人教版高三(理)第一轮复习函数-函数的奇偶性 教案

第一篇：人教版高三(理)第一轮复习函数-函数的奇偶性 教案

让更多的孩子得到更好的教育

函数的奇偶性

一．知识点

1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为偶函数。

设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性。

2.性质：

①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和

11f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]

22⑥奇±奇=奇

偶±偶=偶

奇×奇=偶

偶×偶=偶

奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称] ⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

⑧奇函数在定义域内若有零：则f（0）=0 3．奇偶性的判断

1.定义①看定义域是否关于原点对称，②看f(x)与f(-x)的关系。2.看图形的对称性。二．应用举例 关于从定义出发 例1．（或书例2）判断下列函数的奇偶性、①f(x)(x1)1x

非奇非偶函数 1x

偶函数 ②f(x)lg(1x2)x222x2x(x0)③f(x)

奇函数 2xx(x0)④f(x)3x2x23

既是奇函数又是偶函数

地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687

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⑤f(x)x2xa2

a=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数

例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=1

②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)

∴f(-y)=f(y)

∴y=f(x)是偶函数

变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0)

∴f(0)=0 令x1=x

x2=-x则f(0)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)∴y=f(x)是奇函数 关于数形结合和性质

2例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x+2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

x22x1(x0)(x0)答案：①可确定，f(x)0x22x1(x0)②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。变式一：书例1

a2xa2变式二：已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。x212x2分析：用f(-x)=-f(x)(x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，f(x)x再验

21证

综合提高与应用。P17书例3 练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在[0,)上为减函数，若f(a2a2)f(2a1)，求实数a的取值范围。

简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在[0,)上为减函数，∴由f(a2a2)f(2a1)有：

a2a20解得a≤-1或a≥2.aa2f(2a1)

22aa2(2a1)2三．小结

１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； ２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)11[f(x)f(x)][f(x)f(x)] 22地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687

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５．函数奇偶性的判断与应用。四．作业 优化设计

备例1．已知g(x)是奇函数，f(x)log2(x1x)g(x)2且f(3)5，求f(3)

2x18f(x)log2(x21x)g(x)2x简解： 相加得：f(x)2x2xf(x)

2xf(x)log2(x1x)g(x)2f(3)2323f(3)3

备例2．f(x)是定义在(,10][10,)上的奇函数，且f(x)在[10,)上的的单调递减

①判断f(x)在(,10]上的单调性，并用定义证明，②若a>0且a≠1，有f[(ax1)2ax]f(a2x6ax10)0，求x的取值范围。解答见书

备例3：书P17例4

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第二篇：高三第一轮复习数学教案---函数的奇偶性

高三 ①f(x)(x1)1x

非奇非偶函数 1x

偶函数 ②f(x)lg(1x2)x222x2x(x0)③f(x)

奇函数 2xx(x0)④f(x)3x2x2既是奇函数又是偶函数

⑤f(x)x2xaa=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数 ⑥f(x)x2x2

例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)

∴f(-y)=f(y)

∴y=f(x)是偶函数

变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0)

∴f(0)=0 令x1=x

x2=-x则f(0)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)∴y=f(x)是奇函数

2例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x+2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

x22x1(x0)(x0)答案：①可确定，f(x)0x22x1(x0)②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。

2a2xa2变式：已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。x212x2分析：用f(-x)=-f(x)(x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，f(x)x

21例4．已知g(x)是奇函数，f(x)log2(x1x)g(x)2且f(3)5，求f(3)

2x18f(x)log2(x21x)g(x)2xxx简解： 相加得：f(x)22f(x)

2xf(x)log2(x1x)g(x)2f(3)2323f(3)3

例5．已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在[0,)上为减函数，若f(a2a2)f(2a1)，求实数a的取值范围。

简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在[0,)上为减函数，∴由f(a2a2)f(2a1)有：

a2a20解得a≤-1或a≥2.aa2f(2a1)

22aa2(2a1)2例6．设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR．

（1）讨论f(x)的奇偶性；

（2）求 f(x)的最小值．

解：（1）当a0时，f(x)(x2)|x|1f(x)，此时f(x)为偶函数；

当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，∴f(a)f(a),f(a)f(a), 此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

22（2）①当xa时，函数f(x)xxa1(x)a123，41，则函数f(x)在(,a]上单调递减，∴函数f(x)在(,a]上的最小值为2f(a)a21；

1131若a，函数f(x)在(,a]上的最小值为f()a，且f()f(a)．

22421232②当xa时，函数f(x)xxa1(x)a，241131若a，则函数f(x)在[a,)上的最小值为f()a，且f()f(a)；

22421若a，则函数f(x)在[a,)上单调递增，∴函数f(x)在[a,)上的最小值2f(a)a21．

1311综上，当a时，函数f(x)的最小值是a，当a时，函数f(x)的最小值22242是a1，13当a，函数f(x)的最小值是a．

24若a

（四）巩固练习：

1、以下五个函数：（1）y14x(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x； x（5）ylog2(xx21)，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________ 变题：已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性如何？

2、函数yaxbxc是偶函数的充要条件是___________ 7533、已知f(x)axbxcxdx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7，则2f(7)_______

4、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于（）

（A）x轴对称

（B）y轴对称

（C）原点对称

（D）以上均不对

5、函数F(x)(12)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（）2x1（A）是奇函数

（B）是偶函数

（C）可能是奇函数也可能是偶函数

（D）不是奇函数也不是偶函数

答案：

1、（1）（5）；（2）；（3）（4）变题：奇函数

2、b0 3、17

4、B

5、A

四、小结：

１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； ２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)５．函数奇偶性的判断与应用。

11[f(x)f(x)][f(x)f(x)] 2

2五、作业：

第三篇：高三第一轮复习《函数》测试题

高三第一轮复习《函数》测试题

一、选择题(共50分)：

1．已知函数yf(x1)的图象过点（3，2），则函数f(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点

A.（2，-2）B.（2，2）C.（-4，2）D.（4，-2）

2．如果奇函数fx在区间a,bba0上是增函数，且最小值为m，那么fx在区间b,a上是

A.增函数且最小值为mB.增函数且最大值为mC.减函数且最小值为mD.减函数且最大值为m

3.与函数y0.1lg2x1的图象相同的函数解析式是

A．y2x1(x11111)B．y(x)D．yC．y 22x12x122x1

4．对一切实数x，不等式x2a|x|1≥0恒成立，则实数a的取值范围是

A．(，－2］ B．［－2，2］ C．［－2，)D．［0，)

5．已知函数yf(2x1)是定义在R上的奇函数，函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线yx对称，则g(x)g(x)的值为

A．2 B．0C．1 D．不能确定

6．把函数yf(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，所得的图像为C,C关于x轴对称的图像为y2x的图像，则yf(x)的函数表达式为

A.y2x2B.y2x2 C.y2x2D.ylog2(x2)

7.当0ab1时，下列不等式中正确的是 A.(1a)(1a)B.(1a)(1b)C.(1a)(1a)1

bbabbb2D.(1a)a(1b)b

8．当x0,2时，函数f(x)ax24(a1)x3在x2时取得最大值，则a的取值范围是A.[,)B.0,C.1,D.[,)2312

(3a1)x4a,x19．已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值范围是 logx,x1a

1111A.(0,1)B.(0,)C.[,1)D.[,)3773

10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴。洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 A．3人洗浴B．4人洗浴 C．5人洗浴D．6人洗浴

二、填空题(共25分)

11．已知偶函数fx在0,2内单调递减，若af1,bf(log0.5的大小关系为。

12.函数ylogax在[2,)上恒有y1，则a的取值范围是

13.若函数y1),cflg0.5，则a,b,c之间4ax14a的图象关于直线yx对称，则a=。4x55

2a3，则a的取值范围是。a114．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1,f(2)

第四篇：函数奇偶性教案

函数的奇偶性

授课教师——李振明

授课班级——高一（8）

教学目的：

1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；

2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点和难点： 函数奇偶性的判断

一、引入新课： 题1：已知函数f(x)=3x 画出图形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

题2：已知函数g(x)= 2x2画出图形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

考察：f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)之间的关系是什么？

二、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，任

意一个x.①如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

三、例：判断下列函数的奇偶性

① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:

1、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。

２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

四、巩固练习

（1）如果对于函数f(x)的(任意一个X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数。

如果对于函数f(x)的（任意一个X），都有（f(-x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）奇函数的图象关于（关于原点）对称，偶函数的图象关于（y轴对称）对称。

（3）已知函数y = f(x)是奇函数，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函数中，偶函数是（B）

（5）函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

四、小结

1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。

①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

2、性质:奇函数的图象关于原点对称。

偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数。

五、课后思考题

已知函数f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，则当m、n为何值时，为奇函数

f(x)

第五篇：函数奇偶性教案

函数的奇偶性

廖登玲

一、教学目标：

1、知识与技能 ：

理解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；

2、过程与方法：

通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶

性概念解决简单的问题，领会数形结合的数学思想方法；培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．

二、教学重难点：

教学重点：函数奇偶性概念及其判断方法。

教学难点：对函数奇偶性的概念的理解及如何判定函数奇偶性。

三、教学方法：

通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．在鼓励学生主体参与的同时，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面过程

四、教学过程：

1、创设情境，引入课题：

让学生自己列举出生活中对称的实例，师：我们知道，“对称”是大自然的一种美，在我们的生活中，有许多的对称美：如美丽的蝴蝶、古建筑等等。这种对称美在数学中也有大量的反应，这节课我们就来一起发现数学中的对称美。

2、观察归纳，形成概念：

（1）请同学们利用描点法做出函数f(x)=x/3 与函数g(x)=x^3 的图像，观察这两个函数图像具有怎样的对称性并思考和讨论以下的问题？

①这两个函数的图像有什么共同的特征？②从图像看函数的定义域有什么特点？ 生：函数y=x/3的图像是定义域为R的直线，函数y=x^3的图像是定义域为R的曲线，它们都关于原点对称，且当x属于函数定义域时，它的相反数-x也在定义域内。

（2）让学生注意到x=-

3、-

2、-1、0、1、2、3 时两个函数的函数值，可以发现两个函数的对称性反应到函数上具有的特性:关于原点对称，进而提出在定义域内是否对所有的x，都有类似的情况？借助课件演示，让学生通过运算发现函数的对称性实质：当自变量互为相反数时，函数值互为相反数。然后通过解析式给出简单证明：f(-x)=(-x)/3=-(x/3)=-f(x);g(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-g(x)，进一步说明这个特性对定义域内的任意一个x都成立。

(3)师：具有此种特征的函数还有很多，我们能不能用数学语言对这类函数的特征进行描述？

（板书）：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(x)=-f(-x)，那么函数叫做奇函数。

3、设疑答问，深化概念

教师设计下列问题并组织学生讨论思考回答：

问题1：奇函数定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？

答：在奇函数的定义中“如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x”这句话它表示函数奇偶性针对的是函数的整个定义域，它表示函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性

质，它不同于单调性，单调性它针对的是定义域中的某个区间，是一个局部性质。问题2：-x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？

答：二者在几何上关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的首要条件。

问题3：（1）对于任意一个奇函数f(x)，图像上的点f(x)关于原点的对称点f(-x)的坐标是什么？点(-x,-f(x))是否也在函数f(x)的图像上？由此可得到怎样的结论？（2）如果一个函数是奇函数，定义域中的x可以等于0.那么f(0)的值等于多少？

引导学生通过回答问题3把奇函数图像的性质总结出来，即：①函数f(x)是奇函数,则其图像关于原点对称，②对于奇函数f(x)，若f(0)有定义，则f(0)=0.然后教师利用多媒体演示两幅关于y轴对称的函数图像，让学生仿照奇函数，观察图像，给出偶函数的定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)，那么函数叫做偶函数。并让学生自己研究一下偶函数图像的性质，即函数f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称。

4、知识应用，巩固提高 例

1、判断下列函数的奇偶性:

（1）f(x)=1/x（奇函数）

(2)f(x)=-(x^2)+1(偶函数)

（3）f(x)=x+1（非奇非偶）

(4)f(x)=0（既奇又偶）

选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤:对于函数f(x)=1/x，其定义域为(-∞，+∞）.因为对定义域内的每一个x，有-x∈(-∞，+∞），且f(-x)=-1/x=-f(x),(f(x)+f(-x)=0), 所以，函数为奇函数。

其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好总结归纳。（1）通过例1总结判断函数奇偶性的步骤：

①求出函数的定义域I,并判断若x∈I,是否有-x∈I

②验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)（f(x)-f(-x)=0 或f(x)+f(-x)=0）③得出结论

（2）通过讲解板演同学的解题，得出函数奇偶性的相关性质：

① 对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数，是偶函数但不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。

②存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)=0

五、总结反思：

从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结，让学生谈本节课的收获，并进行反思。从而关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获。

六、任务后延，兴趣研究：

1、思考：如果改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？如：y = x3(x≠0)，y = x3(x≠1)，y = x3(x≥0)，y=x3(－1≤x≤1)，试判断它们是奇函数吗？

2、课后作业（略）