高中数学第二章平面向量2.1从位移、速度、力到向量教案北师大版必修4课件

第一篇：高中数学第二章平面向量2.1从位移、速度、力到向量教案北师大版必修4课件

2.1 从位移、速度、力到向量

整体设计

教学分析

1.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用.可通过几个具体的例子说明它的应用.位移、速度、力等是物理中的基本量,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.2.在类比数量的抽象过程而引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念,可采用与数量概念比较的方法,引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小,没有方向的量”,同时给出“时间、路程、功是向量吗?速度、加速度是向量吗?”的思考题.通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念.实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示.教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义.有向线段使向量的“方向”得到了表示,那么向量的大小又该如何表示呢?一个自然的想法是用有向线段的长度来表示.从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫.3.数学中,引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等”,这是讨论这个量的基础.如何规定“相等向量”呢?由于向量涉及大小和方向,因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的方向和大小,就可以任意平行移动.因此,用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点,这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.教学时可结合例题、习题说明这种思想.4.共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上,这给问题的研究带来方便.教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量,当然,在同一直线上的向量也是平行向量.要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念.三维目标

1.通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性.并通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯.加强数学的应用意识,切实做到学以致用.用联系、发展的观点观察世界.重点难点

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

图1 思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)?学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究.思路2.创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课,这也是一个不错的导入选择.推进新课 新知探究 提出问题

①回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念,让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.②“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么? ③“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里? 活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征.实例（1）反映的是物理量——位移：民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移；实例（2）反映的也是物理量——位移：假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家2 000 m，从家到学校，可能有长短不同的几条路．无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30°方向移动了2 000 m；实例（3）反映的是物理量——速度：飞机向东北方向飞行了150 km，飞行时间为半小时，飞行速度的大小是300km/h，方向是东北；实例（4）反映的也是物理量——速度：某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35m/s；最后两个实例反映的是物理量——力：起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起；汽车爬倾斜角为θ的坡路时，汽车的牵引力大小为F(N)，方向倾斜向上，与水平方向成θ角.我们身边这样的实例很多，可让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质.例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的,被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的,并且在弹性限度内,弹簧拉长或压缩的长度越大,弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向.如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅 球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.教师与学生一起归纳总结以上实例：位移、速度和力等这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”．只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题，矢量与标量是完全不同的两个量.铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量.在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量.讨论结果：①—③略.提出问题

①在数学中，怎样表示向量呢? ②什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么? ③怎样定义零向量？怎样定义单位向量? ④满足什么条件的两个向量叫作相等向量? ⑤有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦什么是向量的模？

活动：教师指导学生阅读教材，并思考讨论以上问题，特别是有向线段，这是学习向量的关键.我们知道，在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小.图2 这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”.一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段（如图2)，记作AB，线段AB的长度也叫作有向线段AB的长度，记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑体小写字母如a,b,c表示.一定要学生规范：印刷用黑体a,手写一定要在小写字母上加箭头.要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫作有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面,即是说AB的方向是由点A指向 3 点B,点A是向量的起点.图3 如图3，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较,以明确向量的意义.数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.但向量具有方向，由于方向不能比较大小,向量也就不能比较大小，像a＞b就没有意义,而|a|＞|b|就有意义.理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可.讨论结果：①用字母a,b,c,„表示向量（印刷用粗黑体表示），手写用字母加箭头来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB,CD.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.图4 ③长度为0的向量叫零向量，记作0,规定零向量的方向是任意的.长度为单位1的向量，叫单位向量.但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.④长度相等且方向相同的向量叫相等向量.⑤关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我们规定0与任一向量平行,即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义.向量a,b,c平行，记作a∥b∥c.如图4.图5 又如图5,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦|AB|〔或|a|表示向量AB(或a)的大小,即长度(也称为模)〕.应用示例

例1 如图6,D,E,F依次是等边△ABC的边AB, BC, AC的中点．在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，图6(1）找出与向量DE相等的向量;(2）找出与向量DF共线的向量.活动：教材安排本例的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决.解：由初中所学三角形中位线定理不难得到:(1)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量DE相等的向量有：AF和FC;(2)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量DE共线的向量有：EC,CE,BC,CB,FD.变式训练

判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.图7(1)ABCD中,AB与CD是共线向量;(2)单位向量都相等.解:(1)正确;(2)不正确.点评：本题考查基本概念,对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.教师引导学生画出平行四边形，如图7.因为AB∥CD,所以，AB∥CD.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.例2 一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.图8

活动:本例是一个简单的实际问题,让学生画出有向线段表示位移.本例目的在于巩固向量概念及其几何表示.解：根据题意画出示意图,如图8所示.|AB|=100m,|BC|=100m,∠ABC=45°+15°=60°，∴△ABC为正三角形.∴|CA|=100m,即此人从C点返回A点所走的路程为100m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.点评：位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图8,由A点确定B点、C点的位置.例3 如图9,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与OA、OB、OC相等的量.图9 活动：本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解: OA=CB=DO;OB=DCEO;OCABEDFO.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到.让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同.变式训练(演示课件)1.本例变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）本例变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？（存在）本例变式三：与向量OA共线的向量还有哪些？（BC,CB,OD,DO,EF,FE）

2.对命题“a∥b∥c推出a∥c”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下:甲生判断是 真命题.理由是：由a∥b可知a与b的方向相同或相反,由b∥c可知c与b的方向相同或相反,从而有a与c的方向相同或相反,故a∥c,即原命题为真命题；乙生判断是假命题.理由是：当两个非零向量a,c不平行,而b=0时,显然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此时结论不成立,即原命题为假命题.究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析.解:乙的判断正确.由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论,所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在.甲生没有考虑到向量b可能为零向量的情况,故甲生的判断是错误的;乙生的判断完全正确.这说明向量平行的传递性若要成立,则“过渡”向量b需不为零向量,即在b≠0时有:(1)当a≠0,b≠0时,由a∥b,b∥c可推出a∥c;(2)若a与c中有一个为0,则另一个向量无论是否为0,均可推出a∥c.4(1)下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以只有C正确.答案:C 点评：对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可.要启发学生注意正反这两方面的结合.变式训练

1.判断:（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

2.把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆 3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是()A.一个点 B.两个点 C.一个圆 D.一条线段 答案：1.略 2.D 3.B 知能训练

课本本节练习1、2、3 课堂小结

1.先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念, 明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.2.再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．

3.点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益.作业

如图10,在梯形ABCD中,AB∥CD,AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,O是AC与BD的交点, 求证:EOOF.图10 证明：如图10,∵AB∥CD,∴AO∶OC=BO∶OD=AB∶CD.又AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC, ∴AE∶ED=AO∶OC.∴EO∥DC.同理,OF∥DC,∴E,O,F在同一直线上.∴EOAEBFOF..∴EO=OF, DCADBCDC即|EO|=|OF|.又EO与OF方向相同,∴EO=OF.设计感想

1.本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点.本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识,学生有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的.2.本教案设计充分利用向量的物理背景.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机.通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础.3.本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念,设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材.备课资料

一、向量中有关概念的辨析 1.数量、向量、有向线段

对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题.数量只有大小,没有方向,其大小可以用 实数来表示,它是一个代数量,数量之间可以比较大小;向量既有大小又有方向,向量之间不可以比较大小;有向线段是向量的直观性表示,不能说向量就是有向线段.2.平行向量、共线向量、相等向量

平行向量也叫共线向量,故平行向量与共线向量没有区别,而相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量,即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件.二、备用习题

1.若正多边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,„an,则这n个向量()

图16 A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等 2.如图16所示,在△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有„()

A.一组 B.二组 C.三组 D.四组 3.若命题p为a=b,命题q为|a|=|b|,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不必要又不充分条件 4.如图17所示,在四边形ABCD中,若AB=DC,则下列各组向量相等的是()

图17 A.AD与CB B.OA与OC C.AC与DB D.DO与OB

5.已知a,b是任意两个向量,有下列条件:①|a|=|b|;②a=b;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.其中是向量a与b共线的充分不必要条件的为__________.(把你认为正确的命题序号全都填上)6.如图18所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图18(1)写出与ED相等的向量;(2)若|AB|=3,求向量EC的模.7.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a∥b，则a与 b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5 参考答案:1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④

6.解:(1)与ED相等的向量有DC和AB,因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,故AB=ED=DC;(2)向量EC的模|EC|=6.7.C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题.10

第二篇：高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理

5．5正弦定理、余弦定理

要点透视：

1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．

2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式

BCAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运2

2用．

4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．

5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：

（1）根据题意画出示意图．

（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．

（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．

（4）给出答案．

活题精析：

例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．

要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．

解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积

11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对

边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2c2a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin6032∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．

13要点精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c

当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.练习题

一、选择题

tanAa

21．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2ab

A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a=b或c2=a2+b2

3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）

1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三边分别为 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空题：

abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则 sinAsinBsinC

1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝ abbcabc

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题

11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。

12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面积S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；

（2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值；

（3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

CCCC15．在△ABC中，m(cos,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角是． 22222

（1）求C；

73（2）已知c=，三角形面积 S＝3，求a+b。22

第三篇：高中数学必修4人教A教案第二章平面向量复习

第二章

平面向量复习课

（一）一、教学目标

1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6.向量的坐标概念和坐标表示法

7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8.数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、教学过程

（一）重点知识：

1.实数与向量的积的运算律：

(1)(a)()a(2)()a aa(3)(ab)ab

2.平面向量数量积的运算律:

(1)abba

(2)(a)b(ab)a(b)

(3)(ab)c acbc

3.向量运算及平行与垂直的判定: 设a(x1,y1),b(x2,y2),(b0).则ab(x1x2,y1y2)

ab(x1x2,y1y2)

abx1x2y1y2

a//bx1y2x2y10.abx1x2y1y20.4.两点间的距离:

|AB|(x1x2)2(y1y2)2

5.夹角公式: cosab a bx1x2y1y2 x1y1x2y22222

6.求模：

aaa

ax2ya(x1x2)2(y1y2)2

（二）习题讲解：第二章 复习参考题

（三）典型例题

例1． 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基础练习：

（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）、作业：

第二章

平面向量复习课

（二）一、教学过程

（一）习题讲解：

（二）典型例题

例1．已知圆C：(x3)(y3)4及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线

22段MA的延长线上，且MA2AN，求点N的轨迹方程。

练习：1.已知O为坐标原点，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求点P（x，y）的轨迹方程；

2.已知常数a>0，向量m(0,a),n(1,0)，经过定点A（0，－a）以mn为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以n2m为方向向量的直线相交于点P，其中R.求点P的轨迹C的方程；

例2.设平面内的向量OA(1,7), OB(5,1), OM(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值．

解

设OP(x,y)．∵

点P在直线OM上，∴ OP与OM共线，而OM(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP(2y,y)．∵ PAOAOP(12y,7y)，PBOBOP(52y,1y)，∴ PAPB(12y)(52y)(7y)(1y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

从而，当且仅当y=2，x=4时，PAPB取得最小值－8，此时OP(4,2)，PA(3,5)，PB(1,1)．

于是|PA|34，|PB|2，PAPB(3)15(1)8，∴ cosAPBPAPB|PA||PB|8342417 17小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：

第四篇：北师大版高中数学(必修4)2.6《平面向量数量积的坐标表示》教案

平面向量数量积的坐标表示教案1

教学目标

1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．

2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直． 3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．

重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．

难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用． 教学过程设计

(一)学生复习思考，教师指导．

1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．

＝________

＝________

2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)＝________

3．向量的数量积满足那些运算律？

(二)教师讲述新课．

前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．

设两个非零向量为

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

＝x

1＋y1

为x轴上的单

＋y位向量，为y轴上的单位向量，则，＝x2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：

(1)向量模的坐标表示：

(2)平面上两点间的距离公式：

向量=

(3)两向量的夹角公式

设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ． 的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，4．两向量垂直的充要条件的坐标表示

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．

(三)学生练习，教师指导．

练习1：课本练习1．

已知a(－3，4)，(5，2)．

练习2：课本练习2．

已知 ··(＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)． ＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋

＋)·（－)＝－7．)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．

练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．

求证：△ABC是直角三角形．

证：∵

经检验，∴⊥ ＝(1，1)，·

＝(－3，3)，＝(－4，2)．

＝1×(－3)＋1×3＝0．，△ABC是直角三角形．

(四)师生共同研究例题．

例1：已知向量

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(1)求

(2)若

解：(1)与＋x的夹角θ，与

－

垂直，求实数x的值．

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(2)

(＋x与＋x)·（－－

垂直，)＝0，＋x

＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．

例2：求证：三角形的三条高线交于一点．

证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．

∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．

(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．

即 x1x2＋yy1＝0．

又

∴·⊥＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．

＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．，CP是AB边上的高．

故三角形的三条高线交于一点．

(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．

第五篇：高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理).

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a。2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||AB 或||a。3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。

4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。

7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB-=(指向被减数 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b-。

10.共线定理://a b a b λ=⇔。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模:若(,a x y =,则2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ⋅=⋅;cos ||||a b a b θ⋅=⋅

14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=;121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=

题型1.基本概念判断正误:(1共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。(5若AB CD =,则A、B、C、D 四点构成平行四边形。(6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。(8若ma mb =,则a b =。(9若ma na =,则m n =。

(10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量。(11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b。(12若||||a b a b +=-,则a b ⊥。题型2.向量的加减运算

1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b +=。2.化简((AB MB BO BC OM ++++=。

3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为、。4.已知AC AB AD 为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD =。5.已知点C 在线段AB 上,且3

5AC AB =,则AC = BC ,AB = BC。题型3.向量的数乘运算

1.计算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,则1 32a b-=。

题型4.作图法球向量的和

已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和3 22a b-。a b 题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ,表示AD。2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。题型6.向量的坐标运算

1.已知(4,5AB =,(2,3A ,则点B 的坐标是。2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,则点Q 的坐标是。

3.若物体受三个力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,则合力的坐标为。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。

5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,则DA =。

7.已知O 是坐标原点,(2,1,(4,8A B--,且30AB BC +=,求OC 的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e--和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e-和

2.已知(3,4a =,能与a 构成基底的是(A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55--D.4(1,3--题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标。2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标。题型9.求数量积

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1a b ⋅,(2(a a b ⋅+,(31(2 a b b-⋅,(4(2(3a b a b-⋅+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ⋅,(3(2a a b ⋅+,(4(2(3a b a b-⋅+。题型10.求向量的夹角

1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角。

2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 与b 的夹角。3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。题型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。

3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。题型12.求单位向量 【与a平行的单位向量:||a e a =±】

1.与(12,5a =平行的单位向量是。2.与1(1,2m =-平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 为何值时,向量ka b +与3a b-垂直?(2k 为何值时,向量ka b +与3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证:(a b c ⊥-。题型14.三点共线问题

1.已知(0,2A-,(2,2B ,(3,4C ,求证:，A B C 三点共线。

2.设2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证:A B D、、三点共线。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若点(21,2C a a-+在直线AB 上,求a 的值。

5.已知四个点的坐标(0,0O ,(3,4A ,(1,2B-,(1,1C ,是否存在常数t ,使O A t O B O C +=成立? 题型15.判断多边形的形状

1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是。2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,证明四边形ABCD 是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C ,求证:ABC ∆是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内,(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求证:ABC ∆是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知(1,0a =,(2,1b =,当k 为何值时,向量ka b-与3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标。3.已知a b 与同向,(1,2b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,则c = a + b。

4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,请将用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围;(2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1a 与b 的夹角为钝角?(2a 与b 的夹角为锐角?

7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2A-,(3,4B ,(2,1D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标。

8.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1，B(1,3，C(3, 4，求第四个顶点 D 的坐标。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求 水流速度与船的实际速度。10.已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4，B(0, 0，C(c, 0，（1）若 AB  AC  0，求 c 的值；（2）若 c  5，求 sin A 的值。【备用】 1.已知 | a | 3,| b | 4,| a  b | 5，求 | a  b | 和向量 a, b 的夹角。2.已知 x  a  b，y  2a  b，且 | a || b | 1，a  b，求 x, y 的夹角的余弦。1.已知 a (1,3, b (2, 1，则(3a  2b (2a  5b 。4.已知两向量 a (3, 4, b (2, 1，求当 a  xb与a  b 垂直时的 x 的值。5.已知两向量 a (1,3, b (2, ，a与b 的夹角  为锐角，求  的范围。变式：若 a (, 2, b (3,5，a与b 的夹角  为钝角，求  的取值范围。选择、填空题的特殊方法： 1.代入验证法 例：已知向量 a (1,1, b (1, 1, c (1, ，则2 c （1 3 A. a  b 2 2 1 3 B. a  b 2 2 3 1 C.a  b 2 2 3 1 D. a  b 2 2）变式：已知 a (1, 2, b (1,3, c (1, 2，请用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 M 是 ABC 的重心，则下列向量与 AB 共线的是（A.AM  MB  BC B.3 AM  AC C.AB  BC  AC）D.AM  BM  CM 6

广东省近八年高考试题-平面向量（理科）1.(2007年高考广东卷第10小题 若向量 a、b 满足| a |=| b |=1，a 与 b 的夹角为 120，则 a a  a b  2.(2008 年高考广东卷第 3 小题 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，则 2 a + 3 b =（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009 年高考广东卷第 3 小题（x,1），b= 已知平面向量 a=，则向量 a  b =（（－x, x 2）．）C.（－3，－6）D.（－2，－4））A平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线       c =(3,x满足条件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考广东卷第 5 小题若向量 a =（1,1），（2,5），则x=(A．6 B．5 C．4 D．3 6.(2011 年高考广东卷第 3 小题已知向量 a (1, 2, b

(1,0, c (3, 4 ．若  为实数,(a  b / / c, 则 (B.1 2 A． 1 4 C.1 D.2 7.(2012 年高考广东卷第 3 小题 8．若向量 BA (2,3，CA (4,7，则 BC （A．(2, 4 B．(3, 4 C．(6,10）D．(6, 10 9.(2012 年高考广东卷第 8 小题对任意两个非零的平面向量  , ，定义

    ．若平面

    n 向量 a, b 满足 a  b  0，a 与 b 的夹角    0, ，且

 和

 都在集合 | n  Z 中，则

 4 2  b a A． 1 2 B． 1 C． 3 2 D． 5 2 7 10.（2014 广东省高考数学理科 12）已知向量 a  1,0, 1则下列向量中 , 与 a 成 60  夹角的是 A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8