八年级数学下册《反比例函数的图像与性质》教案 新人教版（合集五篇）

第一篇：八年级数学下册《反比例函数的图像与性质》教案 新人教版

反比例函数的图像与性质

教学目标：

(一)教学知识点

1.进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.(二)能力训练要求

1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.(三)情感与价值观要求

让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法.教具准备：多媒体课件 教学过程：

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=

44与y=-的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象xx限来研究了反比例函数的.我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k＞0时，y的值随x的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.Ⅱ.新课讲解 1.做—做

[师]观察反比例函数y=

246，y=,y=的形式，它们有什么共同点? xxx [生]表达式中的k都是大于零的.[师]大家的观察能力非同一般呐!下面再用你们的慧眼观察它们的 图象，总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化 的?能说明这是为什么吗？

(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相

交吗？为什么？

[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论.[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内.(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x逐渐增大时，函数值y逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.[师]大家同意他的观点吗? [生]不同意(3)小的观点.[师]能解释一下你的观点吗？ [生]从关系式y＝2中看,因为x≠0，所以图象与y轴不可能能有交点；因为不论x取x2永远也不为0，所以图象与x轴心也不可能有交点.x任何实数，2是常数，y＝ [师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2).观察函数y＝2的图象，在第一象限我任取两点A（x1,y1），B(x2,y2)，分别向x轴,yx轴作垂线，找到对应的x1,x2,y1,y2,因为在坐标轴上能比较出x1与x2,y1与y2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x1＜x2,y2＜y1,所以在第一象限内有y随x的增大而减小.同理可知在其他象限内y随x的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.[生]情况都一样.[师]能不能总结一下.[生]当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限 内，并且在每一个象限内，y随x的增大而减小.2.议一议

[师]刚才我们研究了y＝

246，y＝,y=的图象的性质，xxx246，y＝-,y=-的图象 xxx下面用类推的方法来研究y＝-有哪些共同特征? [生](1)y=-246，y=-，y=-中的k都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所xxx以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.(2)在图象y=-2中，在第二象限内任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2，y1>y2，所以x可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：

反比例函数y＝k的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当xk<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.3.想一想

(1)在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系?为什么?(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗? [师]在下面的图象上进行探讨.[生]设P(x1,y1)，过P点分别作x轴，y轴的平行线，与

两坐标轴围成的矩形面积为S1，则S1=｜x1｜·｜y1｜=｜x1y1｜.∵(x1,y1)在反比例函数y＝

kk图象上，所以y1＝，即x1y1＝k.xx1∴S1＝｜k｜.同理可知S2＝｜k｜，所以S1＝S2

[师]从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P，Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢?

[生]S1＝｜x1y1｜=｜k｜，S2=｜x2y2｜=｜k｜.[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x.轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.Ⅲ.课堂练习 P106

Ⅳ.课时小结

本节课学习了如下内容.1.反比例函数y＝k的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随，x值的增大而减小；当k

习题9.3 Ⅵ.活动与探究

反比例函数图象与三等分角

历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为OM的中点.∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.∴∠MOH＝1∠POH.3 问题在于，如何确定线段OM两端点的位置，并且保证O，Q，M在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢? 帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝

1的图象交于点P，以P为圆心；以2OP为半径作弧交图x象于点R.分别过点P和B作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接OM得到∠MOB.(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?(2)你能说明∠MOB＝

1∠AOB的理由吗? 3(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1，1111),R(a2,)则Q(a1，)，M(a2,）.a1a2a2a1 设直线OM的关系式为y＝kx.∵当x＝a2时，y=1 a1 ∴111=ka2,∴k=.∴y=x.a1a1a2a1a21 a2 当x=a1时，y= ∴Q(a1，1)在直线OM上.a2(2)∵四边形PQRM是矩形.∴PC=1PR=CM.∴∠2＝2∠3.2 ∵PC=OP，∴∠1＝∠2，∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，即∠MOB=1∠AOB.3(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.

第二篇：反比例函数的图像与性质教案

《反比例函数的图象与性质》

授课教师：还地桥镇松山中学卢青

【教学目的】

1、知识目标：经历观察、归纳、交流的过程，探索反比例函数的主要性质及其图像形状。

2、能力目标：提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平。

3、情感目标：让学生进一步体会反比例函数刻画现实生活问题的作用。

【教学重点】

探索反比例函数图象的主要性质及其图像形状。

【教学难点】

1、准确画出反比例函数的图象。

2、准确掌握并能运用反比例函数图象的性质。

【教学过程】

活动

1、汇海拾贝

让学生回忆我们所学过得一次函数y=kx+b(k≠0)，说出画函数图像的一般步骤。（列表、描点、连线），对照图象回忆一次函数的性质。

活动

2、学海历练

让学生仿照画一次函数的方法画反比例函数y=2/x和y=-2/x的图像并观察图像的特点 活动

3、成果展示

将各组的成果展示在大家的面前，并纠正可能出现的问题。

活动

4、行家看台

1．反比例函数的图象是双曲线

2．当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内

当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内

3．双曲线会越来越靠近坐标轴，但不会与坐标轴相交

活动

5、星级挑战

1星：

1、反比例函数y=-5/x的图象大致是（）

2、函数y=6/x的图像在第象限，函数y=-4/x的图像在第象限。2星：

1、函数y=(m-2)/x的图像在二、四象限，则m的取值范围是

2、函数y=(4-k)/x的图像在一、三象限，则k的取值范围是3星：

1、下列反比例函数图像的一个分支，在第三象限的是（）

A、y=(3-π)/xB、y=2-1/xC、y=-3/xD、y=k/x2、已知反比例函数y=-k/x的图像在第二、四象限，那么一次函数y=kx+3的图像

经过（）

A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限

C、第一、三、四象限D、第二、三、四象限

4星：

1、在同一坐标系中，函数y=-k/x和y=kx-k的图像大致是

2、反比例函数y=ab/x的图像在第一、三象限，那么一次函数y=ax+b的图像大致

是

5星：

1、反比例函数y2m

1xm28,它的图像在一、三象限，则

2、反比例函数y

活动

6、回味无穷 k4k2，它的图像在一、三象限，则k的取值范围是x

1．反比例函数的图象是双曲线

2．当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内

当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内

3．双曲线会越来越靠近坐标轴，但不会与坐标轴相交

活动

7、终极挑战

如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=(k2-5k-10)/x的图像上，若点A的坐标是（-2，-2）则k的值为

第三篇：《20.7反比例函数的图像、性质和应用》

《20.7反比例函数的图像、性质和应用》教学设计

一、指导思想：

《数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。”在学习反比例函数的图像时，要组织学生画出反比例函数的图像，给学生提供体验反比例函数图像的画法。在学习反比例函数的性质时，引导学生经历由具体到抽象的过程，通过恰当的问题引导学生归纳出反比例函数的性质。通过几何画板进行直观展示，使学生获得几何直观。在选择教学内容时，要考虑中考和期末考试的需要。

二、学情分析：

学生参与课堂学习的积极性比较低，特别是11班的学生更加明显。他们不能认真听讲，不能独立思考。学生缺乏有效的学习方法。不会进行观察、不会进行抽象概括，不会预习，不会学习，不会复习，不能按时完成作业，不能接受老师的批评教育，逆反情绪明显。

因此，在本单元教学过程中要组织学生开展预习、复习活动。在教学过程中，要注意引导学生认真听讲，对没有认真听讲的学生进行提醒。

三、教材分析：

（一）、地位和作用

通过对反比例函数的学习，进一步丰富了研究函数的内容和方法。所以搞好反比例函数的图像和性质的教学，对将来进入高中后对出等函数全面深入的学习具有重要的意义。在教学过程中，不仅要注意对函数知识、技能的落实，更要注意对研究函数方法的渗透，比如画图像、分析函数解析式的特点、观察函数图象归纳函数性质，了解函数的变化规律和函数变化趋势。

（二）、考点分析。一次函数常常与反比例函数、三角形的面积结合在一起进行考察。

四、教学目标：

1.使学生在了解自变量和因变量的对应关系特点的基础上，掌握反比例函数图像的画法。能根据反比例函数的解析式正确了解它的图像分布规律以及图像与坐标轴的位置关系。会用待定系数法确定反比例函数的解析式。继续提高数学知识的应用意识，会把相关问题归结为反比例函数问题，并会运用反比例函数的性质加以解决。

2.经历反比函数的性质的形成过程。增强学生数形结合的数学思想。3．提高学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯。

五、教学重点、难点分析

（一）、教学重点：反比例函数的图像、性质和应用。

（二）、教学难点： 反比例函数的增减性和反比例函数的应用。

（三）、教学关键：掌握图像的画法，熟悉解析式的参数和函数的图像形状、位置特征的关系是教学的关键。

六、多媒体准备：按课时准备好ppt课件。在学习二次函数的性质时，通过几何画板进行验证。

七、课时计划

本单元教学时间3课时。1.反比例函数的图像一课时； 2.反比例函数的性质一课时；

3.反比例函数的应用一课时。如果有必要可以增加一课时。

八、计划采取的措施 1.做好学生的思想工作。将反比例函数的学习作为新的学习起点，避免产生新的问题，防止问题成堆。

2.制作好课件。上网查阅资料，建立资料库。对搜集的课件进行整理，选择适合所教班级实际的教学方式。如果需要进行动态展示，就要进行动态展示，丰富学生的直观意识。在教学过程中，要将课件与板书进行有效整合。

3.做好三本练习册。做练习册有利于教师选择恰当的教学内容。在做练习册的过程中，教师一边做一边思考解题注意事项，并且在半数中体现出来，有利于学生积累解决问题的经验。2013年11月5日星期二

第四篇：反比例函数的图像和性质教学设计说明

教学设计说明

一、本课数学内容的本质、地位、作用分析

本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质．反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在．

反比例函数是最基本的初等函数之一，是继一次函数学习之后，对函数学习的一般规律和方法的再次强化．是学习后续各类函数的基础．反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是转化思想的具体应用．再次，将函数中变量x、y之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐 标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想．

因此，学好本节课内容将为今后的函数学习奠定坚实的基础．

二、教学目标分析

1．准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提．虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习中的目标之一．通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解；

2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输．在探究反比例函数性质时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质．

3．通过对反比例函数性质探究，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．

三、教学问题诊断

对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但对每步要求的理解并不深刻．因此，在画反比例函数图象时，常遇到如下的问题：（1）“列表”时确定自变量x的取值缺乏代表性及忽略x0等现象；（2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；（3）对双曲线与x轴、y轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解．

在学习一次函数的时候，学生已经对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，但由于反比例函数图象比一函数图象的形态丰富，结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深刻理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难．

四、教法、学法特点分析 1．找准切入点

从正比例函数切入，通过类比学习揭示本节课学习内容，明确学习任务；渗透探究反比例函数图象和性质的方法．

2．抓住关键点

准确作出反比例函数的图象是探究性质的前提，探究性质的关键是“形”与“数”间的转化．

① 作图

（Ⅰ）描点法作图不是简单的复习与应用．“列表——描点——连线”体现的是描点法作图的一般步骤，而思维的真正起点在于对“解析式”中常量、变量以及变量间关系的分析（k0，x、y的取值以及x与y间的反比例关系），进而对函数图象的大致轮廓形成影象．这也是函数学习中作一般函数图象的思维规律．

（Ⅱ）连线时需防止学生受一次函数图象是一条直线的影响，而产生认识负迁移，把曲线连成折线．

（Ⅲ）图象由 “一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，折射出函数学习的深刻性，是继一次函数后，知识上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃．

②“形”与“数”间的转化

（Ⅰ）反比例函数性质本身就是“数”与“形”的整合体．（Ⅱ）探究反比例函数性质的思维主线是“数”“形”间的转化．（Ⅲ）“数形结合”是研究函数性质的一般方法． 3．注重发散点

反比例函数的性质是教材中的一个发散点．可以给学生一个更广阔的思维空间，让学生经历观察、类比、猜想、知识拓展的过程，在思维的“最近发展区”内，提出更新的问题，得出更多的结论．但如何发散，有个“度”的把握问题，诸如：k的几何意义；反比例函数ykk与反比例函数y图象的对称关系，反比例函数增减性的严格证明等，我的想法

xx是作为下节内容或以后结合例题去研究．

4．教学过程紧扣“三条主线”

教学中突出三条主线，并注重三条主线的和谐发展．

一是知识的“产生（反比例函数的图象是什么样的？）——发展（描点法作图、探究）——形成（反比例函数的图象和性质）——应用”主线；二是学生“动手（作图）——探究（观察、类比、猜想、交流）——巩固（练习）”的活动主线；三是教师“指导作图（列表：自变量取值, 连线：曲线的间断、大致趋势等）——引导探究（类比）——解析（归纳、概括、）——评价”的因“学”施“教”过程．

4．注重思想方法的培养

反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法．这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．再次，将函数中变量x、y之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势“细微”到点，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想．

5．注重学法指导

对于反比例函数图象及性质的研究与学习，尽管还处于函数学习的初级阶段，但它所体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化．教材中呈现的“函数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的结构，是学习初等函数时不可或缺的．使学生理解这样的“同构现象”，对于明确学习任务，建立完善的认知结构也将是非常有意义的．再有，用描点法画反比例函数的图象时，先由函数解析式考虑自变量的取值范围，分析x、y的对应变化关系，然后构思函数图象的大致位置、轮廓、趋势，进而列表、描点、连线作出函数图象，反映了作函数图象的一般规律．另外，利用图象“特征”确定函数“特性”，也是初中阶段研究函数性质的常用方法．

第五篇：反比例函数的图像和性质教学设计

“17.1.2反比例函数的图象和性质”教学设计 江苏省南通市第一初级中学 许 磊 摘 要：“17.1.2反比例函数的图象和性质”是在学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．基于从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值的理念．本教学设计，通过引导学生类比一次函数，自主发现反比例函数的图象和性质，并借助多媒体加以验证，在教学过程中通过自主探究、小组研讨、学生设计问题等环节充分激发学生的学习兴趣．

关键词：类比；数形结合；自主探究；自主设计问题

一、内容和内容解析

内容

人教版课标教材八年级下册“17.1.2反比例函数的图象和性质”。

内容解析

函数是刻画变量之间关系的数学模型，本节课是学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．教学中，应从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值．

教学重点

对反比例函数性质的探究和掌握．

二、目标和目标解析

目标

能描点画出反比例函数的图象；能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（为常数，≠0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析并解决一些简单的实际问题．

目标解析

（1）能描点画出反比例函数的图象。

（2）能根据图象数形结合,引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。

（3）能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由决定这一性质。

（4）使学生在学习一次函数的性质之后，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步学会数形结合的思想方法。

（5）在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，使学生在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟．

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图象、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念．但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题．

学生在描点作反比例函数的图象时，可能会出现以下问题：

（1）取点时，都取正值，导致只画出一支曲线；

（2）由于所取的点较少，导致图象失真；

（3）连线时习惯用线段，导致出现“硬转弯”的折线图；

（4）习惯性的过原点或与两坐标轴相交；

„„

基于以上可能出现的问题，教学时将采取正面引领（展示学生所画的正确图象，回顾作图步骤），反面剖析（展示学生所画的错误图象，分析错误原因），实践操作（学生再画函数图象时，不仅能正确作出函数的图象，而且能在作图中体验、探索函数的性质）3个步骤加以解决．

在学生探究反比例函数性质时，对于函数的增减性会出现不加“在每个象限内”这个限定条件的错误．教学时将采取举例说明的方法，让学生自主发现问题、解决问题，从而加深对反比例函数增减性的体验和理解．

四、教学支持条件分析

为了高效实现教学目标，可以借助计算机进行辅助教学．在学生观察图象、探究反比例函数的性质时，可以借助《几何画板》将较多反比例函数图象呈现给学生，既节约时间，又有利于学生进行观察、总结．在“设计问题”环节的教学，如有学生提出与面积有关的问题，可以通过《几何画板》演示点在不同反比例函数图象上的移动，引导学生发现代数与几何之间的内在联系和统一，将课堂延伸到课后，并为下一课的教学做好铺垫．

五、教学过程设计

问题1：上一节课我们已经学习了反比例函数的定义，那么什么叫做反比例函数？

（形如（）的函数叫做反比例函数．）

（教师板书：反比例函数（）。）

今天我们就来探究反比例函数的图象和它的性质．

【设计意图】通过类比正比例函数的学习，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路．

问题2：请大家尝试着画一画反比例函数的图象．

（教师展示学生作品，并让学生交流作图步骤和注意点．）

【设计意图】学习正确的作图过程，在填表过程中感受随变化的规律，为基于图象探究函数性质打下基础．

问题3：（教师首先展示学生所画正确的函数图象）很好！这名同学画出来的函数图象非常优美．下面要展示的几幅图同样是来自同学的作品，能不能反思一下它们的问题在哪里？这样我们下次就能画出更美的曲线（展示几幅学生所画有错误的函数图象）．

【设计意图】重视反例教学，充分开发和利用“错误”资源，感受反比例函数的性质．

问题4：很好！下面请大家按照正确的步骤和方法再画一下函数的图象．

（1）列表（如表1）。

表1

…

-6-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 …

（2）描点。

（3）连线．

(教师展示学生所画图象。)

【设计意图】加深学生对作反比例函数图象的认识，达到“能描点画出反比例函数的图象”的教学目标；并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质，如通过列表发现决定了图象所在的象限等．

问题5：观察反比例函数的图象是两条曲线．

（给出函数图象名称：双曲线．）

教师借助于计算机，画出了更多反比例函数的图象，仔细观察，类比正比例函数的性质，引导学生总结反比例函数的性质．

（开展小组协作、讨论。）

（教师板书：当k>0,在每个象限内，随的增大而减小;当k<0,在每个象限内,随的增大而增大.）

【设计意图】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．

问题6：总结（如表2）。

表2 名称 解析式

图象

图象分布

函数变化情况

反比例函数

师：对于反比例函数，我们一定要注意这三者之间的关系：图象，的正负，函数的增减性．可以说，只要知道其中一个，就可以知道另外两个．

【设计意图】通过与正比例函数的比较，加深学生对反比例函数的性质的理解，尤其是要理解决定了函数的变化规律，提高学生的归纳总结能力．

问题7：一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系用图象表示大致为（）。

【设计意图】从实际问题抽象建模成反比例函数，同时引导学生注意实际问题中自变量的取值范围．

问题8：你能补全这道选择题吗？

以下各图表示正比例函数与反比例函数（）的图象，其中正确的是（）。

【设计意图】从图中识别不同的函数，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识与函数图象的关系．

问题9：下列反比例函数图象的一个分支，在第三象限的是（）。

（A）

（B）

（C）

（D）

【设计意图】帮助学生辨析一个常见错误（少数学生会误认为是函数解析式中的大于0或小于0）．

问题10：若点（-2，y1），（-1，y2），（2，y3）在反比例函数的图象上，则（）。

（A）y1 > y2 > y3

（B）y2 > y1 > y

3（C）y3 > y1 > y2

（D）y3 > y2 > y1

【设计意图】加深学生对反比例函数增减性的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．

问题11：如图1，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点在点的右侧，则的取值范围是

．

图1

【设计意图】加深对反比例函数增减性和“在每个象限内”的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．

问题12：已知反比例函数，你能运用今天所学的知识，设计一个关于的问题么？

例如，函数图象位于第二、四象限，求的取值范围．

解：因为双曲线在第二、四象限，所以。所以。

【设计意图】让学生基于本节课所学的知识设计问题，对学生提出了更高的要求，使学生获取知识和技能的同时，激发学习数学的兴趣，并使智力得到发展，能力得到培养．

问题13：学生总结．

作业：教材P46页习题17.1 3第8题、第9题．

【设计意图】让学生通过自我总结，更加系统、全面地认识本节课的知识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想。

六、目标检测设计

1.选择题

（1）反比例函数的图象位于（）。（A）第一、二象限

（B）第一、三象限

（C）第二、三象限

（D）第二、四象限

（2）已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（）。

（A）y随x的增大而增大

（B）函数的图象只在第一象限

（C）当x＜0时，必有y＜0

（D）点（－2，－3）不在此函数图象上

（3）若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是（（A）-1

（B）3

（C）0

（4）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（）。

（5）已知，则函数和的图象大致是（）。

（6）函数的图象上有两点，若0<，则（）。

（A）

（B）

（C）

（D）、的大小不确定

2.填空题

（7）已知下列反比例函数：

。D））

（①；

②；

③；

④；

⑤。

图象两支分别在第一、三象限内的函数是___________；

在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大的函数有___________。

（8）函数，当x>0时，图象在第____象限，y随x 的增大而_________。

（9）已知2，4，m是三角形的三边长，那么双曲线的两支在第_____象限内。

（10）双曲线的两个分支分别位于第象限．

3.解答题

（11）反比例函数的图象如图2所示，是该图象上的两点．

①比较与的大小；

②求的取值范围．

图2

（12）已知一次函数与反比例函数的图象交于点．

①求这两个函数的函数关系式。

②在给定的直角坐标系（如图3）中，画出这两个函数的大致图象。

③当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

答案：（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）D；（6）A；（7）①③⑤，②④；（8）一，减小；（9）

一、三；（10）

二、四；（11）>，；（12），当时，一次函数的值大于反比例函数的值，当时，一次函数的值小于反比例函数的值.【设计意图】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．

注：

江苏省南通市课题组成员：袁亚良，王兴富，李明生，蔡新春，陆志强，马公仕，许磊，葛媛，徐向清，徐强，陶慧，陈天龙。

教学设计中的“问题8”选项D缺图——D选项是由学生设计的问题，所以应该空着，不需要修改

本文发表于《中国数学教育》初中版2011年第1、2期