和教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案:数列求和

教材:数列求和

目的:小结数列求和的常用方法,尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。

过程:

一、提出课题:数列求和——特殊数列求和

常用数列的前n项和:123nn(n1)2135(2n1)n2

n(n1)(2n1)

6n(n1)2132333n3[]

2122232n2

二、拆项法:

一、(《教学与测试》P91 例二)

11114,27,310,,n1(3n2),的前n项和。aaaa1 解:设数列的通项为an,前n项和为Sn,则 ann1(3n2)

a111Sn(12n1)[147(3n2)]

aaa求数列11,(13n2)n3n2n当a1时,Snn

221n(13n2)nan1(3n1)na

当a1时,Sn nn1122aa1a1

三、裂项法:

二、求数列6666,,,前n项和 122334n(n1)116()

n(n1)nn1解:设数列的通项为bn,则bn

11111Snb1b2bn6[(1)()()]223nn16(116n)n1n1 例

三、求数列111,,前n项和 1212312(n1)12112()

12(n1)(n1)(n2)n1n211111111n)()()]2() 2334n1n22n2n2 解:an Sn2[(四、错位法:

1}前n项和 n21111 解:Sn123nn ①

2482111111Sn123(n1)nnn1 ② 248162211(1n)1111112n 两式相减:Snnnn1212248222n1121n1nSn2(1nn1)2n1n

2222例

四、求数列{n例

五、设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn(求数列{an}的前n项和

解:取n =1,则a1(an12)(nN*),2a112)a11 2又: Snn(a1an)n(a1an)a12(n)

可得:222an1(nN*)an2n1

Sn135(2n1)n2

五、作业:《教学与测试》P91—92 第44课 练习3,4,5,6,7 补充:1.求数列1,4,7,10,,(1)(3n2),前n项和

n3n1n为奇数2(Sn)

3nn为偶数22n32n1 2.求数列{n3}前n项和(8n3)3.求和:(1002992)(982972)(2212)(5050)4.求和:1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求数列1,(1+a),(1+a+a),……,(1+a+a+……+a

22n(n1)(n5))

3n

1),……前n项和

a0时,Snn a1时,Snn(n1)2

n(n1)aan1a1、0时,Sn(1a)2

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