华东师范大学数学分析电子教案1-2（含五篇）

第一篇：华东师范大学数学分析电子教案1-2

110；

110)作10等分,分点为：n.n11,n.n12,,n.n19，则存在0,1,2,,9中的一个数n2第一章 实数集与函数

§2 数集.确界原理

《数学分析》电子教案

（1）对任何xS，有xn.n1n2（2）存在a2S，使a2n.n1n2.1102；

如此不断10等分前一步骤所得区间，可知对任何k1,2,存在0,1,2,,9中的一个数nk，使得：（1）对任何xS，有xn.n1n2nk（2）存在akS，使akn.n1n2nk.将以上步骤无限进行下去，得到实数n.n1n2nk，以下证明supS，即证：（ⅰ）对一切xS，有x；（ⅱ）对任何,存在x0S使得x0S.110k；

先证(ⅰ):(反证)假设存在xS,使x,则可找到非负整数k,使xkk,而xxk且kn.n1n2nk110k,故xn.n1n2nk110k与(1)矛盾,故对一切xS，有x.再证(ⅱ): 由知存在非负整数k,使kk,而kn.n1n2nk,k,故n.n1n2nk，由(2)便知存在x0S使x0n.n1n2nk

确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位，应对定理的内容充分理解，给予充分重视.例4 设数集S有上界，证明：supSSmaxS.分析：由确界原理，supS意义，按确界定义证明。

证（必要性）因为supS，所以对一切xS有x，又S，故maxS.（充分性）设maxS，则：对一切xS，有x；对任何，只需取x0S，则x0，故supS。

例5 设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切xA和yB有xy.证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且supAinfB.分析：首先，证明supA,infB.有意义，用确界原理.其次，证明supAinfB.证

由假设，数集Ｂ中任一数y都是数集Ａ的上界，Ａ中任一数x都是Ｂ的下界，故由确界原理推知数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界.对任何yB,y是数集Ａ的一个上界,而由上确界的定义知,supA是数集Ａ的最小上界,故有supAy.而此式又表明supA是数集Ｂ的一个下界,故由下确界定义证得supAinfB.

第二篇：华东师范大学2008年数学分析考研试题（范文模版）

华东师范大学

2008年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目代码及名称：数学分析

一、判别题（6*6=30分）（正确的说明理由，错误的举出反例）

1．数列ann1收敛的充要条件是对任意0，存在正整数N使得当nN时，恒有 

a2nan.2．若f(x,y)在(x0,y0)处可微，则在(x0,y0)的某个邻域内

bfxy,f存在。

3．设f(x)在a,b上连续且fxdx0，则f(x)在a,b上有零点。

a4．设级数an收敛，则n1n1ann收敛。

5．设f(x,y)在(x0,y0)的某个邻域内有定义且

xx0yy0limlimfx,ylimlimfx,yfx0,y0，yy0xx0

则f(x,y)在(x0,y0)处连续。

6.对任意给定的x0R，任意给定的严格增加正整数列nk,k1,2,，存在定义在R上的函数

f(x)使得f

二、计算题（10*3=30分）（计算应包括必要的计算步骤）

1．求 lim1(nk)(k)(x0)0,k1,2,，（f(x0)表示f(x)在点x0处的k阶导数）。

1(x1)sinx4e1x1x0.xeucosv2zzzu，.2．设 zzx,y 为由方程组yesinv所确定的隐函数。求

xyxyzuvx1y2z3222dydzdzdxdxdy, 其中rx1y2z3，3．计算333SirrrS1:x1y2z31，S2:222x121y2221nz3231，积分沿曲面的外侧。

三、证明题（14*6=84分）

1．设级数an收敛于A（有限数）。证明：limn1n(an2an1(n1)a2na1)A.2．设f(x)在a,b上的不连续点都是第一类间断点。证明：f(x)在a,b上有界。

求证：存在0使得在a,b上有f(x).3．已知在a,b上，函数列fn(x)一致收敛于f(x)，函数列gn(x)一致收敛于g(x).证明：函数列maxfn(x),gn(x)一致收敛于maxf(x),g(x).4．设数列ann1为a,b中互不相同的点列，an为函数fn(x)在a,b上的唯一间断点。设fn(x):n即存在正数M使得fn(x)M对所有的n与所有1,2,在a,b上一致有界，xa,b均成立。证明：函数hxn1fnx2n在a,b内的间断点集为an:n1,2,.5．设fxn1nen（1）f(x)在0,2上连续；（2）f(x)在cosnx,x0,2，证明：

e0x2

0,2上存在且连续；（3）maxfxe12.6．（1）设F(x)在,上可导。若存在xn,yn使

limFxnlimFync,，证明存在,使得F()0.nn,yn使

（2）设f(x)，g(x)在,上可导，设存在xn,yn，xnnlimfxnB,,limfynA,

nnb,,limgyna,.limgxnn设g(x)0,x,，证明：存在,使

fgBAba.

第三篇：数学分析教案

《数学分析Ⅲ》教案编写目录（1—16周，96学时）

课时教学计划（教案21-1）

课题：§21-1二重积分的概念

一、教学目的：

1．理解二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．理解二重积分的7条性质。

二、教学重点：二重积分的概念；二重积分的存在性和性质。

三、教学难点：二重积分的定义；二重积分的存在性。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由平面图形的面积和曲顶柱体的体积引出二重积分的概念。平面图形的面积

（约40min，投影、图示与黑板讲解）

1．平面图形面积的定义；

2．平面图形可求面积的充分必要条件；

二重积分的定义及其存在性

1.2. 二重积分的定义；

二重积分存在的充分条件和必要条件。

二重积分的性质

（约25min，图示与黑板讲解）

结合二重积分的定义讲解二重积分的7条性质。

 补充例子：

（约10min，黑板讲解）

1．根据二重积分的定义计算二重积分； 2．根据二重积分的性质证明不等式。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质。

八、作业：P217习题

1，2，3，4，5，6，8。

课时教学计划（教案21-2）

课题：§21-2直角坐标系下二重积分的计算

一、教学目的：

掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：定理21.8，21.9。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

由曲顶柱体的体积引出二重积分计算的直观概念。 定理21.8，21.9的证明



X型、y型区域的讲解及其定理21.10的证明

 直角坐标系下二重积分的计算举例

教材中例1—例4。

 补充例子：

利用二重积分计算体积；

七、课程小结：

直角坐标系下二重积分的计算。

八、作业：P222习题

1，2，3，4，5，6，8。

（约5min，语言表述）

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-3）

课题：二重积分的概念与计算习题课

一、教学目的：

1．巩固二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．巩固在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

（约95min，投影、图示与黑板讲解）

1．二重积分的概念复习； 2．二重积分的性质复习。



二重积分的计算

1.2.利用二重积分的定义和限制计算二重积分和某些不等式； 在直角坐标系下计算二重积分。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

1，2。

课时教学计划（教案21-4）

课题：§21-3格林公式、曲线积分与路线的无关性

一、教学目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在计算二重积分和曲线积分的方法。3.掌握曲线积分与路线无关的条件和应用方法。

二、教学重点：格林公式的理解和方法。

三、教学难点：定理21.11，21.12。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 格林公式，定理21.11的证明



例1—例3的讲解

 曲线积分与路线的无关性，定理21.12的证明

例4的讲解。

 补充例子：

利用二重积分计算曲线积分。

七、课程小结：

格林公式与曲线积分与路径无关的概念。

八、作业：P231习题

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-5）

课题：§21-4二重积分的变量变换

一、教学目的：

1.理解二重积分的变量变换的基本思想；

2.3.掌握二重积分变量变换的方法特别是极坐标变换。掌握在极坐标系下计算二重积分的方法。

二、教学重点：二重积分的变量变换。

三、教学难点：引理和定理21.13，21.14。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的变量变换公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



引理证明，定理21.13证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  用极坐标计算二重积分，定理21.14证明

（约20min，图示与黑板讲解）二重积分在极坐标系下化为累次积分，例3，例4，例5，例6讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的变量变换，在极坐标系下计算二重积分的方法。

八、作业：P242习题

1，2，3，4，5。

课时教学计划（教案21-6）

课题：格林公式、曲线积分与路线的无关性

及积分变换习题课

一、教学目的：

1.2.巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换；

巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换的计算方法。

二、教学重点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

三、教学难点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 讲解格林公式、曲线积分与路线的无关性的计算题

（约95min，投影、图示与黑板讲解）



讲解积分变换的计算题

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P243

总练习题

7，8 6

课时教学计划（教案21-7）

课题：§21-5 三重积分

一、教学目的：

1.2.3.理解三重积分的概念；

掌握化三重积分为累次积分的方法； 掌握三重积分换元法。

二、教学重点：三重积分换元法

三、教学难点：定义和定理21.15

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 三重积分的定义

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



定理21.15证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  三重积分还原公式，柱面坐标变换，球面坐标变换（约20min，图示与黑板讲解）例3，例4，例5讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

三重积分的定义，在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算三重积分的方法。

八、作业：P251习题

1，2，3，4，5。

课时教学计划（教案21-8）

课题：§21-6 重积分的应用

一、教学目的：

1.2.3.掌握重积分在求曲面面积的应用； 了解重积分在重心的应用； 了解重积分在转动惯量的应用。

二、教学重点：重积分求曲面面积

三、教学难点：运用重积分公式求解曲面面积

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由曲面的面积引出重积分的应用。



建立曲面面积的计算公式

（约40min，图示与黑板讲解）

  例1讲解

（约35min，图示与黑板讲解）简单介绍重积分在重心、转动惯量的应用

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P259 1，2。

课时教学计划（教案21-9）

课题：§21-8 反常二重积分

一、教学目的：

掌握反常二重积分及其计算

二、教学重点：反常二重积分及其计算

三、教学难点：反常二重积分及其计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：



无界区域上的二重积分

（约10min，图示与黑板讲解）

    定理21.16，定理21.17的证明

（约40min，图示与黑板讲解）例1的讲解

（约15min，图示与黑板讲解）定理21.18，定理21.19

（约15min，图示与黑板讲解）无界函数上的二重积分及定理21.20

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P272 1，2，3。

课时教学计划（教案21-10）

课题：三重积分及重积分的应用习题课

一、教学目的：

1.巩固三重积分的概念，其中包括三重积分的定义、几何意义和存在性。2.巩固在直角坐标系下三重积分的计算方法。3.巩固化三重积分为累次积分的方法。4.巩固三重积分换元法。

二、教学重点：直角坐标系下三重积分的计算方法。

三、教学难点：三重积分换元法

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

1.三重积分的概念复习； 2.三重积分的性质复习。



三重积分的计算

1.化三重积分为累次积分；

2.在柱面坐标、球面坐标下计算三重积分； 3.计算曲面面积。

七、课程小结：

三重积分的定义；三重积分性质；三重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约80min，投影、图示与黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案22-1）

课题：§22-1第一型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第一型曲面积分的概念。第一型曲面积分的计算。

二、教学重点：第一型曲面积分计算

三、教学难点：第一型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求曲面的质量引出第一型曲面积分的概念。

 第一型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第一型曲面积分的计算

1.2.定理22.1第一型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解）例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一型曲面积分的定义；第一型曲面积分的计算。

八、作业：P282 1，2，3，4

课时教学计划（教案22-2）

课题：§22-2第二型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第二型曲面积分的概念。第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第二型曲面积分计算

三、教学难点：第二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求流量问题引出第二型曲面积分的概念。

 第二型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第二型曲面积分的计算

1.2.3.定理22.2第二型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解）例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

简单介绍两类曲面积分的联系

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第二型曲面积分的定义；第二型曲面积分的计算。

八、作业：P289 1，2 12 课时教学计划（教案22-3）

课题：第一、二型曲面积分复习课

一、教学目的：

1.2.巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念。巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第一、二型曲面积分计算

三、教学难点：第一、二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 第一、二型曲面积分的概念

（约10min，投影、图示与黑板讲解）



第一、二型曲面积分的计算

1.2.习题巩固第一、二型曲面积分计算公式

（约75min，投影、图示与黑板讲解）简单介绍两类曲面积分的联系

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一、二型曲面积分的定义；第一、二型曲面积分的计算。

八、作业：P305 1，2

课时教学计划（教案22-4）

课题：§22-3高斯公式与斯托克斯公式

一、教学目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式

1.2. 定理22.3证明

（约25min，投影、图示与黑板讲解）例1的求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

斯托克斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



斯托克说公式

1.2.3.定理22.4证明

（约15min，投影、图示与黑板讲解）例2的求解

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

定理22.5及例3

（约20min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算

八、作业：P296 1，2，3，4 14 课时教学计划（教案22-5）

课题：§22-4场论初步

一、教学目的：

1.2.了解场的概念 掌握梯度场、散度场

二、教学重点：梯度场、散度场

三、教学难点：梯度场、散度场

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 场的概念、向量场线

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



梯度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解）

例1求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

 散度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解）



例2求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

了解其他场

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P296 1，2，3，4。

课时教学计划（教案22-6）

课题：高斯公式与斯托克斯公式和场论初步复习课

一、教学目的：

1.2.巩固高斯公式与斯托克斯公式 巩固梯度场、散度场

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式与斯托克斯公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式与斯托克斯公式的计算

（约65min，投影、图示与黑板讲解）

复习场论知识

（约15min，黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算； 场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P305 3，4。

第四篇：数学分析 教案

第九章

空间解析几何

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘、点积与叉积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.教学难点：向量的概念，向量的点积与叉积的概念与计算，利用向量的点积与叉积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：14学时 教学手段：板书

学法建议：解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系，把代数方程与曲线、曲面对应起来，从而能用代数方法研究几何图形建议在本章的学习中，应注意对空间图形想象能力的培养，有些空间图形是比较难以想像和描绘的，这是学习本章的一个难点.为了今后学习多元函数重积分的需要，同学们应自觉培养这方面的能力.参考资料： 使用教材：《高等数学》（第三版），高职高专十一五规划教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主编.参考教材： 1.《高等数学》，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月，宋立温等主编.2.《高等数学》，教育部高职高专规划教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主编.3.《高等数学》，第五版.同济大学数学教研室编，高等教育出版社.4.《高等数学应用205例》，李心灿编，1986年，高等教育出版社.5.《高等数学》，宋立温等主编，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月.第一节 空间直角坐标系与向量的概念

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学难点：向量的概念.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（3分钟）

(提问)举几个既有大小又有方向的量.(温故知新,进行一些必要知识铺垫。)

二、讲授新课（72分钟）

（一）空间直角坐标系（17分钟）

在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别称为x轴、y轴和z轴，一般是把x轴和y轴放置在水平面上，z轴垂直于水平面.z轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转090指向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz.在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，简称坐标面.x轴与yz轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分别称为x坐标，y坐标，z坐标.(提问)根据点的坐标的规定，点（0,0,c）在哪条坐标轴上，点（a，b，0）(a,0,c)在哪个坐标面上？（目的在于检验学生能否正确理解点与有序数组的对应关系，并在问题中正确应用.）

（二）向量的基本概念及线性运算（15分钟）1.向量的基本概念

（此部分内容在高中阶段已学，故可由教师引导，师生共同回忆完成）⑴向量的定义：既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．

⑵向量的模：向量的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.2.向量的线性运算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法则 若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向量，记为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②平行四边形法则 将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：ab=ba； 结合律：（ab）+c=a+（b+c）.⑵ 向量与数的乘法运算

实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定：

①a a；

②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反； ③当0时，a是零向量.设,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：

结合律：(a)()a(a)；

分配律：()aaa , (a+b)=a+b.向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶ 求与a同向的单位向量的方法 设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量

eaa.a ⑷ 负向量 当1时，记(-1)a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量.⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a-b=a +(-1)b.向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量.（三）向量的坐标表示（40分钟）

1、向径及其坐标表示

⑴ 基本单位向量 i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量.⑵ 向径及其坐标表示

向径 终点为P的向量OP称为点P的向径,记为OP.点P(a1,a2,a3)的向径OP的坐标表达式为OP=a1ia2ja3k或简记为 OP={a1,a2,a3}.讲解例1（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向径的坐标表示.）

2、向量M1M2的坐标表示

设以M1(x1,y1,z1)为起点,以M2(x2,y2,z2)为终点的向量M1M2的坐标表达式为 M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k.讲解例2（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向量M1M2的坐标表示.）

3、向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4、空间两点间距离公式

222点M1(x1,y1,z1)与点M2(x2,y2,z2)间的距离记为d(M1M2),则d(M1M2)M1M2, 而M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k 所以d(M1M2)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

讲解例

3、例4（学生讲解，考察学生对所学知识进行运用的情况）5.坐标表示下的向量运算

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则有（1）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k；（2）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k；（3）a(a1ia2ja3k)a1ia2ja3k；（4）aba1b1,a2b2,a3b3（5）a∥ba=ba1a2a3.b1b2b3引导学生看书、探究证明方法.由老师分析归纳证明思路，指出定理的作用与用法.讲解例5（师生共同完成，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

三、课堂练习（9分钟）教材169页1—5题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度。旨在训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳）

（一）空间直角坐标系

（二）向量的基本概念及线性运算 1.向量的基本概念 2.向量的线性运算

（三）向量的坐标表示 1.向径及其坐标表示 2.向量M1M2的坐标表示

3.向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4.空间两点间距离公式 5.坐标表示下的向量运算

五、布置作业(2分钟)1.教材169页2、4、6题

2.预习第二节向量的点积与叉积

222第二节 向量的点积与叉积

教学目标：熟练掌握用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学重点：向量点积与叉积的概念.教学难点：用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（5分钟）

(提问)1.向径及其坐标表示2.向量M1M2的坐标表示3.向量aa1ia2ja3k的模

222a2a34.空间两点间距离公式 a=a1(温故知新,为用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算做一些必要的知识铺垫。)

二、讲授新课（64分钟）

（一）向量的点积（34分钟）

1、引例

已知力F与x轴正向夹角为，其大小为F,在力F的作用下，一质点M沿x轴由x=a移动到x=b,求力F所做的功？（创设学习的情景，激发学生学习数学的兴趣）

分析：在力F使质点M沿x轴由x=a移动到x=b,所做的功等于F的模与位移的模及其夹角余弦的积.解略.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的点积的定义.2、定义 设向量a,b之间的夹角为(0π)，则称abcos为向量a与b的数 量积，记作a·b，即 a·b=abcos.向量的点积又称“点积”或“内积”.讲解例1.（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确理解向量的点积的定义.）

向量的点积还满足下列运算律: 交换律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

结合律：(a·b)=(a)·b(其中为常数).3、点积的坐标表示

（1）设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则a·b=a1b1a2b2a3b3.（由学生自行得出点积的坐标表示公式，进一步加深对向量点积的定义的理解）（2）定理1：a⊥bab0a1b1a2b2a3b30

讲解例2.（学生讲解，考察学生对两向量正交充分必要条件的理解与应用能力）

4、向量a与b的夹角余弦

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则 cosa1b1a2b2a3b3ab =(0π).222222aba1a2a3b1b2b35、向量的方向余弦

设 向 量 aa1ia2ja3k与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为

,,(0,,π),称其为向量a的三个方向角，并称cos ,cos,cos为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为

cos且cos2cos2a1aaa212223, cosa2aaa212223, cosa3aaa212223，cos21.讲解例4（（师生共同完成.利用数学建模解决物理问题，让学生熟悉建模过程，规范解题步骤.数学来源于生活、服务生活，培养学生学数学、用数学的意识.）

（二）向量的叉积（30分钟）1.引例

设点O为一杠杆的支点，力F作用于杠杆上点P处，求力F对支点O的力矩.分析：力F对支点O的力矩等于F的模与向量OP的模及其夹角正弦的积.解略.（这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的叉积的定义.）

2.叉积的定义

(1)定义 两个向量a与b的叉积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别规定如下：

①a×b=absin 其中是向量a与b的夹角；

②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，并且按顺序a,b,a×b符合右手法则.（2）向量的叉积满足如下运算律.反交换律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

结合律：(a×b)=(a)×b=a×(b)(其中为常数).讲解例5（学生讲解，考察学生对向量叉积定义的理解与应用能力）（3）定理2：a∥bab0.3.叉积的坐标表示

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则

a×b=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j(a1b2a2b1)k.可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3

讲解例6（师生共同完成，加深学生对叉积的坐标表示公式的记忆，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

讲解例8(师生共同完成，训练学生解决实际问题的能力)

三、课堂练习（15分钟）

教材174页思考题1—3题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度.）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳，训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用.）

（一）向量的点积定义、坐标表示；

（二）向量的叉积定义、坐标表示及记忆方法.五、布置作业(2分钟)1.教材174页2、4、6、8题 2.预习第三节平面与直线

第五篇：《数学分析》教案

《数学分析》教案

S F 01(数)

C h0 数学分析课程简介

C h 1 实数集与函数

计划课时： Ch 0

2时

Ch 1

6时

P 1—8

说 明：

1．这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案.该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了8 0 学时）.按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容.本教案共2 7 9页，分2 1章.2.取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

数学分析课程简介(2 时)一.数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.2.极限(limit)—— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别..二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.三.数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的8000), 后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一.一般懂得了证明后，能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业.在学习中, 要养成多想问题的习惯.四.课堂讲授方法:

1.关于教材: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.五.要求、辅导及考试：

1.学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3(国外这个比例通常是 1 : 4.参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版:

本科节段如何培养高素质创新人材 ——

伯利克大学的启示.注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富:

要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:

作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容.大体上每两周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业, 最好用西北师大稿纸.要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm.作业布置方式: [1]P…, [4]P…

3.辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.考试题为标准化试题.Ch 1 实数集与函数(6时)

§ 1

实数集与确界（3时）

一．

实数集R：回顾中学中关于实数集的定义.1.四则运算封闭性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: a,bR, ba0, nN,  nab.4.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.5.实数集的几何表示 ─── 数轴: 6.两实数相等的充要条件: ab,  0, ab  .7.区间和邻域:

二.几个重要不等式:

1.绝对值不等式: 定义 a maxa , a .[1]P2 的六个不等式.2.其他不等式:

⑴ a2b22ab, sinx  1.sinx  x.⑵

均值不等式: 对aa1,a2,,nR, 记

M(aa1a2anni) n 1nai,(算术平均值)

i11n

G(ai)na1a2annai,(几何平均值)i1

H(ai)n11nnna11111.(调和平均值)1a2anni1aii1ai有平均值不等式:

H(ai) G(ai) M(ai),等号当且仅当a1a2an时成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)x1,有不等式(1x)n1nx, nN.当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式(1x)n1nx.(现采用《数学教学研究》1991.№ 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明)证 由 1x0且1x0, (1x)nn1(1x)n111 n n(1x)nn(1x).(1x)n1nx.⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式(1h)n1nhn(n1)2!h2n(n1)(n2)3!hh，3n 有(1h)n上式右端任何一项.三.有界数集与确界原理: 1.有界数集:

定义(上、下有界, 有界)，闭区间、(a,b)(a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 Ey ysinx, x( , )也是有界数集.无界数集: 定义,( , ),( , 0),(0 , )等都是无界数集，1, x(0 , 1)也是无界数集.x集合 Ey y2.确界: 给出直观和刻画两种定义.n(1)

例

1⑴

S1n,则supS______, infS_______.

⑵ Ey ysinx, x(0,).则

supE________, infE_________.例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S和A是非空数集，且有SA.则有 supSsupA, infSinfA..例4 设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy, 则有

supAinfB.证 yB, y是A的上界,  supAy. supA是B的下界,  supAinfB.例5 A和B为非空数集, SAB.试证明: infSmin infA , infB .证

xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

xinfA或xinfB. xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的下界,  infSmin infA , infB .又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA;同理有infSinfB.于是有 infSmin infA , infB .综上, 有 infSmin infA , infB .3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系: 设 E为数集.⑴

E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵

非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxEsupE.对下确界有类似的结论.四.确界原理:

Th(确界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函数(3时)

一.函数:

1.函数:

[1]P10—12的五点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法:

4.反函数:

一 一 对应, 反函数存在定理.5.函数的代数运算:

1x, x1,f(x)2, x1，2x, x1

二.分段函数: 以函数介绍概念.2x, x1,和g(x)2为例

x, x1例1 f(x)32x1, 去掉绝对值符号.x  1,x, 1x, x 1.例

2f(x)

求 f(0), f(1), f(2).例

3设 f(x)x3, x10,ff(x5), x10.求 f(5).(答案为8)

三.函数的复合:

例4 yf(u)定义域.例

5⑴

f(1x)xx1, f(x)_____________.112x2.则f(x)()xx222u, u g(x)1x.求

2fg(x)fg(x).并求

⑵

fx2

A.x, B.x1, C.x2, D.x2.[4]P407 E62.2四.初等函数:

1.基本初等函数:

2.初等函数: 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则

⑴ f(x)是初等函数, 因为 f(x)f(x)2.⑵ (x)maxf(x), g(x) 和 (x)minf(x), g(x)都是初等函数, 因为 (x)maxf(x), g(x) (x)minf(x), g(x)  ⑶ 幂指函数 f(x) f(x)g(x)1212f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) , f(x)g(x).g(x)f(x)0是初等函数,因为

g(x)elnf(x)eg(x)lnf(x).五.有界函数: 有界函数概念.例6

验证函数 f(x)225x2x32在R内有界.2解法一 由2x3(2x)(3)25x2x322x326x, 当x0时,有

f(x)5x2x325x26x5263.f(0)03，

对 xR, 总有 f(x)3, 即f(x)在R内有界.解法二

令 y5x2x32,  关于x的二次方程 2yx225x3y0有实数根.22

 524y0,  y25244,  y2.解法三

令 xtgt, t,对应x( , ).于是 2223f(x)5x2x3252332tgt2533tgt2tgt322tgt15sint126costsect

 526sin2t,  f(x)526sin2t526.关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.