02 第二节 多元函数的基本概念

第一篇：02 第二节 多元函数的基本概念

第二节 多元函数的基本概念

分布图示

★ 领域

★平面区域的概念

★ 二元函数的概念

★ 例

1★ 例★ 例3 ★ 二元函数的图形

★ 二元函数的极限

★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 二元函数的连续性

★ 例 11 ★ 二元初等函数

★ 例 12-13 ★ 闭区域上连续函数的性质

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题6-2

内容提要

一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念

定义1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y)，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即zf(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集{z|zf(x,y),(x,y)D}称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数.当n2时, n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义 三、二元函数的极限

定义2 设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A，则称A为函数zf(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限.记为

xx0yy0limf(x,y)A.或

f(x,y)A（(x,y)(x0,y0)）也记作

limf(P)A

或

f(P)A(PP0)

PP0

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性

定义3 设二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果 xx0yy0limf(x,y)f(x0,y0)，则称zf(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果函数zf(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数zf(x,y)在(x0,y0)处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲

多元函数的概念

例1（E01）某公司的总体成本（以千元计）为

C(x,y,z,w)5x4y2zln(w1)，其中x是员工工资，y是原料的开销，z是广告宣传的开销，w是机器的开销，求

2C(2,3,0,10)。

解 用2替换x，3

替换y，0

替换z，10

替换w，则

C(2,3,0，10)522430ln(101)

29.6（千元）。例2（E02）求二元函数f(x,y)arcsin(3x2y2)xy2的定义域.223xy1解

 2xy02x2y24 2xy所求定义域为

D{(x,y)|2x2y24,xy2}.x2y2例3（E03）已知函数f(xy,xy)2, 求f(x,y).xy2解

设uxy,vxy,则

xuvuv,y, 2222uvuv2uv22故得

f(u,v), 2222uvuvuv22即有

f(x,y)

二元函数的极限 2xy.22xy例4（E04）求极限 lim(x2y2)sinx0y01.22xy解

令ux2y2,则

lim(x2y2)sinx0y011=0.limusinux2y2u0

例5 求极限 limx0y0sin(x2y)xy22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2uxy1, 22, 其中lim解 lim22lim2limx0x0xyx0u0uxyxyx2yy0y0y0x2yx2y212xy1xx2x2y22x00，sin(x2y)所以

lim220.x0xyy0

例6（E05）求极限 lim解

当xy0时，0xyxy11xy0(x,y), 2y2x2xyx2y2x2y2xy.xx2y2y所以 lim xy0.xx2y2y例76求极限 limx0y0xy32x4xy24.12(xy4)y1x2222解

02xy2x0(当x0,y0)2xxy2y2x2y4x2y4x2y42所以 limxy32x4x020.y0xy4

例8 求 lim(x2y2)xyx0.y0xlim0xyln(x2y2)解

lim0(x2y2)xyey0x.因为

y0xyln(x2y2)0xy2222x2y2(xy)ln(xy)(x2y2)ln(x2y2).2222令t而

lxim0(xy)lnx(y)x2y2tlim0tlnt0，y0所以

lxi0mxylnx(2y2)0,故 limx0(x2y2)xye01.y0y0

例9（E06）证明 limxyxy00x2y2 不存在.证

取ykx(k为常数),则

limxyx0x2y2limxkxx0k2, y0ykxx2k2x21k易见题设极限的值随k的变化而变化,故题设极限不存在.例10 证明 limx3yx06y0xy2不存在.x3yx3kx3klim证

取ykx,lim6,其值随k的不同而变化,2x0xy2x0x6k2x61k33y0ykx

故极限不存在.二元函数的连续性

x3y3,(x,y)(0,0)例11(E07)讨论二元函数f(x,y)x2y2在(0,0)处的连续性.0,(x,y)(0,0)解

由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换：

令xcos,ysin,则

(x,y)(0,0)limf(x,y)lim(sin3cos3)0f(0,0)，0所以函数在(0,0)点处连续.y例12 求limln(yx)x01x2y1.1.y1lny(x)ln1(0)解

limx021x10y1

exy.例13 求limx0xyy1exye01exy2.解

因初等函数f(x,y)在(0,1)处连续，故limx0xy01xyy1

课堂练习

y1.设fxy,x2y2, 求f(x,y).x2.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时, 函数f(x,y)都趋向于A, 能否断定

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A?

xy222,xy023.讨论函数f(x,y)xy4的连续性.2xy200,

第二篇：多元函数的基本概念教案

§8 1 多元函数的基本概念

一、平面点集

n维空间

1．平面点集

由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

二元的序实数组(x y)的全体 即R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面

坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作

E{(x y)|(x y)具有性质P}

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C{(x y)| x2y2r2}

如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r}

邻域

设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P(x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U(P0  即

U(P0,){P| |PP0|}或U(P0,){(x, y)|(xx0)2(yy0)2 }

邻域的几何意义 U(P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P(x y)的全体 

点P0的去心邻域 记作U(P0, ) 即

U(P0, ){P| 0|P0P|}

注 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作U(P0)

点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

(1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点

(2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点

(3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E



E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 

聚点 如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点

由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 

例如 设平面点集

E{(x y)|1x2y22}

满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点 满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集

闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集

开集的例子 E{(x y)|1

闭集的例子 E{(x y)|1x2y22}

集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集

连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22}

闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22}

有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EU(O r)

其中O是坐标原点 则称E为有界点集

无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集

例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域

集合{(x y)| xy1}是无界闭区域

2 n维空间

设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即

RnRRR{(x1 x2     xn)| xiR i1 2  n}

Rn中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的xi(i1 2  n)都为零时 称这样的元素为Rn中的零元 记为0或O  在解析几何中 通过直角坐标 R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而Rn中的元素x(x1 x2     xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的



设x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为Rn中任意两个元素 R 规定

xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn)

这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间

Rn中点x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作(x y) 规定

(x,y)(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2

显然 n1 2 3时 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至

Rn中元素x(x1 x2     xn)与零元0之间的距离(x 0)记作||x||(在R1、R2、R3中 通常将||x||记作|x|) 即

||x||x12x2

    xn采用这一记号 结合向量的线性运算 便得

||xy||(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2(x,y)

在n维空间Rn中定义了距离以后 就可以定义Rn中变元的极限

设x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)Rn

如果

||xa||0

则称变元x在Rn中趋于固定元a 记作xa 

显然

xa  x1a1 x2a2     xnan 

在Rn中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间中来 例如

设a(a1 a2     an)Rn 是某一正数 则n维空间内的点集

U(a ){x| x Rn (x a)} 就定义为Rn中点a的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念

二 多元函数概念

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系

V r2h这里 当r、h在集合{(r  h)| r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V对应的值就随之确定

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

PRTV

其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T)| V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之确定

例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系

RR1R2R1R2

这里 当R1、R2在集合{(R1 R2)| R1>0 R2>0}内取定一对值(R1  R2)时 R的对应值就随之确定 

定义1 设D是R2的一个非空子集 称映射f  DR为定义在D上的二元函数 通常记为

zf(x y)(x y)D(或zf(P) PD)其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量

上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y)

值域 f(D){z| zf(x y)(x y)D}

函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等

类似地可定义三元函数uf(x y z)(x y z)D以及三元以上的函数

一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为

uf(x1 x2     xn)(x1 x2     xn)D

或简记为

uf(x) x(x1 x2     xn)D

也可记为

uf(P) P(x1 x2     xn)D 

关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如

函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域)

函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y)(x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面

例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

三 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数

值f(x y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限

定义2 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有 |f(P)A||f(x y)A|

成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x y)A((x y)(x0 y0))

也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)

PP0

上述定义的极限也称为二重极限

例4.设f(x,y)(x2y2)sin

证

因为 |f(x,y)0||(x2y2)sin210| |x2y2||sin2| x2y2 2xyxy21xy22 求证lim(x,y)(0,0)f(x,y)0

可见 >0 取 则当

0(x0)2(y0)2

即P(x,y)DU(O,)时 总有

|f(x y)0|

因此lim(x,y)(0,0)f(x,y)0

必须注意 

(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在

xy x2y202

2讨论

函数f(x,y)xy在点(0 0)有无极限？ 

220 xy0

提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0 当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(0, y)lim00y0y0

当点P(x y)沿直线ykx有

lim(x,y)(0,0)ykxkx2klimx2y2x0x2k2x21k2xy因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限

极限概念的推广 多元函数的极限

多元函数的极限运算法则

与一元函数的情况类似

例5 求lim(x,y)(0,2)sin(xy)x

解

sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimyxxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim122

四 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D 

如果

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)

则称函数f(x y)在点P0(x0 y0)连续

如果函数f(x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x y)在D上连续 或者称f(x y)是D上的连续函数

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去

例6设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数

证 设P0(x0 y0) R2 0 由于sin x在x0处连续 故0 当|xx0|时 有

|sin xsin x0|

以上述作P0的邻域U(P0 ) 则当P(x y)U(P0 )时 显然

|f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0|

即f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

证 对于任意的P0(x0 y0)R2 因为

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)lim(x,y)(x0,y0)sinxsinx0f(x0,y0)

所以函数f(x,y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的

定义4设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)不连续 则称P0(x0 y0)为函数f(x y)的间断点

xy x2y2022

例如：函数f(x,y)xy

220 xy0其定义域DR2 O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函数的一个间断点

又如 函数zsin1x2y21 其定义域为D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x

y)|x2y21}上的点都是D的聚点 而f(x y)在C上没有定义 当然f(x y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点

注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数

多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的

例如xx2y21y2 sin(xy) ex2y2z2都是多元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则limf(P)f(P0)

pp0 例7 求lim(x,y)(1,2)xyxy 

是初等函数 它的定义域为：D{(x y)|x0 y0} 解

函数f(x,y)xyxyP0(1 2)为D的内点 故存在P0的某一邻域U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以U(P0)是f(x y)的一个定义区域 因此

lim(x,y)(1,2)f(x,y)f(1,2)32

一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则PP0f(P)在点P0处连续 于是

limf(P)f(P0)

PP0 例8 求lim(x,y)(0, 0)xy11xy

(xy11)(xy11)xy(xy11)解 lim(x,y)(0, 0)xy11xylim(x,y)(0, 0)lim(x,y)(0, 0)1xy111

2多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值

性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P 2D 使得

f(P1)max{f(P)|PD}

f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

第三篇：多元函数

第二节 多元函数的基本概念

分布图示

★ 领域★平面区域的概念

★ 多元函数的概念★ 例1★ 例

2★ 二元函数的图形

★ 二元函数的极限★ 例3★ 例

4★ 例5★ 例6★ 例7

★ 二元函数的连续性★ 例 8

★ 二元初等函数★ 例 9-10

★ 闭区域上连续函数的性质

★ 内容小结★ 课堂练习

★习题6-2

内容提要：

一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域

二、多元函数的概念

定义1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y)，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即zf(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集{z|zf(x,y),(x,y)D}称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数.当n2时, n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限

定义2 设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A，则称A为函数zf(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限.记为

xx0yy0limf(x,y)A.或f(x,y)A（(x,y)(x0,y0)）

也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)PP0

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性

定义3 设二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果

xx0yy0limf(x,y)f(x0,y0),则称zf(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果函数zf(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数zf(x,y)在(x0,y0)处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：

多元函数的概念

例1某公司的总成本（以千元计）为

C(x,y,z,w)5x4y2zln(w1)

其中x是员工工资，y是原料的开销，z是广告宣传的开销，w是机器的开销.求2C(2,3,0,10).解 用2替换x，3替换y，0替换z，10替换w，则C(2,3,0，10)52430ln(101)

29.6（千元）。

例2（E02）求二元函数f(x,y)2arcsin(3x2y2)

xy2的定义域.223xy1解 2xy0

2x2y24 2xy

所求定义域为D

{(x,y)|2x2y24,xy2}.例3（E03）已知函数f(xy,xy)解设uxy,vxy,则 x2y2x2y2, 求f(x,y).xuvuv,y, 22

22uvuv2uv22故得f(u,v), 2222uvuvuv22

即有f(x,y)2xy.x2y2

二元函数的极限

例4（E04）求极限 lim(x2y2)sinx0y01.22xy

解令ux2y2,则

lim(x2y2)sinx0

y011=0.limusin22u0uxy

例5 求极限limx0

y0sin(x2y)xy22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2uxy1, 22, 其中lim解li22li2limx0x0xyx0u0uxyxyx2yy0y0y0x2y

x2y212xy1xx2x2y22x00, sin(x2y)所以lim220.x0xyy0

例6求极限 limxy.xx2y2

y

解当xy0时，0xyxy11xy0(x,y), 2y2x2xyx2y2x2y2

所以limxy

x0.yx2y2

例7（E05）证明limxy

x0x2y2不存在.y0

证取ykx(k为常数),则

limxy

x0x2y2limxkxk

x02,y0ykxx2k2x21k易见题设极限的值随k的变化而变化,故题设极限不存在.例8 证明limx3y

x06不存在.y0xy2

证取ykx3,limx3y

x0x6y2limx3kx3k

x0x62,其值随k的不同而变化,y0ykx3k2x61k

限不存在.二元函数的连续性

x3y3

例9讨论二元函数f(x,y)x2y2,(x,y)(0,0)在(0,0)处的连续性.0,(x,y)(0,0)

解由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换： 令xcos,ysin,则

(x,ylim)(0,0)f(x,y)lim0(sin3cos3)0f(0,0), 所以函数在(0,0)点处连续.例10（E06）求limln(yx)y

x0.y1x2



解l

xi0mlny(x)y11.y1xln1(0)02



例11求limexy

x0xy.y1故极

exye01exy2.解因初等函数f(x,y)在(0,1)处连续，故limx0xy01xy

y1

课堂练习

y1.设fxy,x2y2, 求f(x,y).x

2.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时, 函数f(x,y)都趋向于A, 能否断定

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A? xy2,x2y20243.讨论函数f(x,y)xy的连续性.2xy200,

第四篇：多元函数微分学

多元函数的极限与连续

一、平面点集与多元函数

（一）平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域:X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.（二）点集的基本概念: 1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E{(x,y)|3.开集和闭集: 1(x1)2(y2)24 }的内点、外点集、边界和聚点.intEE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集: 6.点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.（三）二元函数: 1.二元函数的定义、记法、图象： 2.定义域： 例4 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.有界函数: 4.n元函数: 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.ln(yx21)

二、二元函数的极限

（一）.二元函数的极限: 1.二重极限limf(P)A的定义: 也可记为PP0PD(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或xx0yy0limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.[1]P94 E1.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0x2y2,(x,y)(0,0),xy例3 设f(x,y)x2y

20 ,(x,y)(0,0). 证明(x,y)(0,0)limf(x,y)0.(用极坐标变换)

PP0PETh 1 limf(P)A对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)A.PP0PD推论1 设E1D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD推论2 设E1,E2D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1,limf(P)A2，PP0PE1PP0PE2但A1A2,则极限limf(P)不存在.PP0PD推论3 极限limf(P)存在对D内任一点列{ Pn },PnP0但PnP0,数列{f(Pn)}PP0PD xy ,(x,y)(0,0),22收敛 例4 设f(x,y)xy 证明极限limf(x,y)不存在.(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).(考虑沿直线ykx的方向极限).例5 设f(x,y)1,0,当0yx2,x时，证明极限limf(x,y)不

(x,y)(0,0)其余部分.存在.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxyf(x,y)的定义: 3． 极限(x,y)(x0,y0)lim其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次极限:

1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22xyx2y2例9 设f(x,y)2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2xy例10 设f(x,y)xsin11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx 2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1y在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则

xx0yy0必相等.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.三、二元函数的连续性

（一）二元函数的连续概念：

xy22 , xy0 ,22xy例1 设f(x,y)

m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例1 设f(x,y)

([1]P101)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)不全面连续但在点(0 , 0)f对x和y分别连续.2.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.

第五篇：多元函数微分学复习

第六章 多元函数微分学及其应用

6.1 多元函数的基本概念 一、二元函数的极限

定义 f(P)= f(x，y)的定义域为D, oP0(x0,y0)是D的聚点.对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)∈D U(P0,)，即

0|P0P|

(xx0)(yy0)22

时，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<



成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，(x,y)(x0,y0)y0)时的极限，记作

y0)), lim f(x,y)A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也记作

PP0limf(P)A

或

f(P)→A(P→P0)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.二、二元函数的连续性

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f

(x0,y0)，(x,y)(0,0)limz0

如果函数f(x , y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x , y)在D上连续，或者称f(x , y)是D上的连续函数.如果函数f(x , y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为函数f(x , y)的间断点.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即

pp0limf(P)f(P0).有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。

三、例题 例1 设f(x,y)xyg(xy)，已知f(x,0)xf(x,0)xg(x)x222，求

f(x,y)的表达式。

2解 由题设，有g(x)xx2，于是

。f(x,y)xy[(xy)(xy)]，即 f(x,y)(xy)2y例2 证明极限limxyxy623不存在。

x0y0 证 当(x,y)沿三次抛物线ykx

3趋于(0,0)时，有

limxyxyxyxy。

623623x0y0limxkx62336x0y0xkxlimk1k2

x0y0其值随k去不同值而取不同值。故极限lim不存在。

x0y0 例3 求极限limxy11xy2222x0y0 解

原式limxy2222x0y0xy1xy11zx2212limxx0y022y22xy0

6.2 偏导数与高阶导数 6.2.1 偏导数

一、概念

说明对x求导视zf(x,y)，ylimf(xx,y)f(x,y)x

x0为常数，几何意义也说明了这个问题

二元函数z=f(x , y)在点M0(偏导数数

x0,y0)的偏导数有下述几何意义.0fx(x0,y0)，就是曲面zf(x,y)与平面yy0的交线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样，偏导fy(x0,y0)的几何意义是曲面zf(x,y)与平面x=x0的交线在点M 2 基于如上理由，求

处的切线M0Ty对y轴的斜率.zx(x0,y0)时，（因此可能简化函数）再对xy0可先代入，求导

例 f(x,y)xarctany(xarctany(xarctany))，求fx(1,0)。

n重 解 f(x,0)x，fx(x,0)1，fx(1,0)1

二、可微，偏导数存在，连续的关系

偏导数存在可微连续

三、高阶偏导数

设函数z=f(x , y)在区域D内具有偏导数，偏导数连续可微，fxy和

fyx都连续，则

fxy=

fyx;

zx2fx(x,y),zyfy(x,y)，则这两个函数的偏导数称为函数z=f(x , y)的二阶

2偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

zzzzf(x,y),fxy(x,y),xx2xxxyxxyzxyzf(x,y),yxyyx2zyzfyy(x,y).2y2

四、偏导数，微分运算公式 1．z 2．dz f(x,y)，uu(x,y)，vv(x,y)

zxfuuxfvvx

zyfuuyfvvy

fudufvdvfu(udxuydy)fv(vdxvydy)xx(fuufvv)dx(fuuyfvvy)dyxx

d(uv)dudvd(uv)udvvduzx2

uvduudvd2vv

3．F(x,y,z)0 确定zz(x,y)，FxFz；

zy2FyFz6.2.2 求偏导数算例 例1（1）zarctanxy1xy，求

zx，zy，zx22，zxy。

解 zx1xy11xy11y221(1xy)(xy)(y)(1xy)11x2

由对称性 zy2，zx2222x(1x)，求

22；

2zxy220；（2）ulnxyz2ux22uy2uz2。

解ux122x222xyzxxyz22，2 ux由对称性 222xyzx2x(xyz)22222222222xyz2222222222(xyz)22

uy222xyz222，uz1222(xyz)uy22xyz2(xyz)2

故 ux2uz22xyz222。

（3）xy22f(x,y)xy0x022xy0，求

fx(0,0)，fy(0,0)

xy022 解 fx(0,0)limx0x0x220，同理fy(0,0)0；

ux，例2 uyf(xy,xy)，求

uxy2。

解 ux22yf12xf2y2xyf1yf2

uxy

(2y)f12x2yf2y2f21(2y)f22x 2xf12xyf1122x2yf122yf22y3f21xy2f22 2xf14xyf11

例3

zyzf(xy,)g，求

xyxxy2

解

yyf1yf22g2xxx2z

11y1xf12f1yf11ffxf2222221xyxxxxy1yy12f23f222gf12ff1xyf11xxxxxy)，求du。例4 uf(xy,xy,x解（1）z1xx2gg

yx2g1x

y3 duuxdxuydy

u1yuf1f2(1)f3f1f2f32；xxxy

故

y1duf1f22f3dxf1f2f3dy xxxdyydxd(xy)f2d(xy)f3解（2）duf12x

f1(dxdy)f2(dxdy)f3[f1f2yx2xdyydxx1x2

f3]dx[f1f2f3]dy

例5 设zz(x,y)由方程F(xzy,yzx)0，确定，F有连续一阶偏导数，求

zx，zy。

解（1）方程两边对x求导

zzxz0 F11xF2x2yxzyzF12F2xyF1F2zxx11xxF1yF2F1F2yx；

方程两边对y求导

zyz1zyFF11220 yxyzxzFFFxyF2122zyy 11yxF1yF2F1F2yxzy)F2d(yzx2；

解（2）方程两边取微分 F1d(x)0)F2(dyzy2F1(dxydzzdyyzx2xdzzdxx2)0

(F1

F2)dx(1yF11xF1F2)dy dzF2xyF1yzF2； 则 zxF11yF1zx12F2F2xyF1yzxxF1yF2F2；

zxxxF1yF2dydxx 例6 设yf(x,t)，tt(x,y)由F(x,y,t)0确定F,f可微，求。

解（1）对方程取微分

(1)dyfxdxftdtFxdxFydyFtdt0(2)dyfxdxft0

由（1）解得dt代入（2）得 FxdxFydyFt

则 FxFtfx/ftFxftFtfxdydxdxFtFfFytFyft解（2）

dy，即

dxFxftFtfxFyftF

yf(x,t(x,y))

dyttdyfxftdxxydx

dydxfxft1ftt 而xtyxtxFxFt；

tyux22FyFt，则

dydxFxftFtfxFyftF2

y， 例7 证明：当y时，方程x22xyuxy2y2uy20可化成标准形式

u220，其中uu(x,y)二阶偏导数连续。

证明：将u看成由u(,)，而yx，y复合成x,y的函数，uu((x,y),(y))

则 ux2ux2uuu1uuyu2；

xyyyx22yu1u22；

2xyxxx

ux222uyuy2223xxu21u

u22221u1uu1u1

222yxxx2则 xux222xyuxy2y2u22y2u220u220

小结

① 显函数（复合）二阶混合偏导数

② 隐函数求偏导，会用微分法，用复合法习题 1．zf(u)，u由方程u(u)

xyp(t)dt确定的x,y的函数，f,可微，P,连续，(u)1，求P(y)zxP(x)zy

（答案：0）（蔡 P146）

22．zz(x,y)由zexyz确定，求

zxy；

23．F(xy,yz)1确定了隐函数zz(x,y)，Fyy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和

具有连续二阶偏导数求

zyx

4．设5．t6．zF(x,y,z)0确定，f,F有连续偏导数，求

dzdx。

0，f可微且满足

kf(tx,ty,tz)tf(x,y,z)，证明 xfxyfyzfzkf。

。f(x,y)于(1,1)点可微，且f(1,1)1，fx(1,1)23x1。，fy(1,1)3。(x)f(x,f(x,x))求ddx[(x)]ux2y7．设变换vxay8．设可把方程6zx22zxy2zyx220化简为

zuvzx22202，求常数a的值。（a＝3）。

f(u)u有连续二阶导数，而uzf(esiny)满足

zy2ez2x，求

f(u)。（f(u)c1ec2e）

6.2 偏导数应用

偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。

6.3.1 内容小结

1． 空间曲线切线与法平面

xx(t)1）yy(t)

zz(t)切向量v(xt,yt,zt)

切线方程：

xx0xtyy0ytzz0zt

(x法平面方程：xtx0)yt(yy0)zt(zz0)0

xxyy(x)yy(x)2）zz(x)zz(x)切线方程：

v(1,y,z)类似的

xx01yy0yzz0z

法平面方程：xx0y(yy0)z(zz0)0

Fzz0F(x,z,y)0xxFxFyy3）v(1,y,z)xxG(x,y,z)0GxGyyxGzzx02． 空间曲面切平面与法线

1）F(x,y,z)0,n(Fx,Fy,Fz)|P0切平面：Fx|p0法线：

(xx0)Fy|p0(yy0)Fz|p0(zz0)0xx0Fx|p0yy0Fy|p0zz0Fz|p0

2）zf(x,y)Ff(x,y)zn(fx,fy,1)

切平面：类似地

fx(xx0)fy(yy0)(zz0)0

法线：xx0fxyy0fyzz01

xx(u,v)3）*yy(u,v)

zz(u,v)（参数方程形式）

切线 ,yu,zu),v2(xv,yv,zv)v1(xuixvjyuyvnv1v2xu(y,z)(z,x)(x,y)zu(u,v),(u,v),(u,v)zvk

3． 方向导数

uu(x,y,z)uluxcosuycosuzcosgradul（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

，

xyzuuugraduu，xyz

divAAPxQyRz

rotAAixPjyQkzR

6.3.2 例题

例1 求曲线xt,yt,zt223上与平面x2yz4平行的切线方程。

解 切向量2(1,2t,3t)，n(1,2,1)由n，则n0，即，14t3t0t11,t2当t1时 (1,2,3),x11,y11,z11，切线方程为13x11y12z13

当t时 2(1,21111,),x2,y1,z1333927，x切线方程为13y11923z13127

22xy10例2 求空间曲线22xz10在点(3,1,1)处的切线方程和法平面方程。

解 22xy1022xz10确定了

yy(x),zz(x)，对x求导2x2yy02x2zz0x3y13，yzz13

xyxz

于

1法平面方程为x33(y1)3(z1)0，即x3y3z30 例3 求曲面x2M(3,1,1)点：y3,z3,v(1,3,3)切线方程为 yzx的切平面。使之与平面xy22z22垂直，同时也与xyz2垂直。

解 切平面法向量n(2x1,2y,2z)，n1(1,1,12)，n2(1,1,1)，依题意

n1n0

既有2x 12yz0

（1）

（2）n2n0 2x12y12z0

联立（1）（2）和原方程 22x42得解y4z022x42，y4z0

 n012222，0，n02,,0 2222切平面22(x242)22(y24)0

即

xyxy121222

得

22222x(y)0 2424x2y3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)点沿x2yz3的外法线方向的方向导数。

22222F(x,y,z)xyz3，Fx2x,Fy2y,Fz2z于P(1,1,1)点n(2,2,2)，n(13,13,13)

unuxcosuycosuzcos111122x4y6z|43(1,1,1)3333

例5 设f(x,y)在fL3|p0fx1111p0点可微，L1，,L222227。，fL11,fL20

试确定L3使52fycos11，fL2fxcos2fycos20，则 解 fL1cos1 fxfx12fy121fx12y,f12

1f10y22 设L3(cos3,cos3)

从而fL3fxcos375fxcos375235 即

1245cos3 此时cos12cos345或cos752

cos3sin3，解得cos3或cos33335

34即L3,55例6 或L3243, 552 ulnxyz2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)(u)u12ln(xyz)222ux22uy222uz22。

u，2ux22xxyz222222，2222ux22xyzx2x(xyz)xyz222(xyz)

由对称性 uy22xyz222222(xyz)2，uz22xyz222222(xyz)2

从而 div(gradu)1xyz222

例7 设a, b, c为常数，F证明(u,v)有连续一阶偏导数。

证 xayb,)0上任一点切平面都通过某定点。zczc11xayb，FyF2，FFFxF1Fz1222zczc(zc)(zc)F（则切平面方程为 F1取1zc(Xx)F21zc(Yy)1(zc)2F(xa)F2(yb)(zy)0

xa,Yb,Zc，则对任一的(x,y,z)点上式均满足，即过任一点的切平面都过(a,b,c)点。

。(xaz,ybz)0上任一点切平面都通过某定直线平行（F具有连续偏导数）

例8 设a,b为常数，证明曲面F证

FxF1，FyF2，FzaF1bF2，即n(F1,F2,aF1bF2)，取l(a,b,1)，则nl0，nl，曲面平行l，取直线

xx0ayy0bzz01，则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9 求二元函数u5方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿那个方向减少得最快，沿哪个方向u的值不变？

解 xxyy22在点M(1,1)沿方向n1(2,1)的方向导数，并指出u在该点沿哪个方向的gradu|(1,1)(2xy,2yx)|(1,1)(3,3)，uM在点M(1,1)沿n方向的方向导数为

un132(gradu)n|M(3,3),555，方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为为求使u变化的变化率为零的方向，令l

gradu|M32，u沿负梯度方向减少最快。

(cos,sin)，则，ululM(gradu|M)l3cos3sin32sin44或令0，得4，故在点(1,1)处沿4和4函数u得值不变化。

例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，xOy2坐标面为海平面，Oz轴铅直向下，则点(x,224y,z)处血源的浓度C（每百万份水中所含血的份数）的近似值Ce(xy2z)/10。

（1）求鲨鱼从点1,1,1（单位为海里）出发向血源前进的路线2的方程；

（2）若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从1,1,1点出发需要用多少时间才能到达血源处？ 2解（1）鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得

2224CCC4(xy2z)/10gradC，10e(2x.2y,4z)xyz设曲线的方程为xx(t)，yy(t)，zz(t)，则的切线向量(dx,dy,dz)必与gradC平行，从而有 dx2xdy2ydz4z

解初始值问题

dydx2y2xy|1x1dzdx2x4zz|1x12

得

yx

解初始值问题

得

z12x2，所以所求曲线的方程为

xx，yx，z 12（2）曲线的长度 x2(0x1)s101yzdxxxln(31)2210x2xdx22x2ln(x2x1)

03212ln2（海里）

31)1。ln2（小时）

2因此到达血源处所用的时间为T6.4 多元函数的极值

13ln(402

一、无条件极值 限于二元函数zf(x,y)

1． z0x求驻点z0y驻点P

2． 于驻点P处计算Azx22，Bzxy2，Czy22。B2AC0是极值点，A0可取得极小值，A0可取极大值。

3． 条件极值：minuf(x,y,z)S.t.(x,y,z)0，令

Lf(x,y,z)(x,y,z)求无条件极值。

例1 求内接于椭球面，且棱平行对称轴的体积最大的长方体。

解 设椭球面方程为 xa22yb22zc221，长方体于第一卦限上的点的坐标为(x,y,z)，则

V8xyz，s.t.xa 22yb22zc221，令

2xa222x2yz L8xyz1a2b2c28yzLxL8xzy8xyLz及0(1)0(2)0(3)2yb2zc22xa22yb22zc221

由（1）（2）（3）得xa22b3yb22zc22tc3，代入（3）得t13，从而 xa3，y2，z22，此时V8abc33839abc。

例2 求由方程2x2yz8xzz80所确定的二元函数zf(x,y)的极值。解

方程两边对x,y求偏导数得：

4x2zzx8z8xzxzx0

„（1）

4y2zzy8xzyzy0

„（2）

4x8z016和原方程联立得驻点(2,0)，(,0)0，得x74y0y方程（1）对x,y再求偏导，方程（2）对y求偏导 令z0，z。

zzzzzz42888x0 2z222xxxxxx2zzyx2z22222„（3）

zxy282zy8x2zxy22zxy20

„（4）

zzzz

422z8x0

222yyyy将驻点(2,0)代入（此时z1）

„（5）

42A16AA0

AC415415

2B16BB0

B0

242C16CC0

BAC0，z1是极小值（因A>0）

将驻点8（4）（5）（此时z,0代入（3）

7716），同上过程有

A 415，B0，C415，2BAC0，A0，z87是极大值。

习题： 1 设uF(x,y,z)在条件(x,y,z)0和(x,y,z)0限制下，在P0(x0,y0,z0)处取得极值mFx1Lx20xx

。证明F(x,y,z)m，(x,y,z)0，(x,y,z)0在P0点法线共面。

正：L F(x,y,z)m12LFy120yyy

Fz1Lz20 zzFxxyzx0yzxyz5r2222由于(1,1,2)0，从而原方程有非零解，及系数矩阵为0FyFz，即三法向量共面。

2． 设f(x,y,z)lnxlny3lnz。点

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②证明 对任意正数a,b,c成立abc

abc275。

习题课

ye例1 设f(xy,lnx)1，求f(x,y)yxxeln(x)解 令xyu，lnxv。

yef(u,v)f(xy,lnx)1yxxeln(x)

xxxyxueveu2vexyxlnx(xy)ee2lnxxylnx

所以

f(x,y)xeyex2y.例2 讨论limxyxy是否存在.x0y0 解

当点 P(x,y)沿直线ykx趋向（0，0）时，limxyxy2ykxx0limxkxxkxx0limkx1kx00

(k1)，当点P(x,y)沿直线yxxlim2xyxy趋向（0，0）时，yxxx0lim2x(xx)x(xx)22lim(x1)1yxxx0x01，所以limxyxy不存在.x0y0 例3 22(xy)sinzf(x,y)0在（0，0）处是否连续？

1xy22(xy0)，22(xy0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏导数fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处是否连续？

f(x,y)在（0，0）处是否可微？

f(x,y)在（0，0）处是否连续，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因为

x0y0解

（1）函数 limf(x,y)lim(xy)sinx0y0221xy22

x0y0

limsin0210f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为

(x)sinx021(x)x1(x)220 limf(x,0)f(0,0)xlimx0limxsinx00,所以

(3)fx(0,0)0，类似地可求得fy(0,0)0.当(x,y)(0,0)时

fx(x,y)2xsin

1xy1xy2222(xy)cosxxy22221xy221222xx2y23

2xsincos1xy2.因为 limfx(x,y)lim2xsinx0x0y0y01xy22xxy22cos不存在.22xy1所以 fx(x,y)在（0，0）处不连续。同理fy(x,y)在（0，0）处也不连续

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处不连续，所以只能按定义判别f(x,y)在（0，0）处是否可微.fx(0,0)0，fy(0,0)0，故

x0y0limz[fx(0,0)xfy(0,0)y](x)(y)222

[(x)(y)]sinlimx0y02221(x)(y)220(x)(y)(x)(y)sin122 lim1(x)(y)22

x0y0limsinx0y00由全微分定义知f(x,y)在（0，0）处可微，且df(0,0)0.f(x,y,z)，zg(x,y)，yh(x,t)，t 例4 设u(x)，求

dudx.解

对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关系.哪些是自变量，哪些是中间变量，可借助于“树图”来分析.图9－1 由上图可见，u最终是x的函数，y，z，t都是中间变量.所以

dudxfxfxfhhdfgghhdyxtdxzxyxtdxfhyxfhdytdxfgzxfghzyx.fghdzytdx 从最后结论可以看出:若对x求导数(或求偏导数),有几条线通到”树梢”上的x,结果中就应有几项,而每一项又都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之,按线相乘,分线相加 例5 z12xfxy1f2，f 可导，求zx.解 zx1f2x.y

例6 已知yetyx，而t是由方程ytx1确定的x，y的函数，求

ty222dydx.解

将两个方程对x求导数，得

ye(tyyt)12yy2tt2x0

解方程可得

2dydxtxye2ty2tyt(yt)e.例7 求曲面x2y3z21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解

曲面在点(x,y,z)的法向量为 n ＝(Fx,Fy,Fz)(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量为n1＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n1,从而有

6z6（1）

又因为点在曲面上，应满足曲面方程

x2y3z212

（2）

由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程为：

或(x1)4(y2)6(z2)0(x1)4(y2)6(z2)012,1,1)。

这里特别要指出的是不要将n//n1不经意的写成n=n1,从而得出切点为(例8 在椭球面2x222的错误结论.2222yz1上求一点，使函数f(x,y,z)xyzel在该点沿l＝(1,–1,0)方向的方向导数最大.11,,0，22所以 fl fx12fy12fz20

2(xy)2(xy)在条件2x由题意，要考查函数

2yz1下的最大值，为此构造拉格朗日函数

222F(x,y,z)2(xy)(2x2yz1)，14

Fx24x0,Fy24y0, Fz2z0,2222x2yz1.解得可能取极值的点为 11,,0 22 及

11，0.222，因为所要求的最大值一定存在，比较

fl11,,022fl11，02222知12,1,02为所求的点.例9 求函数zxy222在圆(x22)(y22)9上的最大值与最小值.0,zy0，解得点(0,0).显然z(0,0)=0为最小值.解

先求函数z再求z2xy2在圆内的可能极值点.为此令zxxy在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数

22F(x,y)xy[(x2)(y22)9]，2Fx2x2(x2)0,Fy2y2(y2)0,22(x2)(y2)9.，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知xy xy522，和

xy22，5252z,2225221.z,222)(y25252,22为z25，最小值为z0.比较z(0,0)、z

22、z三值可知：在(x,222)92上，最大值