高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广帮你认识角素材北师大版4教案

第一篇：高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广帮你认识角素材北师大版4教案

帮你认识角

角是平面几何中的一个基本图形，对角的图形特点，一般有以下两种认识：(1)角可以看成是平面内一点引出的两条射线所组成的图形，(2)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角．下面我们通过几个例子理解角的概念.一.任意角

规定:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.例1.画图表示下列各角:=390, -210，=-330.0

0

0分析: 为正角，将射线绕其端点逆时针旋390,、为负

0角，将射线绕其端点顺时针分别旋转210和330.解: 如图.点评: 画图表示一个大小为定值的角，先要画一条射线作为角的始边（一般画成水平向右的射线），再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注． 二.象限角和轴线角

为了便于讨论角，我们常常将角放到直角坐标系中，并且使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这样就出现了象限角和轴线角．

(1)象限角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

(2)轴线角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上，称做轴线角，这个角不属于任何一个象限．例如0，90，180，270,360,-90,-180，-270，-360，-1080等都是轴线角．

例2 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：

(1)225；（2）-300；（3）-450.分析：以原点为顶点,x轴的正半轴为始边作出 0

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00225,-300，-450.解答：如图，观察角的终边所在位置，知225,-300分别是第三象限角和第一象限角，-450的终边在y轴负半轴上，不属于任何象限．

点评：在直角坐标系内作角，其始边位置及角的顶点是统一固定的，结合角的正负符号和角的绝对值大小作出其终边，并用带箭头的螺旋线标注就行了．确定一个角是第几象限角，可以通过在直角坐标系内作出这个角来说明，这是象限角概念的直接应用． 三.终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

例3 求与3900终边相同的最小正角和最大负角，并指出它们是第几象限角． 分析：与3900终边相同的最小正角和最大负角，就是分别在0～360;-360～0范围内，与3900终边相同的角．找出了在0～360范围内与3900终边相同的角，就能指出它的象限位置．

解：设β=3900+k·360,(k∈Z).则当k=-l0时,β=3900-10×360=300 当k=-11时，β=3900-11×360=-60.∴与3 900终边相同的最小正角是300,最大负角是-60,且3900是第四象限的角.点评：求在某个范围内与α终边相同的角，先要写出其一般表达式：β=α+k·360(k∈Z)，再根据β的取值范围确定整数k的取值.确定绝对值较大的角的象限位置，可先在0～360范围内找出其终边相同的角，再作出判断.四.半角与倍角

已知α角的象限，确定α角的半角、倍角的象限是学习和、差、倍、半三角公式的基础，解决这类问题一般是根据终边相同的角的集合表示，再通过分类讨论的方法进行．

例4 已知角θ的终边与30的终边关于x轴对称，试在0～360范围内找出与同的角．

分析：利用角θ的终边与30角的终边关于x轴对称，可得到θ的一般表达式，进而得到

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终边相300的一般表达式．再由0≤<360,确定k的取值，就能得出结论． 33解答：∵角θ的终边与30角的终边关于x轴对称，0 2 ∴θ=k·360-30，∴由0≤0000

00

＝k·120-10(k∈Z)． 30<360，300

0得0≤k·120-10<360∵k∈Z，∴k=1，2，3.137k.121200=110，当k=2时，=230，330当k=3时，=350.300000故在0～360内与终边相同的角是110,230,350.30000点评：求在0～360范围内与终边相同的角，也可转化为先求在0～1080范围内与

3当k=1时，θ终边相同的角，共有3个角，即330,690，1 050．再分别除以3即得结果．

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0 3

第二篇：高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广教案北师大版

1.2 角的概念的推广

整体设计

教学分析

教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标

1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点

教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的游戏引入,激起学生的探求兴趣.如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.图1 思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课 知识探究 提出问题

①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角? ②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度? ③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度? 活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.如图2.图2 我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,记作α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 260°…… 提出问题

①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思? 活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.如图3.图3 ②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样: 210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问: 锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何? 将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系? 提出问题

①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系? ②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来? 活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.教师适时引导学生认识: ①k∈Z;②α是任意角;

③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例

例1 判定下列各角是第几象限角:(1)-60°;(2)585°;

(3)-950°12′.解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因为585°=360°+225°,所以585°与225°角的终边重合,而225°的终边在第三象限,所以585°是第三象限角.(3)因为-950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的终边在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.变式训练

在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合.(用0°—360°的角表示)活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个, 即90°和270°角,如图4.图4 因此,所有与90°的终边相同的角构成集合 S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2

={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z} ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练

写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是: 60°-1×360°=-300°, 60°+0×360°=60°, 60°+1×360°=420°.变式训练

写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合

图5 S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是: 45°-2×180°=-315°, 45°-1×180°=-135°, 45°+0×180°=45°, 45°+1×180°=225°, 45°+2×180°=405°, 45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合: ①第一象限;②第二象限;③第三象限;④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练

课本习题1—2 1、2.课堂小结

提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论: 本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.作业

①习题1—2 3.②预习下一节:弧度制.设计感想

1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.习题详解

习题1—2 1.点拨:由锐角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′，故0°到360°范围内与其终边相同的角为305°42′,第四象限角.②395°8′=1×360°+35°8′，故0°到360°范围内与其终边相同的角为35°8′,第一象限角.③-1 190°30′=-4×360°+249°30′，故0°到360°范围内与其终边相同的角为249°30′,第三象限角.④1 563°=4×360°+123°，故0°到360°范围内与其终边相同的角为123°,第二象限角.点拨:把角化为k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z}, 当-720°≤β＜360°时,β为-300°,-660°,60° ②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝，当-720°≤β＜360°时,β为-405°,-45°,315°.③｛β|β=k·360°+1 303°18′,k∈Z｝, 当-720°≤β＜360°时,β为-136°42′,223°18′,-496°42′.④｛β|β=k·360°-225°,k∈Z｝, 当-720°≤β＜360°时,β为-225°,-585°,135°.点拨:利用终边相同的角的定义写出β的集合,再取k的值,求出符合条件的角.备课资料

备用习题

1.若角α与β终边相同,则一定有()A.α+β=180° B.α+β=0°

C.α-β=k·360°(k∈Z)D.α+β=k·360°(k∈Z)2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于()A.{-36°,54°} B.{-126°,144°} C.{-126°,-36°,54°,144°} D.{-126°,54°}

3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是()A.β=α+90° B.β=α±90°

C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是()A.ZY B.ZY C.Z=Y D.Z与Y之间的关系不确定 5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与

角的终边相同3的角是_____________________.6.若集合A={α|k·180°+30°＜α＜k·180°+90°,k∈Z},集合B={β|k·360°+315°＜β＜k·360°+

405°,k∈Z},求A∩B.7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.参考答案: 1.C 2.C 3.答案:D 点拨:将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后,知α±90°与角β的终边重合.4.答案:C 点拨:先分别将n和k赋以不同的整数值,找出角x的终边,然后再比较.5.答案:56°,176°,296°

点拨:根据已知条件有θ=k·360°+168°,k∈Z,=k·120°+56°,k∈Z.又30≤k·120°+56°

＜360°,满足条件的k为0,1,2.6.解:B={β|k·360°-45°＜β＜k·360°+45°,k∈Z}.采用数形结合法,在直角坐标系内,分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域,终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B,可以求得

A∩B={x|30°+k·360°＜x＜45°+k·360°,k∈Z}.7.解:终边在四个象限角平分线上的角的集合为 {β|β=n·90°-45°,n∈Z}.

第三篇：高中数学第一章三角函数1.3弧度制的由来素材北师大版4教案

弧度制的由来

以已知角的顶点为圆心，以任意大于0的值R为半径作圆弧，则角所对的弧长l与R之比是一个定值﹝与R无关﹞，我们称l=R时的正角为1弧度的角。以1弧度角为量角大小的单位，称此度量制为弧度制，以示与角的另一种度量制──角度制区别。

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？-550？﹞定圆周长为21600分，相应地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π

3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉（Leonhardo Eulero，1707年－－1783年）于1748年引入。他在1748年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》第八章中提出了弧度制的思想.但与阿利耶毗陀不同的是，他先定义了半径为1个单位的圆，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及计算．

1873年6月5日，数学教师汤姆生（James Thomson）在北爱尔兰首府贝尔法斯特（Belfast）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度”一词．当时，他将“半径”（radius）的前四个字母与“角”（angle）的前两个字母合在一起，构成radian，并被人们广泛接受和引用．我国学者曾把radian译成“弪”（由“弧”与“径”两字的一部分拼成）．中华人民共和国成立以来，中学数学教科书都把radian译作“弧度”．

1881年，学者哈尔斯特（G.B.Halsted）等用希腊字母ρ表示弧度的单位，例如用3/5πρ表示3/5π弧度．1907年，学者包尔（G.N.Bauer）用r 表示；1909年，学者霍尔（A.G.Hall）等又用R来表示，例如将π/4弧度写成π/4．现在人们习惯把弧度的单位省略．

R 1

第四篇：2014年高中数学难点：角的概念的推广·典型例题分析

2014年高中数学难点：角的概念的推广·典型例题分析

例1在-720°～720°之间，写出与60°的角终边相同的角的集合S． 解与60°终边相同的角的集合为｛α|α=k·360°+60°，k∈Z｝．

令-720°＜k·360°+60°＜720°，得k=-2，-1，0，1

相应的α为-660°，-300°，60°，420°，从而S=｛-660°，-300°，60°，420°｝．

例2把1230°，-3290°写成k·360°+α(其中0°≤α＜360°，k∈Z)的形式．

分析用所给角除以360°，将余数作α．

解∵1230÷360=3余150，∴1230°=3×360°+150°．

∵-3290÷360=-10余310，∴-3290°=-10×360°+310°．

注意：负角除以360°，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于已知负角的绝对值．

例3写出终边在y轴上的角的集合．

解终边在y轴的正半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝．终边在y轴的负半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．故终边在y轴上角的集合为

｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．

=｛α|α=2k·180°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=(2k+1)·180°+90°，k∈Z｝ =｛α|α=n·180°+90°，n∈Z｝．

同样方法可写出终边在x轴上角的集合为｛x|x=n·180°+90°，k∈Z｝

第五篇：高中数学第一章三角函数1.3弧度制优化训练北师大版4教案

1.3 弧度制

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列诸命题中，真命题是（）A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧

C.一弧度是一度的弧与一度的角之和

D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 解析：由1弧度的意义可知，选D.答案：D 2.下列诸命题中，假命题是（）

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1度的角是周角的11，1弧度的角是周角的 3602C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度

D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关

解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选Ｄ.答案：D 3.单位圆中，长为2个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为___________ rad.解析：由α=答案：2 l2，可得圆心角α的弧度为=2 rad.r18弧度化为角度是____________.55解析：-300°=×（-300）rad=, 180388rad=180°×=288°.555答案： rad 288°

34.-300°化为弧度是，10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在直角坐标系中，集合S={β|β=k·

，k∈Z}的元素所表示的角的终边在（）2A.第一象限 B.x轴上 C.y轴上 D.坐标轴上 解析：终边落在坐标轴上的角的集合应为{β|β=

k，k∈Z}易知当整数k为偶数时，β的2终边落在x轴上；当k为奇数时，β的终边落在y轴上.所以β角的终边应落在坐标轴上.答案：D 2.下列两组角中，终边不相同的是（）A.324+kπ与+kπ（k∈Z）B.+2kπ与（k∈Z）

332k44 1 1357+2kπ与+2kπ（k∈Z）D.+2kπ与+2kπ（k∈Z）

126612解析：对整数k的取值进行分类讨论.一一验证，易知B、C中两组角终边相同.A中，kπ+

4357和kπ-（k∈Z）的终边相同；D中，由于和不在一个象限，所以它们的终边41212C.不相同.答案：D 4rad化为度应是_____________.544解析：∵π rad=180°，∴rad=×180°=144°.553.答案：144°

4.把下列各角化为2kπ+α（0≤α＜2π）的形式，并指出所在的象限.2739；（2）.4627327解：（1）=6π+,在第二象限；

44439396,（2）的终边落在y轴的正半轴上.626（1）5.某飞轮直径为1.2 m，每分钟按逆时针方向旋转300圈，求：

（1）飞轮每分钟转过的弧度数；

（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.解：（1）因为飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，而逆时针方向旋转一周的弧度数为2π，所以飞轮每分钟转过的弧度数是300×2π=600π rad.（2）∵飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，∴每秒钟转5圈.又飞轮直径为1.2 m，∴一圈的长（即圆的周长）为1.2π m.因此轮周上的一点每秒钟经过的弧长是5×1.2π m=6π m.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列各命题中正确的是（）

A.地球到太阳的距离y与时间t构成的函数是周期函数 B.用弧度制表示的角都是正角

C.大圆中1弧度角比小圆1弧度角大 D.圆心角为1弧度的扇形的弧长相等

解析：据物理学知识，任何一时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，且每经过一年地球绕太阳旋转一周，无论哪个时刻t，经过一年，地球又回到原来的位置，所以我们有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函数.所以A正确；对于弧度制，定义为弧长等于1个单位长度所对的圆心角大小为1弧度，与圆的大小无关.大小不同的圆1弧度的扇形的弧长不等，所以C、D均不正确.又采用弧度制表示的角，是任意角，可正可负，所以B不正确.答案：A 2.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度.解析：设圆的半径为r，则圆内接正三角形的边长为3r，即弧长为3r，所以所求圆心 2 角的弧度数为|α|=l3r3.rr答案：3

3.地球赤道的半径是6 370 km，赤道上1°的弧长是__________ km.（可用计算器）解析：由于1°=180≈0.017 45 rad，所以赤道上1°的弧长是0.017 45×6 370 km=111.156 5 km.答案：111.156 5 4.已知α∈(解：∵∴4,4<α<35243,π),求α+2β,α-2β的范围.34333,<β<π,则<2β<2π,-2π<-2β<，4227972,.346)，β∈(5.将下列各角从弧度化为度：

5；（2）-20.1255解：（1）rad=×180°=-75°；

1212（1）（2）-20 rad≈57.3°×（-20）=-1 146°.6.将下列角度数化为弧度数：

（1）-12°45′；（2）112°30′.解：(1)-12°45′=-1275°=-12.75×（2）112°30′=112.5°=112.5×

180rad17； 240180rad5rad.87.已知一扇形的周长是40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，∴l=40-2r.∴S=11lr×（40-2r）r=20r-r2=-（r-10）2+100.222∴当半径r=10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm，这时θ=l(40210)rad=2 rad.r108.已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角.解：设圆的半径为r，则圆的外切正三角形的边长为23r，由题意知弧长为23r，所以这段弧所对的圆心角的弧度数为

23r23rad.r9.已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0＜θ≤π)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数.解：∵0<θ≤π，可得0<2θ≤2π.又∵2θ在第三象限，∴π<2θ≤由14θ=2kπ(k∈Z),可得2θ=∴k=4或5.∴θ=

3.22k2k3721(k∈Z)，∴π<<,即k.7722445或.7710.在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.解：如图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=

12，所以

r=OA=AC1sinAOC.sin12则弧长l=|α|·r=1,面积S=1lr1.sin12122sin22 4