小学数学课例分析

第一篇：小学数学课例分析

让数学教学回归本色

——面对当今小学数学课堂教学诸多现象引发的思考及探索

摘要 本文先对当前小学数学课堂教学中存在的问题进行深入地剖析，用案例呈现的方式列举了数学教学中在情境创设、课堂活动、课堂提问、教学过程铺设等方面存在的问题，再用案例呈现出小学数学课堂教学本应保留的特色，即数学问题应多一点，思考感悟应多一点，思维交流应多一点，更应关注学生数学能力的提高。笔者想与广大教师共勉：沉下心来，实实在在、扎扎实实地教学，还数学教学本应有的特色。

在新课程实施过程中，刻意追求形式之风存在于不少的数学课堂，使得数学教学极具“观赏性”，显示出一派“喜人”的景象。特别是一些公开课、展示课，教师几乎是使出浑身解数，创设情境、实践操作、小组讨论、合作交流等，层出不穷，学生的学习兴趣被激发得兴致盎然，学生的参与热情被调动得淋漓尽致，这似乎说明数学课程标准理念已经落到实处了。但形式的背后露出浮华，折射出一些值得思考的问题：数学问题少了，思考感悟少了，思维交流少了，能力提高少了。倘若不冷静反思，则很容易使数学教学步入“歧途”。当务之急是要让数学课堂回归本色，实实在在、扎扎实实地教。

一、华丽情境少一些，数学问题多一些

《数学课程标准》指出，数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。的确，在数学教学中，好的问题情境能拨动学生思维之弦，激发求知欲、唤起好奇心，使看似抽象、枯燥的数学知识富有吸引力，让数学课堂充满诗意。因此，情境创设已经成为当前数学教师煞费苦心的一件事，他们往往为了突出“新、奇、趣”，挖空心思地创设华丽的情境，然而结果却引发了不少问题。

案例

（一）：《倒数的认识》教学片断

师：(出示汉字吞、呆。)你知道这些汉字的部首调换位置后各是什么字? 生1：“吞”字上下部首调换应是“吴”字。生2： “呆”调换部首是“杏”。

师：下面老师可要出一些比较难的题目，你们敢挑战吗? 请把我说的句子倒过来念。师：“客上天然居”!生：“居然天上客”!师：“人过大佛寺”!生：“寺佛大过人”!师：在我们的数学中也有这种有趣的现象，它就是我们今天要学习的倒数。

这个案例中的情境可用“漂亮、华丽”来形容，教师充分挖掘语文中的教学资源，通过汉字的倒写、句子的倒念来激发学生的学习兴趣，使学生初步感知倒数这一概念。但这是否就是一个好的情境？它蕴含了多少数学问题，激发了学生多少数学思考？回答是否定的。在“倒数的认识”学习之后，少数学生把“6”的倒数写成了“9”，“3.27”的倒数写成了“7.23”。这应该说是教学价值的误导。案例

（二）：《通分》一课的教学片断

师：下面是小明一家对自家小花园的设计方案。

31种牡丹，种杜鹃。5511爸爸：这块地的种桃花，种郁金香。

2334小明：这块地的种月季，种菊花。

1510妈妈：这块地的师：根据他们的设计方案，你知道他们各人最喜欢什么花?为什么? 生1：妈妈最喜欢牡丹。因为分数就大，31和相比，它们的分母相同，就比分子，分子大的那个5531>，所以说妈妈最喜欢牡丹。5511生2：爸爸最喜欢桃花。因为和相比，它们的分子相同，就比分母，分母小的分数就大，2311>，所以说爸爸最喜欢桃花。23师：那小明最喜欢什么花? [没有学生举手] 师：为什么不能做出判断? 生：因为34和的分子、分母都不相同，不好比较。1510师：看来我们过去学过的知识都没法解决这个问题，今天我们就一起来学习新的知识“通分”。这个情境的创设，既符合学生的心理特征，调动了学习兴趣，又让学生复习了同分母、同分子分数比较大小的旧知。情境的创设充分调动起了学生原有的生活经验或数学背景，激发起由情境引起的数学意义的思考，从而让学生有机会经历“问题情境——建立模型——解释或应用”这一重要的数学活动过程。

一个好的数学问题情境应具有衍生性，也就是通过这个情境能够产生一连串、环环相扣、由浅入深的问题。因此，我们在创设情境的时候，要思考这样的情境是否存在“华而不实”的状况，它蕴含了多少数学问题，激发了多少数学思考。我们要让所创设的情境，数学问题多一些，思考价值高一些。

二、低效活动少一些，思考感悟多一些

爱因斯坦曾经说过：教育应该使提供的东西，让学生作为一种宝贵的礼物来享受，而不是作为一种艰苦的任务来负担。而课堂活动不但可以促进教师教学行为的转变，而且可以让学生体验到数学学习并不是让人生畏、令人讨厌的，而是其乐融融、美妙至极的一件乐事。但是，现实很多的课堂活动学生的“手”动了，“心”却未动，操作多了，气氛活跃了，可思考、感悟少了。

案例

（一）： 《三角形任意两边的和大于第三边》的教学片断

教师创设了这样一个情境：小明上学时究竟是走中间的直路较近，还是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近?然而，尽管从一开始被提问的学生就能立即对上述问题正确作答，大多数学生并能依据“两点间直线最短”对此作出必要的论证，但任课教师却仍然坚持要求学生去量一量来验证结论，并重新提出“三角形任意两边的和大于第三边”这一猜想。这个案例让我们首先来思考“究竟什么是真正的活动”，我想真正有效的活动应是带有一定目的性、指向结果的，并又能达成一定“过程性目标”的探究活动。而在这案例中学生对活动的结果已经一目了然了，还有活动的动力和积极性吗？当然唯一的“过程性目标”也会大打折扣。

案例

（二）：《万以内数的大小比较》的教学片断

这节课老师创设了三轮两组同学抽数排数的游戏，让学生在比赛中感悟并总结出万以内数大小比较的方法。

第一轮比赛，规定将每次抽到的数字依次从低位到高位排列起来。让学生逐步懂得，个位、十位、百位上的数再大，但千位上数小，这个数就小。游戏中学生深刻地体悟到数的大小与数位的关系，逐步体会到高位上数字的决定性作用。

第二轮比赛，规定将每次抽到的数字依次从高位到低位排列起来。在游戏的过程中，学生领会到，千位上数大的那个数就大，千位上的数相同，百位上数大的那个数就大„„让学生更加深刻地体会到“高位”的决定性作用。

第三轮比赛，规定每次抽到的数字由抽签者自己决定放在哪一位上。这样，不但使学生对比较大小与数位及每一位数字大小的关系有比较深刻、全面的认识，又培养了他们思考问题的缜密性。

教师将整堂课的知识点巧妙地蕴含在三轮游戏比赛中，让学生在一次次轻松、刺激的比赛中来感悟并总结出比较万以内数大小的方法。正所谓“课伊始，趣已生；课进行，趣正浓；课结束，趣犹存”。学生在活动中有感而发，活动让学生更高效、活泼地掌握和内化了数学知识。

我们说：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。因此我认为好的数学活动应该是寓教于乐，让学生在活动中感悟数学、总结方法、揭示数学的本质，使思维更加灵动、活跃。

三、空泛提问少一些，思维交流多一些

“思维从问题开始”，在课堂教学中，教师巧妙地设置科学的问题，是师生间进行信息和情感交流的重要途径，是师生的思想认识产生共鸣的纽带；更重要的是可以激发学生学习的兴趣，促进思维，提高课堂教学的效率。有位教育家说：“教学的艺术在于如何恰当地提出问题和巧妙的作答。”提问的艺术越高，对激发学生的求知欲和创造欲就越好。而新课程下的很多课堂提问成为了公开课的一种装饰，提出的问题没有质量，教师对学生的回答只是随意的应和，不加以科学的、深度的引导，使得师生间没有思维得交流，造成课堂从表面看轰轰烈烈，但是却少了学生对问题的深入思考和思维的有效提升，提问的积极作用也就转化成了消极作用。

案例

（一）：《1亿有多大》教学片断

师：前面我们已经认识了“亿”这个计量单位，你们能想象出1亿有多大吗？ 生1：我猜想1亿栋楼房摞起来可以冲到月球上去。师：你的想法真奇特！但是1亿栋楼房能摞起来吗？ 生2：我猜想1亿张纸摞起来大约有姚明那么高吧！师：比姚明要高多了！

生3：我猜想我的指甲里大约1亿个细菌吧？ 师:是吗？那你可要讲卫生哟！生4：我猜想1亿张纸摞起来可以冲到天空上去吧，1亿粒米大约有一个房间那么多吧。师：同学们，你们的猜测有很大胆，到底谁猜得比较对呢，今天我们就一起来研究“1亿有多大”。

这位老师设想是先让学生猜一猜，再通过讨论、比较哪个接近1亿，从而建立起“1亿有多大”这一概念。但是由于教师提的问题过于空泛、教师的引导没有数学含量，以至学生只能瞎猜，而没有数学思考。这样的设计活跃气氛尚可，但时间上的代价太大，更严重的是造成一些原本善于思考的同学受其影响也随口说说、不着边际

案例

（二）： 《圆的面积》练习课教学片断

教师出示习题：用一根31．4米长的绳子，在草地上围出一个平面图形，怎样围面积最大？ 生1：平面图形我们学过的太多了，有长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形和圆形。生2：要使围成的图形面积最大，三角形和梯形肯定不划算，因为计算它们的面积都要除以2。师：若围成平行四边形呢? 生4：也不行，因为S平行四边形=底×高，若以一条边为底，那么这条底上对应的高一定比这一条边短，这样所得的面积肯定比同底的长方形小。

生5：看来只能考虑长方形、正方形和圆形。

师：有道理，在这三种平面图形中，你估计哪个图形的面积最大?你有什么新的发现?互相讨论讨论!这个案例中教师组织了学生进行了智慧型的对话，很快排除了几种面积较小的图形的可能性，将目标锁定在三种图形上。再通过进一步放手让学生去讨论，学生很快在对话交流中发现了规律。出乎意料的是，学生还发现了在周长相等的情况下，长、宽的米数越接近面积就越大这一规律。

我认为教师的课堂提问要做到切口适量，具有数学含量，提一些看似简单却能揭示规律的有价值的问题。教师更要组织学生进行有效的对话，利用集体的智慧，取长补短，更要在学生回答出现偏差时及时地引导，学会与学生思维交流。这样既能让学生经历规律的生成过程，又有利于培养学生思维的严谨性和概括性。

四、过程铺设少一些，能力提升多一些

新课程目标注重学生自己的探索与发现，强调经历数学学习的全过程，体验充分，数学思考，但又不能放松对基本知识与基本技能的训练。因此在教学中教师往往尽可能想做到面面俱到，每个过程的铺设都尽可能“全”和“齐”，但结果却是重了形式而少了实质，少了学生数学综合能力的提升。

案例

（一）：四年级下册《三角形面积练习课》教学片断 师出示：三角形的面积为12平方厘米，底为6厘米（1）学生计算三角形的高（2）学生画三角形（3）反馈（投影展示）

这个案例中，教师练习的设计本身是很好的，但由于教师预设后面还有很多的练习，所以当学生画好后，教师校对了就结束了。而没有对学生所画的进行比较，让学生发现它们的共同点，得出等底等高的特征；然后可以让学生思考面积为12平方厘米的三角形除了底为6厘米高为4厘米以外，还有哪些可能？从而得出底和高相乘的积是24的三角形面积都是12，增加学生思维的含量，合理渗透数学思想方法。否则练习再多、再新也只是“蜻蜓点水”的教学流程。

案例

（二）：“长方体的表面积和体积计算”复习课教学片断

教师设计了这样一道题“一个长方体，它的底面是边长为5厘米的正方形，高是10厘米。这个长方体的表面积是多少?”

生1：(5×5+5×lO+5×10)×2。生2：5×5×2+5×lO×4。师：还有更简便的计算方法吗?（学生一个个瞪大眼睛，面面相觑）生3：我想出了一种简便方法：5×5×lO。生4：他错了，他求的是长方体的体积。

师鼓励生3：你是怎么想的?请你说出来给大家听听，好吗? 生3很自信地说：每个侧面可以看作2个底面，那么四个侧面就有8个底面，再加上下2个底面，一共是10个底面，算式就是：5×5×lO。

师：非常有创新，真是太简便了。生5：5×lO×5这种计算方法也很简便。师：这种方法跟刚才的一样吗? 生6：跟刚才的一样，只是交换了两个因数。

生5解释：上下两个底面合并起来是1个侧面，再加上四个侧面一共是5个侧面，算式就是：5×lO×5。

多么好的诠释啊!大家不由地鼓起掌来。学生在老师的大力表扬、热情鼓励下，创造性思维得到迸发，体验到了成功的满足与喜悦，更重要的是学生的数学综合能力得到提高。

特级教师朱乐平说的好：不要对一节课求全责备。在我们的课堂教学中，不能定太多的、过于丰富的目标，要从课堂整体入手，考虑每节课的特点，或注重学生自己探索发现、过程体验，或注重基础知识的落实，基本技能的训练，这样才能较为全面地落实数学课程教学目标，当然学生数学综合能力的提升也能得到落实。

什么是数学，它应该是具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。作为新时代的数学教师，我们应时刻反思自己：在滚滚而来的改革中，我们应坚守什么？舍弃什么？关注什么？有没有带着冠冕堂皇的帽子、心安理得地进行着“不着边际”的教学活动？应该做到不管外面的风向如何，潮流如何，都要有自己的思想，去粗取精、去虚求实、与时俱进。让我们还它那份质朴与宁静，让它生命的本色重见阳光！

第二篇：小学数学课例研究报告000

《小学生数学作业常见错例分析研究》课例研究报告

一、研究背景与意义

很多老师在日常的教学过程中可能经常会遇到这样的情况：不少学生经常出现的错误，如看错数字、漏写符号、加法忘了进位、减法忘了退位等。这些错误还会在后面的学习中不断重复，不能及时的改正。从学生角度来看，在作业中重复出现同样的错误，说明学生缺乏找错、辩错和改错的主动性和能力。从教师教的角度来分析，很大原因是我们的老师缺乏对学生在该知识点上有可能会产生的各种思维误区的预见性，不能把问题消灭在课堂上，另一方面错误出现后，老师们也缺乏对学生的错题的收集与分析，从而也不能在后面的教学过程中给予及时的、有针对性的辅导。如此不断的知识误点堆积，使学生后续的学习受到影响。开展“数学作业常见错例研究”将有助于教师对错例进行整体的分析，并对错例进行整理和归纳，从而系统的研究错例的类型、挖掘错误出现的深层次原因，把握其内在规律，有助于提高教师教学的预见性，辅导的针对性，制定出相对应的方法和策略，减少或避免错误的发生，提高教学质量。

二、研修的目的

三、研修的主要内容和方法

四、课题研修的过程

教学实践的展开 观察物体（1课时）

教学内容： “观察物体”的综合复习。目标要点：

1、使学生对本单元所学习、实践的内容得到巩固加深；

2、通过练习和实践，进一步发展学生的空间观念，培养观察能力和动手能力，学会欣赏数学美。

练习重点：能辨认从不同位置观察到的简单物体的形状；会判断轴对称图形和镜面对称现象。教学过程：(一)、复习导入：

这单元我们学习了什么数学知识？（观察物体、认识轴对称图形和镜面对称现象）你能用自己的话具体地说一说吗？(二)、基本练习：

1、观察物体：

（1）小组在桌面上摆放一样文具，让几个小朋友在不同的位置观察。你看到了什么？其他小朋友又看到了什么？为什么同一样物体大家观察到的结果不同呢？（观察的位置不同）

我们想全面地了解这个物体，该如何观察？（要把不同位置观察到的形状进行综合）

（2）教师拿出两个魔方（其中一个背面不完整），让学生从正面进行观察。问：它们是完全一样的吗？ 有的学生：完全一样；

有的学生：不能确定，只有看完各个面才能确定。

教师把两个魔方的几个面都让学生观察、比较，结果发现它们是不同的，进一步让形式明白只有把不同位置观察到的形状进行综合，才会形成这个物体的完整表象。

2、轴对称：

（1）出示几幅图：请问哪幅是轴对称图形，你是怎样判断的？（2）课本第3题：你能按对称轴画出另一半吗？

首先让学生观察方格图上的图形，再说说另一边该怎么画，最后让学生独立画出。

3、镜面对称：

拿出镜子，照自己或物体，说说镜面对

3、镜面对称： 拿出镜子，照自己或物体，说说镜面对称现象是什么样的。(三)、综合练习：

1、用一张长方形纸折出它的对称轴，再画出来。

2、还是用刚才这张长方形纸，剪出一个轴对称图形，比一比，谁煎的最漂亮。

3、练习第4题：既是轴对称又是镜面对称。

(四)、学习总结：这节课我们复习了什么？你有什么收获？(五)、课后实践：在方格纸上画一幅美丽的对称图形。

四、教学反思

《数学课程标准》认为：数学教学不仅仅是要学习形式化的数学，更重要的是让学生在学习过程中掌握一些数学思想和方法。因为后者更具有实用性。《观察物体》正是这一理念的体现。本课是在学生对上、下、左、右、前、后方位己有最基本认识的基础上，安排学生从熟悉的事物出发学习观察物体，让学生在活动中学会观察判断，积累观察经验，发展空间观念，为以后进一步学习空间与图形领域的知识，逐步培养和形成空间观念奠定基础。

在本节课的教学中,我以儿童喜爱的生活情境导入，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起了学生的学习兴趣。新教材强调“以人为全”，发展人的自主性。基于此，本课设计时始终围绕着“自主参与，深刻体验”的学习活动，让学生在活动中增强了自主意识，从而主动的探索新知。并且注重个性化的教学方式。如鼓励学生选择到自己喜爱的观察位置去观察等等，整个教学过程中充分体现了开放性、活动性和体验性生活是现实的，丰富的，数学是抽象的。如果不把两者起来，学生必然感到枯燥、乏味。本节课大量地创造条件，让学生把课堂中所学的知识和方法应用于生活实际中。贴近了学生，延伸了学习。从而使学生能从看到的物体的一个面，展开联想到整个事物的形状，培养了观察立体实物的能力，建立了初步的空间观念。让孩子充分感受到数学的联系，数学确实就在我的身边。

五、理论聚焦

（一）、培养学生思维能力要贯穿在小学数学教学的全过程

现代教学论认为，教学过程不是单纯的传授和学习知识的过程，而是促进学生全面发展（包括思维能力的发展）的过程。从小学数学教学过程来说，数学知识和技能的掌握与思维能力的发展也是密不可分的。一方面，学生在理解和掌握数学知识的过程中，不断地运用着各种思维方法和形式，如比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理；另一方面，在学习数学知识时，为运用思维方法和形式提供了具体的内容和材料。这样说，绝不能认为教学数学知识、技能的同时，会自然而然地培养了学生的思维能力。数学知识和技能的教学只是为培养学生思维能力提供有利的条件，还需要在教学时有意识地充分利用这些条件，并且根据学生年龄特点有计划地加以培养，才能达到预期的目的。如果不注意这一点，教材没有有意识地加以编排，教法违背激发学生思考的原则，不仅不能促进学生思维能力的发展，相反地还有可能逐步养成学生死记硬背的不良习惯。

（二）、怎样体现培养学生思维能力贯穿在小学数学教学的全过程？

1、培养学生思维能力要贯穿在小学阶段各个年级的数学教学中。要明确各年级都担负着培养学生思维能力的任务。从一年级一开始就要注意有意识地加以培养。例如，开始认识大小、长短、多少，就有初步培养学生比较能力的问题。开始教学10以内的数和加、减计算，就有初步培养学生抽象、概括能力的问题。开始教学数的组成就有初步培养学生分析、综合能力的问题。这就需要教师引导学生通过实际操作、观察，逐步进行比较、分析、综合、抽象、概括，形成10以内数的概念，理解加、减法的含义，学会10以内加、减法的计算方法。如果不注意引导学生去思考，从一开始就有可能不自觉地把学生引向死记数的组成，机械地背诵加、减法得数的道路上去。而在一年级养成了死记硬背的习惯，以后就很难纠正。

2、培养学生思维能力要贯穿在每一节课的各个环节中。不论是开始的复习，教学新知识，组织学生练习，都要注意结合具体的内容有意识地进行培养。例如复习20以内的进位加法时，有经验的教师给出式题以后，不仅让学生说出得数，还要说一说是怎样想的，特别是当学生出现计算错误时，说一说计算过程有助于加深理解“凑十”的计算方法，学会类推，而且有效地消灭错误。经过一段训练后，引导学生简缩思维过程，想一想怎样能很快地算出得数，培养学生思维的敏捷性和灵活性。在教学新知识时，不是简单地告知结论或计算法则，而是引导学生去分析、推理，最后归纳出正确的结论或计算法则。例如，教学两位数乘法，关键是通过直观引导学生把它分解为用一位数乘和用整十数乘，重点要引导学生弄清整十数乘所得的部分积写在什么位置，最后概括出用两位数乘的步骤。学生懂得算理，自己从直观的例子中抽象、概括出计算方法，不仅印象深刻，同时发展了思维能力。在教学中看到，有的老师也注意发展学生思维能力，但不是贯穿在一节课的始终，而是在一节课最后出一两道稍难的题目来作为训练思维的活动，或者专上一节思维训练课。这种把培养思维能力只局限在某一节课内或者一节课的某个环节内，是值得研究的。当然，在教学全过程始终注意培养思维能力的前提下，为了掌握某一特殊内容或特殊方法进行这种特殊的思维训练是可以的，但是不能以此来代替教学全过程发展思维的任务。

第三篇：小学数学课例研修报告

小学数学《分数除法》课例研修报告

随着课程改革的不断深入，近几年来“创设情境”，已经成为小学数学课堂教学中的必备一个环节，《新课程标准》指出：数学教学是数学活动的教学，学生是学习的主人，教师是组织者、引导者和合作者。事实证明，创设情境有利于培养学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，更有利于学生发现知识、探索奥秘、从而创造性地运用知识，使学生真正的成为学习的主人。可喜的是，情境创设已被越来越多的教师所重视。但是，随之而来的问题和偏差也不断出现，在数学情境创设中如何避免走入误区，真正体现情境创设的价值呢？

为此，我校展开了校本教研活动。全体数学教师聚集在一起，讨论自己对创设情境教学的几点看法。面对大家的质疑与困惑，我们上网查阅各种有关于创设情境、动境进行教学的资料，并一起研读、讨论，虽然在理论上，我们的头脑逐渐清晰，但是，谈到课堂实践，还是感到手足无措，做不到胸有成竹。我正好参加我们响水中心小学教研活动,我就决定上一节研讨课。我挑选了一节五年级的数学《分数除法》一课，课后大家对我的这节课展开了评论。

1、整堂课因为创设的情境、动境过于多，使本节课教学活动重点、难点不够突出。

2、学生在动境 中，老师有些要求没有讲清，学生合作时出现了乱、散现象，有的学生并没有积极参与到里面，教师应该事先安排好，做到小组之内责任制，使每一位学生都有事做。

3、有些环节过于拖沓，影响了整个教学进度，时间过长。

于是我们结合大家的教学建议，认真进行反思，结合新的教学理念，悉心钻研教材，研究学生特点，我发现数学情境创设,应当体现以下三个方面价值：

1、能吸引学生学习的兴趣。学生只有对数学课堂感兴趣，才能参与到数学课堂中来，才能为学习数学知识作好充分的准备。因此，作为一般形式的数学课，都是从一个数学情境着手来展开教学的，如果在课的开始阶段能一下子将学生的注意力吸引住，使他们进入到教学内容中来，无疑这样的情境创设是有价值的。

2、能为课堂教学的内容服务。我们每节数学课，都有一个具体的教学内容，必须完成具体的教学目标，所以我们的教学情境必须为教学的内容服务，围绕教学内容来设计，而不能游离于教学内容之外。

3、能体现数学知识本身的特点。

作为数学课本身，他承担着对学生进行数学知识教学的任务，所以一个有价值的数学情境，他应当体现数学知识本身的特点，着眼于数学新旧知识之间的联系，关注学生学习数学的最近发展区。

根据本课的教学目标和重难点，我是这样设计这节课教学的：

插入说课稿插入教案创 设情境，设动境，体现学生主体性”这一理念有了更加深刻的理解和掌握：

一、创设情境要关注学习方式的转变。《新标准》倡导自主探索、合作交流与实践创新的数学学习方式，从学生生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分地从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。“说一说你是怎么分的？”“你都发现了哪些好的方法？”课堂上，我尽可能地引导学生开展自己建构数学知识的活动，让学生积极、主动地去操作、去观察、去交流、去实践、去创新，让学生在”描”中感知, 在“找”中理解，在“做”中内化，在“算”中巩固，在“比”中升华，从而真正在经历求知过程的同时，让学生体会周长的含义，使学生在具体的活动中发展数学思维，学会从多种角度去寻求解决问题的策略，更重要的是获得了丰富的情感体验，建立了学习数学的自信心。

二、创设动境要关注学习过程的开放。新课程背景下的课堂教学要求教学时空的开放、思维方式的开放、评价形式的开放等等。这些开放交织在一起，使教学过程呈现多维开放的格局，教学也由此从封闭、单

一、机械走向了开放、多维、灵活。本节课我设计了一个开放性的画一画活动，在第一次

三、体现学生主体性要关注以人为本的理念。《新课标》提出：学科教学应注重“三维目标”的有机整合，即知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观。只有它们和谐统一，才会让每个学生全面和谐健康地发展。本节课我不失时机的给予学生表扬和鼓励，例如“你的做法真是与众不同啊。”“看看谁有一双机灵的眼睛，”“你真是一个善于观察、爱动脑筋的孩子，希望其他同学也能向他多多学习。”“这与你们的团结合作是分不开的，祝贺你们！”等等这些充满激励与鼓舞的话语使课堂充满了人文气息，还有在课堂的最后，我还鼓励学生们谈谈自己的收获和感受，真正的关注了学生的情感、态度和价值观，使学生在增长知识的同时也促进了人格的健全与发展。

第四篇：数学课例研究报告

数学课例研究报告

一．研究目标

基本目标：通过研究体现数学课堂教学中学生学生主体作用的激发、学生参与作用的操作、学生能力培养方面的发挥、教学策略多样化、教学模式系列化的课堂教学实例及理论成果。

衍生目标：在研究中，通过课例实践，让学生在“做中学”，激发和增强对学习数学的兴趣，体验自主学习与探究思考的过程，发现和掌握数学学习方法，建构自己的数学知识体系，发展自己的数学思维，感悟数学之美，提高数学学习水平。

二、课题研究的内容与方法

（一）研究的内容

课例研究，是最基础的教学实践研究，从课例中，我们可以观察到的教与学实践过程要素是：

●关于教师的教：

A、教学设计的适切性（包涵信息技术应用的适切性）

B、教学过程的生成性（教学机智）

C、教学评价的有效性

关于学生的学：

A、学习的准备

B、学习的注意程度

C、数学思维的深度、广度、灵活性

D、知识巩固能力

●关于信息技术与数学课程整合的过程：

构建有效教学过程，促进学生意义建构

因此，我们的研究内容主要包括对课例的系统分析、总结和课例要素的观察分析。

（二）研究的方法

本课题主要采用行动研究法。以信息技术与初中数学课程整合的研究为载体，把探索研究结果与运用研究成果结合起来，边设计边实施，边实施边修正，边修正边反思，促进课题研究的深入。重点初中各年级的教材内容为主，选择一些突破口。选择若干个点分析其理论基础、内容特点、技术特征、学生的学习方式、学习结果及学生的个性发展等进行研究。

课例研究的流程包括五个步骤：

（1）课前分析（教学内容分析、学生分析）；

（2）教学设计；

（3）课堂教学观察；

（4）教学反思；

（5）教学过程建模。

三、研究的过程

第一阶段：行动序曲

初步的个人备课和准备阶段：

1．研讨课例研究目标的构建与课例内容的确立，形成课例的初步研究方案。

2．制定和申报课例研究方案，成立课例研究组。

第二阶段：实践探索：

1．开展课例研究工作，确定有关研究课的内容，注重集体研讨。

2搜集、整理内容，以便有计划、有系统地进行研究。

3．有实验教师讲课，研究小组听课、评课，形成一定的教学模式。

第三：课后反思

第四阶段：全面总结课题研究工作，撰写集体备课笔记 四：课例研修报告：

课例名称：

1、一元二次方程

教师：王伟

课时数：一课时

课型：新授课

一元二次方程 ４．分解因式法

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于用分解因式法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《分解因式法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：

教学目标

1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；

2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；

3、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。

4、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方

法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾

内容：

1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适的方法解下列方程： ①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。实际效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“n≥0”。第二问题由于较简单，学生很快回答出来。

第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心。

第二环节：情景引入、探究新知

内容：

1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？

生：齐答行。师：出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？

说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。

附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程

x2=3x ∴x2-3x=0 ∵a=1,b=-3,c=0 ∴ b2-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。

学生B：:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2)2(x-3/2)2=9/4 ∴ x-3/2=3/2或x-3/2=-3/2 ∴ x1=3, x2=0 ∴这个数是0或3。

学生C：:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0

即x(x-3)=0 ∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。

学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x 两边同时约去x,得

∴ x=3 ∴ 这个数是3。

2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么? 说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。

超越小组：我们认为D小组的做法不正确,因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。虽然我们组没有人用C同学的做法,但我们一致认为C同学的做法最好,这样做简单又准确.学生E：补充一点，刚才讲X须确保不等于0，而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根.师：这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励，激发学生的学习热情)

3、师：现在请C同学为大家说说他的想法好不好? 生：齐答好

学生C：X(X-3)=0 所以X1=0或X2=3 因为我想3³0=0, 0³(-3)=0，0³0=0反过来，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a与b至少有一个等于0

4、师：好，这时我们可这样表示：

如果a³b=0,那么a=0或b=0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中间应写上“或”字。

我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a³b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用分解因式法来解一元二次方程。

目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了分解因式的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点.实际效果：对于问题1学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第2问让学生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法，经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次方程是一种更特殊、简单的方法。C同学对于第3问的回答从特殊到一般讲解透彻，学生语言学生更容易理解。问题4的解决很自然地探究了新知——分解因式法.并且也点明了运用分解因式法解一元二次方程的关键：将方程左

边化为因式乘积,右边化为0，这为后面的解题做了铺垫。

说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。

第三环节 例题解析

内容：解下列方程(1)、5X2=4X(仿照引例学生自行解决)(2)、X-2=X(X-2)(师生共同解决)(3)、(X+1)2-25=0(师生共同解决)学生G：解方程（1）时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解。解：（1）原方程可变形为

5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0 ∴ X=0或5X-4=0 ∴ X1=0, X2=4/5 学生H：解方程（2）时因为方程的左、右两边都有(x-2),所以我把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解。

解：(2)原方程可变形为

（X-2）-X(X-2)=0 ∴(X-2)(1-X)=0 ∴ X-2=0或1-X=0 ∴ X1=2，X2=1 学生K：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解

师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。学生M：方程(x+1)2-25=0的右边是0，左边(x+1)2-25可以把(x+1)看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式。

解：(3)原方程可变形为

[(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ∴(X+6)(X-4)=0 ∴ X+6=0或X-4=0 ∴ X1=-6，X2=4 师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。

问题：

1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么?(小组合作交流)

2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解?(课下交流完成)目的：例题讲解中,第一题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈。第2、3题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤,最后提出两个问题。问题1进一步巩固分解因式法定义及解题步骤，而问题2体现了解题的多样化。

实际效果：对于例题中(1)学生做得很迅速,正确率比较高；(2)、(3)题经过探究合作最终顺利的完成,所以学生情绪高涨,讨论热烈,思维活跃,正是因为这，问题1、2学生们有见地的结论不断涌现，叙述越来越严谨。

说明：在课本的基础上例题又补充了一题,目的是练习使用公式法分解因式。

第四环节：巩固练习

内容：

1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0

(2)X2-4=0

(3)4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？ 目的：华罗庚说过“学数学而不练,犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用。

实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习基本能用分解因式法解一元二次方程，收到了较好的效果。

第五环节 拓展与延伸

师：想不想挑战自我？ 学生：想

内容：

1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2 小球何时能落回地面？

2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值

说明：a学生交流合作后教师适当引导提出两个问提，1、第一题中小球落回地面是什么意思？

2、第二题中一个根为0有什么用？

b这组补充题目稍有难度,为了激发优秀生的学习热情。

目的：学生在对分解因式法直接感知的基础上，在头脑加工组合，呈现感知过的特点，使认识从感知不段发展，上升为一种可以把握的能力。同时学生通过独立思考及小组交流，寻找解决问题的方法，获得数学活动的经验，调动了学生学习的积极性，也培养了团结协作的精神，使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学的实际应用价值。

实际效果：对于问题1，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程；问题2由于在配方法时接触过此类型的题目，因此掌握比较不错。

说明：小组内交流时，教师关注小组中每个学生的参与积极性及小组内的合作交流情况。

第六环节 感悟与收获

内容：师生互相交流总结

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

2、在应用分解因式法时应注意的问题。

3、分解因式法体现了怎样的数学思想? 目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。

实际效果：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。

第七环节 布置作业

1、课本习题2.7 1、2(2)(3)

2、预习提纲：如何列方程解应用题

四、教学反思

1.评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点,及时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度

2.这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用.拓展了学生的思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力.3.本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.2课例名称：求解中考压轴题的四种常见解题方法

教师：黄振 课时：一课时 课型：复习课

中考数学压轴题

教学目标：掌握中考压轴题的四种常见解题方法

1.1压轴题的概念

中考数学试卷中的试题排列顺序通常都遵循着“从简单到复杂、从易到难”的原则。中考试题中按题型分类的排列顺序一般是：

一、选择题（客观题，有些地方将其称作“第Ⅰ卷”）；

二、填空题（形式简单的主观题）；

三、解答题（二、三也合称第Ⅱ卷）。在这三类题型中，思维难度较大的题目一般都设置在各类题型的最后一题，被称作压轴题。

中考压轴题按其题型的区别及在整个试卷中的位置情况又可分为两类：选择题和填空题型的压轴题，常被称作小压轴题；解答题型压轴题（也即整个试卷的最后一题），叫大压轴题，通常所说的压轴题一般都指大压轴题。

1.2压轴题的特点

中考数学压轴题的设计，大都有以下共同特点：知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活。纵观近几年全国各地数学中考压轴题，呈现了百花齐放的局面，就题型而言，除传统的函数综合题外，还有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新定义题型、探索题型等，令人赏心悦目。

中考压轴题主要是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其思维难度高，综合性强，往往都具有较强的选拔功能，是为了有效地区分数学学科中尖子学生与一般学生的试题。

在课程改革不断向前推进的形势下，全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。丰富的、公平的背景、精巧优美的结构，综合体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台。

1.3压轴题应对策略

针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在中考复习阶段，我们要狠抓基础知识的落实，因为基础知识是“不变量”，而所谓的考试“热点”只是与题目的形式有关。要有效地解答中考压轴题，关键是要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，加强数学思想方法的渗透，注重“基本模式”的积累与变化，调适学生心理，增强学生信心。

学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，如：基础知识和基本技能的欠缺、解题经验的缺失或训练程度不够、自信心不足等。学生在压轴题上的具体困难则可能是：“不知从何处下手，不知向何方前进”。

在求解中考数学压轴题时，重视一些数学思想方法的灵活应用，是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解得“对而全、全而美”的重要前提。

2．求解中考压轴题的常见思想方法

2.1分类讨论思想

代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题。

例1．（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与

轴的正半轴交于点F，另一边，那么与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）由△ADE∽△BCD，及已知条件求得E、D、C坐标，进而求出过点E、D、C的抛物线的解析式：

（2）EF=2GO成立．

点M在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点M的纵坐标为．设DM的解析式为将点D、M的坐标分别代入，得

解得 ∴DM的解析式为 ∴F（0，3）EF=2

过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．

△DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1 ∴EF=2GO

（3）点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）． ∴PG=（t－1）+2，PC=（3－t）+2，GC=2

①若PG=PC，则（t－1）+2=（3－t）+2

解得t=2．∴P（2，2），此时点Q与点P重合．Q（2，2）②若PG=GC，则（t－1）+2=2，解得t=1，P（1，2）

此时GP⊥x轴．

GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，∴点Q的纵坐标为．Q（1，）

③若PC=GC，则（3－t）+2=2，解得t=3，∴P（3，2）此时PC=GC=2，P与D重合 过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，∴Q（h+1，h）解得（舍去）．∴Q（，））或Q（，）

．

综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，思想方法解读：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。

第⑴问结合“形”的特征，求出点D、E、C的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想。

第⑵由D、M所在直线与y轴相交哦于F，可求得F点坐标，并求出EF的长度，并由旋转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出OG。得证结论。解决第⑵问的关系是将EF、OG转化为可求的已知量，得到其长度关系。体现出数学解题中的“转化思想”。

本题的第⑶问讨论存在性问题。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C为定点，P为不确定的点，因此应考虑GC为腰、GC为底，并考虑G、C、P分别为顶点等多种情况进行分类讨论。假设存在P点，结合P点的位置，通过设置P点坐标参数，用所设参数表示出相应三角

形边长，由等腰三角形的性质，构造相应方程，可求出P点坐标。第⑶问不仅体现了分类讨论思想，还考察了用方程建模的能力。

2.2转化思想

代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。

例2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4

2∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为y=a(x+1)(x-4)，将点C(0,2)代入，可求a= ∴为所求

⑵；

提示：①ED=EB时，过E作BD垂线，可得

②直线BC的解析式为，设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组⑶方法1：连OP。如图4。

分别可求和。

P（m，n）在抛物线上

∴P（m，S△CPO=S四边形ODPC）

－S△OCD

=S△POC+ S△PDO－S△OCD=

OC²|xp|+OD²|yp|—OC²OD

=³2m+³2（）－³2³2

=－m+m=－（m－）+

当m=时，S△CPO面积最大，此时P（，）

方法2：过D作X轴的垂线，交PC于M，如图5。

易求PC的解析式为，且，故

∴当时，思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题

第⑴问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。

第⑵问，虽然题目要求是直接写出点E的坐标。但点E的坐标必须通过计算得到。而在计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。

第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合P（m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△BCD的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和P点坐标表示的面积。方法1是将四边形分割成两个三角形△POC、△POD，方法2，是通过过D点作垂线，直接将△BDC转化为△PDM、△CDM。

2．3极端值思想

代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。

例3．已知

为线段

上的动点，点在射线上，且满足，且点

与点

（如图1所示）．

重合时（如图2所示），求线段的长；（1）当（2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当，且点

在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小。

解析：（1）AD=2，且Q点与B点重合。由=1，∴PB（Q）=PC，△PQC为等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3³=。

（2）如图：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，则AQ=2－x。

由△BPF∽△BDP，==，又BF=PE

∴=，∴PF=PE

S△APQ=（2－x）PF，S△PBC=³3PE

∴y=（2－x）

P点与D点重合时，此时CQ取最大值。过D作DH⊥BC。

CD=，此时=，=，PQ=，BQ=AB－AQ=

∴函数的定义域：0≤x≤

(3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：B，Q′，P，C四点共圆。

由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB，又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90°

方法2：如图3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由==，即==

∴△PNQ∽△PMC ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90° 思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。

第⑴问，线段的比值不变，Q在特殊点（与B点重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，△PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出PC。

第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△PAQ、△PBC高之间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出P点运动的极端情况，当P与D重合时，BQ取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中的固定线段比，求出此时BQ的长度，既为BQ的最大值。体现极端值思想。

⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。

2．4数形结合思想（用好几何性质）代表性题型：函数与几何综合题。

例4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。

⑴求次抛物线的函数表达式。

(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

解析：⑴由直线y=kx－3与y轴交点坐标为C（0，－3）

抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）开口向上，过C（0，－3）∴A、B在y轴两侧，B在y轴右侧。如图。

Rt△AOC中，OC=3，cos∠BCO= ∴BC=，OB=1

∴B（1，0）又B（1，0），C（0，－3）在y=a（x+1）+c上 ∴抛物线解析式y=x+2x－3

⑵由⑴抛物线顶点M（－1，－4），直线y=kx－3过M，∴直线解析式y=x－3 ∴N（3，0）∴△NOC为等腰直角三角形

假设抛物线上存在点P使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。①PC为另一条直角边。PC⊥CN，而A与N关于y轴对称在抛物线上。∴存在P1（－3，0）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形

②PN为另一条直角边。PN⊥CN，则∠PNO=45°设PN交y轴于点D，则D（0，3）PN所在直线y=－x+3

由 解得

∴存在P2（，），P3（，）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。

满足条件的点有P1（－3，0），P2（，），P3（，）

⑶①若抛物线沿对称轴向上平移。设向上平移b个单位（b＞0）。此时抛物线的解析式为：y=x+2x－3+b

抛物线与线段NQ总有交点，即由抛物线解析式、直线MC所在直线解析式组成的方程组有解。由 消除y得x+x+b=0，Δ=1－4b≥0，∴0＜b≤ ∴向上最多可平移个单位

②若向下平移b个单位（b＞0），设y=x+2x－3－b 由y=－x+3，可求得Q（－3，－6），N（3，0）对于抛物线y=x+2x－3－b

当x＝－3，y=－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则需－b≥-6，b≤6 当x=3时，y=12－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则12-b≥0，b≤12。∴向下最多可平移12个单位。

思想方法解读：本题还是一道二次函数与平面几何综合的压轴题。

第⑴问中，由直线解析式求出C点坐标，由C点坐标结合a＞0，判定抛物线与x轴交点的大致位置。并结合cos∠BCO=，求出B点坐标，在根据待定系数法求出抛物线的解析式。

第⑵问，以NC为直角边的直角三角形，应分C、N分别为直角顶点分类讨论。结合相应点的坐标及垂直条件，利用45°角的几何性质，分析得到A点满足条件，并求出PN⊥NC时，PN所在直线的解析式，是解题的关键。

第⑶问是本题的难点。分抛物线向上、向下平移两种讨论。向上平移时，需抛物线与直线NQ有交点，由判别式可确定平移b的范围；向下平移时，线段NQ是否与抛物线相交，关键是两个端点N、Q是否在抛物线外侧。只要取两个端点刚好在抛物线上的特殊情况，进行分别判断，求出满足条件的b的范围即可，体现出用极端值解题的思想。

反思：由以上的试题可看出，在中考压轴题中所体现出的数学思想方法并不是单一的，一般每道中考压轴题均综合体现了两到三种不同的数学思想方法。我们在求解压轴题时，一定要结合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用。

3用好二次根式的两个隐含条件 教师：陈冬艳 课时：一课时 课型：习题课

目标：会利用二次根式

隐含条件⑴a≥0；⑵必满足：⑴a≥0；⑵

≥0解题

≥0。这两个条件在实际问题中一般都不直过程：二次根式接给出，称为隐含条件。

例1 判断下列式子有意义的条件：

⑴++1； ⑵

解：⑴要式子有意义，必有 解得 ∴x≥

即x≥时，式子++1有意义。

⑵要式子有意义，必有，∵分式的分母不为0，且分母x2是非负数，∴x≠0，则有-x-1≥0，x≤-1。∴x≤-1时，式子例2 已知实数a满足分析：二次根式解：由 ∴ 由

+

有意义。=a，求a-20052的值。

中必有a≥0。

中，a-2006≥0，∴a≥2006 +

=a，得a-2005+

=a =2005，∴a-2006=20052，∴a-20052=2006 例3 在实数范围内，设a=（-

2009），求a的个位数字是多少？

解：在又由与中，∴-2=0（只有0的相反数相等），x=±2；

≠0，即x≠2。∴x=-2 ∴a=（-）2009=62009，则a的个位数字是6。

+

2+（c+3）=0。求4x2-10x例4 已知a、b、c为实数，且ax2+bx+c=0，的值。

解：由≥0，≥0，（c+3）2≥0，+

+（c+3）2=0 ∴ 解得

∴2x2-5x-3=0，得2x2-5x=3 ∴4x2-10x=2（2x2-5x）=2³3=6。

练习：试卷一份

课后反思：

1、这节课是二次根式的拓展延伸，拓展了学生的思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力.2、本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.

第五篇：小学数学课例研修学习心得体会

小学数学课例研修学习心得体会

历时一学期的课例研修，我的心里发生了很大的变化，从最初把课例研修看成一种负担，变成今天的感激和期盼。培训过程中，我们每一位老师都付出的艰辛的努力，我们都有极大的收获。一次次的课后交流，我们的思想碰撞出火花，凝结成智慧的结晶。在执着的研修过程中，我们付出了不懈的努力，收获颇丰。我们坚信，课例研究过程中的这种不服输、不言败，孜孜以求的精神将使我们终生受益。

此次学习，要感谢 学校给我们教师提供的一个肩膀，让我们站得更高、看得更远！在教育这条路上，奋斗的目标还在远方，我还将以此次培训的收获作为一种鼓励，鼓励着我继续前行！只要我们不断地思索——寻找问题，再想策略——解决问题，并用研究的眼光、研究的态度、研究的方式来关注课堂教学，我们就一定会有所收获。