全等三角形在初中数学中的应用论文

第一篇：全等三角形在初中数学中的应用论文

曲靖师范学院

本科生毕业论文

论文题目: 全等三角形的证明在初中数学中的应用

作者、学号：李发蝌 2011111233 学院、年级：数学与信息科学学院 2011级 学科、专业：数学

数学与应用数学 指 导 教 师：罗红英

完 成 日 期：2015年5月20日

曲靖师范学院教务处 全等三角形的证明在初中数学中的应用

摘 要

“全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其注意事项，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．

关键词：全等三角形；初中数学；方法；应用

Prove congruent triangles used in in junior high school

mathematics

Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous.The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality.Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.Key word: Entire and so on triangles;Junior middle school mathematics;Method;Using

目 录

1引言 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2文献综述 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.1国内研究现状 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.2国内研究现状评价 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 2.3提出问题 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3证明全等三角形的知识梳理及注意事项 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3.1全等三角形的知识梳理 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3.2证明全等三角形的步骤及注意事项„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 4证明全等三角形的构造法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 4.1构造全等三角形的常用方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 4.1.1截长补短法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 4.1.2平行线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 4.1.3旋转法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 4.1.4倍长中线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7 4.1.5翻折法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 4.2由角平分线构造全等三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 4.3添加辅助线构造全等三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 4.3.1直接证明线段（角）相等„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 4.3.2转移线段到一个三角形中证明线段相等„„„„„„„„„„„„„„„„„10 4.3.3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系„„„„„„„„„„„„„„„13 5全等三角形的证明在初中数学中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 6总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18 6.1主要发现„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.2启示„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.3局限性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.4努力方向„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„20

1引言

“全等三角形”是初中数学阶段的“图形与几何”中的重要内容之一，它不仅是研究平面几何相关问题的重要工具,而且还是中学数学的基础知识.然而，全等三角形的性质是推理线段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考题中都会有“全等三角形”的内容,考试题目常以直角三角形、等腰三角形、等边三角形、特殊四边形为背景,主要考查线段相等、角相等的证明、线段长度的计算、面积的计算等.常考的题型有填空题、选择题和解答题.这部分试题的难度通常不大,多以中低档题为主，约占总分值的4%至11%.《数学课程标准》对全等三角形的要求是让学生掌握基本的推理技能，从图形变换中建立空间观念，尝试用不同角度的方法来解决问题，发展几何直觉，通过观察、实践、归纳、类比、推断、验证获得数学思想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的抽象性和严谨性.对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形之间联系研究的第一步，它是两三角形间最简单、最常见的关系.“全等三角形的证明”条件是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的.它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似三角形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据.因此，它具有承上启下的作用,同时，人教版教材里叙述了证明全等三角形的四种方法，分别是“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”，还有一种特殊的方法是在直角三角形中“斜边和一条直角边”，它们用特定的字母表示为“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要将“边角边”这一识别方法作为五个基本判定之一，对全等三角形证明的学习有基础作用.2 文献综述

2．1国内研究现状

国内许多专家、学者研究过全等三角形的证明方法.全等三角形的证明一直在初中数学平面几何中占重要位置，然而，近几年它获得了广大人民群众的关注.刘建东在文[1]中编著了以构造全等三角形来探究不等式的证明，形象的写出了全等三角形的作用及其应用.同年，好未来研发中心在文[2]研发了添加了辅助线的添加方法，全等三角形的用处多，并配合人教社教材八年级数学叙述了不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数

学思想.同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣.杨晓军在文[3]中精选了有关全等三角形的中考题进行解析，让同学们找到中考复习方向，引领学生成功中考.林伟杰在文[4]全析了全等三角形的性质、判定及其应用.刘申强在文[5]中编著了全等三角形在生活中的应用，从生活中的不同角度研究了全等三角形，发现数学在现实生活中的美.黎强在文[6]提出了《全等三角形》的教学构想，指出了如何确定教学目标，教学重难点.喻俊鹏在文[7]中，编著了全等三角形的易错题，并结合实例列举了初中数学中全等三角形的若干案例，分析出了学生在有关全等三角形的证明解题过程中存在的各种问题.刘玉东、董云霞、查贵宾在文[8]、[9]、[10]中探讨了构造全等三角形的方法与技巧.张文国在文[11]中总结了全等三角形的创新题，让读者以创新思维思考全等三角形的证明.保明华在文[12]中讨论了全等三角形中考探索题，让学生感受证明全等三角形的探索性和创新性，并且辅导学生掌握全等三角形的证明的方法.李怀奎在文[13]中指出如何对基本图形的认识来找全等三角形，从基本的图形认识开始发现全等三角形.解广义在文[14]中进行了全等三角形的教学设计，生动形象的设计了全等三角形证明的教学过程.姜彰全,吴颖二人在文[15]中讲解了如何巧证全等三角形，淋漓尽致地写出了全等三角形的证明技巧.2．2国内研究评价

从查到的国内文献来看，国内研究者对全等三角形的证明方法介绍了很多，文献[1-15]分别全等三角形的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种全等三角形的证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如构造法在形式上都是根据三角形的性质来进行分解求解的，但不同的图形有不同的构造方法，所以，有必要重新整理和归纳全等三角形证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性.2．3提出问题

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形的证明历来是中学特别是初中数学教学的一个重点和难点.因此，在前人研究全等三角形的证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法.证明全等三角形的知识梳理及注意事项

3．1全等三角形知识梳理

定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相似三角形的特殊情况是全等三角形）.当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.(1)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(2)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，公共角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 三角形全等的判定公理及推论

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”)，这一条说明了三角形具有稳定性.2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边” 或“SAS”).3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角” 或“ASA”).4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边” 或“AAS”).5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边，直角边” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状.【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)】

全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.2、全等三角形的对应边上的高对应相等.3、全等三角形的对应角平分线相等.4、全等三角形的对应中线相等.5、全等三角形面积相等.6、全等三角形周长相等 [1].3．2证明全等三角形的步骤及注意事项

如何学好全等三角形的证明呢？这就要小步走，勤思考，进行由易到难的训练，实现由实（题目已有现成图形）到虚（要自己画图形或需要添加辅助线）、由模仿证明到独立推理的升华.具体可分为三步走： 第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言准确，格式标准，过程简练.证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础，更方便批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明，最后用大括号括起来；每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步.第二步，能在一个题目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析.在学习等腰三角形全等、直角三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目.同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律.第三步，学会命题的证明，掌握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线＋垂直＝全等三角形”.证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平时学习中就要积累存在或可推出边等（或线段等）、角等的情况.应用起来自然会得心应手.4 证明全等三角形的构造法

所谓构造法，就是指通过分析条件和结论充分细致，抓住问题的特征，恰当地构造辅助元素，联想熟知的数学模型，然后变换命题，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学思考方法.构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出精巧、简捷、明快、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.4．1构造全等三角形的常用方法

截长补短法、平行线法（或平移法）、旋转法、倍长中线法、翻折法.4．1．1 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）

“截长法”即根据已知条件把结论中最大的线段分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.例1 如图（1）已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，求证：

ABBEAC.简析：图中没有直接给出与问题有关的全等三角形，所以要延长一条直线，构造出全等三角形，根据角相等证明出三角形是等腰三角形，然后利用转换思想BEBF，就可以证明出结果.证明:延长AB至F使AFAC ∵AE是CAB的平分线 ∴FAECAE 在FAE和CAE中 ∵AFAC ∵FAECAE ∵AEAE

∴FAECAE(SAS)

∴EFAECA45 ∴BFE是等腰直角三角形 ∴BEBF

∴AFABBFABBE ∴ABBEAC

小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两 5

条（或几条）线段转化到同一直线上．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：延长其中一条短线段，在上面上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法就是这两种．

4．1．2平行线法（或平移法）

若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形,有时可作出斜边的中线．

例2 如图，在ABC中，BAC60，C40,AP平分BAC交BC于点P，BQ平分ABC交AC于Q，求证:ABBPBQAQ

图（3）

说明:(1)本题可以在AB截取ADAQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．

(2)本题利用“平行线法”的解法较多，举例如下：

① 如图（2），过O作OD//BC交AC于D，则证明ADOABO解决． ② 如图（3），过O作DE//BC交AB于D，交AC于E，则证明ADOAQO和ABOAEO解决．

③ 如图（4），过P作PD//BQ交AB的延长线于D，则需证明APDAPC解决． ④ 如图（5），过P作PD//BQ交AC于点D，则只需证明ABPADP解决． 4．1．3旋转法

对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形 例3 如图，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PBPC的大小．

图（6）

简析：题目虽然短，但涉及到的知识点很多．由于ABC是等边三角形，所以可以将ABP绕点A旋转60到ACP的位置（用到等量代换），连结PP，则ACPABP(SAS)，所以APAP，CPBP，则APP是等边三角形，即PPPA，在CPP中，因为PPPCPC，所以PAPBPC．

说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题． 4．1．4倍长中线法

题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．

例4 如图，在ABC中，AD是它的中线，作BE交AD于点F，使AEEF． 说明线段AC与BF相等的理由．

图（7）

简析： 由于AD是ABC中线，于是可延长中线AD到G，使DGAD，连结BG，则 在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，所以ACDGBD(SAS)，则ACGB，BFGG，而AEEF，所以CADAFE，又因为AFEBFG，所以BFGG，BFBG，即ACBF．

说明 ：要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而 7

遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 4．1．5翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5 如图，已知：在ABC中，A45，ADBC，如果BD4，DC3，求ABC的面积．

图（8）

解：以AB为轴将ABD翻转180º，得到与它全等的ABE，以AC为轴将ADC翻转180º，得到 与它全等的AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方

tBGC形，设它的边长为，则BG4，CG3，在R中，(4)2(3)252,解得8，则AD6，所以SABC5820． 2说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．

4．2由角平分线构造全等三角形

不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．

例6 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，DBC45，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD4，BC10．求BE的长．

图（9）

图（10）

解：由题意得

根据翻折重合，得BFEDFE，∴ DEBE

在BDE中，DEEB，且EBD45∴ EDBEBD45

∴ BED90，即BCDE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，过A作BCAG，交BC于G，如图（10），四边形AGED是矩形∴ GEAD

4在RtABG和RtRtDCE中，DCAB，DEAG

∴RtABGRtDCE(HL)，∴ BGCG∴CE∴BE6．

说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL证明全等三角形.1BCAD4 24．3添加辅助线构造全等三角形

在证明几何图形题目的过程中，通常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十分明显。针对这样的题型我们需要通过添加辅助线，构造出全等三角形，进而就可以证明所需的结论.在这里，我尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法.当然这些例题体现了添加辅助线的方法是从简单到复杂，从特殊到一般，研究线段的长短关系是体现了从不相等到相等的递进关系[2].注意：添加的辅助线都是用虚线表示.4．3．1直接证明线段（角）相等

例7 如图，已知ABAD，CBCD，(1)求证：BD；(2)若AEAF，试猜想CE与CF的大小关系.如图（11）

简析：第（1）小问考虑到在没有学习等腰三角形的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题要证明BD．在题目的已知条件中明显缺少全等的三角形，我们就要想到添加辅助线连结AC后，以AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看出ABCADC，进而就证明BD.如果在学习等腰三角形的知识后还可以连结BD，通过说明等边对等角，再用角的等量代换关系得到BD更加简单.第（2）小问猜想CFCE，在连结AC证明ABCADC后，得到CAECAF，再证明CAECAF，进而证明ECFC.如何添加辅助线：方法1添加辅助线，连结AC，证明ABCADC，进而BD.BDCDB方法2添加辅助线连接BD，因为ABAD，所以，ABDADB．即C，ABDCBDADBCDB，即BD.又因为BEDF，CBCD,故BCECDF，进而CECF.小结：通过例7我们初步体会添加辅助线的必要性，例7的两个小问的简析，从添加辅助线证明一次全等三角形得角相等，然后到添加辅助线证明二次全等三角形得线段相等，我们可以感觉到问题层次的递进.特别是例7(1)中如果B、C、D共线的时候可以得到等边对等角的结论，为第（2）问做铺垫.4．3．2转移线段到一个三角形中证明线段相等

例8 如图，已知AD是ABC的中线，且BE交AC于点E，交AD于点F，且EAEF.求证：ACBF.图（12）

简析：要证ACBF，我们可以把线段AC、BF转移到它们所在的三角形中，然后证明这两个三角形全等，显然图中没有直观的给出含有AC、BF的两个全等三角形图形，但我们可以根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，这时我们就要重新思考一条出路，想到在同一个三角形中等角对等边，这时能够把两条线段转移到同一个三角形中，我们只要说明转移在同一个三角形后的这两条线段

所对的角相等就可以了.BF，简析：思路1 以ACD为基础三角形，来转移线段AC、使这两条线段在BFH中.法一：延长AD到H，使HDAD，连结BH，再证明ACD和HBD全等，可得ACBH.通过证明DHBHFB，就可得到BFBH.图（13）

证明：添加辅助线延长AD到H，使HDAD，连结BH

∵ D是BC中点

∴ BDCD

在△ACD和BDH中

DHADB DH

ADCBDCD

∴ ACDBDH(SAS)

∴ ACBH，DHBHFB

∵ AEEF

∴ EAHEFA

又∵BFHAFE

∴ BHBF

∴ ACBF

法二：可以过点B作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明ACD和BDH全等.小结：对于含有中线的全等三角形问题，可以通过“倍长中线”法得到两个全等三 11

角形.但是过一点作己知直线的平行线，可起到转移角的作用，也起到构造全等三角形的作用.思路2 以BFD为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在两个全等三角形中.法三：添加辅助线延长FD至H，使HDFD，然后连结HC，证明HDC和FDB全等.图（14）

证明：延长FD至H，使HDFD，连结HC

∵D是BC中点

∴ BDCD

在HDC和FDB中

FDHDADBHDC BDCD

∴ HDCCHD(SAS)

∴ HCAH

∵ AEFE

∴ HACAFE

又∵AFEBFH

∴ HHAC

∴ CHCA

∴ ACBF

法四：过点C作CH平行FB与AD的延长线相交于点H，证明△HDC和△FDB全等.小结：通过添加辅助线的方法一题多解，我们可以体会到添加辅助线目的在于构造 12

全等三角形.而从不同途径来可以有不同的添加方法，实际是实现线段的转移体会构造全等三角形在线段转移中的地位.从变换的观念可以看到，不论是作平行线法还是倍长中线法，实质都是一个以中点为旋转中心的三角形旋转变换构造了全等.熟悉法

一、法三“倍长中线”法的辅助线所用到的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本添加辅助线方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段的证明全等三角形的方法有技巧可寻.图（15）

4．3．3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系

例9如图，已知AD是ABC的中线，求证：ABAC2AD.简析：用例8的辅助线的添加方法，学会识别基本图形，并利用它们去解决不等关系的问题.AB、AC、2AD不在同一个三角形中，如果能将中线倍长，转移AC就可在同一个三角形找出与AB、AC、2AD相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很简单的解决。

图（16）

证明：添加辅助线延长AD至E，使EDAD，连接BE．

∵ AD是ABC的中线，在ACD和EBD中，ADED

∵ADCEDB

CDBD 13

∴ ACDEBD（SAS）

∴ ACBE

在ABE中，ABBEAE，∴ ABAC2AD.5全等三角形的证明在初中数学中的应用

例10（2014年云南省中考题）如图，在ABC和ABD中，AC与BD相交于点E，ADBC，BADABC，求证：ACBD．

图（17）

简析:可以根据“SAS”证明三角形ABD和三角形BCA全等，这里要用到化归思想，要证明线段相等可以化归为证明三角形全等，由全等三角形的性质可证明ACBD． 证明：在ABD和BCA中，ADBCBADABC ABBA∴ADBBAC（SAS）∴ACBD

说明：本题考查了证线段相等化归为证全等三角形，而全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

例 11（2014年曲靖市中考题)如图，ACD90，ACBC，ADCE于点D，BECE于点E.（1）求证：ACDCBE；（2）已知AD6，DE2，求EF的长.图（18）

简析：第（1）问在ACD和CBE中，已知有ACBC，还有一组直角相等，现在我们可以找一条对应边用“SAS”证明全等三角形或者是找一个对应角用“AAS”证明，这时就要根据已知条件去找，哪个方便就用哪个，由已知条件可以根据同角的余角相等来证明.证明：如图，∵ADCE

∴2390

又∵1290

∴13

又∵ADCE，BECE

∴EADC90

在ACD和CBE中

EADC 13

ACBC ∴ACDCBE（AAS）

简析：第（2）问本题求的长，从直观上看不能用简便的方法求，可以把放到两个相似的三角形中，可以通过证两个相似三角形来求.解：∵ACDCBE

∴CEAD6

∴CDCEED62

4∵EADF，BFEAFD

∴BEF~ADF

∴BEEF ADDF 设EF，则DF2

∴4 624 515 ∴

即EF4 5说明：这个题把全等三角形和相似三角形有机的结合在一起考学生，对学生有意识的进行选拔，也对学生高要求，它着重强调全等三角形和相似三角形的相同点和不同点，让学生能区分开，这类题型在中考中也算是中难度的题了.例 12（2013年上海市中考题）如图，在△ABC中，ACD90，BA，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．求证：

ADEEF.B

DEFC图（19）

简析：要证DEEF，从题目中我们不能直观的证明它们相等，要先转化证明平行四边形再证全等三角形，通过两对边分别平行的性质证明四边形BCFD是平行四边形BCFD，然后把边DE和EF放在CED和CEF中，证明这两个三角形全等，进而就可以证明DEEF.证明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四边形BCFD是平行四边形BCFD ∴BDCF,DFAC ∴CED和CEF是直角三角形

又∵ABC是直角三角形，且D为AB的中点 ∴CDBD ∴CDCF

在RtCED和RtCEF中

CECE CFCD 16

∴RtCEDRtCEF(HL)∴DEEF

说明：几何图形之间线段与角的关系是有联系的，但是要对每个图形的性质掌握，才能搭起桥梁，建立关系.例13(2012年云南省中考题)如图，在ABC中，C90，点D是AB边上的一点，DMAB，且DMAC，过点M作ME//BC交AB于点E.求证ABCMED.图（20）

简析：题目中给得每个已知条件都是关键，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知条件中没有明确给出斜边ABME，所以我们要另谋出路，根据ME//BC，MEDABC，用“AAS”来证明ABCMED.证明：∵DMAB

∴MDEC90 又∵ME//BC ∴CBADEM 在ABC和MED中

CMDEABCMED MDAC∴ABCMED(AAS)说明：证明全等三角形的方法有多种，关键是要根据已知条件去找边与边、角与角之间的对应关系.例 14（2011福建福州中考题）如图，ABBD于点B,EDBD于点D,AE交BD

于点C,且BCDC.求证ABED.ABCD

E

图（21）

简析：题目中给得每个已知条件都是关键，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知条件中没有明确给出斜边ACEC，题目中还有一个隐含的条件对顶角ACBECD,所以我们可以选择用“ASA”来证明ABC和EDC全等.证明:∵ADBD，EDBD

∴ABCD90 在ABC和EDC中

ABCD BCDCACBECD∴ABCEDB(ASA)∴ABED

说明：在做几何图形的题目时，即要抓住它给的每个已知条件，又要从题目或图形中挖掘出隐含的条件，这锻炼我们的发现思维和综合应用能力.6 结论

6．1主要发现

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且全等三角形证明历来是中学、特别是初中数学教学的一个重点和难点．本文系统地归纳整理了几类全等三角形的证明方法．如若学生在掌握全等三角形的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法和思想，以其为指导，全等三角形问题将能够迎刃而解，使得解决全等三角形问题时思路清晰，运算简便．尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些全等三角形问题时作用很大．

6．2 启示

从文中可以看出在处理全等三角形问题时，若能灵活运用这些思想与方法，则会取得事半功倍的效果．教师在讲解具体数学内容和方法时，应该高度重视全等三角形方法的挖掘和渗透，重视理论和实践的结合，让学生切实领悟其价值，滋生应用的意识．同时学生在解题和学习的过程中也应认真思考，发现和归纳证明全等三角形的数学思想方法．

6．3局限性

本文把理论和实践相结合，归纳了几类全等三角形证明的方法在解题中的应用，其中主要工作属归结概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知识体系间寻求“交汇”跨度大、难度高，不易发现其中的本质联系；二是由于本文整理归纳了较多全等三角形的证明方法和数学思想，多则不精，广而不深．

6．4努力方向

全等三角形的证明方法种类繁多，不同知识体系间的跨度大、难度高．在教学实践中，并不是短时间可以全部学习掌握的，需要长期学习并积累，而对于全等三角形的证明方法新的研究与发展，则要在大量的实践中不断摸索．

参考文献

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[9] 董云霞.构造全等三角形的方法与技巧[J].中学生数理化(初中版),2005,(10):52—58.[10] 查贵宾.构造全等三角形的几种常用方法[J].中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材), 2014,(Z2):39.[11] 张文国.“全等三角形”中的创新题[J].中学课程辅导(初二版), 2004,(9):21.[12] 保明华.全等三角形中考探索题[J].中学生数理化(初中版),2005,(10)：53.[13] 李怀奎.怎样找全等三角形[J].初中生辅导, 2005,（18）：39—43.[15] 姜彰全,吴颖.巧证三角形全等[J].初中生辅导, 2004,(17):24.20

致

谢

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，是我的励志名言.转言眼间，我的大学生涯就结束了，我已经在美丽的师院度尝到各种酸甜苦辣，有喜有悲，但我从不后悔选择来这里上学.四年里，这是我人生中非常重要的时光，我有幸能够接触到这些不仅传授我知识、学问，而且使我坚定人生的方向，获得了追求的动力，留下了大学生活的美好回忆.在此，我真诚地向我尊敬的老师们和母校表达我深深的谢意.本篇论文是在我的导师罗红英老师的多次指导下完成的.从论文的选题到结构安排，都凝聚了她大量的心血.在这篇论文的写作过程中，罗红英老师不辞辛劳，多次与我就论文中许多核心问题作深入细致地探讨，给我提出切实可行的指导性建议，并细心全面地修改了我的论文.罗老师这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.更重要的是罗老师扎实的学术功底和严谨的治学态度对我将来的人生道路产生了深远的影响.21

第二篇：初中数学证明三角形全等找角

初中数学证明三角形全等找角、边相等的方法

【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。

【关键词】全等三角形相等角相等边

我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。

一、相等的角

1、利用平行直线性质

两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE

求证：△ABC≌△DBC

此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)

由ASA可证全等。图一

2、巧用公共角

要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。

例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC

此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。

3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利

用等边对等角

例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线

求证：△ABD≌△ACD

此题已知AB=AC，由等边对等角可得

∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．

求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到

AB=CD5、利用等量代换关系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

由图形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC图五

利用SAS可证△EAD≌△CAB

例

2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

由图形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可证△BAD≌△CAE图六

(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．

求证:∠A=∠D

由图形可知：图七 B

由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作

B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于

D.求证:AE=CD;

由图形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、结合旋转和对称图形的性质。

例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九

求证：△ABF≌△EDF；

根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。

二、相等的边

1、利用等角对等边 ADAC

3CB

（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）

例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC

利用AAS证明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共边相等图十 A

（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）

D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代换

图十一 F

AB+公共边=DE+公共边

例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C

E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质

例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

图十二

分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF

M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF

C

图十四

5、利用三角形角平分线定理

（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）

注意、必须是角平分线上的点

例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线

性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

则可得到AE=AF

图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD

于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质

可得PM=PN

全等三角形的证明是初中数学几何证明中最重要的一部分，是证明线段相等和角相等最常用的方法。结合全等三角形的判定，全等的条件一般隐藏在已知当中，以上是证明全等隐藏条件的方法总结。

第三篇：初二数学全等三角形证明

初二数学全等三角形证明

班别_______姓名_______学号_______2007-5-1

51.如图,AB=CD,AD、BC相交于点O，(1)要使△ABO≌△DCO,应添加的条件为.(添加一个条件即可)

(2)添加条件后,证明△

ABO≌△DCO

2.已知：如图，AB//DE，且AB=DE.(l）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF,你添加的条件是.(2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.3、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件为，你得到的一对全等三角形是

证明：ABOCD(第12题)

4、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.（1）证明：△BDF≌△DCE ；AFE

BC D

(第4 题图)

5．如图9，已知∠1 = ∠2，AB = AC．求证：BD = CDBDA

图 9

6．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝BD．

A

B7、如图，在ABCD中，BEAC于点E，DFAC于点Ｆ．

求证：AECF；AD

BC8、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM.9．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE。求证：AB=CD

A

B E

第9题图

10、已知：如图10，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

_B

_C

_ M

_N

_A

_D

D

C

图10

C12、如图（4），在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：○

1AB=AC○2AD=AE○31=∠2○4BD=CE.请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

第四篇：八年级数学全等三角形证明题

中考网

第十三章全等三角形测试卷

（测试时间：90分钟总分：100分）

班级姓名得分

一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分）

1． 对于△ABC与△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，则下列条件①AB=DE；②AC=DF；

③BC=DF；④AB=EF中，能判定它们全等的有（）

A．①②B．①③C．②③D．③④

2． 下列说法正确的是()

A．面积相等的两个三角形全等

B．周长相等的两个三角形全等

C．三个角对应相等的两个三角形全等

D．能够完全重合的两个三角形全等

3． 下列数据能确定形状和大小的是（）

A．AB=4，BC=5，∠C=60°B．AB=6，∠C=60°，∠B=70°

C．AB=4，BC=5，CA=10D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°

4． 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB = DE，添加下列哪一个条件，依然不能证明△

ABC≌△DEF()

A．AC = DFB．BC = EFC．∠B=∠ED．∠C=∠F

5． OP是∠AOB的平分线，则下列说法正确的是（）

A．射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离相等

B．射线OP上的点与边OA，OB的距离相等

C．射线OP上的点与OA上各点的距离相等

D．射线OP上的点与OB上各点的距离相等 D 6． 如图，∠1=∠2，∠E=∠A，EC=DA，则△ABD≌△EBC

时，运用的判定定理是（）A．SSS

C B．ASA B C．AAS

（第6题）D．SAS

7． 如图，若线段AB，CD交于点O，且AB、CD互相平分，则下列结论错误的是（）D A．AD=BC

B．∠C=∠D

C．AD∥BC

D．OB=OC

8． 如图，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB = CD，AE = CF，则图中全等三角形共有()

A．1对

B．2对

C．3对

D．4对 B（第7题）（第8题）D中考网

9． 如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：①△

ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的()

A．只有①

B．只有②

C．只有③

D．有①和②和③

B 10．如图，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，（第9题）则△ABD的周长为（）

A．

21B．18C．1

3C E D．9

（第10题）

二、填空题（本大题共6小题；每小题2分，共12分）

11．如图，除公共边AB外，根据下列括号内三角形全等的条件，在横线上添加适当的条件，使△ABC与△ABD全等：

（1），(ASA)；（2），∠3=∠4(AAS)． 12．如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连结BE，则有

△ACD≌△。

13．如图，△ABC≌△ADE，此时∠．

A CBC B ED A（第11题）

（第13题）（第12题）

14．如图，AB⊥AC，垂足为A，CD⊥AC，垂足为C，DE⊥BC，且AB=CE，若BC=5cm，则DE的长为cm． 15．如图，AD=BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC=6cm，DC=2cm，则AE=cm．B

C C A C E（第15题）（第14题）（第16题）

16．如图，在△ABD和△ACE中，有下列论断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④

BD=CE．请以其中三个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：。

三、解答题（本大题5小题；共68分）17．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB．∠MON＝50°，∠OPC＝30°．

求∠PCA的度数．

A

B

18．已知：如图，AB与CD相交于点O，∠ACO=∠BDO，OC=OD，CE是△ACO的角平分

线，请你先作△ODB的角平分线DF（保留痕迹）再证明CE=DF．

19．如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证BM＝CN．

MB

D

N

20．已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连结EG．（1）求证BG=CF；

（2）试猜想BE+CF与EF的大小关系，并加以证明．

21．如图，图（1）中等腰△ABC与等腰△DEC共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE，AD，若BC＝AC，EC＝DC．求证BE＝AD；若将等腰△EDC绕点C旋转至图（2）（3）（4）情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么?

A

DB

A

A

E

E

B

（1）

D

DC

B

D

（2）（3）

（4）

八年级（上）《全等三角形》试卷讲评课教案

九华初级中学李海燕

教学目标：

1.通过讲评，进一步巩固全等三角形的相关知识点。

2.通过对典型错误的剖析、矫正、帮助学生掌握正确的思考方法和解题策略。教学重点：

第16，19，20题的错因剖析与矫正。教学过程：

一、考试情况分析：

班级均分：82.1 分最高分：100 分 100分的同学，全班公示，鼓掌祝贺。分发试卷。

二、学生小组总结试卷填空和选择两块解题中错误原因和解题感受，看看哪些小组总结得比较好。

学生用投影展示自己的所思所想。

三、重点评讲解答题的19、20题

1、学生小组交流

2、学生据黑板图形讲解

3、教师点评

四、学生自我完善考卷

五、总结课堂，教师质疑

六、学生课堂训练

教案说明：

本张试卷学生考试情况较好，典型错误不多，且书写态度端正，思维过程表达清晰，可以看出学生对全等三角形的性质、判定掌握到位，如17、19有的学生能灵活运用角平分线性质及垂直平分线性质进行解答，方法比较简便。针对考试情况，我在进行教学设计时让学生发现自己在解题中的失误或错误，重点评讲了试题中的3、19、20等题。本课主要采用由学生说题的方法进行评讲，心理学研究表明，人在学习活动过程中，听懂不一定做的出，语

言表述则是思维活动的最高境界，语言更能训练思维的逻辑性和严密性。学生对解题过程或者思维过程口头能表达清楚才是真的理解这道题。总之，“学生说题”能转变学生的学习方式，建设开放而有活力的课堂，符合有效课堂的特征，是高参与的课堂、高认知的课堂、高情意的课堂。课堂练习是针对学生在考卷中表现出的薄弱之处设计的，在学生对考卷进行评讲后进行练习，能有效帮助学生进一步掌握解题方法。

课堂针对性练习

班级姓名组别

1、如图，在△AEB和△AFC中，有下列论断：①∠EAC=∠FAB；②AB=AC；③BE=CF；④AE=AF.请以其中三个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题.2、（1）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线AF交BC于F，BD⊥AF于

D，CE⊥AF于E.求证：DE=BD-EC

（2）对于（1）中的条件改为：直线AF在△ABC形外，与BC的延长线相交于F，其他条件不变，上述结论仍成立吗？(请画出图形)若成立，请证明；若不成立，请写出正确的等式，并证明.

第五篇：论文《浅谈多媒体在初中数学教学中的应用》

浅谈多媒体在初中数学教学中的应用

摘 要：为了让学生更直观、更全面地获取知识，充分发挥学生在教学过程中的主体地位，多媒体辅助教学是初中数学发展的必然趋势，是初中数学教学改革的必然结果。将多媒体信息技术融于课堂教学，有利于激发学生兴趣，提高课堂教学效果；有助于学生对基础知识的理解，培养学生的解题能力；还可以增大课堂教学密度，贯彻因材施教的原则，从而培养学生的创造性思维。利用多媒体信息技术图文并茂、声像并举、形象直观的特点为学生创设各种情境，可激起学生的各种感官的参与，调动学生强烈的学习欲望，从而达到提高学生学习积极性的目的。

关键词：课堂教学 初中初中数学

多媒体

在现代中学数学教学中，学生往往会遇到一些抽象比较难以理解的数学问题。在这时，我们可以利用多媒体来帮助学生解决问题。随着多媒体教学深入教育教学领域，投影仪、录像机、录音机、大屏幕、计算机等教学设备参与教学，使课堂教学更加直观性、多样性、演示性，并赋予课堂教学一股时代气息，不仅能更好地吸引学生的注意力，而且能激活学生思维，化解学生学习的障碍，使学生思路更清晰，不至于产生对新知认识上的误区。本文旨在就多媒体技术在初中初中数学教学中的应用进行一些简要的阐述和分析。

一、传统教学的弊端与局限性。

传统的教法比较单一，教师讲得多，学生参与少，既缺乏充分的图形支持，又缺乏供学生发现探索的良好环境，学生处于被动听讲的态势中。比如教师在讲解比较抽象的知识时对教师和学生的能力都提出了较高的要求，这样对一部分的学生来说学习起来比较的吃力，往往达不到老师预期的效果。比如学生由平面到空间的转变，由简单到复杂的转变等。教师靠“一张嘴，一支笔”，学生“两只耳朵一支笔”，整个的教学过程显得枯燥乏味沉闷。教师讲得“苦”，学生学得“累”。不利于学生对知识的吸收和能力素质的培养。在实施素质教育的今天，迫切需要探索出能真正培养学生初中数学能力的教法。而多媒体技术的飞速发展并迅速应用到教学，恰好很好的解决了这些的问题。

二、多媒体技术在初中数学教学的优势

1、以静制动，激发学习兴趣

动态的事物比静态的事物更能刺激学生的视觉感官，吸引学生的眼球，传统教学中，学生面对静态呆板的板书和教材，难免觉得枯燥乏味，多媒体多媒体的应用克服了这一缺陷，它为教学创设一个生动有趣的教学情境，化无声为有声，化静为动，激活了学生的学习思维，提高了学生的学习积极性。

2、寓教于乐，优化教学过程

多媒体多媒体把学生带入了宽松愉快的学习氛围，让学生主动探索，积极进取，使学生会学，愿学和乐学，例如:在教授九年级上册《圆》中有关车轮为什么做成圆形的有关内容时，我利用FLASH创设了一个“动物趣味运动会”的情景，画面是小鸡、大象和河马分别骑着圆形车轮、方形车轮和三角形车轮的赛车进行比赛，并配上运动会的背景音乐，这个场景一出现在课堂上，问题就自然引出来，车轮为什么要做成圆形的呢?当然效果就不言而喻了。面对情境教学，学生思维敏捷，精神集中，积极参与教学活动，课堂气氛变得轻松活跃，伴随着悦耳的音 乐，学生的学习积极性被充分地调动起来，使他们在快乐中获得了知识，提高了学习能力。

3、突破难点，提高课堂效率

传统教学中由于条件所限，教师在课堂上要花费很多时间和精力来完成画图、绘制图表和处理数据等工作，不仅浪费了大量的精力，也浪费的大量的时间，且难以突破难点，若采用多媒体技术来完成这些工作，可节省教学时间，突破难点，增加课堂容量，提高课堂效率。例如：九年级上册《概率的意义》中的掷硬币的实验，由于实验条件及次数的限制，最后正面向上的频率可能跟我们所期待的结果有一定的出入，但若用多媒体课件演示这个游戏，不但节约了时间，效果会更直观。像上述课件起到了缩短教学时间，化静态为动态，直观、形象、清晰地展示图象变化的规律和性质的功效，学生能在积极参与探索知识的过程中，实现对初中数学知识的再建构，提高课堂效率。

三、初中数学教学中如何更好地应用多媒体。多媒体辅助教学主要是通过利用课件来实现的。利用课件的目的是为了更好地搞好教师的教和促进学生的学。下面具体谈谈多媒体在初中初中数学教学中的应用。

1、用多媒体进行课堂演示 通过精心设计的动画、插图和音频等，可以使抽象深奥的初中数学知识以直观的形式出现，更好地帮助学生思考知识间的联系，促进新的认知结构的形成。多媒体的动态变化可以将形与数有机结合起来，使学生由形象的认识提高为抽象的概括，这对于培养学生良好的思维习惯会起到很好的效果。课堂教学时，利用这种模式进行课堂教学，在较短的时间内，使学生多种感官并用，加深对知识的理解，因而可以做到更高密度的知识传授，大大提高课堂利用率。

2、利用多媒体进行小组合作学习

问题是初中数学发展的动力，现代初中数学教育更是强调要进行“问题解决”，在解决问题过程中锻炼思维、提高应用能力。

在条件允许的前提下开展初中数学实验课中，可考虑把学生分成2-3人一个小组，每组共用一台多媒体。教师提供问题，学生利用多媒体提供的环境，积极思考、讨论，动手演算，解答这个问题。在这种小组合作学习的模式下，教师在教室里的角色更象学生的辅导者或帮助者，他们设置环境，帮助学生提出问题并进行探索，刺激学生解答问题，并为学生提供他们需要使用的工具与资源，以便学生能够建构知识。

3、利用多媒体练习、复习

练习是课堂教学中必不可少的活动，犹如工业生产的“产后服务”。利用计算机信息容量大的特点，做成一些智能题库，课后巩固和熟练某些已经学会的知识和技能。这种智能题库不仅提供文字、图形、动画视频图象，还有语音解说和效果音响，文、图并茂，具有很好的视听效果。教学内容的组织多按章节划分知识点模块，学习者可以根据需要自取进度，个别系统逐步深入地学习，复习已经学过的知识内容，补充课堂学习的内容和加强概念的学习。

在这种模式下，学生可以自主地选择教学内容进行练习，并能及时得到指导。教师在设计课堂练习时，可以充分发挥教学软件图文并茂的优势，设计多层次的习题，让每一个学生都能在轻松愉快的情境中练习。在设计习题时，要照顾全体学生，就要把习题分成多层。教师也可以利用智能题库随意生成程度不同、内容不同的电子试卷，对学生进行多方位的考察。

四、多媒体技术在初中数学教学要注意的几个问题

1、充分发挥多媒体教学手段的辅助作用。

多媒体课件的选用是为教学服务的。那么课件选用多少，选用什么内容，何时出示都必须先考虑它对教学的促进作用。针对目前多媒体在使用时资料过多过滥过于亮丽导致影响学生思维，干扰教者思路这一现状，我认为这课件设计的资料以少而精为好。精心设计课件，不搞大而全，只求少而精。教者在教学设计时，先应抛开课件使用这一想法，而先去挖掘教材内容。而当确实需要补充资料，以弥补课文留白或突破教学重难点时，才去考虑课件的设计和使用。

2、让多媒体技术时常陪伴在初中数学教学左右。

恰当选用多媒体教学手段对初中数学教学的促进作用是毋庸置疑的。可在我们平时教学中，我们虽然也有心采用多媒体课件，却苦于不易找到合适的课件，合适的材料。广大教师制作课件的水平也有限，在教学、备课、批阅作业的间隙也无暇去精心设计每一个课件，而教学却是每天都在进行的，合适的课件若能贯彻到每一节课的学习，对教者、学生来说，无疑会创设更好的学习氛围。

3、不要忽视与学生的互动和情感交流

把传统课堂上板书的内容全部搬到了电脑屏幕上，再用投影仪设备投射到大屏幕上来代替黑板，老师眼不离显示器，手不离鼠标、键盘，成为无章法的机械式教学模式。教学本身就是一个双向的活动，是需要学生和老师融为一体的，是需要双方感情投入的，一些课件的使用使这种双向交流变得很少，有的学生只看屏幕，不看老师，使双边的活动很少。有人撰文称信息技术与课程整合为“优势有目共睹，模式不再单调，案例不乏精彩，推广却不理想”。

4、避免完全电脑式灌输 在多媒体课堂教学中，使用最多的是powerpoint制作的演示课件，它起到的作用成了替代板书。实践证明，课堂教学不能“满堂灌”，不能讲得天衣无缝，要使学生有自学、思考的空间。而有些教师只管低头盯着电脑屏幕“念”或者操控电脑演示多媒体课件或者引用大量信息，大屏幕成了信息海洋，不管学生能否来得及阅读和消化。

5、忽视揭示问题过程和能力的培养

在使用多媒体的同时，往往注重演示过程，而没有指出初中数学方法、贯穿初中数学思想，导致学生只会模仿做题。初中数学是一门实践性很强的学科，很多知识和问题不是光靠看和听就能理解和掌握的，更多的是靠思考和练习，通过自己的实践和探索掌握知识的来龙去脉，这样对知识的学习才能更深入，理解才能更广泛，应用的才能更灵活。

6、要合理使用多媒体技术

虽然多媒体技术能给初中初中数学的教学带来优势，但不能过分夸大其作用，更不能过分依赖于多媒体技术，杜绝一堂课多媒体一用到底的现象。教学媒体各有各的优势，我们应该充分认识和了解各媒体的特征，根据教学目标和需要，选择最适合学生学习的教学媒体。

7、要加强自身的学习

在信息化时代里，知识更新一日千里，特别是多媒体技术。任何一种教学手段都是服务于教学的，在多年实践中，我们感到多媒体适当、适度、适时的采用，对教学的促进作用极其显著。正冲击着传统的教学，如果墨守成规不思进取，就将很快落后时代。

五、多媒体技术在初中数学教学中的应用举例

1、初中数学中有许多较为抽象的概念，如角的教学，就可以利用了Flash制作出的运动效果（终边运动），使锐角、直角、钝角、平角、周角以直观形式呈现在学生的眼前，符合初一学生的认知特点，有利于知识的内化。在多媒体动画的演示过程中，使学生的眼、口、手、脑等多种器官协调活动，这样，加深了对角的认识，同时也掌握了五种角之间的大小关系。

2、如行程问题的教学，就把现实生活中的自行车、摩托车、汽车、人等“搬”进了电脑，利用Flash使他们运动起来，大大提高了学生的学习兴趣，公路、学校跑道刺激着学生的视觉神经，使学生形成表象，进而使感性认识上升为理性认识，从而挖掘事物运动的本质联系，把实际问题转化为初中数学问题，真正意义上地提高了其初中数学修养。在此例中突出了初中数学中的数形结合思想。

3、如分割等腰三角形问题：已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线m，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，问△ABC的各内角度数可能是多少度？

就可以这样设计教学过程：先由学生联想特殊的等腰三角形（等边三角形、等腰直角三角形），排除等边三角形，以等腰直角三角形为切入口结合多媒体辅助教学：先出现一个等腰直角三角形，顶角平分线所在直线即m，接着此等腰直角三角形变形为等腰钝角三角形，学生探讨m的位置时电脑同步配合，使m运动到学生所述位置，这一运动过程直观呈现，这样学生就在观察、猜想、讨论、计算等一系列活动中获得了知识，体会了初中数学中的分类方法，并且印象深刻。（等腰锐角三角形的探讨类似）

4、例如，对于三角形“三线合一”的教学，传统教学因较难展现其发现过程，从而造成学生对其不好理解。利用多媒体，可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分线、BC边的垂直平分线和中线，之后用鼠标在屏幕上随意拖动点A，利用软件功能，此时三角形ABC和“三线”在保持依存关系的前提下随之发生变化。在移动的过程中，学生会直观地发现存在这样的点A，使得角平分线、垂直平分线和中线三线重合。再如，对于圆周率的概念的教学，利用CAI，可以对圆周进行展开，同时跟踪测量圆周长和圆半径，引导学生发现圆周长与圆半径的比是一个定值。由于实验中圆可以随意变化，学生很容易接受π的存在。

综上所述，在初中数学教学中恰当运用现代信息技术手段，是现代化教学的需要，是素质教育的需要，是培养二十一世纪合格人才的需要；同时，恰当地运用现代信息技术手段能使初中数学课堂教学形象、具体、生动、直观，能激发起学生学习的兴趣，理清概念，化难为易，化静为动，化繁为简，使具体的画面与抽象的初中数学内容紧密联系，突破传统的教学方法，挖掘教材的内在潜能，使学生正确形成完整的初中数学体系和空间观念，让学生充分感受、理解知识产生和发展的过程，开拓学生视野，有利于学生创新意识和能力的培养，就能提高课堂教学效率。

参考文献

1、季正义：《浅谈多媒体教学在初中初中数学教学中的应用》，《中小学电教》，2006年 10期

2、徐建汉：《多媒体与初中数学在情境创设中的整合运用》，《宁波教育学院学报》，2006年 03期