盐城市2020届高三数学一轮复习导学案
第19讲
正弦定理与解三角形
【课堂引入】
1、正弦定理的内容分别是什么？公式的变形形式有哪些？
2、正弦定理在已知三角形的哪些元素时使用？
【问题导学】
一、考纲导读：掌握正弦定理，并能用正弦定理和三角公式解斜三角形.二、知识梳理
1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理:(其中R为△ABC的外接圆的半径,下同).变形:(1)
a=2Rsin
A,b= ,c=;(2)
sin
A= ,sin
B= ,sin
C=;
(3)
a∶b∶c=;(4)
asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC(等比性质).2.利用正弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题:
(1)
已知两角与任一边,求其他两边和一角;
(2)
已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).对于“已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型,可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.如:已知a,b和A,用正弦定理求B时解的情况如下:
①若A为锐角,则a A 无解 a=bsin A 一解 bsin A a≥b 一解 ②若A为直角或钝角,则a≤b, 解;a>b, 解.a≤b 无解 a>b 一解 3.由正弦定理,可得三角形面积公式: S△ABC=12absin C= = = =.4.三角形内角定理的变形:由A+B+C=π,知A=π-(B+C),可得出:sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C).而A2=π2-B+C2,有sinA2=cosB+C2,cosA2=sinB+C2.三、回归课本 1.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2bsin A,则B=.2.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,那么AC=.3.在△ABC中,若a=2,b=3,C=π6,则△ABC的面积为.4.在△ABC中,若a=43,c=4,C=30°,则A=.5.在△ABC中,若A=60°,a=3,则a+bsinA+sinB=.四、考点研析 考点一 利用正弦定理判断三角形的形状 典例1 在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.变式 在△ABC中,若bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.考点二 利用正弦定理解三角形 典例2 在△ABC中,已知a+ba=sinBsinB-sinA,且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.(1) 求角B的大小;(2) 求a+cb的取值范围.变式1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.(1) 求角B的大小;(2) 求sinA+sinC的取值范围.变式2 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.考点三 利用正弦定理解三角形的面积问题 典例3 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bc=233,A+3C=π.(1) 求cosC的值;(2) 若b=33,求△ABC的面积.变式 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sinB=3cosB.(1) 若cosA=13,求sinC的值;(2) 若b=7,sinA=3sinC,求△ABC的面积.五、课堂练习 1.在△ABC中,已知a=23,b=2,A=60°,则B=.2.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b.若2asinB=3b,则A=.3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为.4.在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为33,则BC的长为.5.在斜三角形ABC中,已知tanA+tanB+tanAtanB=1.(1) 求角C的大小;(2) 若A=15°,AB=2,求△ABC的周长.
点击咨询