第一篇:六年级下册数学广角第一课时教案
第一课时 抽屉原理
(一)教学内容:
义务教育课程标准实验教科书六年级下册数学广角例
1、“做一做”及相关练习。
教学目标:
1、经历“抽屉原理”探究过程,运用不同的证明思路:枚举法、假设法来初步了解“抽屉原理”。
2、经历将具体问题“数学化”的过程,培养学生数学思维能力。
3、通过“抽屉原理”的学习和简单应用,感受数学的魅力。教学重点: 引导学生经历“抽屉原理”的探究过程,运用不同的证明思路:枚举法、反证法、假设法等,初步了解“抽屉原理”。
教学难点: 将具体问题“数学化”,在“说理”中体会“抽屉原理”的简单应用。
教学过程:
一、教学例1 1.组织活动。
(1)将3个围棋棋子放入2个杯子中,怎么放?
把4枝铅笔放进3个文具盒中,可以怎么放?有几种情况?(1)学生思考各种放法。
(2)与同学交流思维的过程和结果。(3)汇报交流情况。
第一种放法: 第二种放法: 第三种放法: 第四种放法: 2.提出问题。
不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。为什么?
3、解决问题:
(1)用数的分解法证明: 把4分解成三个数如下图所示:
4 0
0 3 1 0 0 2 2 2 1 1
由此发现,把4分解成3个数共有4种情况,每一种分得的3个数中,至少有一个数是大于等于2的。
(2)用“假设法”证明:
假设每个文具盒只放1枝铅笔,最多放3枝,剩下1枝还要放进其中的一个文具盒,所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。
以上方法证明,把4枝铅笔放进3个文具盒里,不管怎样放,总有一个文具盒里至少放进了2枝铅笔。
4、分纸牌:
组长将4张纸牌分给3名组员,你有什么发现?
二、认识“抽屉问题”:
1、像上面这个问题就是“抽屉原理”,在这里,“4枝铅笔”就是“4个要放的物体”,“3个文具盒”就是“3个抽屉”。把此问题用“抽屉原理”的语言来描述就是:把4个物体放进3个抽屉,总有一个抽屉里至少放了两个物体。
2、了解“抽屉原理”:
“ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
“抽屉原理”:把m个物体任意放进n个空抽屉里(m>n,n是非0自然数),那么一定有1个抽屉中至少放进了2个物体。
三、巩固练习: 1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么?(1)说出想法。
如果每个鸽舍只飞进1只鸽子,最多飞回5只鸽子,剩下2只鸽子还要飞进其中的一个鸽舍或分别飞进其中的两个鸽舍。所以至少有2只鸽子飞进同一个鸽
舍。
(2)尝试分析有几种情况。(3)说一说你有什么体会。
学生体会到,如果把各种情况都摆出来很复杂,也有一定的难度。如果找到数学方法来解决就方便了。
2、在我们班的任意13人中,总有至少几个人的属相相同,想一想,为什么?
3、六年级四个班的学生去春游,自由活动时,有6个同学在一起,可以肯定。为什么?
4、拓展练习:如果把5本书放进2个抽屉,总有一个抽屉至少放进了几本书?7本呢?9本呢?
四、全课小结:
通过这节课的学习,你学到了什么新知识?
五、板书设计:
抽屉原理 4
0 4 2
0 0 3 4 2
0
“4枝铅笔”就是“4个要放的物体”,“3个文具盒”就是“3个抽屉”。把4个物体放进3个抽屉,总有一个抽屉里至少放了两个物体。
“抽屉原理”:把m个物体任意放进n个空抽屉里(m>n,n是非0自然数),那么一定有1个抽屉中至少放进了2个物体。
第二篇:六年级数学下册数学广角教案
六年级数学下册数学广角教案
数学广角
第一时《抽屉原理》
教学内容:教材第70、71页的例
1、例2
教学目标:、经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。
2、会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
3、通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。
教学重点:认识“抽屉原理”。
教学难点:灵活运用“抽屉原理”解决实际问题。
教学方法:小组合作,自主探究。
教学准备:若干根小棒,4个纸杯。
教学过程:
一、创设情境,导入新知
老师组织学生做“抢椅子”游戏(请3位同学上来,摆开2条椅子),并宣布游戏规则。
师:象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢?这节我们就一起来研究这个原理。
二、自主学习,初步感知
(一)出示例1:4枝铅笔,3个文具盒。
、观察猜测
猜猜把4枝铅笔放进3个文具盒中会存在什么样的结果?
2、自主探究
(1)提出猜想:“不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”。
(2)小组合作操作验证:请拿出铅笔和文具盒小组合作摆一摆、放一放。
(3)交流讨论,汇报。可能如下:
第一种:枚举法。
用实物摆一摆,把所有的摆放结果都罗列出来。
第二种:假设法。
如果每个文具盒中只放1枝铅笔,最多放3枝。剩下1枝还要放进其中的一个文具盒,所以至少有2枝铅笔放进枝同一个文具盒。
第三种:数的分解。
把4分解成三个数,共有四种情况,(4,0,0)、(3,1,0)、(2,2,0)、(2,1,1),每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于2的。
(4)、比较优化。
请学生继续思考:如果把枝铅笔放进4个文具盒,结果是否一样呢?把100枝铅笔放进99个盒子里呢?怎样解释这一现象?
师:为什么不采用枚举法来验证呢?
数据较小时可以采用枚举法,也可用假设法直接思考,而当数据较大时,用假设法思考比较简单。
3、引导发现
只要放的铅笔数比盒子的数量多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少放进2枝铅笔。
(二)出示例2:把本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进几本书?7本书会怎样呢?9本呢?
、学生尝试自已探究。
2、交流探究的结果,可能如下:)枚举法。
共有3种情况。在任何一种结果中,总有一个抽屉至少放进3本书
2)假设法。
把本书“平均分成2份”,÷2=2…1,如果每个抽屉放进2本书,还剩下1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉,该抽屉里就有3本书了。
由此可见,把本书放进2个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。
同样,7÷2=3…1把7本书放进放进2个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本书。
9÷2=4…1把9本书放进放进2个抽屉中,有一个抽屉里至少放进本书。
3、观察发现
学生讨论交流,发现“总有一个抽屉里至少有几本”只要用“商+1”就可以得到。
4、介绍原理。
师:同学们,你们知道吗?你们的这一发现,在数学里被称之为“抽屉原理”,也叫做“鸽巢原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称为“狄利克雷原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用,可以用它来解决很多有趣的问题呢。
三、应用原理,解决问题
完成教材第72页“做一做”第1题
四、全总结,回归生活、通过今天的学习你有什么收获?
2、回归生活:你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗?
第二时抽取游戏
教学目标
知识与技能目标:进一步掌握抽屉原理,掌握抽屉原理的反向求法。
过程与方法目标:通过各种活动培养学生自己动手动脑去思考的习惯。
情感、态度与价值观目标:体会数学与日常生活的联系,了解数学的价值,增强应用数学的意识。
教学重难点
使学生理解抽取问题中的一些基本原理。
2找到抽屉原理问题中被分的物品。
教学过程
一、创设情境、引入新:
师:一天晚上,有一个小女孩正要从抽屉里拿袜子。抽屉里有黑白两种颜色的袜子各10双。突然停电了。小女孩至少摸出多少只袜子,才能保证拿出相同颜色的袜子?
学生思考、发言。
师:学习了这节我们就能解决类似的问题了。
二、活动探究、深入了解:
(一)出示例3:盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几个球?
、学生提出猜想。
2、用预先准备的学具,小组合作交流。
4、小组反馈,师相机板书:
3、得出结论:把颜色看作抽屉。
有两种颜色,只要摸出的球比他们的颜色至少多1,就能保证有两个球同色。
(二)研究规律
师:如果盒子里有蓝、红、黄球各6个,从盒子里摸出两个同色的球,至少要摸出几个球?
分小组讨论后汇报。
再出示做一做第2题,汇报后得出:问题结论只与球的颜色种数也就是抽屉数有关。
小结:确定什么是抽屉什么是物体是解决抽屉问题的关键。
三、巩固训练,促进内化
、做一做
2、解决前有趣的问题
3、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起,让你闭上眼睛去摸,(1)你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的?
(2)至少拿几根,才能保证有两双同色的筷子?为什么?
四、全总结,畅谈收获、通过今天的学习你有什么收获?
2、回归生活:你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗?
第三时
节约用水
教学目标
知识与技能目标:通过活动进一步巩固巩固比例知识、简单的统计知识,培养学生综合应用所学过的知识的能力
过程与方法目标:通过活动培养学生搜集和处理信息的能力,使学生感到数学和现实生活的联系。
情感、态度与价值观目标:增强学生“节约用水,从我做起”的责任意识,养成良好的品德。
教学重难点
所学知识的综合应用
教学过程
一、情景引入,提出问题、(屏幕显示:地球上最后一滴水将是人类的眼泪!)请学生说说对这则广告的理解。引出题。
2、提出问题:为什么要节约用水呢?
二、问题讨论,明白道理、交流前搜集的信息,畅谈有关水的认识。
2、展示相关资料,了解地球上水资源状况。
3、交流感想,强化体验。
三、参与活动,亲身体验
师:水龙头坏了或没有关紧,水一滴一滴往外流(多媒体出示相关图片),遇到这种情况,你会怎么做?
师:前我请同学们做了一个漏水试验,我们一起来看看试验结果吧!、小组交流、展示成果。(一分钟大约滴水0毫升)
2、计算统计,交流感想。
师:根据上面的滴水速度,完成下面的统计表。
一个漏水水龙头漏水情况统计表
时间
分钟
小时
24小时
年
水量(升)
一个水龙头一年浪费多少水?(1立方米约重1吨)
3、评价家庭用水状况,提出节水建议。
4、(出示)小明刷牙时不间断放水30秒,用水约6升。小刚用口杯接水刷牙,需要3口杯水,每杯用水约02升。
A、小明一次刷牙的用水量相当于小刚多少次刷牙的用水量?
B、采用节水刷牙的方式,如果一个三口之家按每人每日刷牙两次算,那么每月(30天计算)可节水多少升?
、节约的这些水,如果以一户三人,每户月均用水量为8吨计算,够你家用几天?
(独立分析计算、汇报计算结果,交流想法)
四、解决问题,提出方案
分组讨论一下节约用水的措施。、学生分组讨论,多媒体演示生活中的节水片段。
2、出示节水倡议,生齐读:节约用水,从我做起,从节约每一滴水做起。
第三篇:六年级第一学期数学广角教案(精选)
第七单元:数学广角 教材分析:
"鸡兔同笼"问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题,一方面可以培养学生的逻辑推理能力;另一方面使学生体会代数方法的一般性。
“鸡兔同笼”的原题数据比较大,不利于首次接触该类问题的学生进行探究,因此教材先编排了例1,通过化繁为间的思想,帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后,再解决《孙子算经》中数据比较大的原题。
解决“鸡兔同笼”问题时,教材展示了学生逐步解决问题的过程,既猜测、列表、假设或方程解。其中假设和列方程解是解决该类问题的饿一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力,列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时,学生选用哪种方法均可,不强求用某一种方法。
配合“鸡兔同笼”问题,教材在“做一做”和练习中安排了类似的一些习题,比如“龟鹤”问题,生活中的一些实际问题等,让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用,并巩固用“假设法”或方程的方法来解决这类问题。三维目标: 1、知识与技能(1)、了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。(2)、尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题,并使学生体会代数方法的一般性。2、过程与方法
解决“鸡兔同笼”问题可用猜测、列表、假设或方程解等方法。3、情感、态度与价值观(1)、培养学生的逻辑推理能力。
(2)让学生体会到数学问题在日常生活中的应用。重难点、关键: 1、重难点
尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题。2、关键
在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。教学设计:
“鸡兔同笼”问题 教学内容
教科书第112-115页。教学目标
1、通过学生对一些日常生活中的现象的观察与思考,从中发现一些特殊的规律。2、通过猜测、列表、假设或方程解等方法,解决“鸡兔同笼”问题。
3、通过本节课的学习,知道与“鸡兔同笼”有关的数学史,对学生进行数学文化的熏陶和感染。教学过程
一、故事引入
教师:在我国古代流传着很多有趣的数学问题,“鸡兔同笼”就是其中之一。这个问题早在1500多年前人们就已经开始探讨了。
出示题目:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?(笼子里有若干只鸡和兔。上面数,有35个头,下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?)
二、探究新知
1、教学例1:笼子里若干只鸡和兔。从上面数有8个头,从下面数有26只脚。鸡和兔各有几只?
让学生以两人为一组讨论。汇报讨论的结果。(1)、列表:
鸡
8
7
6
5
4
3 兔
0
1
2
3
4
5
脚
16
18
20
22
24
26(2)、假设法: 假设笼子里都是鸡,那么就是8×2=16(只)脚,这样就比题目多26-16=10(只)脚。
因为刚才是把兔子当成鸡,一只兔子少算两只脚,那么多出的10只脚就有10÷2=5(只)兔子。
因此,鸡就有:8-5=3(只)(3)、用方程解:
解:设鸡有x只,那么兔就有(8-x)只。根据鸡兔共有26只脚来列方程式 2x+(8-x)×4=26 2x+8×4-4x=26 32-26=4x-2x 2x=6 x=3
8-3=5(只)
2、小结解题方法:
教师:以上三种解法,哪一种更方便?
小结:要解决“鸡兔同笼”问题,可以采用假设法或方程解都可以。用方程解更直接。3、独立解决书中的趣题。(1)、方程解:
解:设鸡有x只,那么兔就有(35-x)只。根据鸡兔共有94只脚来列方程式 2x+(35-x)×4=94 2x+35×4-4x=94 140-94=4x-2x 2x=46 x=23
35-23=12(只)
答:鸡有23只,兔有12只。(2)、算术解: 假设都是鸡。
2×35=70(只)94-70=24(只)
24÷(4-2)=12(只)35-12=23(只)答:鸡有23只,兔有12只。
三、巩固与运用
1、完成教科书第115页做一做的第1题。
学生独立读题分析后,列式解答。鼓励用方程解。
2、完成教科书第115页做一做的第2题。
提问:根据图中你能了解什么信息?(一条大船乘6人,一条小船乘4人)请同学独立列式解答。(讲评时重点解释算术解的每步的算理)6×8=48(人)
假设8条都是大船可坐48人。48-38=10(人)
假设人数比实际的人数多10人。
多10人的原因是把部分的小船当成了大船,也就是每条小船多算了2人。多的10人除以每条船多算的人数,就是有多少条小船。10÷(6-4)=5(条)8-5=3(条)
这是表示有3条大船。
四、作业
第四篇:六年级数学下册数学广角公开课教案
六年级数学下册<数学广角>公开课教案
第一课:抽屉原理
教学内容:教材第70、71页的例
1、例2 教学目标:
1、经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。
2、会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
3、通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。教学重点:认识“抽屉原理”。
教学难点:灵活运用“抽屉原理”解决实际问题。教学方法:小组合作,自主探究。教学准备:若干根小棒,4个纸杯。教学过程:
一、创设情境,导入新知
老师组织学生做“抢椅子”游戏(请3位同学上来,摆开2条椅子),并宣布游戏规则。师:象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢?这节课我们就一起来研究这个原理。
二、自主学习,初步感知
(一)出示例1:4枝铅笔,3个文具盒。
1、观察猜测
猜猜把4枝铅笔放进3个文具盒中会存在什么样的结果?
2、自主探究
(1)提出猜想:“不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”。(2)小组合作操作验证:请拿出铅笔和文具盒小组合作摆一摆、放一放。(3)交流讨论,汇报。可能如下: 第一种:枚举法。
用实物摆一摆,把所有的摆放结果都罗列出来。第二种:假设法。
如果每个文具盒中只放1枝铅笔,最多放进3枝。剩下1枝还要放进其中的一个文具盒,所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。第三种:数的分解。
把4分解成三个数,共有四种情况,(4,0,0)、(3,1,0)、(2,2,0)、(2,1,1),每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于2的。(4)、比较优化。
请学生继续思考:如果把5枝铅笔放进4个文具盒,结果是否一样呢?把100枝铅笔放进99个盒子里呢?怎样解释这一现象? 师:为什么不采用枚举法来验证呢?
数据较小时可以采用枚举法,也可用假设法直接思考,而当数据较大时,用假设法思考比较简单。
3、引导发现
只要放的铅笔数比盒子的数量多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少放进2枝铅笔。
(二)出示例2:把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进几本书? 7本书会怎样呢?9本呢?
1、学生尝试自己探究。
2、交流探究的结果,可能如下: 1)枚举法。
共有3种情况。在任何一种结果中,总有一个抽屉至少放进3本书 2)假设法。
把5本书“平均分成2份”,5÷2=2…1,如果每个抽屉放进2本书,还剩下1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉,该抽屉里就有3本书了。由此可见,把5本书放进2个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。同样,7÷2=3…1把7本书放进2个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本书。
9÷2=4…1把9本书放进放进2个抽屉中,有一个抽屉里至少放进5本书。
3、观察发现
学生讨论交流,发现“总有一个抽屉里至少有几本”只要用“商+1”就可以得到。
4、介绍原理。
师:同学们,你们知道吗?你们的这一发现,在数学里被称之为“抽屉原理”,也叫做“鸽巢原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称为“狄利克雷原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用,可以用它来解决很多有趣的问题呢。
三、应用原理,解决问题
完成教材第72页 “做一做”第1题
四、全课总结,回归生活
1、通过今天的学习你有什么收获?
2、回归生活:你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗?
第五篇:六年级数学下册第一课时课件
课题
用比例解决问题 主备人
使用人 个性修改 课时安排 1课时
第(1课时)课时 总第(19)课时
备注:内容,宋体五号字,标题加黑
目标
1、使学生能正确判断实际问题中涉及的量成什么比例关系,能利用正、反比例正确解答实际问题。
2.引导学生利用已学知识,自主探索,培养学生问题解决的能力。
3.感受比例知识在现实生活中的广泛应用,体会数学与生活的联系,渗透环保教育。
重难点
教学重点:
认识正、反比例实际问题的特点。教学难点:
掌握用比例知识解答实际问题的解题思路。
教学准备 课件 教学过程 教师活动
一、温故引新。(课件出示)
1、判断下面每题中的两种量成什么比例?(1)速度一定,路程和时间.(2)路程一定,速度和时间.(3)单价一定,总价和数量.
(4)每吨水的价钱一定,水费和用水的吨数。(5)书的总页数一定,书的本数和每本页数。
2、下面各题中各有哪三种量?那种量一定?哪两种量是变化的?相关联的量什么比例?并列出相应的等式
(1)一列火车从甲地到乙地,2小时行驶 60千米,照这样的速度,8小时可行240千米。(2)书店运来一批书,如果每包20本,要捆18包,如果每包30本,要捆x包。
3、出示例5 张大妈家上个月用了8吨水,水费是12.8元,李奶奶家用了10吨水,李奶奶家上个月的水费是多少元?
(1)独立解答,板演。
4、引入新课
象这样的问题也可以用比例的知识来解决,我们今天这节课就来讨论如何运用比例的知识来解决这类问题。板书课题:用比例解决问题
二、探究新知。
1、教学例5(1)思考和讨论下面的问题:
①题中哪个量是一定的?哪两种量是变化的?相关联的量成什么比例关系? ②题中总价与对应吨数值各是多少?
③根据你判断的比例关系,你能列出一个含有未知数的比例式吗
(2)根据汇报概括:因为水价一定,所以水费和用水的吨数成正比例。也就是说,两家的水费和用水的吨数的比值是相等的。(3)根据正比例的意义列出方程: 解:设李奶奶家上个月的水费是χ元。12.8 8 = χ 10
8χ= 12.8×10
χ=128÷8
χ= 16
答:李奶奶家上个月的水费是16元。
(4)将答案代入到比例式中进行检验。
2、修改题目:王大爷上个月的水费是19.2元,他们家上个月用多少吨水? ①学生独立解答,指名板演,校对。
②比较两题的异同点,使学生明确与例5的条件和问题改变后,题目中水费和用水的吨数的正比例关系没变,只是未知量变了。所以还是用同一种等量关系式列出算式。
3、根据例5的解题过程,你认为用比例解决问题的过程应该怎样想,怎样解答。可以归纳为哪几个步骤?
①讨论、汇报、师小结。
a.分析题意,判断两种量成不成比正比例关系。
b.在找出相关联量的对应数值。根据比值一定列出比例 c.解比例、检验、写答。
4、教学例6(1)出示例6 有一批书,如果每包20本,要捆18包;如果每包30本,要捆有多少包?
(2)生读题,说题意,根据例5的解题思路,思考:题中已知两个量?什么是一定的?已知的两个量成什么关系?(3)学生独立解答。
(4)指名板演,小组交流并汇报。
三、巩固提高。
做一做:教科书P60“做一做”
1、2题,让学生先判断两个量的关系,再进行解答。学生活动
判断成何比例、并说明理由。
找出各有哪三种量?那种量一定?哪两种量是变化的?相关联的量什么比例?并列出相应的等式
独立解答,板演
思考和讨论下面的问题:
①题中哪个量是一定的?哪两种量是变化的?相关联的量成什么比例关系? ②题中总价与对应吨数值各是多少?
③根据你判断的比例关系,你能列出一个含有未知数的比例式吗
并列式解答注意检验。
①学生独立解答,指名板演,校对。②比较两题的异同点。归纳用比例解决问题 学生独立解答。
指名板演,小组交流并汇
学生先判断两个量的关系,再进行解答。集体订正。
课堂小结
今天这节课你有什么收获?能说给大家听听吗? 用比例知识解应用题的一般步骤是什么?
板书设计
用比例解决问题
解:设李奶奶家上个月的水费是χ元。12.8 8 = χ 10
8χ= 12.8×10
χ=128÷8
χ= 16
答:李奶奶家上个月的水费是16元。
作业设计
教科书P62练习九第3-----7题。教后反思
检查反馈