学线性代数的感受

第一篇：学线性代数的感受

学线性代数的感受

经过大半个学期的学习，线性代数这门课的内容也即将学完。下面将我的学习感受与大家分享一下。

《线性代数》一共有七章，分别是行列式、矩阵、线性方程组、n维向量空间、矩阵相似对角形、二次型以及线性变换。在学期开始的时候，我就将这门课的内容大致看了一下，给我的直观感受是比较复杂，但应该不难。我提醒自己，只要做好课前预习，课上认真听讲，课后认真复习与完成作业，应该是可以学好的。

学习行列式的时候，课上听老师讲，感觉真的很简单，不就是行列式的几个性质吗？行列互换，把某一行（列）的k倍加到另一行（列），以及行列式的展开等等。但是当我做课后习题的时候，我却感觉难度非常的大。尤其是是行列式的计算，虽然知道行列式的性质，但是根本不知从何下手。结果一个题目就花了我很长的时间却做不出来。于是我从网上找了很多关于行列式的计算题目，结果发现，是因为我不知道行列式是有题型的。虽然知道行列式的性质，但由于不知计算方法而无从下手。行列式的计算方法主要有定义法、降阶法、三角化法、递推法、加边法、数学归纳法以及公式法。针对每种方法，又有与之对应的各种题型。通过对这些方法与题型的研究，我对行列式的计算基本上已经没有问题了。

学习矩阵的时候，让我感到头疼的就是矩阵的证明题。这些题目需要应用矩阵的很多性质，比如伴随矩阵的性质，逆矩阵的性质以及伴随矩阵与逆矩阵的关系。他们之间转换来转化去，非常麻烦。我看了很多相关题目，对他们之间的转化有了比较深的认识。至于矩阵的初等变换与行列式差不多，我掌握的还是比较好的。

学习线性方程组的时候，还是比较轻松的，掌握线性方程组有解的判别定理和解的结构，解题没有太大问题。

学习n维向量空间的时候，主要是在正交矩阵的相关证明与计算上遇到了比较大的问题，我想应该是我对正交矩阵的性质掌握的不是太好，因此我还要看一下参考书加深理解。

学习矩阵相似对角形的时候，主要是矩阵的特征值与特征向量以及矩阵的对角化，通过做题发现并不是太难，关键是要掌握计算方法。

目前《线性代数》还在学习当中，我一定要坚持下去，不可以放松！

下面我想对李老师的教学提出一些建议：一，在教学中不要只关注于书本上的例题，也要举一些书本上没有的题目讲解。二，不要只讲性质，要多告诉我们如何用性质去解题，包括题型与解题方法。三，上完一章，一定要认真讲解一下课后习题，不要紧接着讲下一章，否则问题越积越多，学生会厌学的。四，要布置课堂作业，并且要在课堂上指出学生做题的问题。五，注意板书要工整。

第二篇：线性代数学习心得

线性代数学习心得 各位学友好！

首先让我们分析一下线性代数考试卷（本人以1999年上半年和下半年为例）

我个人让为，先做计算题，填空题，然后证明题，选择题等（一定要坚持先易后难的原则，一定要。旁边有某些同志说：“这些都是屁话，我们都知的快快转入正题吧！”）

把选择题第8题拉出来让大家看看

n(n>1)阶实对矩阵A是正定矩阵的充份必要条件是（）

A．A是正定二次型f(x)=x(A)x的矩阵

B．A是各阶顺序主子式均大于等于零（书本的p231定5.9知，大于零就可以了，明显也是错的）

C．二次型f(x)=xTAx的负惯性指数为零

D．存在n阶矩阵C，使得A=CTC（由书本的P230知，存在非奇异N阶矩阵C，使A=CTC)很明显，这个选择是错了）

各位学友在做选择题时要仔细呀！

证明题

先讲1999年下半年

设A，B，C均为n阶矩阵，若ABC=I,这里I为单位矩阵，求证：B为可逆矩阵，且写出的逆矩阵？

证的过程：己知ABC=I，|ABC|=|I|不等于零，|A|*|B|*|C|不等于零，得出|B|不等于零。所以B是可逆矩阵。

求其逆矩阵，ABC=I，两边同时右乘C-1得AB=C-1,接下来左乘以A-1得B=A-1C-1，最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位学友有没有更简便的方法谢谢告之）

对这题做后的心得，本人认为一定要记得，a逆阵可逆的充分必要条件是行列式|a|不等零（切记，还有如ab=i,那么a-1=b）

对了还有，在求解逆矩阵，最简单方法是用初等行变换

公式法吗！容易出错，只适合求解比较特殊的

下面这些是相关的证明题

设B矩阵可逆，A矩阵与B矩阵同阶。且满足A2+AB+B2=O，证明A和A+B都是可逆矩阵？（相信大家都能做出）

己知i+ab可逆，试证I+BA也可逆？

接下来看看1999年上半年的

设n阶方阵A与B相似，证明：A和B有相同的特征多项式？

应搞清楚下面的概念

什么是特征多项式呢（1）

什么是特征值呢（2）

什么还有特征向量（3）

什么是相似矩阵（4）

λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；|λI-A|=0称为A的特征矩阵，而由些求出的全部根，即为A的全部特征值。

对每一个求出特征值λ，求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1,&2,&3...&s,则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中，k1...ks不全为零）

相似矩阵：设A，B都是n阶方阵，若存在n阶可逆阵p，使得p-1ap=b,则称A相似于B，记为A~B(相拟矩阵有相同的行列式，相同的秩，相同的特征值）

我觉得有这么一题使终我还是一知半解的，拉出来让大家看看：

设A为4阶方阵，A*为A的伴随矩阵，若|A|=3，则|A*|=?,|2A*|=?

这题答案是27，432

怎么算的呢？这个具体我也不太清楚，我是用自己的方法，|A|N-1=|A*|,这个N代表多少阶，如是4阶那么3^3=27,后面那个，切记：把2提出行列式以外，看A是几阶行列式，4阶就提4次，2^4*3^3=432(可能书上不是这样的，我只是根据其习题答案推论出来的）

应注意的问题：区为行列式和矩阵之间的区别，特别是用一个不为零的数K乘以行列式或矩阵，前者只是乘以某一行或列，后者则是每一个元素都要乘！

很容易搞不零清的：线性相关或无关和什么情况下线性方程组有解或无解，还有什么极大无关组，基础解系，特征值，多项式，特征向量，相似矩阵有哪些性质，正交矩阵的充分心要条件，二次型化成标准型。

第三篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

第四篇：线性代数试卷

线性代数试题

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第五篇：线性代数试题

线性代数试题(一)

一、填空（每题2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D=。

3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是

，结论是。

4.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A*为A的伴随矩阵，则A-1=。

5.若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则A-1=。

112212343312344=，46.=。7.设向量组1,2,3线性相关，则向量组1,1,2,2,3,3一定线性。

A1A*A8.设A三阶矩阵，若=3，则= ,=。

9.n阶可逆矩阵A的列向量组为1,2,n，则r(1,2,n)=。10.非齐次线性方程组AmnX=b有解的充要条件是。

二、单项选择题（10分，每题2分）

k12k10的充要条件是（）1．2。

（a）k1（b）k3（c）k1,且k3（d）k1,或k3 2.A,B,C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,则A=B 3.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）

A10A0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关 4.设矩阵A=(aij)mn，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关

5.向量组 1,2,s的秩为r,则下述说法不正确的是（）(a)1,2,s中至少有一个r个向量的部分组线性无关

(b)1,2,s中任何r个向量的线性无关部分组与1,2,s可互相线性表示

(c)1,2,s中r个向量的部分组皆线性无关(d)1,2,s中r+1个向量的部分组皆线性相关

三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．5级排列41253是一个奇排列。（）

2．A为任意的mn矩阵, 则ATA, AAT都是对称矩阵。（）

3．1,2,s线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。（）

四、计算n阶行列式（12分）

xaaaxaaaxaaaaaaaaaax

223110121(13分)注：A不可逆，修改为 2．解矩阵方程AX=A+X,其中A=232110122

3．求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1)，4(3,5,2)的极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。（10分）4．用消元法解下列方程组。（15分）

x1x2x3x41x1x2x3x401xx2x2x12342 

五、证明题（从下列三题中任选两道, 每题5分，共10分）

1．设向量组1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关。（5分）

2．已知向量组,,线性无关，而向量组,,,线性相关，试证明：（1）向量一定可由向量组,,线性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。（5分）

线性代数试题(一)答案

一．(1).n(n1)(2).–12 2xjDJD(3).线性方程组的系数行列式D0；方程组有唯一解且

1231*1A(A2I)A0A4(4).；(5).(6).30，41(7).相关(8).3, 9(9).n(10).234468691281216

rAbrA

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n1[x(n1)a](xa)(1).321X40(2).31230412

(3).极大线性无关组为1,2

312;412(4)全部解为： 12

11TT,0c11,1,0,0c20,0,1,1,0,22(c1 ,c2为任意常数)五．略

线性代数试题及答案

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错癣多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则()

TA.-1 B.C.D.1

2.设 则方程 的根的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若 则必有()A.B.C.D.4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是()A.B.C.D.5.设 其中 则矩阵A的秩为()A.0 B.1 C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为()A.0 B.2 C.3 D.4

7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知线性方程组 无解，则数a=()A.B.0 C.D.1

9.设3阶方阵A的特征多项式为 则()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则A的3个特征值可能为()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设行列式 其第3行各元素的代数余子式之和为__转载自百分网http://www.xiexiebang.com，请保留此标记________.12.设 则 __________.13.设A是4×3矩阵且 则 __________.14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.16.设方程组 有非零解，且数 则 __________.17.设4元线性方程组 的三个解α1，α2，α3，已知 则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且 则A的全部特征值为__________.19.设矩阵 有一个特征值 对应的特征向量为 则数a=__________.20.设实二次型 已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21.设矩阵 其中 均为3维列向量，且 求

22.解矩阵方程

23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组 ，(1)确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?

(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).25.已知2阶方阵A的特征值为 及 方阵

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0.线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1． A是n阶方阵，R，则有AA。（）

111AB0(AB)BA。（）2． A，B是同阶方阵，且，则3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。()1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）5．n维向量组

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100100010000020012100(B)010(C)001(D)001（A）2．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

（A）12,23,31（B）1,2,31（C）1,2,2132（D）2,3,223

12(A2E)（）AA5E03．设A为n阶方阵，且。则

11(AE)(AE)(A)AE(B)EA(C)3(D)3

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）AB，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012n10。1．n*A13AA2．A为3阶矩阵，且满足3,则=______。

1021112423421570是线性（填相关或3．向量组，，无关）的，它的一个极大线性无关组是。

4． 已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩R(A)=3，14241233444，，则方程组Axb的通解为。

231A1a1503，且秩(A)=2，则a=

。5．设

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A342122，求矩阵B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而A，求A。

3.已知方程组 有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

222f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

T2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结论。