第一篇：浅谈三次数学危机的启示
浅谈三次数学危机的启示
“经济危机”，我在生活中听得多，“数学危机”却是第一次听说。和经济危机发生的原因相似，数学危机发生也是由于数学基础和构架上存在本来就有的矛盾，在数学发展的过程中一点一点地显露出来。
在这三次数学危机中，我看到数学与哲学——无论是个人的哲学还是时代的哲学之间存在着千丝万缕的联系。正如哲学上说的：“世界观决定方法论。”——一个人对一件事的看法决定他处理这件事的方法。如希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用当时的任何一个数表示出来，希伯索斯勇于提出问题并认定这个问题是当时数学上的一个缺漏，希望能在众人的讨论中得到解决，但他的观点被认为是“荒谬”和违反常识的事，他遭到别人的打压，甚至最终被投入海中淹死。这个悲剧很大一个程度取决于当时人们的数的认识还不够全面和深入，于是去处决那些“离经叛道”的“异类”。
同时，也可以看到每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争。先觉者不断挑战这旧日的权威，顽固派不断想要扼杀新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之势，烧尽腐朽落后的东西，随大江的海浪一波一波滚滚向前。所以，我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神，在自己从事的领域上开创一片新的天地。
三次数学危机也是三次数学革命，发现问题，提出问题之后就需要解决问题。人们经过多年不懈的讨论和研究，攻克了一个又一个的难关，数学危机给数学发展带来的动力，不断促进着数学理论基础的完善和成熟。
新的时代应该是开放、包容的时代，我们应该有一种允许不同的观点存在的心态：“虽然我不赞同你的说法，但我誓死捍卫你说话的权利。”只有大家都有机会发表看法，才能在碰撞中擦出火花，激发出新的灵感，才能推动时代的发展。百家争鸣，求同存异，共同进步才是文化领域上应有的风气。
第二篇：三次数学危机的感想
三次数学危机的感想
——数学文化与思维作业
学号：20115261
姓名：刘奇
学院：计算机
年级：2011 无理数的确认──第一次数学危机
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。
第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。
什么是无穷──第二次数学危机
伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论，被称为第二次数学危机。以求速度为例，瞬时速度是当趋近于零时的值。是零，是很小的量，还是什么东西？无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？
应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。” 19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理。“ε-σ”语言给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语。虽然所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。这样就使数学分析建立在了实数理论的严格基础之上。
罗素悖论的责难──第三次数学危机
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。数学家们发现，从自然数与集合论出发似乎可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。而罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。但是，由于这那些悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同，它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。经过“悖论”大辩论的洗礼，现代公理集合论的一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
关于三次数学危机的感想
三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。所以，第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。
第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。
第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。
以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。
从另一方面，数学的历史发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
第三篇：《数学史上的三大伟人、三次危机》教学设计（模版）
《数学史上的三大伟人、三次危机》教学设计
广州市第一中学
庞新军
教学课题：数学史上的三大伟人、三次危机
教学目标：
1、了解三大数学家的生平事迹和数学贡献,激发学生的学习兴趣
2、理解数学史上的三次危机根源，拓宽学生的视野, 增强学生的自信心
3、理解和欣赏数学文化价值，培养学生的科学精神和科学价值观 教学重点、难点：理解数学史中的文化价值，培养学生的学习兴趣 教学时间：1课时 教学方法：讲练法
教具准备：电脑实物投影。教学过程：
一、引入
数学是人类文化的重要内容，在现代文明社会中，一个不懂数学的人，其生活质量与思维水平一定很低，即使将来不做数学家，学些数学史对我们的人生和事业也有益处。这节课我们要了解数学科学的发展规律，感受数学的文化价值，学习数学家们的严谨态度和探索精神。数学史上著名数学家有许多，你知道哪三位是最伟大吗？数学科学的发展也并非一帆风顺，它也经历着坎坷，存在着危机，你知道数学史上的三次危机吗？
美国贝尔在《数学人物》一书中写到，“任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单，必定会包括阿基米德，牛顿和高斯。不过以其宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们的影响当代和后世 的深远来比较，还应首推阿基米德”，有人说，欧洲民族几乎经过了两千年才达到他的数学水平，因此阿基米德被为“数学之神”。
二、数学史上的三大伟人
1、“数学之神” ――阿基米德（投影）
利用圆的外切与内接９６边形，求得圆周率π为：
22322＜π＜，这是数学史上717最早的，明确指出误差限度的π值。《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的3。2他曾说过：“给我一个支点，我能把地球撬起来”。有一位意大利学者这样盛赞阿基米德：“他与其说是人，不如说是神！”
相传阿基米德正沉醉在一道几何问题时, 对已经陷城的罗马士兵浑然未觉, 当士兵的利剑指向他时, 他却用身子护住木板, 大叫:“不要动我的图形!”可恨那目不识丁的士兵竟用利剑刺死了75 岁的老科学家。阿基米德之死是全人类不可弥补的重大损失。
2、数学巨人――牛顿（投影）
英国一位诗人赞扬牛顿时写道：
宇宙和宇宙规律隐藏在一片黑暗之中，上帝说：生出牛顿，一切都会变得光明。
微积分的创立是继欧几里得几何之后，全部数学当中最为伟大得创举。牛顿的《流数简论》是微积分诞生的标志性著作。牛顿的《原理》一书被爱因斯坦誉为“无比辉煌的演绎成就”。
诸如“苹果落地与万有引力”，“煮表代蛋”，“忘了与女友的约会”，“看见饭桌上别人啃的骨头就说自己已经吃过饭”的故事，都反应出牛顿废寝忘食、专心科学，从而推动数学、力学与物理学的历史车轮滚滚向前。
牛顿自己的评价是：如果我比别人看得更远一些，那只是因为我站在巨人的肩膀上。
3、“数学王子”－－高斯（投影）
“如果我们把１８世纪的数学家们想象为一系列的高山峻岭，那么最后一座使人肃然起敬的峰巅便是高斯”。
据说高斯三岁时就发现父亲作帐时的一个错误。十岁已表现出超群的数学思维能力，不满１５岁的高斯掌握了微积分理论，并在最小二乘法和数论中的二次互反律的研究上取得重要成果。１９岁时，他解决了一个数学难题－－仅用尺规作出正１７边形，当时轰动了整个数学界。２２岁的高斯证明了当时许多数学家想证而不会证明的代数基本定理。
有人说“在数学世界里，高斯处处留芳” 高斯在许多领域都有卓越的建树。如果说微分几何是他将数学应用于实际的产物，那么非欧几何则是他的纯粹数学思维的结晶。他在数论，超几何级数，复变函数论，椭圆函数论，统计数学，向量分析等方面也都取得了辉煌的成就。
高斯逝世后，哥廷根大学为他建立了一个以正十七棱柱为底座的纪念像，在慕尼黑博物馆的高斯画像上有这样一首题诗：
他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘，他测量了星星的路径、地球的形状和自然力。
他推动了数学的进展直到下个世纪。
“数学危机是会下金蛋的鹅”
三、数学史上的三大危机
1、无理数的发现──第一次数学危机（投影）
古希腊第一个在数学史上有重要影响的数学学派是毕达哥拉斯学派。他们认为“万物皆数”，宇宙中的一切事物都可归结为整数及整数之比，他们心目中的数仅仅是正有理数（正整数和正分数），除此之外，世界上不再存在其他的数。
毕达哥拉斯学派的一项重大发现是证明了勾股定理，但由此也发现了单位正方形的对角线不能表示成整数或整数之比。这一结论直接与毕达哥拉斯认为的数皆是正整数和正分数的观念发生了不可调和的冲突，导致了当时认识上的危机。
第一次数学危机使人们发现，除整数和分数之外，还存在另外的实数，当时希腊称之为“不可公度量”。因为对“怪实数”的接受并非情愿，后人给它起了个难听的名字---无理数。
2、无穷小是零吗？──第二次数学危机（投影）
18世纪，微分法和积分法由于运算的完整性和运算范围的广泛性，在生产和实践上都有了广泛而成功的应用。同时关于微积分基础的问题也越来越严重，以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt，当Δt 趋向于零时的值。Δt是零?是很小的量?还是什么东西?这个无穷小量究竟是不是零？
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。
这次危机使数学更深入地探讨数学分析的基础—实数论的问题。18世纪的数学思想的确是不严密的，从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
3、悖论的产生---第三次数学危机（投影）
我们高一数学学习了集合，知道如果a表示一个实数,A表示一个数集,那么a与A的关系只有两种，要么a属于A，要么a不属于A。
集合论中最著名的悖论是罗素给出的理发师的困惑，某村理发师宣称：他不给村子里任何自己刮脸的人刮脸，但只给所有不自己刮脸的人刮脸。有人问 “理发师先生，您是否自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮脸，那么按他原则后半句，就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。理发师怎样说也说不通，陷入自相矛盾的尴尬境地。数学史上的第三次危机，就这样出现的。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。德国逻辑学家、数学家弗雷格抱怨说：“大厦即将完工之时，基础却崩溃了！” 排除罗素悖论的办法是世界上不存在那样的理发师。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
四、课堂练习：
1、在算术课上老师提问：1＋2＋3＋4＋····＋99＋100＝？，十岁的高斯即刻作答：5050，你知道高斯是怎样解答的吗？
2、１９岁时高斯用尺规作出正１７边形，解决了当时一个数学难题。用尺规作图，你能作出一个已知圆的内接正三角形吗？
3、强盗抢劫了一个商人，把他捆在树上准备杀掉。为了戏弄商人，强盗对商人说：“你猜我会怎样处置你？说对了我就放了你，决不反悔！说错了就杀了你，可别怨我”。你知道商人怎样说才能保住自己的性命吗？
4、虽然兔子的速度比乌龟快10倍，假设乌龟在兔子前十米，但兔子却永远追不上徐徐前进的乌龟。理由是：开始时，乌龟在兔子前面10米，当兔子走完这10米时，在这段时间里，乌龟又向前走了1米；而当兔子再走完这1米时，乌龟又向前走了1/10米，这样类推下去，兔子每追赶乌龟一段路程，乌龟就又向前前进了这段路程的1/10。于是，兔子和乌龟之间总有一段距离，因此始终追不上乌龟。你认为这种观点对吗？说明你的理由
五、课堂小结
1、数学史上的三大伟人
“数学之神” ――阿基米德
数学巨人――牛顿
“数学王子”－－高斯
2、数学史上的三大危机
无理数的发现
微积分的严密
悖论的产生
六、课外作业
查阅相关数学史资料，以“我最喜欢的_____________”为题，写一篇1000左右的读后感
评述：本节课的教学设计体现新课标的数学文化价值理念。数学史上三位最伟大数学家的事迹来源实际生活，真实而生动，数学史上的三次危机中的内容紧密结合以往学过的知识，设计得深入浅出，通俗易懂。在习题的设计上体现了多种数学思想方法，逻辑推理能力也有较高的要求，注重数学与其他学科的联系，充分体现数学的实际应用价值。
第四篇：第一次数学危机
不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？
在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。
意义：第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。
第五篇：乌克兰危机的四点启示
乌克兰政局并没有随着苏联解体、乌克兰独立并交出世界第三大核武库而消停，恰恰相反，这些年来，乌克兰成为冷战最后的战场，甚至可能引发第二次冷战。乌克兰又倒向了西方，克里米亚地区则公投要重回俄罗斯。俄罗斯和西方地缘政治拉锯战进入最后阶段，带给我们诸多启示。
启示一：政治断裂带易引发大国政治的悲剧。
乌克兰作为欧洲第二大国家，为何“左右为难”？正如地壳板块连接处常常爆发地震一样，洲际板块交接处和文明断裂带，也常常导致政治地震爆发。乌克兰就不幸坐落在天主教与东正教文明的交界处，乌克兰西部大多数居民为天主教徒，东部大部分居民信奉俄罗斯东正教，经济危机引发文明的冲突，导致国家处于破产和分裂边缘，为大国插手提供了可能，并最终以自身悲剧引发大国政治的悲剧。
启示二：政治危机源于经济危机，经济高度对外依存是国家安全软肋。
近年来，西方在一些国家推动政权更迭屡屡得手，并有蔓延之势。此次，西方为避免刺激俄罗斯，未用“乌克兰之春”或“橙色革命”等口号，但实质无异。乌克兰国内经济困难，处于债务违约及破产边缘，为外部操控提供了可能。西方利用了乌克兰不想过于依赖俄罗斯的倾向，推动乌克兰变局。
启示三：西方对历史的错误解读，是动荡的诱因。
苏联的解体、冷战的结束，让西方得意忘形，美国更是得出结论说“历史的终结”，新保守主义、新帝国论一度甚嚣尘上，结果导致美国陷入阿富汗、伊拉克泥潭十余年而难以自拔。欧盟也乘势大规模扩张，光2004年一年就吸纳10个国家，迄今消化不良。这些都是对冷战结束的错误解读在作怪。将历史的偶然性赋予必然性意义，往往导致自我实现的预言。
启示四：西方的双重标准，再次折射其虚伪性。
以前支持科索沃公投，现在反对克里米亚公投；以前倡导人权高于主权，现在又说乌克兰的主权和领土完整不可分割。美欧的双重标准教人无所适从，原因当然是美欧自身利益决定价值观：在其看来，科索沃从独裁的塞尔维亚独立是合法的，克里米亚从民主的乌克兰独立则是非法的；在其看来，俄罗斯并非自然形成的民族国家，现在又吸纳克里米亚，也是违反西方观念的。苏联解体前夕，西方承诺叶利钦：北约不东扩，波罗的海不加入欧盟。现在情形如何？俄罗斯怎么能信任西方？
乌克兰局势仍面临很大不确定性。克里米亚16日举行公投，但七国集团与美欧明确表示不会承认公投结果。一旦公投结果有利于俄，西方能否接受事实仍是未知数。乌克兰政局给诸多大国提出了巨大难题，如何面对，考验各国政治智慧。
(作者为察哈尔学会高级研究员、中国人民大学国际事务研究所所长、欧盟研究中心副主任)
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