第九章多元函数微分法及其应用教案（精选五篇）

第一篇：第九章多元函数微分法及其应用教案

多元函数微分法及其应用

第九章

多元函数微分法及其应用

【教学目标与要求】

1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

【教学重点】

1、二元函数的极限与连续性；

2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算；

4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

【教学难点】

1、二元函数的极限与连续性的概念；

2、全微分形式的不变性；

3、复合函数偏导数的求法；

4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。

【教学课时分配】(18学时)第1 次课

§１

第2 次课

§2

第3 次课

§3 第4 次课

§4

第5次课

§5

第6次课

§6 第7次课

§7

第8次课

§8

第9次课

习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

多元函数微分法及其应用

§9 1 多元函数的基本概念

一、平面点集n维空间

1．区域

由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

二元的序实数组(x y)的全体 即R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面

坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作

E{(x y)|(x y)具有性质P}

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C{(x y)| x2y2r2}

如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r}

邻域

设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P(x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U(P0  即

2U(P0,){(x, y)|(xx0)(yy0) }

0,){P| |PP0|}或U(P邻域的几何意义

U(P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P(x y)的全体 

点P0的去心邻域 记作U(P0, ) 即

U(P0, ){P| 0|P0P|}

注 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作U(P0)

点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

(1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点

(2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点

(3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E

E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 

聚点

如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点



多元函数微分法及其应用



由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 

例如 设平面点集

E{(x y)|1x2y22}

满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点 满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集

闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集

开集的例子 E{(x y)|1

闭集的例子 E{(x y)|1x2y22}

集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集

连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22}

闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22}

有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得

EU(O r)

其中O是坐标原点 则称E为有界点集

无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集

例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域

集合{(x y)| xy1}是无界闭区域

2 n维空间

设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即

RnRRR{(x1 x2     xn)| xiR i1 2  n}

Rn中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的xi(i1 2  n)都为零时 称这样的元素为Rn中的零元 记为0或O  在解析几何中 通过直角坐标 R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而Rn中的元素x(x1 x2     xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 特别地 Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量

二 多元函数概念

例１圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系

V r2h这里 当r、h在集合{(r  h)| r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V对应的值就随之确定

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

pRTV其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T)| V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之

多元函数微分法及其应用

确定

定义

1设D是R2的一个非空子集 称映射f  DR为定义在D上的二元函数 通常记为

zf(x y)(x y)D(或zf(P) PD)其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量

上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y)

值域 f(D){z| zf(x y)(x y)D}

函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等

类似地可定义三元函数uf(x y z)(x y z)D以及三元以上的函数

一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为

uf(x1 x2     xn)(x1 x2     xn)D

或简记为

uf(x) x(x1 x2     xn)D

也可记为

uf(P) P(x1 x2     xn)D 

关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如

函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域)

函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y)(x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面

三 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值f(x y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限

定义2 ：设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有

|f(P)A||f(x y)A|

成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x y)A((x y)(x0 y0))

PP0也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)

上述定义的极限也称为二重极限

例4.设f(x,y)(x2y2)sin

证

因为

1 求证limf(x,y)0

(x,y)(0,0)x2y多元函数微分法及其应用

|f(x,y)0||(x2y2)sin可见 >0 取10| |x2y2||sin1| x2y2

x2y2x2y222 则当0(x0)(y0) 即P(x,y)DU(O,)时 总有

|f(x y)0|

因此

必须注意(x,y)(0,0)limf(x,y)0



(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在

讨论

xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(0 0)有无极限？ 220 xy0

提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时

(x,y)(0,0)limf(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时

(x,y)(0,0)limf(x,y)limf(0, y)lim00

y0y0当点P(x y)沿直线ykx有

2xykxk limlim

(x,y)(0,0)x2y2x0x2k2x21k2 ykx因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限

极限概念的推广 多元函数的极限

多元函数的极限运算法则

与一元函数的情况类似

例5 求sin(xy)

x(x,y)(0,2)lim 解 sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimy122

xxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim

四 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D  如果

多元函数微分法及其应用

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0)

则称函数f(x y)在点P0(x0 y0)连续

如果函数f(x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x y)在D上连续 或者称f(x y)是D上的连续函数

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去

例6设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数

证设P0(x0 y0) R2 0 由于sin x在x0处连续 故0 当|xx0|时 有

|sin xsin x0|

以上述作P0的邻域U(P0 ) 则当P(x y)U(P0 )时 显然

|f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0|

即f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的

定义4设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)不连续 则称P0(x0 y0)为函数f(x y)的间断点

例如

xy x2y20 函数f(x,y)x2y2

x2y200 其定义域DR2 O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函数的一个间断点

又如 函数zsin1 其定义域为D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x y)|x2y21}上的点2xy12都是D的聚点 而f(x y)在C上没有定义 当然f(x y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点

注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数

多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的

xx2y2x2y2z2e

例如 sin(xy) 都是多元初等函数

1y

2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

多元函数微分法及其应用

例7 求 xy (x,y)(1,2)xylim

一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则f(P)在点P0PP0处连续 于是

limf(P)f(P0)

PP0 例8 求(x,y)(0, 0)limxy11

五、多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值

性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P 2D 使得

f(P1)max{f(P)|PD}

f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

小结

1.区域的概念； 2.多元函数的定义；

3.多元函数的极限及其求解； 4.多元函数的连续性。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意区域的定义和多元函数的定义，多元函数的极限和连续性的理解是本节的重点，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

课后习题：7，8，9 讲课提纲、板书设计作业 P63: 5（2）（4）（6），6（2）（3）（5）（6）

§9 2

偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数

多元函数微分法及其应用

这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

x0limf(x0x,y0)f(x0,y0)

x存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

fzxx0 xx zxyy0xyy00x例如

xx0yy0 或fx(x0,y0)

fx(x0,y0)limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)

x类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

y0limf(x0,y0y)f(x0,y0)

y记作 fz x0yxyyy0xx0

yy0zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数

如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

z f z 或f(x,y)

xxxxf(xx,y)f(x,y)偏导函数的定义式 fx(x,y)lim

xx0

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zf  zy  或fy(x,y)

yyy0偏导函数的定义式 fy(x,y)limf(x,yy)f(x,y)

y

讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0

多元函数微分法及其应用

fx(x0,y0)[df(x,y)]df(x,y)]f(x,y)[ y000yy0

0xx0dydx

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数

例2 求zx2sin 2y的偏导数

例3 设zxy(x0,x1) 求证

xz1z2z

yxlnxy 例4 求rx2y2z2的偏导数

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 求证 pVT1

VTpRT pRT VV2VRTVR

V 

pTppVTV

T pRR 证因为p所以pVTRVRT1

RTVTppVV2pR

例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商

二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率

fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy x2y20

f(x,y)x2y2

x2y200 在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续

多元函数微分法及其应用

提示

f(x, 0)0 f(0, y)0

fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 f(0, 0)d[f(0, y)]0

ydydxf(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

(x,y)(0,0)lim

当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

2xykxk limlim

(x,y)(0,0)x2y2x0x2k2x21k2 ykx因此(x,y)(0,0)limf(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zf  zy  或fy(x,y)

yyy0偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

二

高阶偏导数

f(x,yy)f(x,y)

y

设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zf(x,y) zf(x,y)

yyxx那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数

(z)2zf(x,y)(z)2zf(x,y) 

xxx2xxyxxyxy22zzz()fyx(x,y)()zfyy(x,y)

xyyxyyy2

多元函数微分法及其应用

22zzz()fxy(x,y)()zfyx(x,y)称为混合偏导数 其中yxxyxyyx22(z)2z(z)2zzzzz



()  ()xxx2yxxyxyyxyyy2 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

222z3zzz

例6 设zxy3xyxy1 求2、3、和

yxxyxx323由例6观察到的问题 2z2z

yxxy22zz在区域D内连续 那么在该区

定理如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及

yxxy域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

例7 验证函数zlnx2y2满足方程

2z2z0

x2y2 证因为zlnx2y2ln(x2y2) 所以

12zx zy

xx2y2yx2y22(x2y2)x2xy2x2z

222

2222x(xy)(xy)2(x2y2)y2yx2y2z

222

y2(x2y2)2(xy)22x2y2y2x2zz因此 2222220

22xy(xy)(xy)222uuu1 例8．证明函数u满足方程2220

rxyz

多元函数微分法及其应用

其中rx2y2z2

u1r1xx

xr2xr2rr32u13xr13x

234x35xrrrr 证

23y22u13z2u1同理



35 2zr3r5y2rr22223y2uuu13x113z2因此222(35)(35)(35)

xyzrrrrrr3(x2y2z2)333r20

3 535rrrrr3x(r3)r3x3r2r2u(x)xx

提示

x2xr3r6r6

小结

1.偏导数的概念及有关结论：定义，记号，几何意义，偏导数的存在与连续性； 2.偏导数的计算方法：求导的先后顺序。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意偏导数的定义以及偏导数的求法，特别是求导先后顺序问题是本节的重点，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.设zf(u)，方程u(u)xyp(t)dt确定u是x,y的函数，其中f(u),(u)可微，zzp(x)。xyp(t),(u)连续，且(u)1，求p(y)2.课后习题：5，6 讲课提纲、板书设计

作业 P69: 1（4）（6）（8）,4，6（3），8

多元函数微分法及其应用

§9 3全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系有

偏增量与偏微分

f(xx y)f(x y)fx(x y)x

f(xx y)f(x y)为函数对x的偏增量 f x(x y)x为函数对x的偏微分

f(x yy)f(x y)fy(x y)y

f(x yy)f(x y)为函数)对y的偏增量 f y(x y)y为函数对y的偏微分

全增量

z f(xx yy)f(x y)

计算全增量比较复杂

我们希望用x、y的线性函数来近似代替之

定义

如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量

z f(xx yy)f(x y)可表示为

zAxByo()((x)2(y)2)

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y 有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分 而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即

dzAxBy

如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分

可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续

这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则

z f(xx yy)f(x y)AxByo()

多元函数微分法及其应用

于是 limz0

0从而

(x,y)(0,0)limf(xx,yy)lim[f(x,y)z]f(x,y)

0因此函数zf(x y)在点(x y)处连续

定理1(必要条件)

如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数y)在点(x y)的全微分为

dzz、z必定存在 且函数zf(x xyzxzy

xy

证设函数zf(x y)在点P(x y)可微分 于是 对于点P的某个邻域内的任意一点P (xx yy) 有zAxByo() 特别当y0时有

f(xx y)f(x y)Axo(|x|)

上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

f(xx,y)f(x,y)A

xx0z存在 且zA同理可证偏导数z存在 且zB 所以从而偏导数

yyxxzzy

dzxxy

lim

简要证明设函数zf(x y)在点(x y)可微分 于是有zAxByo() 特别当y0时有

f(xx y)f(x y)Axo(|x|)

上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

f(xx,y)f(x,y)o(|x|)lim[A]A

xxx0x0z存在 且zA同理z存在 且zB 所以dzzxzy

从而

yxyyxxz、z存在是可微分的必要条件 但不是充分条件 偏导数xy

lim

例如xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(00)处虽然有f x(0 0)0及f y(0 0)0但函数在0 x2y20(00)不可微分即z[fx(0 0)xfy(0 0)y]不是较高阶的无穷小 这是因为当(x y)沿直线yx趋于(0 0)时

多元函数微分法及其应用

z[fx(0, 0)xfy(0, 0)y]xy2xx210 22(x)(y)(x)(x)2 定理2(充分条件)

如果函数zf(x y)的偏导数z、z在点(x y)连续 则函数在该点可微分

xy

定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数

按着习惯x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分则函数zf(x y)的全微分可写作

dzzdxzdy

xy

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理

叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf(x y z)的全微分为

duudxudyudz

xyz

例1 计算函数zx2y y2的全微分

例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分

例3 计算函数uxsinyyze的全微分

2小结

1.全微分的定义；

2.可微、可导、连续性之间的关系。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意全微分的定义，可微、可导、连续性之间的关系是本节的重点，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.函数zf(x,y)在(x0,y0)可微的充分条件是（）

(A)f(x,y)在(x0,y0)连续;

(B)fx(x,y),fy(x,y)在(x0,在y0()x0,y0)的某领域内存在；(C)zfx(x,y)xfy(x,y)y

当(x)2(y)20时是无穷小量；

时是无穷小量(D)zfx(x,y)xfy(x,y)y(x)(y)22

当(x)2(y)20

多元函数微分法及其应用

2.课后习题：5 讲课提纲、板书设计作业 P75: 1（1）（3），3

§9 4 多元复合函数的求导法则

dz？

dtz和z？

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求

xy

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

du代入上式得 dudt dvdvdt

dtdtzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdtdzzduzdv

从而

dtudtvdt

dz

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdtzduzdv)t(zz)o(t)o()

(udtvdtuv

z

多元函数微分法及其应用

zzduzdv(zz)o(t)o()

tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv

dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20

tdtdtt0tt0推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

上述dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdtdz称为全导数

dt2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv xuxvxyuyvyzzuzvzw zzuzvzw

xuxvxwxyuyvywy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

讨论

z？z？

yxzzu zzuzdv

提示

xuxyuyvdyz？z？

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则

yxzfuf zfuf

提示

xuxxyuyyz与f是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的偏导数 f这里xxxxzf是把f(u x y)中的u及y看作不变而对x的偏导数 与也朋类似的区别

yy

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在

多元函数微分法及其应用

且有

zzu zzuzdv xuxyuyvdyz和z 例1 设zeusin v uxy vxy 求

xy

2例2 设uf(x,y,z)exy2z2 而zx2siny 求

u和u

xy

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数

dz

dt2ww

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及 xxz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

22uuuu22(1)()()

(2)22

xyxy解由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctany x应用复合函数求导法则 得

uuuuxuyucosuysin

xxx2uuuuyuxusinucos

yyy2

两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)21(u)2

xy2再求二阶偏导数 得

2u(u)(u) x2xxxx(ucosusin)cos (ucosusin)sin

 



多元函数微分法及其应用

2ucos222usincos2usin2

2222u2sincosusin

2同理可得

22222uuusincosucos2

sin22y2222u2sincosucos

2两式相加 得

2222uuu11222u

2xy221u()u]

2[2全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zdxzdy

xyzuzv)dx(zuzv)dy

（uxvxuyvyz(udxudy)z(vdxvdy)



uxyvxy

dz

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

多元函数微分法及其应用

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

小结

1.复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”； 2.全微分形式不变性。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”，全微分形式不变性，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

作业 P82: 2，4，6，9，10

§9 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

Fdyx

dxFy

求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式F(x f(x))0

多元函数微分法及其应用

等式两边对x求导得

FFdy0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得

Fdyx

dxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

Fdydyxx 0

dxFyydxx0x)yx(d2yyxyyy2x213

2223dxyyyy

d2y1

dx2x0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FyFxzz





xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FFz0

yzyx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

多元函数微分法及其应用

FyFxzz

 

xFzyFz2z

例2.设xyz4z0 求2

x22

2解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4

zFx2xx

xFz2z42z

z(2x)x(x)(2x)x222zx2z(2x)x

x2(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx

v

x2y2x2y2 事实上

xuyv0 vyxuyuxxu1xyx 

vu2

yyyx2y2x2y2xy

2如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理

3设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列式

F(F,G)u

J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

Fxu1(F,G)Gx

xJ(x,v)FuGuFvFuGvv1(F,G)Gu

FvxJ(u,x)FuGvGuFxGx

FvGv

多元函数微分法及其应用

u1(F,G)v1(F,G)



yJ(y,v)yJ(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定

uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyvu 偏导数 由方程组确定

uvyyGyGuGv0.yyu v u和v

例3 设xuyv0 yuxv1 求xxyyu和v的方程组解两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

xxuxuyv0xx uvyvx0xx当x2y2 0时 解之得uxuyv vyuxv

xx2y2xx2y2u和v的方程组

yy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

xuvyv0yy uvuyx0yy当x2y2 0时 解之得uxvyu vxuyv

yx2y2yx2y例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又

多元函数微分法及其应用

(1)证明方程组

(x,y)0 (u,v)xx(u,v)yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0

G(x,y,u,v)yy(u,v)0(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)则按假设

J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)] yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv

uxvx yy0uvuxvx由于J0 故可解得

同理 可得

u1yv1y 

xJvxJuu1xv1x  yJvyJu小结

1.隐函数（组）存在定理；

2.隐函数（组）求导方法：方法（1）利用复合函数求导法则直接计算；（2）利用微分形式不变性；（3）代公式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

多元函数微分法及其应用

在教学过程中要注意隐函数（组）存在定理和求导方法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.设函数uf(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数yy(x)及zz(x)分别由下列两式确定：exyxy2，exxz0dusintdt，求。

dxt2.设yy(x)，zz(x)由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数，求

dz。dx讲课提纲、板书设计

作业 P89: 3，4，6，7，10（2）（4）

§9 6多元函数微分学的几何应用

一.一元向量值函数及其导数

x(t)空间曲线的参数方程为：y(t)，t[,]

z(t)此方程也可以写成向量形式。若记

rxiyjzk，f(t)(t)i(t)j(t)k，于是

rf(t)，t[,]，这就确定了一个从实数到向量的一个映射。

定义1：设数集DR，则映射f:DRn为一元向量值函数，记作

多元函数微分法及其应用



rf(t)，tD

其中数集D称为函数的定义域，t称为自变量，r称为因变量。

在R中，f(t)可表示为： 3

f(t)f1(t)if2(t)jf3(t)k，tD 或者

f(t)(f1(t),f2(t),f3(t))，tD 下面研究向量值函数的极限，连续性，导数。1.向量值函数极限：

定义2：设向量值函数f(t)在点t0的某一去心领域内有定义，若存在一个常向量r0，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当t满足0|tt0|时，对应的函数值f(t)都满足不等式



|f(t)r0|

则称常向量r0为向量值函数f(t)当tt0时的极限，记作

limf(t)r0

等价于limf(t)(limf1(t),limf2(t),limf3(t))

tt0tt0tt0tt0tt02.向量值函数连续：

设向量值函数f(t)在点t0的某一领域内有定义，若limf(t)f(t0)，则称向量值函数f(t)

tt0在点t0处连续。

等价于f1(t),f2(t),f3(t)都在点t0处连续。

向量值函数f(t)，tD，若f(t)在D上每一点都连续，则称f(t)是D上的连续函数。3.向量值函数导数：

定义3：设向量值函数f(t)在点t0的某一领域内有定义，如果 



f(t0t)f(t0)rlimlim存在，t0tt0t

多元函数微分法及其应用



dr|tt。则称此极限向量为向量值函数f(t)在点t0处的导数或导向量，记作f(t0)或

dt0向量值函数f(t)，tD，若f(t)在D上每一点都可导，则称f(t)是D上的导函数。等价于：f1(t),f2(t),f3(t)都在点t处可导，即f(t)f1(t)if2(t)jf3(t)k。

4.导函数的性质。

5.导函数的几何意义：向量值函数f(t)在点t0处的导数表示在此处的一个切向量。



例1.设f(t)(cost)i(sint)jtk，求limf(t)。t42例2.空间曲线的向量方程为f(t)(t1,4t3,2t6t)，tR，求曲线在与点

2t02相应的点处的单位且向量。

二.空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t)

y(t)，t[,]

z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

记：f(t)((t),(t),(t))，t[,]。由向量值函数的导向量的几何意义知： 向量Tf(t0)((t0),(t0),(t0))，于是

曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例3 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

多元函数微分法及其应用

法平面方程为 x1y1z1

12(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和 dydxdxGxGyGzdz0dxdx切向量为T(1, dydz,) dxdx

例4 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

解为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得

dydz02x2y2zdxdx

dy1dz0dxdx解方程组得

dydyzxdzxy0 dz1  在点(1 2 1)处 dxdxyzdxyzdx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0 x1y2z1

10多元函数微分法及其应用

三 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t)

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0yy0zz0

Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例5 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

多元函数微分法及其应用

法线方程为x1y2z3

123

讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例6.求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

小结

1.一元向量值函数的定义以及极限，连续性，导数；

2.空间曲线的切线与法平面； 3.曲面的切平面与法线。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意一元向量值函数的定义以及极限，连续性，导数，空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的定义及其求解方法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.证明曲面F(xmy,zny)0的所有切平面恒与定直线平行，其中F(u,v)可微。

x2y2z23x02.求曲线在点(1,1,1)的切线与法平面。

2z3y5z40讲课提纲、板书设计

作业 P100: 3，4，5，8，9，10

§9 7 方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

多元函数微分法及其应用

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即

fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

从方向导数的定义可知 方向导数率

方向导数的计算

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

t这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何?

多元函数微分法及其应用

提示

ff

lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0  

lx 沿x轴正向时 cos cos0

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为 el(1, 1) 因为函数可微分 且所以所求方向导数为

zx(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2z112(1)2

l(1,0)22

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

多元函数微分法及其应用

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得最大值 这个最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

讨论 f的最大值

l

结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)

zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nf

gradf(x0,y0)n

n

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指

多元函数微分法及其应用

向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

例3 求grad 1

x2y2 例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力

场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场间的距离

m所产生的梯度场 其中常数m>0 rx2y2z2为原点O与点M(x y z)r小结

1.方向导数的定义，几何意义以及求法； 2.梯度的定义及物理意义。

教学方式及教学过程中应注意的问题

多元函数微分法及其应用

在教学过程中要注意方向导数和梯度的定义，几何意义以及求法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.函数uln(x2y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度gradu|M 2.函数uln(x（96考研）y2z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向B(3,2,2)方向的方向导数是多少？讲课提纲、板书设计

作业 P108: 1，4，6，7，8

§9 8 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异

多元函数微分法及其应用

于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值

在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

第一步解方程组

fx(x y)0 fy(x y)0

多元函数微分法及其应用

求得一切实数解 即可得一切驻点

第二步对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C

第三步定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值还是极小值

例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值

fx(x,y)3x26x90 解解方程组

2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)

再求出二阶偏导数

fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6

在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5

在点(1 2)处 ACB212(6)<0 所以f(1 2)不是极值

在点(3 0)处 ACB2126<0 所以f(3 0)不是极值

在点(3 2)处 ACB212(6)>0 又A<0 所以函数的(3 2)处有极大值f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

解设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为

8m 此水箱所用材料的面积为 xy

多元函数微分法及其应用

A2(xyy8x8)2(xy88)(x0, y0)

xyxyxy88令Ax2(y2)0 Ay2(x2)0 得x2 y2

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、82m时 水箱所用的材料最省

因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小2282m时 所用材料最省值 即长为2m、宽为2m、高为22宽为2m、高为

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

A(242x2xcos242x)xsin

即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x ) 令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为

12122xxcos0

2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



多元函数微分法及其应用

例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2

a22xyxya22xy解得z 于是得V() 

2(xy)2(xy)只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)

设fy(x0,y0) 上述必要条件变为 y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0

fy(x0,y0)y(x0,y0)0

(x0,y0)0

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0

Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0

(x,y)0

多元函数微分法及其应用

由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积

解设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0

z22xy2yz2xza得xyz6a

66a3

36这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V小结

1.函数的极值问题：第一步，在定义域内找到所有的驻点，第二步，判断驻点是否为极值点；

2.函数的条件极值问题； 3.函数的最值问题。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意函数的条件极值及最值问题：第一步，在定义域内找到所有的驻点，第二步，判断驻点是否为极值点，进而确定最值，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

x2y21(x0,y0)圆周上求一点C，使1.已知平面上两定点A(1,3),B(4,2)，试在椭圆94得ABC面积S最大。

2.求平面上以a,b,c,d为边的面积最大的四边形。

讲课提纲、板书设计

作业 P118: 3，4，8，9，10

多元函数微分法及其应用

习题课

一、基本概念

1.多元函数的定义、极限、连续（1）定义域及对应规律

（2）判断极限不存在及求极限的方法（3）函数的连续性及其性质 2.几个基本概念的关系

连续可微偏导数存在偏导数连续可微

方向导数存在

二、多元函数微分法 1.分析复合结构显示结构

隐式结构自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定 2.正确使用求导法则

“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号

3.利用一阶微分形式不变性

三、多元函数微分法的应用 1.在几何中的应用

求曲线在切线及法平面(关键: 抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键: 抓住法向量)2.极值与最值问题

（1）极值的必要条件与充分条件

多元函数微分法及其应用

（2）求条件极值的方法

(消元法, 拉格朗日乘数法)（3）求解最值问题

3.在微分方程变形等中的应用

四、例题 xy1.讨论二重极限 limx0xyy0

22xy ,x2y202322.证明： f(x,y)(xy)20,x2y20 在点(0,0)处连续且偏导数存在 , 但不可微.3.设zxf(xy)，F(x,y,z)0，其中f与F分别具有一阶导数或偏导数，求

2dz dxu2u4.设uf(x,y,z)有二阶连续偏导数，且zxsint，tln(xy)，求 ,xxy5.求旋转抛物面zx2y2与平面xy2z2之间的最短距离.6.在曲面zxy上求一点 , 使该点处的法线垂直于平面x3yz9，并写出该法线方程.作业：P73： 5，6，10，15，17

第二篇：第八章多元函数的微分法及其应用

第八章多元函数的微分法及其应用

§ 1多元函数概念

一、设.二、求下列函数的定义域：

1、2、三、求下列极限：

1、（0）

2、()

四、证明极限不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为 ,二者不相等，所以极限不存在五、证明函数在整个xoy面上连续。

证明：当时。当时，所以函数在（0，0）也连续。所以函数

在整个xoy面上连续。

六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式.解：f(x)=，z

§ 2偏导数

1、设z=,验证

证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与y轴正向夹角()

3、设 ,求(1)

4、设 , 求，解：，5、设，证明 :

6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

连续；不存在，7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求

（2fx(a,b)）

§ 3全微分

1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________

(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：

1）

2）解：

3）解：

3、设，求

解：

4、设求：

5、讨论函数在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性

解：所以在（0，0）点处连续。，所以可微。

§4多元复合函数的求导法则

1、设，求

解： =

2、设，求

3、设，可微，证明

4、设，其中具有二阶连续偏导数，求，解：，=,5、设，其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求

解：，6、设，，求

解：。

7、设，且变换可把方程=0化为，其中具有二阶连续偏导数，求常数的值

证明：

得：a=

38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1, ,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)

§ 5隐函数的求导公式

1、设，求

解：令，2、设由方程确定，其中可微，证明

3、设由方程所确定，其中可微，求

4、设，求，(，)

5、设由方程所确定，可微，求

解：令，则

6、设由方程所确定，求()

7、设z=z(x,y)由方程所确定，求，,§ 6微分法在几何中的应用

1、求螺旋线在对应于处的切线及法平面方程

解：切线方程为

法平面方程

2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程

解：切线方程为，法平面方程：

3、求曲面在（1，-1，2）处的切平面及法线方程

解：切平面方程为

及法线方程

4、设可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行

证明：令，则，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。

5、证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为

证明：令，则

在任一点处的切平面方程为

在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为

证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点

7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有

k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点

证明：两边对t 求导，并令t=

1设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：

+ + =0

此平面过原点（0，0，0）

§ 7方向导数与梯度

1、设函数，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。

2）在点（1，3）处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向

解：梯度为, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到

最小值的方向为。

2、求函数在（1，2，-1）处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为

3、求函数在（1，1，-1）处沿曲线在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。

解：：，该函数在点（1，1，-1）处的方

向导数为，4、求函数在（1，1，-1）处的梯度。

解：：，§ 8多元函数的极值及求法

1、求函数的极值。

答案：（，）极小值点

2．求函数的极值

答案：极小值

3.函数在点（1，1）处取得极值，求常数a(-5)

4、求函数在条件下的条件极值

解：，极小值为

5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

（长和宽2米，高3米）

6、在球面（）上求一点，使函数达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明有

证明：令

令，解得驻点。所以函数在处达到极大值。极大值为。即，令得。

7、求椭球面被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的长度

解：，长半轴，短半轴

第八章自测题

一、选择题：（每题2分，共14分）

1、设有二元函数则[]

A、存在；

B、不存在；

C、存在，且在(0,0)处不连续；

D、存在，且在(0,0)处连续。

2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的[]

A、必要条件；B、充分条件；

C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。

3、函数在(0,0)点处[]

A、极限值为1；B、极限值为-1；

C、连续；D、无极限。

4、在处，存在是函数在该点可微分的[]

（A）必要条件；（B）充分条件；

（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。

5、点是函数的[]

（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；

（C）极大值点；（D）最大值点。

6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]

（A）；（B）；

（C）；（D）

7、已知函数均有一阶连续偏导数，那么 []

(A);(B);

(C);(D)

二、填空题：（每题３分，共18分）

1、（0）

２、设，则（）

３、设则(0)

４、设，则在点处的全微分.５、曲线在点处的切线方程为(６、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为()

三、计算题（每题6分）

1、设，求的一阶偏导数。

2、设，求此函数在点处的全微分。并求该函数在该点处沿着从P 到方向的方向导数(，)

３、设具有各二阶连续偏导数，求

解：

４、设求和。

不存在，故不存在，同理，也不存在。

当时，有

５、设由方程所确定，求()

６、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求

７、设确定函数，求。

８、设，式中二阶可导，求

解：记，则，)

类似地，有

四、（１０分）试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。设三个正数为，则，记，令

则由

解出。

五、证明题：（１０分）

试证：曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中连续可导。证明：曲面在任一点处的切平面的法向量为

定直线L的方向向量若为，则，即

则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。

第三篇：第十一章多元函数微分法及其应用

第十一章多元函数微分法及其应用

教学目标：

1、理解邻域、内点、聚点、边界点和区域的概念，二元函数的概念，掌握多元函数极限和连续性的概念；

2、理解偏导数的概念和几何意义，掌握偏导数的计算方法，理解函数偏导数存在与连续的关系；

3、理解全微分的概念，可微分的充分条件和必要条件，可微和连续的关系；

4、了解二元函数的泰勒公式；

5、掌握多元复合函数的求导法则；

6、掌握隐函数的求导法则；

7、掌握空间曲线的切线和法平面，空间曲线的法线和切平面的求法；

8、会求二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：

1、偏导数的计算方法；

2、多元复合函数的求导法则；

3、隐函数的求导法则；

4、掌握空间曲线的切线和法平面，空间曲面的法线和切平面的求法；

5、会求二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学难点：

1、函数偏导数存在与连续的关系；

2、二元函数的泰勒公式；

3、二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学方法

讲授法与多媒体相结合。

教学内容

§1 多元函数的基本功能

一、平面点集

1、平面点集

平面解析几何使二元实数组x,y与平面上的点P一一对应，于是二元有序实数组x,y的全体：R2RRx,yx,yR就表示坐标平面。

坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记为E

x,yx,y具有性质P。例如，xoy平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的

第四篇：高等数学教案ch 8 多元函数微分法及其应用

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvo(t)o()

zzduzdv(zz)

tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

注limdzzduzdv

dtudtvdtlimt0o()to()t0(u)2(v)2t0(du2dv)()20dtdt

推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？

xzzuzdv

提示 zzu 

z？ yxuxyuyvdy

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？

xz？ y

fufzfuf

提示 z 

xuxxyuyy这里z与xf是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xx偏导数

ffz是把f(u x y)中的u及y看作不变而对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xzy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx22y2z2 而zx2siny 求u和

xuy

2xexy2z22zex2y2z22xsiny  2x(12x2siny)ex2y2x4si2ny

uffz yyzy2yexy2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycosy)ex2y2x4si2ny

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数

解令uxyz vxyz  则wf(u v)

引入记号 f1xuxf(u,v)uvx求wx2w及xz

 f12f(u,v)uv等

f22 同理有f2f11ff

wuvf1yzf2

ff2w(f1yzf2)1yf2yz2xzzzz

xyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f1

1注 f1f1uf1vf2f2uf2vxyf12 xyf22f11f21zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

(1)(u2u)()2 xy22u(2)u

22xy解由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuuuuysinuxuycosxxx2uucosuuuuyuxsinyyy2yx





两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2uuu()()

2 xxxxxuusinuusinsin(cos)cos(cos)



22u2usincos2usin2u2sincosusin2

2cos2 222同理可得

22u2u2usincos2ucos2u2sincosucos 2

22sin2y222两式相加 得

22u2u112u1u2u

u[()] 2222222xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzvzuzv)dx()dy

(uxyvxuyyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxvx

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

dydxFxFy



求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

等式两边对x求导得 FFdy0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 dydxFxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

dydxFxFyxy dydxx00

d2ydx2yxyy2yx(y2x)yy2x2y3d2y13；

dx2y1

x0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 xy因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

zx zy

xFzyFz

例2.设xyz4z0 22

2解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4

Fz2xx

xxFz2z42z22z求2x

zx2(2x)xzx(2x)x()22x2z(2x)x

(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx2y2 vxx2y2

yx2y2xx 事实上

xuyv0 vuyuxu1uyy vyxx

2yxy2x2y

2如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

JG(u,v)uFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

(F,G)

u1xJ(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv(F,G)

v1xJ(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy

u1(F,G)yJ(y,v)FuFvGuGv

v1(F,G)yJ(u,y)FuFvGuGv

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,uvxxx 偏导数u v由方程组确定 uvxxGv0.GxGuxxFFuFv0,uvyyyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGv0.GyGuyyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

xxyy 解两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvvx0yxx

yvvyuxv当x2y2 0时 解之得uxu 

2222xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvx0uyyyyuxuyvv当x2y2 0时 解之得uxv 

2222yxyyxy

另解将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即xdv0udyyduvdxyduxdvudyvdx

解之得 duxuyvx2y2dxxvyux2y2dy

dvyuxvx2y2dxxuyvx2y2dy

xuyvxvyu于是

u22 u22

xxyyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)(u,v)0

xx(u,v)

(1)证明方程组

 yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(u,v)(x,y)(u,v)0.由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

由于J0 故可解得

yy

u1 v1

xJvxJu1xuxvuxvxyuyv0uxvx

同理 可得

u1xyJv

v1xyJu §8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0xyy0yzz0z 当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑

xx0yy0zz0 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

y1z1

x1

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydzFxFyFz0dydxdx由方程组可解得dydxdzGxGyGz0dxdx和dz

dx切向量为T(1, dydz,) dxdxdydz2x2y2z0dxdx得dydz10dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

解为求切向量 将所给方程的两边对x求导数

解方程组得dydxzxdzxy  yzdxyzdydx0在点(1 2 1)处

 dz1

dx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

y2z1

x1

101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t)

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0Fx(x0, y0, z0)yy0Fy(x0, y0, z0)zz0Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

法线方程为x11y22z33

讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

y1z4法线方程为 x2

421 §8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t

当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作flfl(x0,y0) 即

lim(x0,y0)f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tt0

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

limf(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t0tfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

沿x轴正向时 cos cos0

flfx

沿x轴负向时 cos1 cos0

ff lx

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(12, 12)

e2y1

zy2xe2y2 因为函数可微分 且z所以所求方向导数为

zl(1,0)x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)1122(12)2

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fllim(x0,y0,z0)f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)tt0

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分

别为60 45 60

解与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl1211332(532)2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

讨论 fl的最大值



结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1fx2(x0,y0)fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nfn

n

gradf(x0,y0)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

例3 求grad 1x2y2

 解这里f(x,y)

因为 1x2y2ff2y2x 

222222xy(xy)(xy)2y2xij

(x2y2)2(x2y2)21所以

grad 2xy2

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离

rmx 解 (m)m 23xrrxr同理

mym()3yrr (m)mz 3zrrymmxz2(ijk) 从而

gradrrrrryxz记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmmer

rrrrr2

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r §88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点

(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

解设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为A2(xyy8xym 此水箱所用材料的面积为

8888x)2(xy)(x0, y0) xyxyxyy令Ax2(y82)0 Ay2(x82)0 得x2 y2

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x

y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省



22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 

2从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为



2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题  由条件2(xyyzxz)a2 解得z

Vxya22xy() 2(xy)a22xy2(xy)122xxcos0 于是得

只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)

设fy(x0,y0)y(x0,y0) 上述必要条件变为

fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x,y)000

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0 (x,y)0

由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积

解设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0

Fz(x,y,z)xy2(yx)022xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3

第五篇：多元函数的基本概念教案

§8 1 多元函数的基本概念

一、平面点集

n维空间

1．平面点集

二元的序实数组(x y)的全体 即R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面

坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作

E{(x y)|(x y)具有性质P}

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C{(x y)| x2y2r2}

如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r}

邻域

设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P(x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U(P0  即

U(P0,){P| |PP0|}或U(P0,){(x, y)|(xx0)2(yy0)2 }

邻域的几何意义 U(P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P(x y)的全体 

点P0的去心邻域 记作U(P0, ) 即

U(P0, ){P| 0|P0P|}

注 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作U(P0)

点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

(1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点

(2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点

(3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E



E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 

聚点 如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点

由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 

例如 设平面点集

E{(x y)|1x2y22}

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集

闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集

开集的例子 E{(x y)|1

闭集的例子 E{(x y)|1x2y22}

集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集

连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22}

闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22}

有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EU(O r)

其中O是坐标原点 则称E为有界点集

无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集

例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域

集合{(x y)| xy1}是无界闭区域

2 n维空间

设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即

RnRRR{(x1 x2     xn)| xiR i1 2  n}



设x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为Rn中任意两个元素 R 规定

xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn)

这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间

Rn中点x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作(x y) 规定

(x,y)(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2

显然 n1 2 3时 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至

Rn中元素x(x1 x2     xn)与零元0之间的距离(x 0)记作||x||(在R1、R2、R3中 通常将||x||记作|x|) 即

||x||x12x2

    xn采用这一记号 结合向量的线性运算 便得

||xy||(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2(x,y)

在n维空间Rn中定义了距离以后 就可以定义Rn中变元的极限

设x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)Rn

如果

||xa||0

则称变元x在Rn中趋于固定元a 记作xa 

显然

xa  x1a1 x2a2     xnan 

在Rn中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间中来 例如

设a(a1 a2     an)Rn 是某一正数 则n维空间内的点集

U(a ){x| x Rn (x a)} 就定义为Rn中点a的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念

二 多元函数概念

例１圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系

V r2h这里 当r、h在集合{(r  h)| r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V对应的值就随之确定

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

PRTV

其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T)| V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之确定

例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系

RR1R2R1R2

这里 当R1、R2在集合{(R1 R2)| R1>0 R2>0}内取定一对值(R1  R2)时 R的对应值就随之确定 

定义1 设D是R2的一个非空子集 称映射f  DR为定义在D上的二元函数 通常记为

zf(x y)(x y)D(或zf(P) PD)其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量

上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y)

值域 f(D){z| zf(x y)(x y)D}

函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等

类似地可定义三元函数uf(x y z)(x y z)D以及三元以上的函数

一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为

uf(x1 x2     xn)(x1 x2     xn)D

或简记为

uf(x) x(x1 x2     xn)D

也可记为

uf(P) P(x1 x2     xn)D 

函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域)

函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y)(x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面

例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

三 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数

值f(x y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限

定义2 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有 |f(P)A||f(x y)A|

成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x y)A((x y)(x0 y0))

也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)

PP0

上述定义的极限也称为二重极限

例4.设f(x,y)(x2y2)sin

证

因为 |f(x,y)0||(x2y2)sin210| |x2y2||sin2| x2y2 2xyxy21xy22 求证lim(x,y)(0,0)f(x,y)0

可见 >0 取 则当

0(x0)2(y0)2

即P(x,y)DU(O,)时 总有

|f(x y)0|

因此lim(x,y)(0,0)f(x,y)0

必须注意 

(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在

xy x2y202

2讨论

函数f(x,y)xy在点(0 0)有无极限？ 

220 xy0

提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0 当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(0, y)lim00y0y0

当点P(x y)沿直线ykx有

lim(x,y)(0,0)ykxkx2klimx2y2x0x2k2x21k2xy因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限

极限概念的推广 多元函数的极限

多元函数的极限运算法则

与一元函数的情况类似

例5 求lim(x,y)(0,2)sin(xy)x

解

sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimyxxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim122

四 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D 

如果

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)

则称函数f(x y)在点P0(x0 y0)连续

如果函数f(x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x y)在D上连续 或者称f(x y)是D上的连续函数

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去

例6设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数

证设P0(x0 y0) R2 0 由于sin x在x0处连续 故0 当|xx0|时 有

|sin xsin x0|

以上述作P0的邻域U(P0 ) 则当P(x y)U(P0 )时 显然

|f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0|

即f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

证对于任意的P0(x0 y0)R2 因为

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)lim(x,y)(x0,y0)sinxsinx0f(x0,y0)

所以函数f(x,y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的

定义4设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)不连续 则称P0(x0 y0)为函数f(x y)的间断点

xy x2y2022

例如：函数f(x,y)xy

220 xy0其定义域DR2 O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函数的一个间断点

又如 函数zsin1x2y21 其定义域为D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x

y)|x2y21}上的点都是D的聚点 而f(x y)在C上没有定义 当然f(x y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点

注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数

例如xx2y21y2 sin(xy) ex2y2z2都是多元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则limf(P)f(P0)

pp0 例7 求lim(x,y)(1,2)xyxy 

是初等函数 它的定义域为：D{(x y)|x0 y0} 解

函数f(x,y)xyxyP0(1 2)为D的内点 故存在P0的某一邻域U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以U(P0)是f(x y)的一个定义区域 因此

lim(x,y)(1,2)f(x,y)f(1,2)32

一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则PP0f(P)在点P0处连续 于是

limf(P)f(P0)

PP0 例8 求lim(x,y)(0, 0)xy11xy

(xy11)(xy11)xy(xy11)解 lim(x,y)(0, 0)xy11xylim(x,y)(0, 0)lim(x,y)(0, 0)1xy111

2多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值

性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P 2D 使得

f(P1)max{f(P)|PD}

f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

第九章多元函数微分法及其应用教案（精选五篇）

第一篇：第九章多元函数微分法及其应用教案

第二篇：第八章多元函数的微分法及其应用

第三篇：第十一章多元函数微分法及其应用

第四篇：高等数学教案ch 8 多元函数微分法及其应用

第五篇：多元函数的基本概念教案

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