《向量的线性运算》的教学设计

第一篇：《向量的线性运算》的教学设计

《向量的线性运算》教学设计

一、教材分析

1、本单元的教学内容的范围

本单元包括向量的概念、向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量共线的条件与轴上向量坐标运算，共5小节内容。

2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用

站在数学学科角度来看平面向量，向量的运算（包括中学阶段的平面向量与空间向量）是在数的运算的基础上对运算的发展；向量的两重性使得向量成为几何问题代数化的一个重要组成部分，这对数字化时代研究几何问题提供了一个良好的手段；平面向量为研究三角函数、解析几何等提供了工具作用；平面向量是空间向量的基础。

《向量的线性运算》作为平面向量的第一个单元的教学内容，既是《平面向量》这一模块的重要知识，也是学习本模块其他知识的基础。3．本单元的教学内容总体教学目标

（1）通过实例，了解平面向量的实际背景。

（2）理解平面向量和相等向量的含义，理解向量的几何表示。

（3）通过实例，掌握向量的加法、减法以及数乘向量运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义。

（4）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

（5）通过学习使学生初步体会向量所具有的代数和几何的两重性。4．本单元的教学内容重点和难点分析

本单元的教学重点包括向量的概念、向量的线性运算和平行向量基本定理；难点是向量的概念。

通过学习使学生建立起向量的概念是学习向量知识的一个重要目标，因而向量的概念是教学的一个重点内容；向量的线性运算不仅是本单元的教学重点也是本模块的教学重点；通过学习习近平行向量基本定理不仅能加深对向量概念的理解，而且平行向量基本定理在向量知识体系和数学的其他分支中都有广泛的应用，因此平行向量基本定理应是本单元的一个教学重点。

向量作为一个新的概念，学生开始接触时自然会感到困难，加之2.1.1小节中不仅概念多，而且还有自由向量和位置向量的干扰，更使得向量的概念难上加难，因此向量的概念是学生学习的一个难点。当然，学生对向量的加法、减法运算及平行向量基本定理的理解会产生一定的困难，但学生如果很好的理解了向量的概念，则着几个难点的难度会随之降下来。5．本单元教材的编写特色

（1）用点的相对位置和位移理解向量（自由向量），用位移的合成理解向量的加法。（2）用放大、缩小理解数乘向量。用相似三角形的性质理解数乘向量的分配率。

二、本单元所需教学资源的概述

教学中可采用几何画板及实物投影等辅助教学

三、本单元学时建议

本单元教学可用5课时来完成，具体分配如下： 2.1.1向量的概念1课时； 2.1.2向量的加法1课时； 2.1.3向量的减法1课时； 2.1.4数乘向量1课时；

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1课时。

四、本单元的教学内容处理的几点想法 1．关于向量概念的教学（1）先由学生已有的位移的概念出发，引入向量的概念：

质点从A出发运动到点B，在从B点运动到点C，这时点C相对于点A的位置如何表示？

在由位移的概念引出向量的概念之后，再让学生联想已经学习过的力、速度、加速度等知识来加深学生对向量概念的理解。

注意这里不是先介绍物理中的力、速度或加速度，而是重点由位移出发，它的好处在于：

① 在说明某点相对于另一个点的位置时，更容易让学生具体的想到“大小”和“方向”； ② 从点的位移的角度更便于使学生理解自由向量；

③ 从位移的角度理解向量的概念的过程也为学生理解向量的加法打下伏笔。（2）在学生建立起自由向量的概念之后，对比自由向量认识位置向量的概念。

这里一方面要强调向量OA叫做点A相对于点O的位置向量，另一方面要指出在研究向量时，常常要把多个向量通过平移，使他们有共同的起点，这时每个向量就有其终点唯一确定。

（3）教材中P78第22行“由以上分析，一个平面向量的直观形象是平面上‘同向且等长的有向线段的集合’”这一说法值得商榷。2．关于向量加法的教学

（1）结合位移的概念（右图为向量第一节课图形）理解向量的加法的三角形法则和多边形法则。这样可使学生理解起来更加自然，从而达到降低难度的目的。

（2）把向量加法的平行四边形法则放在三角形法则之后，一方面可深化学生对向量加法的理解，也为学生日后学习向量的分解作知识准备。

（3）关于加法交换率abba的证明，采用下面的方法学生接受起来可能会比课本上的方法更自然（以两个向量不共线的情形为例）：

已知向量a,b。如图，作ABa,BCb，则ACab。作CDa，则四边形ABDC为平行四边形，BDACab，abba。

教学过程中，可考虑采取小组探究的方式，让学生寻找证明的方法。3．关于向量减法的教学

（1）类比数的运算理解向量减法的两种定义方式

方法1：实数的减法是加法的逆运算向量减法是向量加法的逆运算；

方法2：减去一个数等于加上这个数的相反数减去一个向量等于加上这个向量的相反向 量。

（2）从三角形法则和平行四边形法则两个角度理解两个定义

方法1：向量的减法作为加法的逆运算。从三角形法则角度看，两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，他们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量（下面图形中的左图）；

方法2：在相反向量的基础上通过加法定义向量的减法，用平行四边形法则理解更自然（下面图形中的右图）。

（3）可选配如下类型的例题、习题加深学生对向量加法和减法运算的例解: 化简：

①CDED；②ABDEDBEB。

4．关于数乘向量的教学

（1）类比数的乘法导入，并从图形的“放大”“缩小”来直观的理解数乘向量。

（2）对于数乘向量的三个运算率，一般不要求学生证明。对于分配律可指导学生课后阅读，对于前两个运算率，学生程度好的学校可选取其中之一给出证明，而另外一个让有兴趣的学生尝试课后给出证明方法。因为这个问题的证明有两个重要作用： ①强化从“大小”和“方向”两个角度把握向量概念的意识； ②培养学生分类讨论的数学思想。（3）对于例3也可采取下面的解法：

///OA3OA,AB3AB，///OA3OA,AB3AB，OA/B/OAB，OABOAB，OB3OB。/,///OB与OB方向相同，OB3OB。

本例从向量的形式表现了“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。5．关于向量共线的条件与轴上向量的坐标运算的教学

（1）平行向量基本定理的证明要求学生理解其中严谨的逻辑关系

当ab时，由数乘向量的定义知a//b；

当a//b时，若a0，由于b0，显然存在唯一的实数0使得ab成立；

bb若a0且a,b方向相同，取，则ab，即存在使得ab成立。

aa现假设有两个实数1,2使得a1b和a2b成立，于是1b1b，12b0。

b0，120,12。a0且a,b方向相同时，存在唯一的实数，使得ab成立；

类似地可证明当a0且a,b方向相反时，存在唯一的实数，使得ab成立„。

（2）通过例1的教学要引导学生体会以下两点

①由向量相等的一个条件可为我们带来“长度上的相等”和“方向上的平行”两个方面的结果；

②研究两个向量的关系（相等）时，常常要把两个向量用平面上不共线的两个向量来表示。（3）通过例2的教学要让学生掌握平行于同一个向量的两个向量平行。（4）轴上向量的坐标的教学要围绕平形向量基本定理的应用展开。

（5）教材中P91第11行“反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量axe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致”，这里的“方向与实数的符号一致”是不是改成“方向与实数的符号所确定的方向一致”更合适些。

第二篇：《平面向量的线性运算》教学反思

复习本节课，应该说是轻松的，复习目标无非是1，向量概念的梳理，2向量的线性运算，3，共线向量定理的应用，《平面向量的线性运算》教学反思。但实际上课过程中，我感觉很累，主要问题自己想了一下，主要是以下几点：1，自身对向量的概念还没有真正理解透，像有向线段只是向量的一种表现形式，但并不是向量，我不知道对于学生，我有没有让学生真正理解；2，板书不是强项，看到别的老师拿着三角板进行作图，本身自己作图就不太好，还随手画，对于学生不是一个好现象；3，时间的把握上，7班明明只有35分，我还是发现自己有些废话太多，导致没有像在8班完整上完，教学反思《《平面向量的线性运算》教学反思》。

第三篇：向量的线性运算竞教心得体会

课题：向量的线性运算

教学反思

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特，对于学生来说比较困难。

向量是高中重要内容之一，是解决几何问题、函数问题等重要工具。本节内容是平面向量的基础，向量的概念，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容，也是高考的热点内容。根据近几年向量高考试题分析发现，考查主要以选择题、填空题形式出现,侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查;与函数、解析几何交汇命题则以解答题为主，所以复习时以基础内容为主，进行适当的拓展练习。2014•考纲点击：

1.了解向量的实际背景；

2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示；

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.根据高考考纲要求，“平面向量的线性运算”的学习要求是:掌握向量加、减法和数乘运算，了解向量的线性运算的性质及其几何意义。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，理解平面向量的基本概念和几何表示，掌握向量的线性运算是解决这些问题的最重要的工具之一，同时也将为后续的空间向量的学习奠定良好的基础。向量的三类运算：

（一）几何运算：数形结合是求解向量问题的基本方法。向量加法重点讲解了三角形法则、平行四边形法则，减法讲解了三角形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，充分体现了数形结合的数学思想。

（二）代数运算：

1、加法、减法的运算法则；

2、实数与向量乘法法则；

3、向量数量积运算法则。

（三）坐标运算：平面向量的坐标运算是联结几何运算与数量运算的桥梁，在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用“解析法”来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

本节的特点：

1、运用类比、数形结合思想解决问题。

2、利用“向量法”解决实际问题。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法--向量法。向量法能将技巧性解题化成算法性解题，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

3、强化数学能力。指导学生综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。根据本节课的特点，我确定一下重、难点，重点：掌握向量的加法、减法及数乘向量的运算；难点：理解向量加法、减法及数乘向量的几何意义；基于本堂课的 教学重、难点和我班学生认知水平，本堂课我采用讲练结合的教学方法，引导学生自主探究、合作交流。新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生的引导者、组织者、合作者和促进者，因此本节课以学生动手练习为主题展开教学工作，在教师的引导和组织下，通过自主实践来抓住本节课的重点，进而突破本节课的难点。

教学体会

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高“向量法”的运用能力，充分发挥工具作用。

4、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养，提高引导学生发现问题、分析问题及解决问题的能力。

第四篇：3.1空间向量及其运算 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法

（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法

（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点

【教学重点】：空间向量的概念和加减运算 【教学难点】：空间向量的应用

3.教学用具

多媒体

4.标签

3.1.1空间向量及其加减运算

教学过程

课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算

课后习题

第五篇：3.1空间向量及其运算 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.教学重点/难点

重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理；

3.教学用具

多媒体设备

4.标签

教学过程

教学过程设计

（一）.复习引入

1、共线向量定理：

2、共面向量定理：

3、平面向量基本定理：

4、平面向量的正交分解：

（二）、新课探究： 探究一.空间向量基本定理

2、空间向量基本定理

3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

4、应用举例析： 知识点一向量基底的判断

例1.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？

解

∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．

假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.从而由共面向量定理知，c与a，b共面．

这与a、b、c不共面矛盾．

∴a＋b，a－b，c不共面．

【反思感悟】

解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．

知识点二用基底表示向量

（学生独立思考，然后讲解，板演解题过程）

【反思感悟】

利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．

探究二.空间向量的直角坐标系

1.单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，3.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝a1i＋a2j＋a3k.以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．

【反思感悟】

空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．

课堂小结

1、师生共同回忆本节的学习内容:(1)、空间向量的正交分解；(2)、空间向量基本定理；(3）、空间向量直角坐标系； 强调以下两个注意点：

2．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．

3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：

(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．

(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.课后习题 当堂检测

作业：请同学们独立完成配套课后练习题。

板书