《多位数减法练习课》课堂教学实录 华应龙

第一篇：《多位数减法练习课》课堂教学实录 华应龙

《多位数减法练习课》课堂教学实录 华应龙

2010-04-01

执教年级：四年级 执教课时：1课时

师：小明很高兴，因为他将和学生代表团去台湾和法国，他爸爸也非常高兴就给他准备了一个密码箱。小明高兴的同时也担心万一把密码给忘记了呢？他爸爸对小明说儿子我们来玩个游戏，玩完了之后你就知道密码设一个什么好，就算是密码忘记了也能很快的找出来。你们说这个游戏好不好？

生：（齐声）好。

师：游戏是这样的，你写三个不同的数字。（板书：三个不同的数字）你们写在练习纸上。（生纷纷写）谁告诉我你写的是什么？

生：我写的是367。

师：我说的是三个不同的数字，应该怎么表达？ 生：3、6、7。

师：对了，如果是367就变成了一个数了。你呢？ 生：我写的是1、2、3。

师：如果一个同学写的是4、5、12你觉得行不行？ 生：（齐声）不行。师：为什么不行？

生：因为你要求的是我们写三个不同的数字，12是个两位数，这样总共就是四个数了。

师：对，三个不同的数字就只能从0到9十个数字之间去选。小明写的是4、7、5。他爸爸说你用这三个不同的数字组一个最大的数。（板书：最大的数）是多少？

生：（齐声）是754。师：再组一个最小的数是多少？ 生：是457。

师：接着他爸爸说用最大的数减去最小的数，754－457等于多少？ 生：297。

师：297又是由三个不同的数字组成的，用这个数组成一个最大的数是多少？ 生：（齐声）是972。师：最小数是—— 生：（齐声）279。师：相减的话是多少？ 生：（齐声）693。

师：可以一直减下去，现在你们把刚才自己写的三个数字按照这样的规则下下去，看谁写得多，漂亮。（同学们迅速地拿出纸和笔认真地写，老师巡视，还叫了个学生上黑板上黑板上写，讲台上的同学写着写着发现总写都是495，很多同学也不再往下写了）

师：怎么了？

生：写不完。495在重复，总减都这样。师：写不完，真的写下去就还是495吗？ 生：组成的数字在重复，所以减出来的数还是495。

师：495组一个最大的数还是954，组一个最小的数还是459，所以得出来的答案总是495。那其他的同学为什么也停下来不算了也是后面重复出现了，还能算出一个新的结果来吗？算不出来，刚才算了停下来不算的举手。（纷纷举手）看看这个同学的用1、5、7组成的数字。（生笑）师：（师笑）这个同学只顾着写，没有回头看看，还要不要再写了？

生：（齐声）不要了。师：所以我觉得刚才那些停下来没有写的同学非常棒。鼓掌！（生掌声）看着黑板上这个同学写的让我想到一句话，千金难买回头看！（板书：千金难买回头看）读一遍。

生：（齐读）千金难买回头看。师：这句话是什么意思啊？

生：我觉得是一千克金子都买不到回头一看。

师：（师笑）就是说很多很多的钱都买不到回头一看。就说明回头一看是多么的宝贵啊！我们回头一看的时候除了发现这一点你还能发现什么，生：它的前面还可以算出594，693，396。师：大家看看是这样的吗？ 生：（齐声）是。

师：好，看看我搜集的一个作品是不是这样的？

师：用的数字不同，算出来的数字都是495，不但如此还发现前一个是多少？

生：（齐声）594，693，792，792，198，198。师：真奇怪，有没有人不一样的？ 生：第一个算出来就是594。师：第一个就是594接着就是多少？ 生：495。师：你呢？

生：我算出来的第一个就是495了。

师：我们得到495的步数可能不一样，有的少几步，有的就多几步，但是得到的结果是不是都是这样的数字组成的呢？

生：是。

师：这是我们的新发现，还能发现什么？ 生：看到得出来的结果中间的数都是9。师：厉害！再想想为什么都是9呢？ 生：9的旁边两个数加起来还是9。

师：（师笑）好，真会学习，也就是个位和百位加起来也是9。他这个发现好不好？ 生：好。

师：是了不起的发现，给他鼓半个掌声。（啊！学生惊呼）老师刚才问的是为什么十位上是9，他没有答，现在谁知道？

生：因为最大的数十位是一样的，最大数的个位要比最小数的个位要小，所以减的时候要向十位借一位，到了十位要减的时候就不够减了，所以减下来的数就是9了。

师：说得真好，两点非常重要，第一就是最大的数和个位的数是相同的，第二就是最大的数的个位比最小的个位要小，减的话就一定要退位所以中间的数就应该是9，把掌声给她。（生掌声）这样一分析是不是觉得我们看到的背后都是有原因的啊——

生：是。

师：刚才那个同学说百位个位加起来是9，是不是这样的？ 生：是。（点头）师：这个又是为什么呢？

生：因为这两个数都是可以被9除的，而被9除的数加起来都是9。（生没有反应，似乎没有听懂）师：你们都不知道说的是什么意思？真棒这是六年级才学到的内容，这背后也是有原因的，等你们到了六年级就明白了，这个同学回答得太棒了。我们回头一看发现都是495，再也出不来了，这是第一点。我们还发现不但是495，495前面的数也一样，十位上全是9，百位个位加起来等于9。发现了这些规律你检查下算到495了吗？有没有同学没有算到495的。（纷纷摇头）太厉害了，一个也没有！给自己鼓掌。（众掌声）可以下课了，你们那么厉害！

生：再玩回儿。（呵呵）师：刚才我们琢磨的是3个不同的数字经过这样的规则最后就算出这样一个奇怪的495，知道这个495有一个特别的名字——“数字黑洞”。黑洞你们听说过吗？

生：（齐声）听过。师：好，请看大屏幕。师：谁来说说你对黑洞了解些什么？

生：连光都逃脱不了黑洞的吸力。

师：黑洞它的吸引力非常非常地大，什么物体都能吸进去包括光线。谁还知道些什么？ 生：黑洞能把所有的东西能够变成纸一样的东西。

师：纸一样的东西说明还有啊！还能看到像纸一样的东西吗？（师笑）黑洞是宇宙中的一种天体，质量非常非的大，最小的黑洞是太阳的几倍几十倍，最大的黑洞是太阳的几十亿倍。

生：哇„„（异口同声）

师：（师笑）受不了是吧，所以黑洞的吸引力特别地大。那这个数字黑洞—— 生：吸引力也非常大。

师：对，只要是三个不同的数字它就能把它吸进去，就再也出不来了是不是？ 生：（齐声）是。

师：三个不同的数字黑洞是495那小明的密码就可以设成多少？ 生：（齐声）495。

师：忘记了，也可以再算出来。忘一密码不是三位的呢？如果是四位的呢，四个不同的数字算出来的数字黑洞是多少？你还有什么问题呢？（板书：四个）

生：两个数字的。

师：两个数字的数字黑洞是什么呢？我们说的三个不同的数字，如果三个数字相同的呢？（板书：2个）生：那就是个零了。

师：是零，也是个洞。（呵呵）如果三个不同的数字里面有零的话还是495吗？ 生：（齐声）是。

师：（呵呵）别说那么早，这些问题你想研究哪个问题呢？你们自己选择一个你们最想研究的问题写在纸上。

（同学们迅速地在纸上写着答案，老师巡视）

师：我看到很多同学都已经有研究结果了，谁愿意带着你的答案上来展示一下？研究4位的先来。（一 生走上讲台）

生：我研究的是6、5、1、2，按照三位数字的规则一直减下去，发现到最后总算都是6174。所以我的结论是4位数的数字黑洞是6174。

师：他说完了你们有意见吗？大家跟他一样的举手。（纷纷举手）真好，还有研究0的吗？ 生：我是研究带有0的三个不同的数字，我研究的是0、1、2到最后也是495。师：（呵呵）这个同学一步就算出来是495大家同意吗？ 生1：为什么你写的是0、1、2，算式又是803呢？

生：因为我发现0、1、2，算出来有很多很多的数字，所以算的时候我就改成是8、0、3我发现这个数字第一步算出来就是495。

师：一开始用的是0、1、2，后来改成了8、0、3，还有什么问题？ 生：8、0、3组成的最大的数字应该是830？（生低头）

师：回答她的问题，怎么埋头啊？（情不自禁地笑）看来这个验证还要再完善些。有没有也研究0的？ 生：我研究的是4、2、0我算到的最后的结果495。

师：看到她这个研究怎么样，（纷纷点头）不错，大家鼓掌！（声掌声）今天我们就研究到这，亲金难买回头一看，回头一看是多么的美妙，多么的有趣。请你回过头想想这节课我们是怎样开始的，进行的，又发现了什么，你有什么收获？

生：三个不同的数字算到最后还是495。师：495是个奇怪的数字，还有谁？ 生：我知道495是数字黑洞。师：还有不同的收获？

生：我发现6714是四为数的数字黑洞。师：对，这个是收获，你呢？

生：我觉得每次计算完应该回头看一看。

师：真好，每次都要回头看一看，我们还有很多很多的收获时间关系我们就不说了，我们刚才说到个位和百位加起来都是9我们要到六年级才能明白，十位上是9我们现在就能明白。为什么三个不同的数字算到的数字黑洞就是495而不是其它的数字呢？（纷纷摇头）不明白是吧？想知道答案吗？

生：（齐声）想。

师：全世界现在还没有一个人能够说清楚这个原因。如果你研究出来了，你就是全世界人的老师。生：哈哈。师：时间到，下课！生：（齐声）老师，再见！

【专家评点】

练习课是对在教学内容已经新授之后，进一步针对教学内容进行巩固提升的课型。练习课的常貌一般是通过大量的习题，通过学生解决问题的过程达到各个教学点的训练以及综合训练。尤其是关于计算的练习课，更是通过大量板着面孔的题目对计算中的各个问题进行有针对性的训练。而华老师的这节练习课，别有一番风味，把炒冷饭变成了诱人的扬州炒饭。

在数学文化神奇而美丽的面具下，学生进行了大量多位数减法的练习，改变了练习课的面貌。正是这样一个面孔，给了孩子不一样的感受，大大增强了学生的兴趣，使得学生对计算之爱犹如泉眼喷涌，这时的学生喜欢计算。使得学生不知不觉中，通过对数字黑洞问题的挑战，达到了一定程度的退位减法练习。

在练习的同时，学生收获了计算中的规律——数字黑洞，增加了练习课的文化味道。在发现规律的过程中，很好地处理了一般与特殊的关系，关注到特殊数字“0”的时候，给通性通法以重要地位。通过规律的迁移，学生自己随意选择的三位数都可以出现黑洞；不仅三位数可以出现黑洞，四位数和两位数也都可以出现黑洞。使得规律的一般性得到重视，规律的通用味道很足。

练习的同时，更为可贵的是收获了思考问题的方法——回头看，增加了练习课的方法味道。在计算过程中，学生通过“回头看”可以发现规律，通过“回头看”可以产生更为系统的认知。通过计算练习课，学生意识到“回头看”的重要，在以后的学习历程中，将“回头看”养成习惯，将会给学生带来很大益处。

本节课知识目标是多位数减法练习，过程目标是规律与方法。观课后的感觉，本节课非常好地凸显了过程与方法目标，但感知目标不是完全到位。练习的数量很足，但是不是缺少了练习课的练习效果？一方面，学生不是刚刚学完这个内容，已经经历过一段时间的巩固，显得错过时机的减法练习不是那么的必要；另一方面，对多位数减法中学生计算问题的处理显得重视不足。

（范存丽 评点）

第二篇：《多位数减法练习课(移植课)》教案设计

教学目标：

1、正确熟练进行多位数减法计算。

2、提高发现规律和提出问题的能力，初步感悟猜想、验证、常识等研究方法。

3、感受数学的神奇与魅力。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

1、出示图片，观察表情

导语：今天老师给同学们带来一位新朋友，请同学们观察他的表情怎样？

2、提出问题——旅行箱设置什么密码？

师：事情是这样的：小明将要参加一个夏令营，他的爸爸给他买了一个带有三位数的密码旅行箱。他跟高兴，但是他又想了想，万一不小心把密码忘了怎么办？这时他爸爸说：儿子，别着急，我们来玩一个游戏，玩了这个游戏你就知道密码要取什么比较好了，即使是忘记了也能很快的找回来。同学们你们愿意一起玩这个游戏吗?

3、游戏规则

师：游戏规则是这样的：写出三个不同的数字（请同学在练习本上写出三个自己心里所想的不同的数字）把这三个数字组成一个最大的数和一个最小的数，然后把最大的数和最小的数相减……

二、练习三位数减三位数

师：请同学把自己写的不同三个数字组成一个最大的数和一个最小的数，然后把最大的数和最小的数相减，接着把它们的差再组成一个最大的数和一个最小的数继续相减，按这样的规则，一步一步地算下去，咱们来比一比，看谁在在规定的时间内写的算式又对又多。（建议用竖式，不用横式）

三、发现问题，发现规律

学生提问，学生解答，教师帮助。

1、发现问题——疑惑

算式954－459＝495怎么老不停的重复？

2、学生交流汇报

3、发现规律

4、千金难买回头看

5、计算有误的查找原因

独立思考，小组交流。

四、复习计算多位数减法时要注意什么？

小组交流，全班交流。

五、介绍“数字黑洞”

1、出示黑洞的图片

2、理解（解释）黑洞

六、再次练习多位数减法——寻找四位数字的数字黑洞

七、谈谈你的收获和体会

第三篇：华应龙课堂教学观摩体会

走近名师，为学日益

听《认识圆》心得体会 沙溪镇第三小学 袁 爽

11月24日，我有幸现场听了特级教师华应龙老师的《认识圆》这堂课。无论是这堂课还是华老师都给我留下深刻的印象。钱钟书曾戏虐的说过，如果鸡蛋好吃何必想要看看下蛋的鸡呢？我是好奇之人，到底是什么样的鸡才下如此好吃的鸡蛋呢？一千个人眼中有一千个哈姆雷特，每个生命个体都是唯一的，因此每个视角也是独特的。我对此次的听课有一点心得与君共勉。俗话说不愤不启、不悱不发，华老师的课给我的启发，主要表现在以下三个方面。

第一，数学的文化、美育功能

新课标中提到：义务阶段的数学，其基本的出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。因此数学还应该具有文化、美育的功能。华老师的课中渗透数学的文化、美育功能俯首皆是。教学设计可谓是图文并茂，从圆的定义：圆，一周同长；圆的特点：大方无隅；画圆工具：无规矩不成方圆等等，到同时代的人物场景或人物图片。一方面让数学课生动有趣，另一方面让学生了解圆不是今天才发现的，感受我国数学的发展和先人的智慧。谁说数学里只有思维、逻辑，华老师不正向我们展示了数学的文化、美育功能吗？其实学理偏爱文，古今中外皆有。大家都知道爱因斯坦是20世纪最伟大的物理学家，同时他还是伟大的艺术家、文学家。其实知识是相融相通，各种学科或是知识都好比淙淙的小溪，无论流经哪里都会汇入大海融合在一起。

北京奥运会的口号是人文奥运，为什么我们的数学不能是人文数学？在数学中渗透人文知识，不是要学生记住这些知识，而是发扬数学文化功能，渗透数学美育功能。我们怎样在教学中体现数学的文化、美育功能呢？个人认为先要提升自己的文化素养，才能在教学中实现以上功能。现在我才真正认识到何为特级，不愧为特级教师，处处张显与众不同。他教数学，却有着深厚的文化底蕴，是我辈望其项背的。古今中外关乎数学关乎教育的名言信手拈来就是。我想他一定读了许多的书，才会有如此丰富的思想，才会有如许多的思考。一直觉得自己还是读了点书，心中有一点笔墨的，今天才发现是如此的肤浅，相形之下，我真是自惭形秽啊。华老师为什么能腾出时间读书？都说罗马不是一天建成的，读书也不是一天就可以完成的，需要日积月累。尤其是我们这样的学校，学生的文化素养普遍偏低，教师要保持源源不断的活水供给学生就要多读书读好书。

第二，关注细节，关注生活

在教学中我也发现有学生注意力不集中或不愿听？原因可能有好多种，但对于教师来说，学生显示对出知识内容不感兴趣是他在学习中遇到困难的原因之一。《给教师的100条建议》中提到，知识在他们那里常常变成了不能活动的“货物”，积累知识好像就是为了“储备”，而不能“进入周转”，知识没有加以运用。知识——这就意味着能够运用。只有当知识成为精神生活的因素，占据人的思想，激发人的兴趣时，才能称之为知识。知识的积极性、生命力，——这是它们得以不断发展、深化的决定性条件。而只是不断发展、深化的知识，才是活的知识。只有在知识不断发展的条件下，才能实现这样的规律性：学生掌握的知识越多，他的学习就越容易。但一些知识好像脱离了学生的精神生活，脱离了他的智力兴趣。掌握知识对学生来说变成了一件讨厌的、令人苦恼的事，最好能够尽快地摆脱它。我很赞同以上的观点。课标中也提到不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程。汪中求在他的书中写到细节决定一切。华老师的课正是从生活出发并关注细节。让我难忘两个细节是寻宝游戏和篮球赛。新课的导入用了一个寻宝游戏，并贯穿整个圆认识活动的始终。“宝物在据小明左脚三米的地方”引发学生思考宝物可能在哪里？进而自然的由学生提出宝物所在的位置构成了一个圆。这种游戏启发学生思考，学生跃跃欲试都想解决这个问题，学生的胃口就被吊起来了。好的开始是成功的一半。另一个就是接连两次出现的篮球比赛的录相，04年雅典奥运会八分之一小组赛和NBA的一个比赛场景。赛事是学生熟悉，第一个赛事的出现是前奏，为了调节学生的心绪到课堂中来，第二个赛事是为了让学生看到圆就在身边，同时启发为什么篮球中圈是圆形？除了以上两个还有许许多多我们常见的却视而不见的生活中的圆。

第三，面对突发问题或困难时的应对心理

每个人都会遇到意想不到的突发问题，这时候你会怎么想，怎么办呢？我们先来看看华老师是如何处理的。课还未开始，华老师就遇到一个问题：上的是“圆的认识”学生却没有带圆规。我像是等着看好戏似的，看你怎么处理。起初，华老师的反应与一般人无异：焦虑、着急，甚至想过换课。过了5、6秒，他恢复了常态会到课上了，并且没有在想这件事。后来在互动交流中，我们得知此类情况发生不止一次两次了，更有甚者上四年级的内容，上课的学生却是二年级的。每次遇到这种情况，他都会想到《阿甘正传》中阿甘妈妈的话，要想往前走就要甩掉过去。正是这种甩掉过去的心理支持他正确面对出现的每一个问题。无论在生活中或教学中我们也可能遇到此类的问题，我们大多是慌乱，慌乱，甚至影响一天的心情，我们何不放下负担甩掉包袱呢，思考阿甘妈妈说的话呢。可能我们不能立即做到这一点，但做与不做，做好与不好并不是同一个问题，只要我们每天迈出一小步，再回首，我们已经走了一大步了。

以上是我个人的对这节课的一点心得，其实此次太仓之行的感触远不止这些，更为精彩的还有《课堂因出错而精彩》，我想《课堂因出错而精彩》应该在教学中更为实用。我想单独意会直至达到共鸣。

2012年12月6日下午，我有幸参加了中国教育报“送教下乡”大型公益活动，亲耳倾听了全国著名特级教师华应龙的讲学。华老师是小学数学界的泰斗，在全国有着极高的影响力。能够这样近距离感受华老师的风采，内心激动可想而知。

华老师的新作《圆的认识》，在寻宝行动中拉开了探究圆的序幕，“宝物在哪里”这个巧妙的问题，不仅让学生回答了探讨的问题，而且凸显了圆心定位置，半径定大小的重要知识点。

短短的四十分钟，华老师不仅注重向学生传授知识，更在无形中向学生们传授着开启思维的“金钥匙”——“是什么”、“为什么”、“怎么做”、“为何这么做”、“一定这样吗”。这五把启发思维的金钥匙贯穿全课，让学生们经历了数学研究的全过程，体会到了考虑问题要严谨、全面，培养了学生科学研究的态度。

华老师的《圆的认识》这堂课，从谈话认识老师到插曲借橡皮到寻找“宝物在哪里”，从画圆展示圆与不圆的作品到篮球场上解释圆到重提“宝物在哪里”回归情景突破圆，真是水到渠成，浑圆天成。

除了这些独到的设计之外，让人回味无穷的东西还有很多。一声“孩子”显露出华老师把学生当作自己的子女一般看待，而一声“小伙子”让男孩子感到无尚的光荣，课堂上时时可以听到师生朗朗的笑声、自发的掌声。师生沉浸在学习的幸福中，这里没有了学生对“师道与讲台”的敬畏，有的是老师拾起童心的绵绵磁力。这里学生不再认为数学是枯燥的代名词，数学是诗、是歌、是画，让人流连忘返，学生们都不愿意下课了„„

在整个课堂中出现了，大方无隅，没有规矩不成方圆，大成若缺铸成远圆，圆一中同长也，而且这个古语重复出现了好几次。这些古语可能时常会被大家提及，但是能这样恰到好处的用到课堂上，实属罕见。“圆有圆的规矩，方有方的规矩；做人有做人的规矩，探究问题有探究问题的规矩，”这句话我深深的记住了，这句充满哲理的话，让我们在体味圆的特征的同时又不得不思索其中蕴涵的哲理，华老师的魅力无处不在散发。

随后华老师给我们做了“融错，让课堂更精彩”的报告，给我们提供了全新的视角去认识孩子的错误——“从差错中学习是最好的学习，学生课堂上犯的错误很多时候是最好的教学资源”。这让我意识到要善待孩子们出现的每一个差错，这些差错将会是他们走向成功的起点，是一双隐形的翅膀，会带领他们高飞远行。

容错

错是错

融错

错不是错

荣错

错还是错

华老师站在哲学的高度诠释了这三句话。容错要有博大的胸怀，如佛家的境界。如何才能练就这番心境，这就需要我们多读书，读名家的书，读富有哲理性的书。融错需要技能，需要转化的技巧，需要

在平时工作中多实践，多反思，多总结。荣错是最高境界，让学生因错误而荣耀，因错误而发展，因错误而有所成就。

人总是背向过去，脚踏现在，面朝未来。教师不仅应该知道学生过去的差错，而且应当医治学生现在的差错、预防学生未来的差错。为此，我们就应该像医生那样通过望闻问切，准确判断病因，然后对症下药。

差错的价值有时并不在于差错本身，而在于师生从中获得新的启迪。对教师来说，学生的“差错”是机遇，是挑战，更是教育智慧的折射。我们说“课堂因差错而精彩”，并不是说有了“错”很精彩，而是指用了“错”更精彩，精彩在教师艺术地处理了随机生成的差错，巧妙地彰显了差错的宝贵价值，用真正富有生命价值的气息浸润发展着的学生生命。

第四篇：华应龙教案找次品教案实录

华应龙教案找次品教案实录

一、谈话引入

1．实话实说——请吃糖

【为了活跃气氛，拉近与学生的感情，更主要地为了引入“次品”的概念，课前与学生这样谈话】

师：同学们仔细看看老师，能用几句简短的话描述一下老师的特点吗？ 生1：老师中等身材，头发很平。

生2：老师脸很方，眼睛很小。„„

（老师用鼓励的目光激励学生发言，随便学生怎么说，说的越奇怪越好。不管学生说什么，老师都大肆表扬同时表示感谢，以激起其他学生想说话的欲望。待三四个学生发言后，老师话锋一转，提出第二个问题。）

师：同学们非常善于观察，这么短的时间就发现了老师这么多的特点。既然如此聪明，请允许我请教第二个问题，你们必须实话实说，说实话的本老师奖励吃糖。

（拿出一瓶真的木糖醇，此时学生都好奇地等着老师会出什么问题或者看着老师手里的木糖醇，老师故意矜持一会才说出问题。）

老师的问题是：你觉得我和你们原来的数学老师相比，谁更像一位优秀的数学老师？（听课老师有的发出了笑声，学生们也都面面相觑，微笑着不知如何作答）生1：老师您更优秀。

师：（笑着说）瞎说！你还没听过老师上课呢。生2：（笑着说）两个都像。

师：（笑着说）不许都选，只能选一个。生2：（有点无奈的）那就选我们原来的老师吧。

师：说得对！咱们今天表现的如此优秀，一定是原来老师的功劳。请吃糖！

（从木糖醇瓶中倒出一粒放入该学生手中，继续面向其他同学）谁还想吃糖，请实话数说。生3：是我们原来的老师，因为他辛辛苦苦教了我们好几年。

师：（紧紧握着该学生的手）真是一个懂得感恩的孩子，说得对，请吃糖！

（从木糖醇瓶中再倒出一粒放入该学生手中）【对学生而言，这是一个两难的问题。有说原老师的，有说现在的老师的，也会有两边讨好的。老师对两个都选的同学一定要逼其选其一，同时给选自己原来老师的两个学生每人一粒糖吃。】

师：（笑着说）同学们不用说了，老师已经知道结果了，应该是你们原来的老师更优秀。（话锋一转）当某个人或某项事物不足够好时，我们可以称之为——（拖长音，表示疑问）生：次品

师：对，次品。（随机板书）

师：（很认真地说）在今天在座的这么多优秀教师中找出我这样的次品老师是很容易的，可有些时候，找次品就不那么容易了。刚才谁吃我糖了，请给我站起来！（假装生气）【吃糖的学生刚才还美滋滋的呢，现在被迫站起来。】

师：（继续假装生气）谁让你们吃糖的？（学生苦笑）瞧瞧你们惹麻烦了吧。老师刚刚买了3瓶一样的木糖醇，其中一瓶就被你们“偷吃了”两粒，（老师出示3瓶一样的木糖醇），吃掉两粒的那一瓶重量自然就变得轻一些。重量变轻了我们就可以称之为——（拖长音，表示疑问。）

生：次品（很快接上）

师：对。怎样很快地知道哪一瓶是次品呢？（示意吃糖的学生坐下）如果用天平称来称，至少几次才能保证找到呢？请独立思考。（学生独立思考约30秒钟）2．初步建立基本思维模型。

师：谁来说说至少要几次才能保证找到？

（此时学生基本有两种意见：部分或大部分人认为需要2次，部分思维好的同学会认为1次足矣。老师请认为1次的同学上台展示）师：你见过天平吗？ 生：见过。

师：天平长什么样子？（学生茫然。老师走过去示意学生把双手向左右两边伸平，笑曰：这就是一架美丽的天平。该生不自然地笑了，全体同学则会心地一笑。）

师：别人都认为要2次，你说1次就行了。别瞎说！怎么称的？称给我们瞧瞧！（该生演示：任意拿两瓶放在天平左右两边，两手伸平）生：如果是这种情况，剩下的那一瓶就是次品。师：如果天平左右两边不平呢？（该生再演示：天平左高右低的情况。）

生：如果是这种情况，左边高的那一瓶就是次品。师：还有一种情况呢？

（该生马上反应过来，立刻演示：天平左低右高的情况。）生：如果是这种情况，右边高的那一瓶就是次品。（面向全体同学）

师：大家看明白了吗？刚才这位同学任意从3瓶中拿出2瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，次品在哪？ 众生：剩下的那一瓶。师：如果天平有一边翘起呢？ 众生：翘起的那一瓶。

师：不管是哪一种情况，几次就可以找到次品了呀？ 众生：1次。

师：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表扬给我们带来这样思考的那位同学。（掌声想起）

师：谁还能像刚才那位同学一样给我们演示一下怎么1次就能找到次品了呢？

【3瓶中有1瓶次品，用天平称来称，至少1次就可以找到。是找次品问题最基本的思维模型，一定要让每个学生都清晰。所以，一位同学演示后，再请一位同学上台演示，以加深每个同学的印象。】

（生再次演示，老师适时强调）

师：开始认为需要2次的同学，现在清楚了吗？3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次就可以保证找到？ 众生响亮回答：1次。3．拓展延伸，引导猜想。

师：3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少1次就可以保证找到。如果不是3瓶，假如今天来听课的老师每人1瓶，大概有两千多瓶吧。我们暂且估计有2187瓶。（随机板书）如果2187瓶中也有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次才能保证找到呢？请你猜一猜！（停顿约20秒，找两三个同学回答）生1：2186次。生2：2185次。生3：一千多次。生4：729次。

师：2187瓶中有1瓶次品，用天平称称，怎么也要好两千多次、一千多次或好几百次，都是这么认为吗？ 众生点头：是。

师：如果你们都是这么认为，今天这节课就非常有研究的必要。我们今天这节课就来研究，如果真有2187瓶木糖醇，其中1瓶是次品（轻），用天平称称，究竟至少几次才能保证找到，好吗？ 众生：好！

二、组织探究 1.体会化繁为简

师：要解决这个问题，大家觉得2187这个数据是不是有点大呀？ 众生：是。

师：解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略，谁知道是什么？ 生1：简化 生2：化简

师：对！解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略——化繁为简（随机板书），也就是把数据转化地小一些，就是两位同学说的化简。简到什么程度呢？3瓶刚才我们研究过了，现在我们研究几瓶好呢？ 生1：4瓶。生2：5瓶。

师：5瓶和我们书上的例1刚好一模一样，我们就先来研究如果5瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次保证找到？好吗？ 众生：好！2.第一次探究

师：请先独立思考。可以拿出5枚硬币动手试一试。（约1分钟后）

师：同桌同学可以小声交流交流。（约1分钟后）

师：谁来说一说至少几次保证能找到？ 生1：1次。生2：2次。生3：3次。„ „

师：你是怎么称的？请描述称的过程？

生1：我在天平左右两边各放1瓶，如果有翘起，就找到了。

师：这种情况是有可能的，但能保证吗？如果天平平衡了怎么办？你先请坐！（生1意识到自己考虑问题的不足，带着思考坐下！）

生2：我也在天平左右两边各放1瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品；就从剩下的3瓶中再任意选两瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，剩下的那瓶就是次品，如果有一边翘起，翘起的那端就是次品。一共称了2次。师：他的方法可行吗？ 众生:可行。师：刚才这位同学的称法，开始时，把5瓶分成了怎样的3份呀？ 生：（1、1、3）

师：真聪明！1和1要称一次，剩下的3瓶中再找1瓶次品，就像我们课刚刚开始的问题一样，当然也要1次，一共就是2次。这种称法如果用数学符号简单地记录下来，可以写成这样，用“ ”表示称一次（板书）： 5→（1、1、3）→（1、1、1）〒 2次 可以吗？ 众生:可以。

师：有没有也是2次，但称法不一样的？

生：我在天平左右两边各放2瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品，剩下的那瓶就是次品，但这不能保证。如果有一边翘起，说明次品在翘起的那一端里，然后再把翘起那一端的2个放在天平左右两边，再称一次，一定可以找到。一共称了2次。

师：真了不起！同样也是称2次，称法还真的不同。这位同学的称法如果也用数学符号简单地记录下来，可以写成这样：（板书）5→（2、2、1）→（1、1、）〒 2次 行吗？ 众生:行！

师：比较两位同学的称法，过程不同，但结果一致！除了结果相同外，还有没有发现别的共同点？

（学生略作思考，老师随机点出）

师：老师发现刚才的两种称法，不管开始时如何分组，在每一次称的时候，天平左右两边始终保持瓶数一样，这是为什么呀？为什么不天平一边放2瓶，一边放3瓶呢？ 生：瓶数不一样，比较不出来。

师：由于正品和次品的差距往往很小，所以当瓶数不等时，用天平称量时是无法判断的。找次品自然要追求次数越少越好，所以这种“浪费”的称法我们当然不提倡。

师：（笑着对说要3次的同学说话）3次当然能称的出来，但并不是至少的方案，明白了吗？ 生点头示意明白。3.第二次探究

师：5瓶我们研究过了，离2187瓶还差的远呢。再靠近点，接下来我们研究多少瓶呢？ 生1：8瓶。生2：9瓶。生3：10瓶。

师：同学们说的都可以，但我们上课时间有限，在一位数中9最大，我们来研究9瓶好不好？（其实例2就是9瓶）众生：好！

师：谁再来明确一下问题？

生：9瓶木糖醇中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？

师：问题已经很明确，请先独立思考。可以拿9枚硬币分组试一试，也可以像老师一样用数学符号画一画。

（师静静地巡视约1分钟）

师：请前后桌4位同学一组，讨论交流你们认为至少几次才能找到次品？（师参与讨论约2分钟）

师：老师刚才在下面听到有的同学说要4次，有的说要3次，还有的说2次就行。到底至少要几次呢？看来需要交流交流。先从多的来，谁刚才说要4次的？请说说你是怎样称的？ 生：我天平左右两边各放1个，每次称2个，这样4次就一定可以找到。（师随着学生的表述相机板书）

9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〒 4次 师：他的称法可行吗？ 生：可行但不是次数最少的。

师：好！让我们一起来听听次数再少一些的称法。3次该怎样称？

生：我把9分成4、4、1三组，先称两个4，如果天平平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这是很幸运的。如果不平，把翘起的那4瓶再2个对2个称，如果平„„（老师礼貌地打断学生的话）

师：这时会出现平衡吗？（提醒：次品就在这4瓶里，天平左右两边各放2瓶）

生：（明白后立刻改口）一定会有一边翘起，然后再把翘起的2瓶天平两边各放1个，再称1次，共3次就可以找到次品是哪一瓶。（师随着学生的表述相机板书）

9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〒 3次 师：他的称法可行吗？

生：可行。我也是3次，但称法与他不一样。

师：真的吗？同样是3次，称法还可以不一样？赶快说给我们听听。

生：我把9分成2、2、2、2、1五组，先称两个2，如果有一边翘起，再称1次就可以了，但这是幸运的；如果天平平衡了，再称剩下的两个2，如果天平还是平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这也是很幸运的。如果不平衡，再把翘起的2个分开，天平左右两边各1个，再称1次就一定找到次品了。这样也是3次保证找到了次品。（师随着学生的表述相机板书）9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1）→（1、1）〒 3次 师：还真不错！同样是3次保证找到，称法还真不一样。师：刚才好像还有人说2次就够了，不太可能吧？是谁说的？（说2次的学生起立）

师：别人都是4次、3次的，你说2次就行，还坚持吗？（学生坚持）

师：好！我们大家刚才辛苦了老半天才弄明白至少要3次才能保证找到次品，他竟然坚持说2次就够了，难道我们„„请认真听听他是怎么称的！如果他说错了，我们要罚他唱首歌。（故意这样说，以引起学生都来关注他的2次是怎样称的）

生：我把9分成三组，每组3个。先称两个3，如果天平有一边翘起，次品就在翘起的那3瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的3瓶里。不管怎样，接下来就只要研究3瓶就可以了。前面刚学过，从3瓶里找1瓶次品，称1次就够了。这样2次就保证找到了次品。（师随着学生的表述相机板书）9→（3、3、3）→（1、1、1）〒 2次 师：听得懂他的称法吗？

（有部分学生不敢大声回答，请刚才的学生再重复一遍）

师：现在都听懂了吧！这个同学的称法完全可行，称2次就解决了问题。为什么我们别的称法次数就比他多呢？我们的问题出在哪儿？这个同学的高明又在哪呢？请仔细观察黑板上的四种称法，看谁能最快发现其中的奥秘？ 9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〒 4次 9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〒 3次

9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1）→（1、1）〒 3次 9→（3、3、3）→（1、1、1）〒 2次（学生观察思考约1分钟，老师给予适当暗示）

生：2次的称法一开始把9瓶分成了3组，每组3个。这样称1次，就可以断定次品在哪一组里。

师：说得好！把9瓶分成了3组，每组3个，也就是把物品总数均分3份，这样称1次，就可以淘汰2份6瓶，从而让剩下的瓶数变得最少，自然总的次数就会少下来。而4次的称法，称1次后，最多只能淘汰2瓶；3次的两种称法，称第一次后，也最多只能淘汰4瓶，所以最终的次数就会相对多起来。4．第三次探究

师：刚才9瓶中找1瓶次品（轻），那位同学一开始把9瓶平均分成3份来称，最后的次数最少。是不是所有的可以均分成3份的物品总数，一开始都平均分成3份来称，最后的次数也是最少呢？刚才那位同学是否偶然呢？我们还需要怎么办？ 生：继续验证。

师：（握着同学的手）说得好！仅仅一个例子不足以推广，我们还需要进一步验证。验证多少呢？比9大一些，可以均分3份的？（有学生立刻回答）生：12.师:好的！我们就来研究12。如果12瓶中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？请先用刚才那位同学的思路，均分3份来操作。看看至少要几次？ 生说师板书：

12→（4、4、4）→（2、2）→（1、1）〒 3次

师：按照刚才那位同学的思维模式推理，至少要3次才能保证找到。3次是否真的就是最少的次数吗？有没有比3次还少的呢？如果有，说明刚才的那位同学纯属偶然。请2人一小组，拼凑12枚硬币操作操作，或者用笔画一画，看看有没有更少的可能？（学生思考讨论，老师巡视参与，约1～2分钟后交流）生1：我是均分2份做的，也是3次。（师随着学生的表述相机板书）

12→（6、6）→（3、3）→（1、1）〒 3次 师：有没有比刚才的3次少？ 生1：没有。

师：谁找到比3次还少的称法了？

生2：我没找到，但我一开始均分4分来做的，最后也是3次。（师随着学生的表述相机板书）

12→（3、3、3、3）→（3、3、3、3）→（1、1、1）〒 3次

师：两位同学真不错，再次给我们展示了最终结果一样时，中间过程的丰富多彩。但我们都没有找到比3次还少的方案。如果再研究下去，我们会发现次数只会越来越多。比如： 12→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2、）→（1、1）〒 4次。其实刚才那位同学的思维模式并非偶然，真的具有一定的规律性。时间关系，我们不再继续验证。

师：刚才那位同学的思维模式是什么？

众生：物品总数如果能均分3份，就把物品尽量平均分成3份来操作。师：为什么呢？

生：把物品总数平均分成3份来操作，这样称1次就可以断定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最后的次数自然就会少下来。

三、强化训练

师：通过刚才的探究，我们已经找到了内在的思维规律，现在老师想考验一下咱们班同学的数学感觉如何，看看谁的反应快？如果不是12瓶，而是27瓶中有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？

（提醒运用刚才发现的思维模式，马上有学生举手）生：3次。

师：（故作惊讶！）别乱说，不可能吧？27瓶呀蛮多的，3次怎么可以保证找到？ 生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶；称1次就可以推断次品在哪个9瓶里。然后9瓶就像刚才那位同学那样再均分3份来称，2次就够了。我这里只增加了1次，所以3次就找到了。

（师随着学生的表述相机板书）

27→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）〒 3次

师：真聪明！把27瓶平均分成3份，每份的9瓶，也可以假设看成一个超大瓶。这样，27瓶就转化为了3个超大瓶，称1次，自然就可以断定次品在哪个超大瓶里，也就是哪个9里。然后把9再平均分成3份，以此类推，每称1次，都淘汰两份，剩下一份。最后的次数一定就是至少的。

师：如果不是27瓶，而是81瓶呢？

（有学生脱口说要9次，可能是想到了九九八十一）师：（不动声色）嗯！有可能。是至少吗？（马上有学生反应过来）生：4次就够了。

师：（微笑着）请问怎么称？

生：把81瓶平均分成3份，每份27瓶，称1次就可以知道次品在哪个超大大瓶27里。27瓶刚才是3次，所以81瓶中有1瓶次品，用天平称称，4次就够了。师：真了不起！他也学会转化了。如果不是81瓶，而是243瓶呢？（立刻有学生举手）

生：5次。跟上面一样，把243均分3份，只比81瓶多称了1次。所以是5次。师：反应真快！有没有哪位同学猜到老师接下来会出哪个数？ 生：729。

师：（握着学生举的手表扬他）真是英雄所见略同！老师真的要出729，如果真有729瓶，其中1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？ 众生：6次。

师：接下来就到哪个数了？ 众生：2187。

师：现在大声地告诉老师，如果真有2187瓶，其中1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？ 众生：7次。

师：课刚开始时猜需要2186次的是那位同学，请问此时此刻有什么想说的吗？（该生起立，笑着无言以对）

师：是什么让这位同学无言以对？从两千多瓶中找一瓶次品，起初我们本能地感觉怎么也要两千多、一千多或好几百次，其实7次足矣。前后相差之大，远远超出了我们的想像。这就是数学思考的魅力。也正是这种无穷的魅力，才让我们这位同学感觉无言以对。其实不止是这位同学，刚开始时，我们都没有想到啊！（轻轻摸摸该生的头，示意他坐下）

四、全课总结 1.全课小结

师：（指着板书上的“次品”俩字）请问我们今天上的什么课？ 全体学生：（自然地答道）次品课。师：（故作生气状）瞎说！你才上次品课呢。

（顺手在“次品”前写上一个大大的“找”字，全体听课老师则会心地哈哈大笑）2.提出问题

今天我们找次品的物品总数不管是9、12，还是27、81、243„„，都是3的倍数，也就是可以直接均分三份来操作，如果物品总数不是3的倍数，又该怎样操作呢？这个问题，需要我们下节课来继续研究。

第五篇：六年级数学复习课(华应龙)

《六年级数学复习课》教学案例

华应龙

公开教学选择上复习课？这是我绝对不会做的，更确切地说——是不敢做！原因很简单：第一，复习巩固旧知识，学生觉得无味；第二，以练习为主，讲练结合，形式单一，缺乏新意；第三，复习课主要针对学生存在的典型错例有的放矢地进行辅导，后面那么多老师听课，一旦学生暴露的都是问题，不知该如何有效地调控课堂。

不久前的一节公开教学观摩课彻底打破了我的这种固执、可笑的想法，这是特级教师华应龙执教的一堂六年级数学复习课。

这堂课既没有生动鲜亮的多媒体课件，也没有丰富多样的练习形式，全课的展开就围绕着一张综合测试题：

1.请认真地把试卷读完，然后在试卷左上角写上自己的姓名。

2.脱式计算：1.25×32×0.25。

3.解方程：6.8+3.2x=26。

4.甲乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行60千米，4小时后离甲地多少千米？

5.带着小狗的小明和小兵同时分别从相距1200米的两地相向而行。小明每分钟行55米，小兵每分钟行65米，小狗每分钟跑240米，小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑。当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？

6.如果你已经认真读完了7道题目，就只要完成第1题。这样的测试有意思吗？那就笑在心里，等待5分钟的到来，好吗？

7.小红的房间长4米，宽3.2米，她爸爸准备把南墙刷上彩漆，这面墙上窗户的面积是2.8平方米。算一算，小红爸爸至少需要买多少千克彩漆？（每平方米大约用彩漆0.4千克）

“你在耍我们！”

【精彩回放】上课伊始，老师宣布进行一次5分钟比赛。随着一声口令，全班伏案疾书，5分钟很快就过去了。“完成这张试卷的同学请举手！”老师满脸期待。学生一脸沮丧，面面相觑。“一个都没完成？”看得出，老师心有不甘。沉默片刻，一个愤愤不平的声音传来：“老师，你在耍我们！”此言一出，满堂哗然！老师一脸迷惑：“我怎么耍你们了？”“你看，第6题„„”随着他的提醒，大家将目光聚焦于试卷的一处——“6.如果你已经认真读完了7道题目，就只要完成第1题„„”

学生们恍然大悟，忍不住七嘴八舌地议论开了。老师连忙追问道：“真是我耍了你们？”这一追问引发了学生的自我反省：

“不是，因为第1题已经说得很清楚了，而我连名字都没写！”

“我把名字习惯性地写在了右上角了！”

“如果我们按要求认真地把试卷读完的话，我们当然能看清第6题的要求。”

【且听且思】我们总习惯于在学生做练习时反复提醒：先审题，再下笔。然而，年复一年、日复一日地提醒得到的依然是学生的我行我素，拿题即做，结果仍然是屡说屡错，屡错屡说。于是我们便常常心生抱怨：怎么老师的话到了学生那里就成了耳边风？这份试卷的特殊价值就在于不经意间让学生真真切切地自我反思，实实在在地体会到认读提示语是多么重要。这种体验远比老师在学生做题前反复叮咛要有效、要深刻，它绝非只是学生停留在表面、承诺在口头的应答。

“我们又上当了！”

【精彩回放】“既然大家觉得这张试卷很有意思，那么我们就来研究一下，请把其中的第4题、第5题和第7题做完，时间为6分钟。”„„开始交流了，一位矮个男孩首当其冲：“第4题的算式是300-60×4”，其余学生纷纷颔首点头。老师并未急于表态，而是将目光投向另一位眉头紧锁的女孩，他注意到刚才这位女孩曾迟疑地举了一下手。“我觉得应该是60×4”，她吞吞吐吐地回答道。“奇怪！一般来说，我们在解决问题时会有不同的方法，现在怎么会有两个不同的答案呢？”老师一脸惊讶：“这到底是怎么回事？”

渐渐地，举手的人多了：“我们又上当了，问题是‘离甲地多少米？’”

“300-60×4求的是‘离乙地多少米？’”

“求‘离甲地多少米？’实际上是求‘已经行了多少米？’”

“这好比要我们去某个地方，地址都没听清就撒腿便跑，结果南辕北辙。”老师适时点评：“错得好，说得更好！只要我们有收获、有长进，那么刚才的错误就有了价值！”

在交流第5题的感想时，很多学生觉得：“题目太长，理解题意比较费劲。”“是啊，题目的确很长！”老师启发大家：“你们觉得这道题绕来绕去关键在哪？”“小狗在不停地、来回地跑。”学生的回答一针见血。“既然如此，那该怎么解答呢？”老师顺水推舟。“应该用55+65=120（米），1200÷120=10（分），10×240=2400（米），理由是„„”听了他的分析，老师点头赞同，随后又问：“还有不同意见吗？”“有！应该再用2400×2=4800（米）”一位瘦瘦的男孩坚定地说。见大家不明所以，他继续补充道：“题目上说‘带着小狗的小明和小兵’，问题是‘小狗一共跑了多少米？’可以理解为求一只小狗跑的路程，也可以理解为求两只小狗跑的路程。”这样的解释出人意料又合乎情理，而且很显然，老师并未预设到这种“生成”，他激动地询问了这位学生的名字，然后大声承认：“我原以为刘梁丰同学错了，所以才让他交流，事实上他是完全正确的，让我们把热烈的掌声送给他！”

【且听且思】也许应该感谢那位眉头紧锁的女孩，是她的迟疑使得课堂在那一刻峰回路转；也许还应感谢那位瘦瘦的男孩，是他的坚定使得课堂在那一刻精彩纷呈„„学生们的思考让教学有了生成的空间。但再深入仔细地想想，仅仅有了生成就足够了吗？如果华应龙老师缺少智慧独到的眼光，缺乏“让差错显露出可贵”的思想，那么即便是面对再多的生成也会熟视无睹！试想，若不是华老师的关注细节———发现了女孩的迟疑；若不是习惯于“倾听不同的声音”——给了男孩表达的机会，也许上述这些有价值的生成都将被悄无声息地淹没在我们的声音中，一种以“权威者”的身份妄加评判的声音。

“这题没有答案！”

【精彩回放】第7题的交流非常热烈。第一位学生说：“用4×3.2=12.8(平方米),12.8+2.8=15.6(平方米),15.6×0.4=6.24(千克)。”“错了，错了！”话音刚落，教室里便传来此起彼伏的否定声。老师连忙摆手：“别说‘错了’，说不定有对的道理呢？应该说‘还有不同的想法吗’？”另一位学生回答道：“粉刷墙壁时要把窗户的面积去掉，所以应该用12.8-2.8=10(平方米),10×0.4=4(千克)。”他的分析有条有理，得到了大多数同学的认同。正当大家的观点趋于一致时，又有一位学生举手：“我认为这两个答案都不对。因为要求南墙的粉刷面积必须知道长和高，而题目中并没有告诉我们高是多少，所以这道题目没有答案！”没有答案？大家满脸震惊，而后再次恍然。老师也深有感触地说：“我很佩服这位同学，一是佩服他发现了这个大家容易忽视的环节，二是佩服他能在大家的声音特别高、特别一致时，有勇气站起来表明自己与众不同的观点。这让我想起了一个故事：一条船在茫茫大海上航行，船上装了75头牛、45头羊，问这条船上的船长年龄多大？”学生哄堂大笑。

【且听且思】“这题没有答案！”初闻此言，满心震惊！平心而论，在平时的练习中，我们已习惯于出有答案的题目，学生也已习惯于解有答案的题目。正是因为习惯于这种定式，所以当学生绕了一大圈发现题目本无答案时，才会在震惊中领会出题者的深意。

一颗数学思维的种子，不管我们是有心还是无意，只要播进了学生的心田，它就会以别人难以感知的方式存活、生长起来，而且，它的果实会成倍地膨胀。透过习以为常的现象，我们是否该再次认真思考——何为“数学思想”？何为“有用的数学”？我想华老师的这堂课已作了绝妙的诠释。让我们为这简约而精彩的复习课叫好！