两个等腰直角三角形共点专题

两个等腰直角三角形共点专题

共锐角顶点直角开口方向相反

基本方法：

△EDB中与△ABC不共顶点B的那条线段DE平行移到另外等腰三角△ABC的底边BC的另一个点C处的CF。

典型例题

同侧型

：

连接DC(不共顶点的两个底角点的连线)，M是中点，求EM,AM的大小关系.方法：平移DE到CF，或倍长EM到MF

思路:证明△AEB≌△AFC

关键:证明∠ABE=∠ACF

方法：∵DE⊥BE

∴CG⊥BG

∴∠ABE=∠ACF

回头看：1.△ABC和△AEF是共直角顶点旋转

2.四边形GBCA是共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直）

对侧型：

四边形ABGC对角互补，共圆

推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长

提高

．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.（1）FG与DC的位置关系是,FG与DC的数量关系是；

（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立?

请证明你的结论.B

A

C

B

D

A

F

E

G

C

两个方法：已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN

正方形

逆向

15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC。探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？

小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。

（1）求证：四边形BEFG是矩形；

（2）PG与PC的夹角为多少度时？四边形BEFG是正方形，请说明理由。

14、正方形ABCD和正方形CEFG，M为AF的中点，连接MD、ME．

⑴如图①，B、C、G依次在同一条直线上，求证：△MDE等腰直角三角形；

⑵如图②，将正方形CEFG绕顶点C旋转45°．使B、C、F依次在同一条直线上，则△MDE的形状是

⑶如图③、将正方形CEFG任意旋转，设∠DCE=α°，猜想△MDE的形状？写出你的结论并给予证明．

反开口，两个中点变一个中点再找关系

19.如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。

**反开口，角平分线对角互补模七

直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a-t）2+|b-t|=0（t＞0）．

（1）证明：OB=OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标

反开口

模六

在直角坐标系中,直线y＝x＋4交x轴于A,交y轴于B,△AEF为等腰Rt△,∠AEF＝90°,连BF,M为BF中点.(1)

连EM、OM,问OM与EM的关系是　　　　　,并证明;

(2)

当△AEF绕A点旋转如图位置时,EM与OM的关系是否变化,画图并说明理由;

(3)

若P为AB中点,G为第三象限内一点,且∠AGO＝90°,求GA+GO/GP的值.反开口模型

把中线位长作出来了（平行四边形，也就隐含了中点）

已知△ABC和△ADE分别是以AB.AE为底的等腰直角三角形，以CE,CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH.(1)如图(1)，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为_____；CH与CD的数量关系是_________，并说明理由，’

(2)将图(1)中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图(2)：则∠DEH的度数为______，CH与CD之间的数量关系为________．

(3)将图(1)中的△ADE绕A点顺时针旋转（O°<<45°）得图(3)，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．

找隐性反开口模型

4、如图，ABCD、DFGE均为正方形，连AG，作AG的中点H，连BH。

（1）求BH：HE的值。

（2）当正方形ABCD绕点D旋转时，上述结论是否改变？画图，直接写出结论。

反开口

例1、如图，以△ABC，AB、AC边构造等腰Rt△ABD、等腰Rt△ACE，M、N、P分别是AD、AE、BC中点，求线段PM、PN的关系。

变式1：若P为DE中点，求线段BP、CP的关系；

变式2：若以△ABC，AB、AC边为直角边构造Rt△ABD、Rt△ACE，且∠DAB=∠CAE=α，P为DE中点，求BP、CP的数量关系；

变式3：若以△ABC，AB、AC边为斜边构造Rt△ABD、Rt△ACE，且∠DAB=∠CAE=α，P为BC中点，求DP、EP的数量关系；

反开口

24．（本题10分）已知正方形AEFG的边AE、AG分别在正方形ABCD的边AB、AD上。点O为正方形AEFG的对称中心，点M为CE的中点，连OB、MB。

（1）如图1，求的值，并证明；

（2）求的值，并证明；

（3）将图1中的正方形AEFG绕点A旋转180°至图2的位置，请直接写出的值。

图1

O

图2

反开口,一中点

1．已知，DE=DA，CA=CB，∠DAE=∠CAB，D、A、B在一条直线上.（1）如图1，P、M、N分别为EB、AD、AC的中点，∠BAE=120°，①求证：BE=2MN；

②求∠PNM的度数.（2）如图2，点P、M、N分别为CD、AE、AB的中点，∠BAE=135°，①求∠MNP的度数；

②求的值.反开口两中点

2．如图，△ACB、△AED都为等腰直角三角形,∠AED＝∠ACB＝90°,点D在AB上,连CE，M、N分别为BD、CE的中点.（1）①求证：MN＝CE;

（提示：将MN构造为某三角形的中位线.）

②求证：MN⊥CE.（2）如图，将△ADE绕A点逆时针旋转一个锐角,（1）中结论①和②是否仍成立,并证明.B

C

反开口,作了平行四边形后

19．如图，△ABC和△ADE分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形，点D在AB上，点E在AC上，以CE、CB为边作□CEHB，连DC、BE.（1）求证：HE=AC；

（2）探究：BE与CD之间的数量关系，并证明.反开口和斜边中线，内垂直

2.如图1，正方形ABCD中，点M在AB上，点N在CD上，点P在BC上，MN⊥AP于E.（1）求证：AP=MN；

（2）

如图2，点F在MN上，若EF=EA，连CF，点G为CF的中点，连DG，求证：；

（3）

在（2）的条件下，若DA=DE，且，BM=2，求DG的长.(3)由DA=DE,可得四点AEND共圆(未用)和Rt△AEP,得TN=ND=1.5,边长为5

反开口，求长度

24、(1)

将两块不全等的等腰Rt△ABC和Rt△AED如图1摆放,G为线段DC的中点,连接BG、EG,求证:

BG=EG,BG⊥EG;

(2)

将图1中△AED绕点A顺时针旋转45°,连接EB,再将△AEB绕点E顺时针旋转90°,至△EDH处,连接BD、CH,G为CD中点,连接BG、EG.如图2,四边形BDHC是何种特殊四边形?

写出你的结论,并说明理由;

(3)

图2中，若AE＝1，EG＝3，求BD的长度。