三角形五心的性质【超全总结】

第一篇：三角形五心的性质【超全总结】

重心的性质：（三条中线的交点）

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5.以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点）

1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

4、外心到三顶点的距离相等

垂心的性质：（三条高的交点）

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线）

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

内心的性质：（三个内角的角平分线的交点）

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是：Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c).3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

4、(欧拉定理)ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．

5、（内角平分线分三边长度关系）

△ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.6、内心到三角形三边距离相等。

旁心的性质：（外角的角平分线的交点）

1、每个三角形都有三个旁心。

2、旁心到三边的距离相等。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

第二篇：五心教育教案(全)

“五心”教育主题班会

一、“把忠心献给祖国”主题班会设计方案

班会题目：把忠心献给祖国

班会缘起：部分学生缺乏对祖国的自豪感和民族精神自豪感。

班会目的：通过开展忠心教育，培养学生的民族精神和国家自豪感。落实《中小学生守则》第一条和《中学生日常行为规范》第一条。

班会准备：确定主持人，准备主持稿，安排学生分组搜集爱国故事，要求搜集不同年代、不同背景的爱国人士故事，以故事会的形式召开本次班会。

班会程序及内容：主持人宣布开会

一、分组推选代表讲述不同人士的爱国故事。

二、讨论发言：这些人士的共同点是什么？他们有哪些精神值得我们学习。

三、学习并熟记“把忠心献给祖国”十条歌诀。

1、国旗国徽，至尊至上。

2、雄壮国歌，严肃高唱。

3、悠久历史，铭记心上。

4、立志报国，奋发图强。

5、民族气节，为我崇尚。

6、国格人格，涉外莫丧。

7、关心国事，立志兴邦。

8、革命领袖，热爱敬仰。

9、国难国耻，刻骨不忘。

10、振兴中华，不负炎黄。

三、布置下次班会内容。

1、巩固十条歌诀。

2、学生演唱爱国主义歌曲。

3、结合现状，谈一谈做为学生如何开展“把忠心献给祖国”活动。（每个同学结合自身实际谈一谈）

二、“把关心献给他人”主题班会设计方案

班会题目：把关心献给他人

班会缘起：部分学生对他人缺乏道德感，漠视他人疾苦，缺乏同情心。班会目的：通过“把关心献给他人”主题班团队会的开展，引导学生关心他人，帮助他人，引导学生树立“以奉献为荣”的公德理念。落实《中小学生守则》第七条、第八条和《中学生日常行为规范》第八条至第十五条。班会准备：确定主持人，准备主持稿，学生搜集关心他人的感人事迹。班会程序及内容：

一、主持人宣布开会

二、学生发言交流搜集到的关心他人的感人事迹。

三、开展“我是怎样关心他人”的大讨论。

1、以前是否积极的去关心他人。

2、以后如何去关心他人。

四、学习“把关心献给他人”十条歌诀。

1、扶老携幼，情满街巷。

2、兄弟姐妹，手足情长。

3、孕妇儿童，乘车礼让。

4、盲聋病残，爱心不忘。

5、同学之间，友爱献上。

6、做人莫忘，尊师敬长。

7、诚心待人，言莫虚谎。

8、邻里相处，和睦谦让。

9、他人有难，尽力相帮。

10、助人为乐，品格高尚。

五、安排下次班会内容。

1、巩固十条歌诀。

2、同学推荐，民主评选“班级关心之最”写成200字事迹材料，上交学校。

三、“把孝心献给父母”主题班会设计方案 班会题目；把孝心献给父母

班会缘起：有一部分学生和父母之间存在代沟，不能正确理解父母的关心和关爱，不懂得珍惜父母的付出。

班会目的：通过开展孝心教育，使学生理解父母的关心和关爱，懂得珍惜父母的劳动成果，并能够自觉的关心父母。落实《中小学生守则》第七条、和《中学生日常行为规范》第二十四条至第三十条。

班会准备：在班级确定两名主持人，男女同学各一名，准备主持稿，搜集父母关爱子女和子女关心父母的故事。

班会程序及内容；主持人宣布开会。

一、进行“孝心教育”调查，调查表学校提供。（采取不记名方式，鼓励学生说真话，如实回答。）

二、主持人讲述一段子女关心父母的故事，要求每个学生仔细体会反思，找 2 出孝敬父母的不够之处。（每个学生都要发言，结合自身谈一谈）

三、学习并背诵“孝心献给父母”十条歌诀。

1、自己事情自己办，不给父母添麻烦。

2、家务劳动帮着干，多为父母减负担。

3、对待父母有礼貌，早晚起居要问安。

4、探亲访友离家前，禀告父母莫持牵。

5、衣食住行讲礼貌，尊老敬长想在前。

6、艰苦朴素花钱少，不与别人比吃穿。

7、思想学习勤汇报，恳求父母多指点。

8、批评教育不顶撞，感谢父母要求严。

9、养育之恩重于山，儿女责任记心间。

10、为人在世品行高，敬重父母孝为先。

四、安排下周班会内容。

1、巩固“孝心献给父母”十条诀。

2、要求每名学生都要记住自己父母的生日。（抽查学生）

3、本周周日定为我校学生的“孝敬日”，要求学生自己洗衣服，并帮助父母干家务活，珍惜父母的血汗钱。

4、评选“班级孝心之最”，每班一名，写300字事迹

附孝心教育调查：

为了能真实反馈调查结果，为学校在学生思想教育领域提供决策依据，此调查表为不记名调查，请同学们结合自身如实填写。（在选项○内打√）

1、是否记得父母生日？

1、没记住 ○

2、只记住一个 ○

3、都记住了 ○

2、自己的衣服是否自己洗？

1、自己不洗 ○

2、自己偶尔洗 ○

3、自己经常洗○

3、是否顶撞过父母？

1、从不顶撞父母 ○

2、偶尔顶撞 ○

3、经常顶撞 ○

4、是否帮父母干家务活？

1、经常干家务活 ○

2、偶尔干几次家务活 ○

3、从不干家务活 ○

5、在买衣服时，是否向父母提要求？

1、从没提过要求 ○

2、偶尔提几次要求 ○

3、经常提要求 ○

四、“把爱心献给社会”主题班会设计方案 班会题目；把爱心献给社会

班会缘起：部分学生信奉自我为中心，对社会缺乏责任感，忽视了一个做为社会个体存在的责任意识。

班会目的：通过开展爱心教育，使学生明确做为社会中的个体，要有责任意识，要使学生知道奉献爱心，关爱社会是应尽的义务。落实《中小学生守则》第二条、第三条、第十条和《中学生日常行为规范》第三十二条至第四十条。

五、“把信心留给自己”主题班会设计方案 班会题目：把信心留给自己

班会缘起：部分学生对自己的人生价值模糊，对自己的人生缺乏信心，缺少追求美好人生的拼搏感。

班会目的：通过主题班会的开展，使学生对自己有一个正确的认识，找到人生自信的支撑点，从而在人生的道路上阔步前行。落实《中小学生守则》第三条、第四条、第五条、第九条和《中学生日常行为规范》第十六条至第二十三条。

班会准备：确定主持人，准备主持稿，安排学生总结同桌或其它同学的优点和闪光点。

五、安排下周班会内容。

1、学习并熟记十条歌诀。

2、利用本周休息日做一次有利于社会的事，下周班会时自己说一下。

3、评选“班级爱心之最”，写成200字事迹材料，上交学校，学校择优在校园广播上播出。

“五心”教育教案

第一课时

一、“把忠心献给祖国”主题班会设计方案 班会题目：把忠心献给祖国

班会缘起：部分学生缺乏对祖国的自豪感和民族精神自豪感。

班会目的：通过开展忠心教育，培养学生的民族精神和国家自豪感。落实《中小学生守则》第一条和《中学生日常行为规范》第一条。

班会准备：确定主持人，准备主持稿，安排学生分组搜集爱国故事，要求搜集不同年代、不同背景的爱国人士故事，以故事会的形式召开本次班会。

班会程序及内容：主持人宣布开会

一、分组推选代表讲述不同人士的爱国故事。

二、讨论发言：这些人士的共同点是什么？他们有哪些精神值得我们学习。

三、学习并熟记“把忠心献给祖国”十条歌诀。

1、国旗国徽，至尊至上。

2、雄壮国歌，严肃高唱。

3、悠久历史，铭记心上。

4、立志报国，奋发图强。

5、民族气节，为我崇尚。

6、国格人格，涉外莫丧。

7、关心国事，立志兴邦。

8、革命领袖，热爱敬仰。

9、国难国耻，刻骨不忘。

10、振兴中华，不负炎黄。

三、布置下次班会内容。

1、巩固十条歌诀。

2、学生演唱爱国主义歌曲。

3、结合现状，谈一谈做为学生如何开展“把忠心献给祖国”活动。（每个同学结合自身实际谈一谈）

二、“把关心献给他人”主题班会设计方案

第二课时 班会题目：把关心献给他人

班会缘起：部分学生对他人缺乏道德感，漠视他人疾苦，缺乏同情心。班会目的：通过“把关心献给他人”主题班团队会的开展，引导学生关心他人，帮助他人，引导学生树立“以奉献为荣”的公德理念。落实《中小学生守则》第七条、第八条和《中学生日常行为规范》第八条至第十五条。

班会准备：确定主持人，准备主持稿，学生搜集关心他人的感人事迹。班会程序及内容：

一、主持人宣布开会

二、学生发言交流搜集到的关心他人的感人事迹。

三、开展“我是怎样关心他人”的大讨论。

1、以前是否积极的去关心他人。

2、以后如何去关心他人。

四、学习“把关心献给他人”十条歌诀。

1、扶老携幼，情满街巷。

2、兄弟姐妹，手足情长。

3、孕妇儿童，乘车礼让。

4、盲聋病残，爱心不忘。

5、同学之间，友爱献上。

6、做人莫忘，尊师敬长。

7、诚心待人，言莫虚谎。

8、邻里相处，和睦谦让。

9、他人有难，尽力相帮。

10、助人为乐，品格高尚。

五、安排下次班会内容。

1、巩固十条歌诀。

2、同学推荐，民主评选“班级关心之最”写成200字事迹材料，上交学校。

三、“把孝心献给父母”主题班会设计方案

第三课时

班会题目；把孝心献给父母 班会缘起：有一部分学生和父母之间存在代沟，不能正确理解父母的关心和关爱，不懂得珍惜父母的付出。

班会目的：通过开展孝心教育，使学生理解父母的关心和关爱，懂得珍惜父母的劳动成果，并能够自觉的关心父母。落实《中小学生守则》第七条、和《中学生日常行为规范》第二十四条至第三十条。

班会准备：在班级确定两名主持人，男女同学各一名，准备主持稿，搜集父母关爱子女和子女关心父母的故事。

班会程序及内容；主持人宣布开会。

一、进行“孝心教育”调查，调查表学校提供。（采取不记名方式，鼓励学生说真话，如实回答。）

二、主持人讲述一段子女关心父母的故事，要求每个学生仔细体会反思，找出孝敬父母的不够之处。（每个学生都要发言，结合自身谈一谈）

三、学习并背诵“孝心献给父母”十条歌诀。

1、自己事情自己办，不给父母添麻烦。

2、家务劳动帮着干，多为父母减负担。

3、对待父母有礼貌，早晚起居要问安。

4、探亲访友离家前，禀告父母莫持牵。

5、衣食住行讲礼貌，尊老敬长想在前。

6、艰苦朴素花钱少，不与别人比吃穿。

7、思想学习勤汇报，恳求父母多指点。

8、批评教育不顶撞，感谢父母要求严。

9、养育之恩重于山，儿女责任记心间。

10、为人在世品行高，敬重父母孝为先。

四、安排下周班会内容。

1、巩固“孝心献给父母”十条诀。

2、要求每名学生都要记住自己父母的生日。（抽查学生）

3、本周周日定为我校学生的“孝敬日”，要求学生自己洗衣服，并帮助父母干家务活，珍惜父母的血汗钱。

4、评选“班级孝心之最”，每班一名，写300字事迹

第四课时

附孝心教育调查：

为了能真实反馈调查结果，为学校在学生思想教育领域提供决策依据，此调查表为不记名调查，请同学们结合自身如实填写。（在选项○内打√）

1、是否记得父母生日？

1、没记住 ○

2、只记住一个 ○

3、都记住了 ○

2、自己的衣服是否自己洗？

1、自己不洗 ○

2、自己偶尔洗 ○

3、自己经常洗○

3、是否顶撞过父母？

1、从不顶撞父母 ○

2、偶尔顶撞 ○

3、经常顶撞 ○

4、是否帮父母干家务活？

1、经常干家务活 ○

2、偶尔干几次家务活 ○

3、从不干家务活 ○

5、在买衣服时，是否向父母提要求？

1、从没提过要求 ○

2、偶尔提几次要求 ○

3、经常提要求 ○

注：此表调查结束后，班级装订上交。

四、“把爱心献给社会”主题班会设计方案

第五课时 班会题目；把爱心献给社会

班会缘起：部分学生信奉自我为中心，对社会缺乏责任感，忽视了一个做为社会个体存在的责任意识。

班会目的：通过开展爱心教育，使学生明确做为社会中的个体，要有责任意识，要使学生知道奉献爱心，关爱社会是应尽的义务。落实《中小学生守则》第二条、第三条、第十条和《中学生日常行为规范》第三十二条至第四十条。

五、“把信心留给自己”主题班会设计方案

第六课时

班会题目：把信心留给自己

班会缘起：部分学生对自己的人生价值模糊，对自己的人生缺乏信心，缺少追求美好人生的拼搏感。

班会目的：通过主题班会的开展，使学生对自己有一个正确的认识，找到人生自信的支撑点，从而在人生的道路上阔步前行。落实《中小学生守则》第三条、第四条、第五条、第九条和《中学生日常行为规范》第十六条至第二十三条。

班会准备：确定主持人，准备主持稿，安排学生总结同桌或其它同学的优点和闪光点。

班会程序及内容：

一、主持人宣布开会

二、学生发言，引导学生互指同学的优点和闪光点。（提示引导学生争取把每一名学生都说到，力求真实，不夸大）

三、部分学生发言，表达自己对于人生的信心和决心。

四、学习“把信心献给自己”十条歌诀。

1、生活学习定目标，一心进取争分秒。

2、自强自主养锐气，增强信心去创造。

3、体魄健美勤锻炼，心理调节精神好。

4、面对挫折不回头，敢字当头逞英豪。

5、正确对待优缺点，扬长避短修养高。

6、勇于表现显才华，不负时代敢弄潮。

7、注重基础稳步行，多思勤学开心窍。

8、乐学会学会生活，不为琐事添烦恼。

9、升学就业路条条，立志成才不动摇。

10、为国为民吃尽苦，成才奉献看天骄。

五、布署安排下次班会内容。

第七课时

1、巩固十条歌诀。

2、学习讨论，结合自己谈一谈如何“扬长避短”，走向成功人生。

3、评选“班级信心之最”，要写出200字材料，上交学校。班会准备：在班级确定两名主持人，男女同学各一名，准备主持稿，搜集关爱社会的故事。查找《爱的奉献》歌词。

班会程序及内容：主持人宣布开会。

一、主持人讲述一个关爱社会、爱心献给社会的故事。（再列举社会各种形式慈善捐助，希望助学工程、帮扶贫困生工作）

二、学生发言，谈一谈自己的感受，应如何尽自己的义务，奉献爱心，关爱社会。

三、学唱歌曲《爱的奉献》

四、学习并背诵“爱心献给社会”十条歌诀。

1、爱憎分明，遵纪守法。

2、见义勇为，美德升华。

3、雷锋精神，春满华夏。

4、公益活动，热心参加。

5、尊老爱幼，人见人夸。

6、公共场所，举止文雅。

7、讲究卫生，重视美化。

8、爱护环境，植树种花。

9、社会责任，心中牵挂。

10、处处奉献，温暖如家。

五、安排下周班会内容。

1、学习并熟记十条歌诀。

2、利用本周休息日做一次有利于社会的事，下周班会时自己说一下。

3、评选“班级爱心之最”，写成200字事迹材料，上交学校，学校择优在校园广播上播出。

课题

第八课时

学习目标：

1、通过本节课的学习，自己。

2、通过这节课的学习让我们要有爱心

3、部分学生信奉自我为中心社会个体存在的责任意识。

学习重点： 学会感恩。

学习难点： 爱心是纽带，课前学习课堂展示：：了解我们身边的爱心故事。

第九课时

导

入没有界限的。

爱心是什么？

就是关怀爱护人的思想感情。

默读“读一读”说说自己的感悟。

从中你得到了什么启示？

-------------假如你是“旅馆经营人”你会对两位老人说什么？

-------------

曼德拉是个怎么样的人？

-------------这个故事对你有什么启示 严子相是怎样的一个人

生活当中有那么爱心事是爱心的体现 严子相的事迹对你有什么启发

？

第十课时

本课小结:

变得更美好。

课外作业:爱心的小事。

五心教育优质课教案

教学目标：

知识与技能

(1)让学生知道诚信是中华民族的传统美德，教育学生树立诚信。(2)让学生懂得重义轻利，德以诚为本，无诚则无德。(3)培养学生诚实守信的美德 过程与方法：

（1）通过“趣味导读”及身边事例，体会重义轻利的基本原则。（2）通过小组活动，学生反思，让学生树立诚实守信，重义轻利的美德。

情感态度与价值观：

（1）通过本节课的学习，培养学生重义轻利，以诚立德的传统美德。(2)让学生树立诚信观念，信守承诺。重点：

诚实守信，以诚立德。难点：

重义轻利，见利思义。教学方法：

讨论互动 教师讲解 故事引入 课时划分： 一课时 教学过程： 一． 故事引入：

（1）刘备托孤的故事（教师讲）。同学们，诸葛亮完全可以取而代 之，称帝为王啊，如果那样，将会有享之不尽的荣华富贵，但他没有，他为什么坚守诺言，愿做臣子，一心辅佐刘禅，鞠躬尽瘁？（学生讨论一分钟）。对了，是因为他把情义看得很重，把个人利益看得很轻。以诚立德，为后人树立了很好的榜样。是啊，一个有道德的人，应该重义轻利，诚实守信。今天我们继续学习五心教育的第三章：诚心献给他人，第二节：重义轻利，以诚立德。板书：第二节 重义轻利 以诚立德 二．回忆第一节

（1）在前面一节我们学习了诚信做人，诚心待人，知道人生在世，做人做事，立身处世，都要讲诚信，特别我们中学生，要树立诚信的观念，信守承诺，从小就要养成诚实守信的美德。

三．是啊，诚实守信是我们中华民族的传统美德，“人而无信，不知其可也”“杯吐然诺，五岳倒为轻”“一言既出，驷马难追”都告诉我们：诚信尤其重要，一个人失去诚信，就失去了道德。然而，在社会生活中，人们必然还面临很多名与利的诱惑，在金钱和权力的考验面前，见利忘义失去了诚信，失去了做人的准则。

故事：央视焦点访谈曾报道，一些年轻人在大连一家医疗美容医院花了几万元做了增高手术后，不但没有达到医院承诺增加的高度，连正常的走路也成了问题，最终该医院受到了世人的唾骂，法律的制裁。故事告诉我们不能为了利益而失去诚信。诚信没有了，就会失去做人的尊严。

同学们，我们要以史为鉴，树立起诚实守信的思想，在国家利益 和个人利益面前，要自觉把个人利益放在次要，要树立‘以诚实守信为荣，以见利忘义为耻”的社会主义荣辱观。因此，我们要诚实坦荡，见利思义。

板书：诚实坦荡 见利思义

四．趣味导读（课本55页）小组讨论互动：

（1）学生默读事例，讲故事（请一位同学讲），教师鼓励，最后补充。

（2）假如你是黄裳，你会还珠吗？(3)你受到什么启示? 五，彼此诚信，走向成功

我们只有彼此诚信，以信取人，最终才能走向成功。六,道德领航，诚信扬帆

人生在世，以德立世，以诚为本，真诚待人是最基本的道德，我们不能为吃穿而活着，要做一个有道德，讲诚信的人，我们成就一番事业，必须以德领航，用诚信扬帆，才能飞度生活的海洋，不讲诚信，抛弃道德，见利思义，把自己的享乐建立在别人的痛苦之上，那是可悲的，也是法律不允许的。

一切美好的道德都源于诚字，无诚就无德，坚守内心的真诚，人的道德修养能达到最高的境界。德国诗人海涅有句名言：生命不可能从谎言中开出灿烂的鲜花。

七，趣味导读（56页57页）讨论互动。，说明我们应该一诺千金，诚实守信。八，小组讨论：

（1）在生活中，自己诚信方面做得如何？以后怎样改进？（2）作为中学生，以后该怎样树立诚信？（对父母讲真话，信守承诺，借物按时归还，考试不舞弊，不要包庇错误---）（3）如果你对父母说了，请告诉他们，九，（1）朗读名言，记在心里（2）朗读颂词，知道诚信的重要性。十，总结：

德以诚为本，无诚则无德，我们应该淡泊名利，诚实坦荡，唯有重得修心，恢复人与人之间的诚信，才能真正为中华民族造就一个美好的未来。同学们，如果你曾经说过慌，考试作过弊，那就请从今天起，做一个诚实守信的人，做一个有道德健康的中学生。

第三篇：☆五心总结（本站推荐）

【一些结论】：以下皆是向量若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心 6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞)经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】

1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量 充分性：

已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：

OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：

a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：

已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心

∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE

过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形

根据平行四边形法则，得

向量OA

=向量OM+向量ON

=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO

=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO

=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO ∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心

OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC

∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心

3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线

根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线

AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。

4.OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)

=λ([|AB|•|BC|cos(180°-B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]

=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]

=0，所以向量AP与向量BC垂直，P点的轨迹过垂心。

5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，向量AB与AC的单位向量的和向量，因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心。

第四篇：三角形“五心”的充要条件的向量表示

三角形“五心”的充要条件的向量表示

江苏省姜堰中学

张圣官（225500）

让我们先来赏析一道颇有趣的向量题：

命题1：在ΔABC内任取一点O，证明：SAOASBOBSCOC0 „①（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。

解：记OA,OB,OC方向上的单位向量依次为e1,e2,e3，并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α

1、α

2、α3，则

SA SB SC121212|OB||OC|sin1，|OC||OA|sin2，（图1）|OA||OB|sin3。

所以，①式等价于e1sin1e2sin2e3sin30 „②

如图1，在OA上取点D，使ODe1sin1，过D作DE∥OB交CO延长线于E，则 在ΔODE中，DEsin2,OEsin3，∴DEe2sin2,EOe3sin3，于是，e1sin

1、e2sin

2、e3sin3恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。故命题得证。

评注：如果把②式放到力学背景中，将e1,e2,e3看作是大小为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力e1sin

1、e2sin

2、e3sin3平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证明。根据图2可知，e1sin

1、e2sin2在e3sin3 反方向上的分量分别为sin1cos(1802)sin1cos2和

（图2）

0sin2cos(18001)sin2cos1；在垂直于e3sin3方向上的分量分别为

由于1232，故ssin1sin2和sin2sin1。in1cos2sin2cos1

sin(12)sin3，而sin1sin2=sin2sin1显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。

这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形“五心”用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形“五心”的一种向量表示。真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”啊！命题1中的点O是ΔABC所在平面内一点，并且在ΔABC内部，其实，若O在ΔABC的周界上时结论也成立。当点O在ΔABC形外时，类似地还可以得到：

命题2：若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧，则有结论SAOASBOBSCOC0 „②（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。（证明略）

只要将以上两个结论中的点O逐一看作为ΔABC的“五心”，就可以得到三角形“五心”充要条件的向量表示。

命题3：设O是ΔABC所在平面内一点，则

（Ⅰ）O是ΔABC的重心OAOBOC0 ；

（Ⅱ）O是ΔABC的外心sin2AOAsin2BOBsin2COC0 ；（Ⅲ）O是ΔABC的内心sinAOAsinBOBsinCOC0 ；（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心tanAOAtanBOBtanCOC0 ；（Ⅴ）O是ΔABC的旁心sinAOAsinBOBsiCnOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0。

利用三角形面积公式和等式①、②，容易证明上面五个结论成立。由于ΔABC的外心可以在三角形内部，也可以在外部或一边上，情形较多，以下就选结论（Ⅱ）给出其证明，其余几个结论请读者自证。

证明：设O是ΔABC的外心，先证必要性，对ΔABC分两类情形讨论。

（1）若ΔABC是锐角三角形或直角三角形，则外心O在形内或周界上，此时，222，SB1，SC1，根据命题1中的等式①易得结SA12Rsin2A2Rsin2B2Rsin2C论sin2AOAsin2BOBsin2COC0成立；

（2）若ΔABC是钝角三角形，不妨设A>900，则外心O在ΔABC形外且与A位于

2221直线BC的两侧，此时，SA1，SB1，2Rsin2(A)2Rsin2A2Rsin2B2，代入命题2中的②得sin2AOAsin2BOBsin2COC0成立。SC12Rsin2C现在再来证明充分性。若ΔABC

所在平面内一点O满足si2nAOAsi2nBOBsi2nCOC0，则由以上证明知，ΔABC的外心O一定满足等式si2AnOAsi2BnOBsi2CnOC0，而

在。两式相减，Δ

ABC

中

得，(sin2Asin2Bsin2C)OO0s2Aisn2Bisn2Ci2snAsiBsniCni0，故nOO0，即点O与外心O重合，也就是说，点O即为ΔABC的外心。从而，O是ΔABC的外心的充要条件是sin2AOAsin2BOBsin2COC0。

第五篇：相似三角形性质教案设计

8.5怎样判定三角形相似教案设计（4）

教学目标：

知识技能、数学思考、问题解决、情感态度

知识目标：理解并掌握两个相似三角形周长的比、对应高的比、面积的比的关系。能力目标：会运用相似三角形的性质解决简单的实际问题，体会类比、转化的数学思想。

情感目标：通过学习，养成严谨科学的学习品质，在探索解决问题的过程中丰富学生数学活动的经验，发展合理推理能力。能有条理地清晰地进行说理。掌握初步的逻辑推理及类比的思维方法，感受从一般到特殊的认知规律；通过主动探索，体验成功的喜悦。在探究活动中培养与同伴交流的协作精神，提高学生学习数学的兴趣和自信心。

重点：相似三角形性质的探索过程，应用性质解决实际问题。难点：相似三角形的判定与性质有关知识的综合运用。

疑点：向学生讲清什么是对应高，它不是一个三角形中两条高的比等于对应边的比。另外在定理的证明过程中，要向学生讲清由已知两个三角形相似（性质）去证另外两个三角形相似（判定）的思维过程，即相似三角形性质判定的综合应用。教学思路：

1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。

2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。

3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

一、问题情境，引入新课：

据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO。

已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？

二、自主探索，猜想证明。

已知△ABC与△A′B′C′相似，设对应边的比为

ABA'B' =k，思考下面的问题。

1、两个相似三角形的周长的比有什么关系？

结论：两个相似三角形周长的比_______________。

2、在上图中作出BC、B′C′边上的高AD、A′D′，垂足分别为D、D′。

3、口答：（小组交流后回答）（1）△ABD与△A′B′D′相似吗？为什么？（2）对应高BD与B′D′的比是多少？为什么？（3）△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？为什么？ 结论：两个相似三角形对应高的比_________________________；

两个相似三角形面积的比___________________________。

二、尝试解答，合作交流。

例5： 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3DB，△ABC的面积为48，求△ADE的面积。

三、当堂训练，巩固内化。

（一）选择题

1、用一个2倍的放大镜照一个△ABC，下列说法正确的是： A、△ABC 放大后是原来的2倍

B、△ABC 放大后周长是原来的2倍 C、△ABC 放大后面积是原来的2倍 D、以上命题都不对

2、如果两个相似三角形的对应边的比是1：2，那么它们的面积比是： A、1：2 B、1：4 C、1：

D、2：1

（二）填空题

3、两个相似三角形面积比9：4，则它们对应边的比为______，周长比是_______。

4、若三角形△ABC∽△A′B′C′，相似比是2：3，BC边上的高为4，则对应边B′C′边上的高是_______。

5、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝。

（三）解答题

6、两个相似三角形对应边的比是1：2，它们面积的和为84平方厘米，求较大的三角形的面积。

7、如图所示：D、E分别是AC、AB上的点，AEAC=ADAB=35，已知△ABC的面积为100cm2，求△ADE的面积，求四边形BCDE的面积。

四、课堂小结：谈谈你的收获：我学会了___________________________。

我的困惑___________________________。相似三角形的性质：

两个相似三角形周长的比等于它们对应边的比。两个相似三角形对应高的比等于它们对应边的比。两个相似三角形面积的比等于它们对应边的比的平方

五、当堂检测

1、两个相似对应边的比是1：2，它们面积的比是多少？

2、在某市环城路的建设施工中，曾遇到这样一个实际问题：由于马路拓宽，有一块面积是100平方米，周长是80米的三角形绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿地的一边AB的长由原来的20米缩短为12米，为了保证城市的绿化建设，市政府规定，因为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回，这样就引出了一个问题：这块失去的绿地面积到底有多大，它的周长是多少？

如图：在△ABC中，DE∥BC,AB=20m,BD=12m, △ABC的周长为80米，面积是100平方米，求△ADE的周长和面积。

六、布置作业：课本第49页A组8题

如图，有一块三角形余料ABC，要从上面截出一个矩形PQMN，使这个矩形的长是宽的2倍，已知BC=60cm，高AD=45cm，求矩形的长和宽。

拓展一：

已知△ABC与△A′B′C′相似，AD、A′D′分别是△ABC与△A′B′C′对应边上的中线，设ABA'B'=k。那么△ABD与△A′B′D′相似吗？求AD与A′D′的比。请说明理由。

结论：

两个相似三角形对应中线的比___________________；

拓展二：已知△ABC与△A′B′C′相似，设

ABA'B' =k，AD、A′D′分别是△ABC与△A′B′C′对应边上的角平分线，那么△ABD与△A′B′D′相似吗？求AD与A′D′的比。请说明理由。

结论：

两个相似三角形对应角平分线的比_________________。

教学反思：

１.本节课充分体现学生为主体、教学为主导逐步引导学生探索某一问题的解决方案体现了数学发现的思维规律和学生认知规律的和谐统一。

２.充分调动学生的求知欲，培养学生解决问题的独到性及获得新方法后的愉悦感，培养了学生学习数学的兴趣。

３.获取的教学素材：相似三角形的面积比等于周长比的平方；相似三角形对应中位线长的比等于相似比。４.该课的局限性是学生对相似三角形的性质缺乏证明（课堂时间不够），还应激发学生更高层次的探究的欲望。