第六章数列一章教案

第一篇：第六章数列一章教案

第六章 数 列

6.1 数列的概念

教学目标：1.了解数列的概念和通项公式的意义，会求常见数列的通项公式.2.培养学生观察、分析、归纳、判断问题的能力.3.对学生进行由特殊到一般和由一般到特殊的认识规律的教育.教学重点：数列的概念及求一些数列的通项公式.教学难点：已知数列前几项求数列的通项公式.教学方法：讲授法、启发式教学法等.学习方法： 观察法、练习法.教具：投影仪.教学过程：

一、导入新课

(1)师语：同学们，“队列”一词我们非常熟悉，谁能描述一下“队列”的含义？(2)教师选一两名学生对队列进行描述(可能不准确，不完整).(3)教师对学生的描述加以规范，并参照数列的定义给出队列的描述；按一定的次序排列的一列人叫队列.显然，构成队列的元素是人.每一个人在队列中都有固定的次序号，只要我们指定次序号就能找到与之对应的唯一的人，反之亦然.那么，如果有一列数，像人排成队列一样，按照一定的次序排成一列，这就是我们今天要学习的“数列”.(4)教师板书课题(黑板左上角).(5)师语：构成“队列”的元素是人，而构成“数列”的元素是数，为了研究“数列”的问题，必须给出“数列”及有关概念的科学的定义.二、讲授数列的定义(1)教师板书数列的定义 按一定次序排列的一列数，叫做数列，例如：

4，5，6，7，8，9，10；(1)

1，，„；(2)的精确到1，0.1，0.01，0.001，„的不足近似值列成一列：

1，1.4，1.41，1.414，„(3)

－1，1，－1，1，－1，„(4)

2，2，2，2，„(5)

等都是数列

(2)师语：构成数列的元素是数，一个数列中包含很多数，每一个数在数列中所处的位置是不同的，(即，每一项都有自己的次序号).在数列中的每一个数都叫做这个数列的项.(教师将项的定义板书在数列定义下)，显然，一个数列中有很多项.根据项在数列中所处的次序不同，我们依次将各项称为第1项，第2项，第3项，„„.(提问学生所给出的数列的各项的值.)显然数列中的每一项都对应一个次序号，反之亦然.所有次序号按从小到大的顺序排列在一起就是正整数的一个子集1，2，3，4，„„.数列中每一项所对应的次序号叫做该项的项数.(将项数的定义板书于项定义下.)不难发现对于一个已知数列来说“项数一经确定，项就被唯一确定了”.(提问几名同学，分别举出一个或几个具体的数列，并选择规律明显的板书于黑板右侧.)

三、讲授数列的通项公式

(1)师语：前面的几名同学分别举出了几个数列的实例，虽然这些数列是不同的，但是它们的共同特征为按一定次序排列的一列数.数列的一般形式可以写成：，，„，„其中

代表数列的第项，在这种表示方法中

是项，是

}的形项数.为了更简洁地表示数列还可以将数列表示成{式很简单.对于不同的数列来说

}的形式.显然，将数列表示成{

是不同的.例如，数列 1，，„，„，记作.我们看这个数列的第项为通项公式.(2)板书通项公式的定义：

＝，它是用项数来表示该数列相应项的式子，一般称其 用项数来表示该数列的相应项公式，叫做数列的通项公式.例如，前面数列(1)的通项公式是

.(3)数列与函数的关系.由数列通项公式的定义可知，数列的通项是以正整数的子集为其定义域的函数，因此通项可以记作：

.(4)看数列(2)的各项同通项公式＝之间的关系：在＝中，如果用5代替公式中的，就得到第5项的各项.四、数列的分类 如果依次用正整数1，2，3，„去代替公式中的就可求出数列中 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.例如，数列(1)是有穷数列；数列(2)，(3)，(4)是无穷数列.五、例题和练习

例1(用投影仪或小黑板给出.)根据通项公式，求出上面数列{

}的前5项.3(1)；(2)＝(－1)·.解：(1)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为：

；

(2)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列前5项为：

―1，―2，―3，4，―5.练习：用投影仪订正答案.教材第136页练习第1(1)，2(3)题

例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下面各列数：(1)1，3，5，7；

(2)；

(3)―，―，；

解：(1)分析：序号 1 2 3 4 项 1 3 5 7 由上表可以看出，数列的前4项1，3，5，7，都是序号的2倍数减1，所以通项公式为

.(2)数列前4项的平方减去1，所以通项公式是 的分母都等于序号加1，分子都等于分母.(3)数列的前4项的绝对值都等于序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是

.练习：用投影仪给标准答案.教材第136页 练习第3题.例3 已知数列{}的第1项是1，以下各项由公式

.给出，写出这个数列的前5项.解：

练习：教材第136页 练习

第2(2)题.六、课堂小结

由学生讨论或教师总结，然后用投影仪或小黑板给出.(1)本节课学习了数列的定义及其有关概念；(2)用函数的观点研究、分析数列的通项公式.(3)要求会解已知数列通项公式求指定项的习题，以及给出数列的前4项，写出其一个通项公式的简单问题，七、课外作业

教材136页 练习第1(2)，2(4)题

练习第2(1)题；

教材146页习题5-1第1(2)、(4)、(5)题.常见错误分析

本节中常见错误主要集中在两个地方：一个是求数列的通项公式；另一个是第136页练习B第2题的解答.前者的原因主要有两点，一是学生对通项公式的理解不深刻，在分析、判断中，脱离项数(序号)而仅仅注意项手无策.后者的主要原因在于对递推公式的理解上，他们会使用递推公式

＝

＋3，却不会使

；二是没有掌握求通项公式的一些方法，当面对复杂的数列时束用＝＋3.在教学中，对例3应当强调中的与－1的作用仅仅是代表项的序号，该递推公式用自然语言来叙述就是：从第2项起，该数列的任意一项等于它的前一项 6 的倒数与1的和.而二项与前一项的差.＝－用自然语言叙述就是：从第3项起，每一项都等于它的前

习题分析

一、例题分析

（一）大于3且小于11的自然数排成一列：

4，5，6，7，8，9，10；(1)自然数1，2，3，4，5，„的倒数排列成一列数：

1，，，„；(2)的精确到1，0.1，0.01，0.001，„的不足近似值排列成一列数：

1，1.4，1.14，1.414，„ ；(3)－1的一次幂，2次幂，3次幂，4次幂，„排成一列：

－1，1，－1，1，－1，„ ；(4)无穷多个2排成一列：

2，2，2，2，„(5)等都是数列.作用：

1.数列(1)、(2)、(3)、(4)、(5)是用来说明数列定义的，把概念具体化，加深学生对概念的理解.2.这5个数列很有代表性.即包含了无穷数列(2)(3)(4)(5)又包含了有穷数列(1)，既有可以写出通项公式的(1)(2)(4)(5)，又有写不出通项公式的(3)，而(5)则是常数数列.3.这5个数列的构成简单，便于巩固概念，不会因为理解例题本身而干扰它所起的作用.例1 根据通项公式，求出下列各数列的前5项：(1)＝；(2)＝(－1)·.解：解题思路是根据通项公式的定义，第项，就是＝()中的＝时的值.(1)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列{}的前5项为：

，，；

(2)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列{

－1，2，－3，4，－5.作用：1.巩固通项公式的概念.2.说明如何使用通项公式求数列的指定项.}的前5项为：

例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；

(2)，，；

(3)－，－，.解：((1)对此题的解法，重点放在分析的过程上，即如何找项与序号的关系，以及由各项的特点，如何找出各项的共同的构成规律.这是解题的关键.)(1)数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是

＝2－1；

(此题数列的前4项是自然数中的前4个奇数，从这个角度考虑也可得＝2－1.但本题的解答是要突出解决已知数列前4项求通项公式的一般方法是找各项与序号之间的关系.)(2)数列的前4项，，的分母都等于序号加上1，分子都等于分母的平方减去1，所以通项公式是；

(当数列的项构成比较复杂时，解决写通项公式的问题，可以把项分成几个部分来考虑，分别找其与序号的关系，然后合成.)(3)数列的前4项－，－，的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是.(此题也可这样来分析：它的项正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，因此可用(－1)解决符号问题，又各项分子均为1，分母为序号乘以序号与1的和，所以通项公式可得.)作用：1.巩固通项公式的概念.2.说明如何解决已知数列前几项，求出其一个通项公式的问题.3.给学生作出如何分析项的构成与序号的关系，找出各项构成的规律，培养观察分析、归纳、总结问题的能力.例3 已知数列{5项.解：}的第1项是1，以的各项由公式给出，写出这个数列的前＝1，9 作用：1.此题是用递推公式给出的数列，一般称其为递推数列，也叫递归数列，用来说明由递推公式也是给出数列的一种方法.2.说明如何求递推公式给出的数列的前几项，让学生了解一点递推数列的知识.3.学生对第项、第+1项、第－1项之间的顺序关系容易弄错，要给学生指出它们之间的相邻关系.二、习题分析(二)：

第146页习题5－1

2.已知无穷数列1×2，2×3，3×4，4×5，„，(+1)„；(1)求这个数列的第10项、第31项及第48项；(2)420是这个数列中的第几项？

此题中的(2)是课文例题所没有涉及以的题型.反映了数列通项公式的另一个作用.即在某些情况下，可以由已知项的来求未知的项数.解这种题的思路是设第项的值为该项的值，由通项公式，得到关于的方程，解这个方程，所得方程的正整数解就是该项的项数(序号).如果是判断某个数是不是该数列的项，也是设第项的值为该数，看所得方程有无正整数解，有则是项数(序号)，否则就不是数列的项.6.2等差数列的概念(一)教学目标：

1.理解等差数列的概念.2.初步掌握等差数列的通项公式，并会简单应用.理解等差中项的概念，并会求两个数的等差中项.3.在等差数列定义的引入和通项公式的推导中培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力和思想方法.4.渗透由特殊到一般和由一般到特殊的辩证唯物主义思想，进行辩证唯物主义思想教育.教学重点：等差数列的定义、通项公式.教学难点：通项公式的理解和应用.教学方法：讲授法、启发式教学法等.学习方法： 观察法、练习法.教学过程：

一、复习提问、新课导入

求下列数列的通项公式：

1.(1)；(2)3，6，9，12，15，„.师生共同解答(或学生先做，教师总结).注 一般来说，两题的结果应是，＝3.教师总结时，应着重对(2)进行分析，并指出如下几点：

第(2)题的每一项都是3的倍数，因此可以成如下形式：3·1，3·2，3·3，3·4，3·5，„.于是有 ＝3·.对于第(2)题我们再从任意相邻两项之间差的关系入手观察分析一次.二、讲授新课

请不同的同学来回答，可能有两种不完整的结论：1.前项减后项的值相等，2.后项减前项的值相等.教师在评说中要对结论进行规范，得出结论：

该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于3.再请同学观察一例：1，2，3，4，5„„.然后让一些学生举出几个具体的例子.随后，教师给出关键的一例：

，＋，＋2，＋3，＋4，„.(3)

让学生回答它的第项是什么？得出有关概念.＝＋(－1)，同时，教师可以给出等差数列 如果一个数列从它的第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.例如，数列：3，6，9，12，„的公差是3； 1，2，3，4，„的公差是＝1.数列(3)，＋，＋2，＋3，„的公差是，这个数列可以表示任何等差数

和公差，则等差数列{

}的通项列.我们刚才找出它的一个通项公式，即如果已知首项公式是 ＝＋(－1).例如，数列(2)3，6，9，12，„的通项公式为

＝3＋(－1)·3＝3＋3(－1)＝3； 数列1，2，3，4，„的通项公式为＝1＋(－1).例1 求等差数列8，5，2，„，的通项公式与第20项.分析：等差数列通项公式只须一项.解：因为a1＝8，d＝5－8＝－3，所以这个等差数列的通项公式是

an＝8＋(－1)×(－3)，即an＝－3＋11.所以a20＝－3×20＋11＝－49.例2 等数数列－5，－9，－13，„第几项是－401？

分析：已知首项为－5，公差为－9－(－5)＝－4，第项可反求项数.解：因为＝－5，＝－9－(－5)＝－4，＝－401，代入通项公式，得

＝－401，利用通项公式，和已知就可确定.有了通项公式，便可求该数列的任意 －401＝－5＋(－1)×(－4)解得＝100，即这个数列的第100项为－401.三、课堂练习

教材 第140页 练习

四、课堂小结

1.等差数列的定义：注意公差是“后项减前项”.2.等差数列的通项公式：＝所决定.＋(－1)①是求指定项的关键；②通项公式，由和

五、课外作业

1.复习作业：复习课文6.2等差数列的概念.2.书面作业：第140页 练习A第2(2)，3(2)题

练习第1，3题，教材第146页习题第4题.3.预习作业：预习课文6.2等差数列前项和.6.3等差数列的前项和

教学目标：

1.理解等差数列的前项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前项和公式，并会用公式解决简单问题.3.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力.教学重点：等差数列的前项和的公式.教学难点：等差数列的前项和公式的推导.教学方法：启发式讲授法.学习方法： 观察法、练习法.教具：投影仪.教学过程：

一、复习提问

1.什么叫等差数列？它的通项公式是什么？ 2.等差数列－2，„，＋，＋2，„，＋(－1)＝，能否表示成，－，－(－1).3.2和10的等差中项是多少？

二、引入新课

上节课我们学习了等差数列的通项公式，知道了一个数列的通项公式，想求它的哪一项，都只需将该项的序号代入公式就可求出该项.并且知道

＝

＋(－1)中，四个量，和，只要知道其中的3个就能求出第4个.但是如果要求数列1，2，3，4，5，„的前100项和这样的问题，通项公式解决不了，今天我们就来学习等差数列的前项和的问题.三、讲授新课 1.已知等差数列，，„，„的前项的和记作，即

＝＋＋„＋.例如，正整数数列1，2，3，„，„的前100项的和，记作 2.怎样求等差数列前项和？ 看例子.求＝1＋2＋3＋„＋100.＝1＋2＋3＋„＋100.对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果.你知道这个故事吗？他是如何计算的呢？

高斯的算法是：

首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和3＋98＝101，„

第50项和倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是.这个问题是求等差数列1，2，3，„，„的前100项的和的问题.在上面的求解中，我们发现所求和可用首项、末项及项数来表示，且任意的第项与倒数第项之和都等于首项与末项的和，这就启发我们怎样去求一般等差数列的前项的和.设等差数列{}的前项和为，即

＝＋＋„＋.根据通项公式上式可写成 ＝＋(＋)＋„＋[＋(－1)].①

由于＝－，＝－2，„，＝－(－1)，所以 ＝＋(＋)＋„＋[＋(－1)].②

(提问学生怎样想到的.)把①、②两边分别相加，得

由此得到等差数列{}的前项和公式

.用语言叙述就是：等差数列的前项和等于首末项的和与项数乘积的一半.如果高斯的同学都知道这个公式，高斯的计算就不会最快了，你说是吗？用公式可得

1＋2＋3＋„＋100＝＝5 050.用这个公式需要已知等差数列的首项和末项(第项)以及项数.如果知道首项、公差和项数可以用下面的公式：

把通项公式 得 ＝＋(－1)代入，.这也是等差数列前项和的公式.显然当知道项，公差和项数时，用后一个公式最直接.3.例题.例7 如图10－1所示，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放多少支铅笔？

分析：由“往上每一层都比它下面一层多放1支”，得每一层所放铅笔的支数为等差数列，且公差＝1，＝1，＝120，＝120，是求的问题.解：由题意可知这120层铅笔数或等差数列，且公差＝1，＝1，＝120.代入前项和公式得

，即V形架上共放着7 260支铅笔.例8 在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和.分析：100以内是7的倍数最小的一个是7，依次排出成等差数列，公差是7，最大的那一个可以通过作除法求得，即100÷7＝7×14＋2.所以最大那一个7的倍数是98，即由此也可知＝14.解：在小于100的正整数中，7是7的倍数中最小的一个.由于100÷7＝7×14＋2，可知最大的那一个是14×7＝8.将这些数由小到大排列，成等差数列公差为7，个数为14.＝7，＝98，＝98.18，即在小于100的正整数和集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735.四、课堂练习

练习：教材第 页

五、课堂小结

1.等差数列前n项和的公式

(1)；

(2).2.思考在什么情况下用两个公式中的哪一个为好？(这一点让学生总结分析.)

六、课外作业

1.复习作业：复习课文6.2.2等差数列的前项和.2.书面作业：第142练习

第1(2)、(3)题，习题5－

1第2，3(1)，1题.3.预习作业：预习课文6.3等比数列中5.3.1等比数列的概念.6.4等比数列的概念

教学目标：

1.通过教学使学生理解等比数列的概念，理解其通项公式的推导过程.2.掌握等比数列的通项公式，并会用公式解简单的问题.3.理解等比中项的概念.4.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力.教学重点：等比数列的定义和通项公式.教学难点：通项公式的应用.教学方法：启发讲授法.教学过程：

一、复习提问

什么样的数列叫等差数列？等差数列{

二、引入新课

判断下面两个数列是不是等差数列，并说明理由，2、4、6、8、10、12、„(1)2、4、8、16、32、64、„(2)

让学生观察、分析、归纳、判断.可以得出数列(1)是等差数列，理由是数列(1)从第2项起每一项与它的前一项之差都等于2，即等于同一个常数，根据定义，它是等差数列，且公差＝2.数列(2)不是等差数列.理由是它不符合等差数列的定义，例如，第2项减第1项得2，但第3项减第2项则差是4，不相等.再引导学生观察数列(2)，从第2项起每一项与它前一项的差不等于同一常数，再看一看与它前一项的比有什么特点？(让学生试验、探索)学生会发现，这个数列从第2项起每一项

}的通项公式是什么？指出公式中各字母的含义.与它前面一项的比都等于同一个常数2，教师指出这样的数列就是我们今天要研究的等比数列.三、讲授新课

1.等比数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，例如上面所说的公式(2)就是等比数列，公比＝2.2.通项公式： 我们知道等差数列{那么等比数列呢？

设等比数列{

}，公差为，则它的通项公式为＝＋(－1)，}，公比为，则根据定义有

＝q，即a1＝a2q，＝，a3＝＝()＝，＝＝()＝.(要注意引导学生观察项的序号与的指数的关系，让学生往下推想学生填数，然后总结出通项公式.)„„

由此可知，等比数列{

}的通项公式是

()内由 ＝.大家看，这个公式是从这个公式对∈

开始推导的，当＝1时，左边为

与均不为０.，右边为·＝.说明时都成立，这 里 21 例如，数列(2)的通项公式为，(＝2，＝2).可见只要知道和就能写出等比数列的通项公式，有了通项公式就可求它的任一个指定项.例如我们求数列(2)的第5项，.3.例题

例1 求等比数列的第10项.分析：用通项公式即可求出第10项，有和公比就可求出通项公式，需先求公比.例2 一个等比数比数列的第3项与第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项.分析：已知解得＝12，＝18，设

和公比，用

和

可得关于

和的二元方程组，和便可求该数列的任一指定项.解：设这个数列的第1项是，公比是，则

得代入(1)得

∴这个数列的第1项是，第2项是8.解法2：根据定义÷＝，根据通项公式＝，所以＝，将8.，＝12代入，得.即这个数列的第1项是，第2项是 这两种解法各有特点，但用第一种方法更具普遍性，它对已知等比数列的任意两项都可用，方法2则用了和是相邻两项的特点.4.在等差数列里学过等差中项，和的等差中项等于什么？

提问学生，并可用和的算术平均数一起作对比复习.、的等差中项是，即在、中间插入一个数，使、、成等差数列，则叫、的等差中项.对于等比数列如何呢？

如果在2与8中间插入一个数4，那么这三个数成等比数列.一般地，如果在与中间插入一个数，使，成等比数列，则

叫做与的等比中项.例如上面例子中，4叫2和8的等比中项.如果是与的等比中项，那么，即

和等差数列类似，一个等比数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项.例3 求(1)与 解：(1)由定义(2)的等比中项.；(2).注意：两个数的等差中项只有一个；而两个数的等比中项有两个，这两个数互为相反数，且两数必须同号才有等比中项.四、课堂练习

练习第144页，五、课堂小结

1.等比数列的定义与等差数列定义的区别是什么？

2.等比数列的通项公式反映的是几个量之间的关系？要确定一个等比数列的通项公式，关键是哪两个量？

3.等比中项是怎样定义的？两个数的等比中项有几个？

六、课外作业

1.复习作业：复习课文5.3.1等比数列的概念.2.书面作业：

3.预习作业：预习课文5.3.2等比数列的前项和.6．5等比数列的前项和.教学目标：

1.初步理解等比数列前项和公式的推导过程，学习“错位相消法”.2.初步掌握等比数列前项和公式，会应用公式解简单的问题.3.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力.教学重点：等比数列前项和的公式.教学难点：等比数列前项和公式的推导.教学方法：问题解决教学法.教学过程：

一、复习提问

1.叙述等比数列的定义，它的通项公式是什么？解释公式中各字母代表的是数列的什么？

2.等差数列前项和的公式是什么？推导它的过程用了什么方法？

二、引入新课

我们知道等差数列有通项公式、等差中项、前项和的公式，我们学习等比数列已经学习了它的通项公式和等比中项，今天我们来研究它的前项和它的公式.引入课题，板书5.3.2等比数列的前项和.三、讲授新课

现在我们来推导等比数列前项和的公式，也就是要用＋.，和来表示

＝

＋

＋„ 可以写成：＝＋＋＋„＋.(1)25 为了找出求的方法，我们先看一个具体的等比数列；1、2、4、8、„、、„，它的公比＝，我们先来求它前10项的和试一试.＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512，①

如果用公比2乘以上式的两端，得 2＝2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512＋1 024.②

为了便于比较，我们将①、②列在一起，＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512，①

2＝2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512＋1 024，②

可以发现－2的右边只剩1－1 024，中间那些项全消去了，得

(1－2)＝1－1 024.则：

一般地情况如何呢？ 我们用同样的方法来推导：

＝

＋

＋

＋„＋＋，(1)(1)的两边同乘以，得：＝＋＋＋„＋＋.(2)(1)的两边分别减去(2)的两边，得(１－)＝－.26 当≠1时，得 ＝.当＝１时，等比数列的各项都等于，因此 ＝.这就是我们所求的等比数列前项和的公式.当≠1时，将＝代入＝，公式还可写成

＝.和等差数列一样，等比数列的前项和公式也有两个，大家想一想，两个公式分别在什么情况下使用的好？(让学生可以前后，左右议论这个问题)然后教师总结：

在求等比数列前项和时，如果已知、、、用前一个公式；当已知、、时，用后一个公式.这两个公式都涉及四个量之间的关系.只要知道其中任意三个，就可求出第四个.例1(教材中例2)求等比数列„的前8项的和.例2 某工厂去年的产值是138万元，计划在今后5年内每一年比上一年产值增长10%，这5年的总产值是多少(精确到万元)？

分析：每一年比上一年增长10%，那么第二年与第一年的比值为110%，以后每一年与上一年的比值都是110%，所以这5年的产值数按年序排列是一个等比数列，公比＝110%，今后5年，加上去年一共6年，去年的产值是不包括去年.解：＝138(万元)，＝1＋10%＝101，＝138，但要求的是今后5年的总产值，所应该 今后5年的总产值为

即这今后5年的总产值是927万元，四、课堂练习

五、课堂小结

1.等比数列前项和的公式 ＝，＝.(≠1)

可以和等比差数列前项和公式作对比以加深记忆，等差数列的前项和公式为

2.要灵活运用等比数列前项和公式的两种形式..3.对于应用问题，首先分析它是不是可用等比数列知识，即转化成等比数列问题，然后才能决定用有关知识解决.六、课外作业

1.复习作业：复习课文5.3.2等比数列的前项和.6．6等差数列与等比数列的应用.教学目标：1.使学生了解等差数列和等比数列在社会生活中有广泛的应用，并能解有关简 单应用题.2.复习巩固等差数列、等比数列的有关知识，加深对等差数列、等比数列概念的理解.3.培养学生分析问题，解决问题的能力，应用数学的意识和理论与实际关系的科学观点.教学重点：等差数列与等比数列的应用.教学难点：将实际问题化归为等差、等比数列的问题.教学方法：启发式讲解法.教学过程：

一、复习提问

1.等差数列的定义，通项公式，前项和公式？ 2.等比数列的定义，通项公式，前项和公式？

二、新课导入： 我们学习了等差数列和等比数列这两个重要数列，它们在社会生产生活中有广泛应用，今天我们就以举例的形式来说明它们的应用.三、新课教学

下面我们来看几个例子.例1(教材中的例2)某林场计划造林5后林场共造林多少公顷？

例2 某林场计划第1年造林80，以后每一年比前一年多造林20%，第5年造要多少，以后每年比上一年多造林

3，问20年公顷？（将例1，例2同时并排列在黑板上，引起学生对比思考.）分析：先看例1，由“每年比上一年多造林3

”可以得出第2年造林减去第1年造林数与第3年造林数减去第2年造林数，„都等于3，也就是这20年各年的造林数依次排出来，成一个公差为3的等差数列，于是

＝5，＝3，＝20，求20年后共造林，则为求

.29 再看例2，由“每一年比前一年多造林20%，可以得出第2年比前一年多造林数为80，第2年实际造林数为80(1＋)，第3年又比第2年多，即多80(1＋)·，第3年实际为80(1＋)，由此可知，将每年造林数依此排出来是一个公比为1＋的等比数列，求的是第5年造林数，显然是求第5项.下面我们在练习本上自己写出解题过程.然后教师出示正确答案：

例1： 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等差数列｛

｝，其中＝5，＝3，＝20.∴ ＝20×5＋＝670.答：20年后林场造林670.例2： 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等比数列｛｝，其中＝80，＝1＋，＝5.∴ ＝80×(1＋)4 ＝80×1.24＝165.888.答：第5年造林165.888.大家对比这两道例题，思考：1.如何确定一道题是应用等差数列还是等比数列？ 2.怎样判定是求 还是?(积累一下经验.出示例

3、例

4、方式同例

1、例2.)：

例3 某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降低到58元，这种产品平均每次降价的百分率大约是多少？

例4 某种细菌在培养过程中，每30 菌可繁殖多少个？

分裂一次(一个分裂为两个)，经过4 h，这种细 分析：看例3，“三次降价，原来单价为174，后来为58”将这几次的价钱排出来为178，，58.才是三次降价.因而

＝58，＝178，由求“平均每次降价的百分率”知是比

为178－178＝178(1－)，同样

＝58，又

又是＝178(1例问题，设其为，则有比178少178，即的(１－)倍，可见“后项比前项”为(１－)，即此题为等比数列.－).看例4，由“一个分列为两个”知原来的那个细菌已不存在，若将一次次分裂后的细菌数排出来，则为

原 30 30

„ 30

„

4 h有多少个30

„，4×60＝240 240÷30＝8.下面同学们在练习本上作出这两题，教师给出正确解答：

例3： 解：设平均每次降价的百分率是，则每次降价后的单价是降价前的(1－)倍.这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为｛

｝，其中

＝174，＝58，＝4，＝1－，0＝.由等比数列的通项公式，得 58＝174(1－).整理，得

，(1－)＝≈0.693.31 因此，≈1－0.693≈31%.答：即上述电子产品平均每次降价的百分率大约是31%.例4：解：细菌分裂一次，一个分裂成两个，即公比＝2，4h＝8×30 次，将每次分裂后的细菌数依次排成数列为等比数列，＝2，为，＝9，所以

＝

＝

＝256(个)，所以分裂8

＝1，分裂8次后的细菌数 答：经过4 h，这种细菌可繁殖256个.由这个两个例子的分析和解答，思考： 1.怎样确定? 2.怎样确定是求殖成多少个？那么是求

四、课堂小结：

今天我们学习了等差数列、等比数列的一些应用，它们的应用远不仅如此，仅就今天研究的4个例题，可以在应用等差数列、等比数列知识解题时应注意： 1.判断它是否是等差数列、等比数列.2.若是等差数列、它的公差是多少？一般地“增加”或“减少”的具体数量.3.若是等比数列，它的公比一般是(1＋增长率)或(1－降低率).4.对项数n要弄清楚，拿不准时不妨实地排一下.5.分清是求

五、课后作业

1.复习作业：阅读课文5.4等差数列与等比数列的应用.重点看懂例1和例4，对例4若有不明白的地方可以和同学讨论或问老师.2.书面作业：教材第149页习题5－2

第1～4题.还是.切忌不加分析，盲目套用公式.还是

？如果例4换成一只兔子一个月可繁殖2个，经过半年地繁

?，还是求 32

第二篇：数列求和教案

课题：数列求和

教学目标

（一）知识与技能目标

数列求和方法．

（二）过程与能力目标

数列求和方法及其获取思路．

教学重点：数列求和方法及其获取思路． 教学难点：数列求和方法及其获取思路．

教学过程

1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）Sna1a2an2Snn(a1an)

Snanan1a112223210222 例1．求和：2110222923282101分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．

小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：

（2）Sna1a2a3an(1q)Sna1an1 qSaaaa23nn1n23n例2．求和：x3x5x(2n1)x(x0)

3．分组法求和

1的前n项和； 161例4．设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100

2例3求数列1,2,3,4（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。例5．求数列 1, 1a, 1aa,,1aaa121418,的前n项和Sn.n(n1)解:若a1,则an111n, 于是Sn12n;2 n1a1 若a1,则an1aan1 (1an)1a1a1a1a21an11a(1an)2n于是Sn [n(aaa)][n]

1a1a1a1a1a1a111 1212312n22n14．裂项法求和 例6．求和：12112()，n(n1)nn11111112n Sna1a2an2[(1)()()]2(1)223nn1n1n1解：设数列的通项为an，则an例7．求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n

（裂项）

1nn1则 Sn12312

（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

三、课堂小结：

1．常用数列求和方法有：

(1)公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2)化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3)倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；

(4)错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；(5)并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和；(6)分部求和法：将一个数列分成n部分求和；

(7)裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、课外作业： 1．《学案》P62面《单元检测题》 2．思考题

11146前n项的和.481612n2（2）．在数列{an}中，an，又bn，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan12（1).求数列：（3）．在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq

（找特殊性质项）和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN

得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)

＝log39log39log39

＝10

第三篇：简单数列教案

北外附校小学部2010-2011学第一学期 二年级数学思维训练试题（认识简单数列教案）我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题。

1、找出下面各数列的规律，并填空。（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.（5）5，10，15，20，□，□，35，40，45.注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.2、找出下面的数列的规律并填空。

1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.解：这叫斐波那契数列（兔子数列），从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：

空处依次填：

3、找出下面数列的生成规律并填空。1，2，4，8，16，□，□，128，256.解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：

4、找出下面数列的规律，并填空。1，2，4，7，11，□，□，29，37.解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：

5、找出下面数列的生成规律，并填空.1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，64=8×8，81=9×9，100=10×10.若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.自然数列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

自然数平方数列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

6、从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删去那些不应该出现的数，就得到答案了：

即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28

可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数大3.7、从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.解：仿习题1，先写前面的几个数如下：

可以看出，1，8，15，22，„„也是一个等差数列，后面的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所有的10个数：

1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.8、在习题6和习题7中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现的最小的相同的数是几？

解：观察习题6和习题7两个数列：习题6的数列是：1,8,15,（22），„„

习题7的数列是:1,4,7,10,13,16,19,（22）,25,28,„„ 可见两个数列中最小的相同数是22.9、一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？

（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四（1））

方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

可见第12站以后，车上坐满乘客.10、如图所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问

（1）盒子里有多少珠子？（2）这串珠子共有多少个？

解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：

白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白

1, 1,1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1，①在盒子里有：

4+1+4=9（个）.②这一串珠子总数是：

1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1

=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）

=28+8=36（个）.

第四篇：数列求和教案

数列求和

数列求和常见的几种方法：（1）公式法：①等差（比）数列的前n项和公式；

1n(n1)21222n2nn(

123......6② 自然数的乘方和公式：123......n（2）拆项重组：适用于数列

1n)(2 1)an的通项公式anbncn，其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方；

（3）错位相减：适用于数列an的通项公式anbncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；

（4）裂项相消：适用于数列a的通项公式：aknnn(n1),a1nn(nk)（其中k为常数）型；

（5）倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.（6）

分段求和：数列an的通项公式为分段形式

二、例题讲解

例

1、（拆项重组）求和：311254718......[(2n1)12n]

练习1：求和Sn122334......n(n1)

例

2、（裂项相消）求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和

练习2：求S11n11212311234...1123...n

例

3、（错位相减）求和：1473n222223...2n

练习3：求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)

例

4、（倒序相加）设f(x)4x4x2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求：f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值

a3n2(n4)例

5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*)求数列an的前n项和Sn

检测题

1.设f(n)22427210...23n10(nN)，则f(n)等于（）

2n222n4(81)

B.(8n11)

C.(8n31)

D.(81)777712.数列{an}的前n项和为Sn，若an，则S5等于（）

n(n1)511A．1

B．

C．

D．

66303.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列． A.（1）求数列{an}的通项公式．（2）令banln3n1，n1，2...，求数列{bn}的前n项和Tn。

4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a

3，aN*n．（Ⅰ）求数列an的通项；

（Ⅱ）设bnna，求数列bn的前n项和Sn n

5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6：求数列112,123,,1nn1,的前n项和.7：数列{an}的前n项和Sn2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN).（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

8：

求数列21，41，6114816，2n2n1，...的前n项和Sn．

．

9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n，求S100.10：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.11：求数列的前n项和：11,1a4,11a27,,an13n2，…

12：求S12223242...(1)n1n2（nN）

13：已知函数fx2x2x2（1）证明：fxf1x1；

（2）求f1f10210f810f910的值。.

第五篇：数列极限教案

数列的极限教案

授课人：###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。

2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正62n1形的面积为An.A1,A2,A3......An......圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

第一天的长度1第二天的剩余长度 第二天的剩余长度

第四天的剩余长度 8

.....第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结：极限是变量变化趋势结果的预测。例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：

1111（1）: 1，,......； 23nn

1n1111:1，，,......；（2）n2345

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）1:1,1,1,1,......,1,......； nn

我们接下来讨论一种数列xn，在它的变化过程中，当n趋近于时，xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）

（4）中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”，“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误，所以需要精确的，定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来，并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

（定义板书）设xn是一个数列，a是实数。如果对于任意给定的数0，总存在一个正整数N，当nN时，都有xna，我们称a是数列x

n的极限，或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作：limxna或xnan。

n

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注意：（1）理解定义中的“任意给定”：是代表某一个正数，但是这个数在选取时是任意的，选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度，所以可以任意的小。

（2）N的选取是与任意给定的有关的。11以数列为例，欲若取，则存在N100，当nNxna； 100n

若取1，则存在N1000，当nN时，xna。1000

数列极限的N语言：

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释：

3、例题讲解

n211。例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明：设xn，因为 nn

n21212xn1nnnnn

0，欲使xn，只要22即n，n

2我们取N1，当nN时，

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注：N的取法不是唯一的，在此题中，也可取N10等。

例题2 设xnC（C为常数），证明limxnC。n

证明：任给的0，对于一切正整数n，xnCCC0，所以limxnC。n

小结：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业